考點(diǎn)鞏固24 分布列及三大分布(五大考點(diǎn))2025年高考一輪復(fù)習(xí)(解析)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2考點(diǎn)鞏固卷24分布列及三大分布(五大考點(diǎn))考點(diǎn)01：分布列均值和方差的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量的均值與方差1.均值若離散型隨機(jī)變量的分布列為稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．2.均值的性質(zhì)（1）（為常數(shù)）．（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（3）．（4）如果相互獨(dú)立，則．3.方差若離散型隨機(jī)變量的分布列為則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．4.方差的性質(zhì)（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．（2）方差公式的變形：．1．某城市采用搖號(hào)買(mǎi)車的方式，有20萬(wàn)人搖號(hào)，每個(gè)月?lián)u上的人退出搖號(hào)，沒(méi)有搖上的人繼續(xù)進(jìn)入下月?lián)u號(hào)，每個(gè)月都有人補(bǔ)充進(jìn)搖號(hào)隊(duì)伍，每個(gè)季度第一個(gè)月?lián)u上的概率為，第二個(gè)月為，第三個(gè)月為，則平均每個(gè)人搖上需要的時(shí)間為（

）個(gè)月.A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】表示每個(gè)人搖上需要的時(shí)間及其對(duì)應(yīng)概率后，借助期望公式與錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)表示搖上需要的時(shí)間，則可能取、、、、、，則，，，，，，，故，則，故即，當(dāng)時(shí)，，故平均每個(gè)人搖上需要的時(shí)間為9個(gè)月.故選：C.2．有甲、乙兩個(gè)不透明的袋子，甲袋子里有1個(gè)白球，乙袋子里有5個(gè)白球和5個(gè)黑球，現(xiàn)從乙袋子里隨機(jī)取出個(gè)球放入甲袋子里，再?gòu)募状永镫S機(jī)取出一個(gè)球，記取到的白球的個(gè)數(shù)為，則當(dāng)變大時(shí)（

）A．變小 B．先變小再變大C．變大 D．先變大再變小【答案】A【分析】運(yùn)用超幾何分布與兩點(diǎn)分布，求解離散隨機(jī)變量的期望，然后判斷選項(xiàng).【詳解】由題意可知，從乙盒子里隨機(jī)取出個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)服從超幾何分布，則．故從甲盒子里隨機(jī)取一球，相當(dāng)于從含有個(gè)白球的個(gè)球中取一球，取到白球的個(gè)數(shù)為，易知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，故，所以，隨著的增加，減小.故選：A3．克拉麗絲有一枚不對(duì)稱的硬幣.每次擲出后正面向上的概率為，她擲了次硬幣，最終有10次正面向上.但她沒(méi)有留意自己一共擲了多少次硬幣.設(shè)隨機(jī)變量表示每擲次硬幣中正面向上的次數(shù)，現(xiàn)以使最大的值估計(jì)的取值并計(jì)算.(若有多個(gè)使最大，則取其中的最小值).下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．C． D．與10的大小無(wú)法確定【答案】B【分析】由題可知服從二項(xiàng)分布，，結(jié)合，計(jì)算得，又和，故得.【詳解】由題，服從二項(xiàng)分布，則，最大即為滿足的最小，即為，又，故為整數(shù)時(shí)，不為整數(shù)時(shí)為大于的最小整數(shù)，而，當(dāng)為整數(shù)時(shí)顯然成立，當(dāng)不為整數(shù)時(shí)大于的最小整數(shù)為的整數(shù)部分，其小于，故，答選：B.4．下列說(shuō)法中，正確命題的個(gè)數(shù)為（

）①已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若，則.②對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點(diǎn)的中心為，則實(shí)數(shù)的值是.③以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則、的值分別是和.④若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù):的方差為16A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式及期望的性質(zhì)判斷①；根據(jù)回歸直線方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，判斷②；將兩邊取對(duì)數(shù)，即可判斷③；根據(jù)方差的性質(zhì)判斷④.【詳解】對(duì)于①：因?yàn)榉亩?xiàng)分布，所以，所以，解得，故①正確；對(duì)于②：因?yàn)榫€性回歸直線必過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以，可得，故②正確；對(duì)于③：由兩邊取對(duì)數(shù)可得，令，求得線性回歸方程為，所以，，則，，故③正確；對(duì)于④：若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為，故④錯(cuò)誤；故正確的為①②③共個(gè).故選：D5．下列命題中，不正確的是（

）A．若隨機(jī)變量，則B．若隨機(jī)變量，且，則C．若x>0，，則的最小值為D．兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)越大，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)【答案】D【分析】對(duì)于A，由二項(xiàng)分布方差公式計(jì)算即可；對(duì)于B，由正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算即可；對(duì)于C，由基本不等式計(jì)算即可；對(duì)于D，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義即可判斷.【詳解】對(duì)于A，隨機(jī)變量，由二項(xiàng)分布方差公式得，故A正確；對(duì)于B，隨機(jī)變量，由正態(tài)分布的對(duì)稱性得，故B正確；對(duì)于C，由，則，所以當(dāng)且僅當(dāng)，則或取等號(hào)，故C正確；對(duì)于D，線性相關(