山東省桓臺一中2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

山東省桓臺一中2025屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．152．已知函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（）A．的圖像關于點中心對稱 B．既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)C．的圖像關于直線對稱 D．的最大值是3．如圖所示點是拋物線的焦點，點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動，且總是平行于軸，則的周長的取值范圍是（）A． B． C． D．4．設函數(shù)，則，的大致圖象大致是的()A． B．C． D．5．已知集合，則（）A． B．C． D．6．已知，，，則（）A． B．C． D．7．已知等差數(shù)列的前n項和為，，則A．3 B．4 C．5 D．68．已知為拋物線的準線，拋物線上的點到的距離為，點的坐標為，則的最小值是（）A． B．4 C．2 D．9．存在點在橢圓上，且點M在第一象限，使得過點M且與橢圓在此點的切線垂直的直線經(jīng)過點，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，，且，則（）A．3 B．3或7 C．5 D．5或811．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則方程的最小實根的值為（）A． B． C． D．12．已知復數(shù)，則對應的點在復平面內(nèi)位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動點，且，則與平面所成角的正切值的最大值為___________.14．若的展開式中所有項的系數(shù)之和為，則______，含項的系數(shù)是______（用數(shù)字作答）.15．在中，點在邊上，且，設，，則________（用，表示）16．若函數(shù)(R，)滿足，且的最小值等于，則ω的值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的通項，數(shù)列為等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項；（2）設，求數(shù)列的前項和.18．（12分）已知矩形中，，E，F(xiàn)分別為，的中點.沿將矩形折起，使，如圖所示.設P、Q分別為線段，的中點，連接.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）若不等式對恒成立，求的最小值；（2）證明：.（3）設方程的實根為.令若存在，，，使得，證明：.20．（12分）2019年春節(jié)期間，某超市準備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費達到400元則可參加一次抽獎活動，超市設計了兩種抽獎方案.方案一：一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.方案二：一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；（2）若某顧客獲得抽獎機會.①試分別計算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學期望；②為了吸引顧客消費，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應選擇哪一種抽獎方案進行促銷活動？21．（12分）在平面直角坐標系中，直線的傾斜角為，且經(jīng)過點．以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線，從原點O作射線交于點M，點N為射線OM上的點，滿足，記點N的軌跡為曲線C．（Ⅰ）求出直線的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）設直線與曲線C交于P，Q兩點，求的值．22．（10分）已知數(shù)列滿足，，其前n項和為.（1）通過計算，，，猜想并證明數(shù)列的通項公式；（2）設數(shù)列滿足，，，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求常數(shù)t的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】，∴，選B．2、D【解析】

通過三角函數(shù)的對稱性以及周期性，函數(shù)的最值判斷選項的正誤即可得到結(jié)果．【詳解】解：，正確；，為奇函數(shù)，周期函數(shù)，正確；，正確；D：，令，則，，，，則時，或時，即在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；且，，，故D錯誤．故選：．【點睛】本題考查三角函數(shù)周期性和對稱性的判斷，利用導數(shù)判斷函數(shù)最值，屬于中檔題．3、B【解析】

根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標和準線方程，結(jié)合定義表示出；根據(jù)拋物線與圓的位置關系和特點，求得點橫坐標的取值范圍，即可由的周長求得其范圍.【詳解】拋物線，則焦點，準線方程為，根據(jù)拋物線定義可得，圓，圓心為，半徑為，點、分別在拋物線及圓的實線部分上運動，解得交點橫坐標為2.點、分別在兩個曲線上，總是平行于軸，因而兩點不能重合，不能在軸上，則由圓心和半徑可知，則的周長為，所以，故選：B.【點睛】本題考查了拋物線定義、方程及幾何性質(zhì)的簡單應用，圓的幾何性質(zhì)應用，屬于中檔題.4、B【解析】

采用排除法：通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點的函數(shù)值符號排除選項D和選項C即可求解.【詳解】對于選項A:由題意知,函數(shù)的定義域為，其關于原點對稱，因為,所以函數(shù)為奇函數(shù),其圖象關于原點對稱，故選A排除；對于選項D:因為,故選項D排除;對于選項C:因為,故選項C排除;故選:B【點睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和特殊點函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.5、C【解析】

由題意和交集的運算直接求出.【詳解】∵集合，∴.故選:C.【點睛】本題考查了集合的交集運算.集合進行交并補運算時，常借助數(shù)軸求解.注意端點處是實心圓還是空心圓.6、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關系式,化簡可得,即可求得結(jié)果.【詳解】，所以，即.故選:C.【點睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應用和弦化切化簡三角函數(shù),難度較易.7、C【解析】

方法一：設等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以.故選C．方法二：因為，所以，則.故選C．8、B【解析】

設拋物線焦點為，由題意利用拋物線的定義可得，當共線時，取得最小值，由此求得答案.【詳解】解：拋物線焦點，準線，過作交于點，連接由拋物線定義，

，

當且僅當三點共線時，取“＝”號，∴的最小值為.

故選：B.【點睛】本題主要考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質(zhì)的應用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題.9、D【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關系建立不等式再求解即可.【詳解】因為過點M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選：D【點睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎題.10、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的對稱軸以及函數(shù)值，可得結(jié)果.【詳解】函數(shù)，若，則的圖象關于對稱，又，所以或，所以的值是7或3.故選：B.【點睛】本題考查的是三角函數(shù)的概念及性質(zhì)和函數(shù)的對稱性問題，屬基礎題11、C【解析】

先確定解析式求出的函數(shù)值，然后判斷出方程的最小實根的范圍結(jié)合此時的，通過計算即可得到答案.【詳解】當時，，所以，故當時，，所以，而，所以，又當時，的極大值為1，所以當時，的極大值為，設方程的最小實根為，，則，即，此時令，得，所以最小實根為411.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.12、A【解析】

利用復數(shù)除法運算化簡，由此求得對應點所在象限.【詳解】依題意，對應點為，在第一象限.故選A.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)對應點的坐標所在象限，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2.【解析】

如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設點，由得，證明為與平面所成角，令，用三角函數(shù)表示出，求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設點，則，，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當時，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：2【點睛】本題主要考查了立體幾何中的動點問題，考查了直線與平面所成角的計算.對于這類題，一般是建立空間直角坐標，在動點坐標內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，考查了學生的運算求解能力和直觀想象能力.14、【解析】的展開式中所有項的系數(shù)之和為，，，項的系數(shù)是，故答案為（1），（2）.15、【解析】

結(jié)合圖形及向量的線性運算將轉(zhuǎn)化為用向量表示，即可得到結(jié)果．【詳解】在中，因為，所以，又因為，所以．故答案為：【點睛】本題主要考查三角形中向量的線性運算，關鍵是利用已知向量為基底，將未知向量通過幾何條件向基底轉(zhuǎn)化．16、1【解析】

利用輔助角公式化簡可得,由題可分析的最小值等于表示相鄰的一個對稱中心與一個對稱軸的距離為,進而求解即可.【詳解】由題,,因為,,且的最小值等于,即相鄰的一個對稱中心與一個對稱軸的距離為,所以,即,所以,故答案為:1【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的對稱性的應用,考查三角函數(shù)的化簡.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)，，成等差數(shù)列以及為等比數(shù)列，通過直接對進行賦值計算出的首項和公比，即可求解出的通項公式；（2）的通項公式符合等差乘以等比的形式，采用錯位相減法進行求和.【詳解】（1）數(shù)列為等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列.設數(shù)列的公比為，，，解得（2），，，，.【點睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合以及錯位相減法求和的應用，難度一般.判斷是否適合使用錯位相減法，可根據(jù)數(shù)列的通項公式是否符合等差乘以等比的形式來判斷.18、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)取中點R，連接，,可知中,且,由Q是中點,可得則有且,即四邊形是平行四邊形,則有,即證得平面.(2)建立空間直角坐標系,求得半平面的法向量:,然后利用空間向量的相關結(jié)論可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）取中點R，連接，，則在中，，且，又Q是中點，所以，而且，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）在平面內(nèi)作交于點G，以E為原點，，，分別為x，y，x軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標為，，，所以，，設平面的一個法向量為，則即，取，得，又平面的一個法向量為，所以.因此，二面角的余弦值為【點睛】本題考查線面平行的判定,考查利用空間向量求解二面角,考查邏輯推理能力及運算求解能力,難度一般.19、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】

（1）由題意可得，，令，利用導數(shù)得在上單調(diào)遞減，進而可得結(jié)論；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，令，，利用導數(shù)得單調(diào)性即可得到答案；（3）由題意可得，進而可將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用單調(diào)性可得，記，，再利用導數(shù)研究單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，即，即，即可得到結(jié)論.【詳解】（1），即，化簡可得.令，，因為，所以，.所以，在上單調(diào)遞減，.所以的最小值為.（2）要證，即.兩邊同除以可得.設，則.在上，，所以在上單調(diào)遞減.在上，，所以在上單調(diào)遞增，所以.設，因為在上是減函數(shù)，所以.所以，即.（3）證明：方程在區(qū)間上的實根為，即，要證，由可知，即要證.當時，，，因而在上單調(diào)遞增.當時，，，因而在上單調(diào)遞減.因為，所以，要證.即要證.記，.因為，所以，則..設，，當時，.時，，故.且，故，因為，所以.因此，即在上單調(diào)遞增.所以，即.故得證.【點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性、最值、函數(shù)恒成立問題，考查導數(shù)的應用，轉(zhuǎn)化思想，構造函數(shù)研究單調(diào)性，屬于難題.20、(1)(2)①②第一種抽獎方案.【解析】

(1)方案一中每一次摸到紅球的概率為，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金劵的概率為，根據(jù)相互獨立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金劵的概率(2)①分別計算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計算即可，方案二根據(jù)二項分布計算期望即可②根據(jù)①得出結(jié)論.【詳解】（1）選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為設“每位顧客獲得180元返金劵”為事件A，則所以兩位顧客均獲得180元返金劵的概率（2）①若選擇抽獎方案一，則每一次摸到紅球的概率為，每一次摸到白球的概率為.設獲得返金劵金額為元，則可能的取值為60，100，140，180.則；；；.所以選擇抽獎方案一，該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學期望為（元）若選擇抽獎方案二，設三次摸球的過程中，摸到紅球的次數(shù)為，最終獲得返金劵的金額為元，則，故所以選擇抽獎方案二，該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學期望為（元）.②即，所以該超市應選擇第一種抽獎方案【點睛】本題主要考查了古典概型，相互獨立事件的概率，二項分布，期望，及概率知識在實際問題中的應用，屬于中檔題.21、（Ⅰ）(t為參數(shù))，；（Ⅱ）1.【解析】

（Ⅰ）直接由已知寫出直線l1的參數(shù)方程，設N（ρ，θ），M（ρ1，θ1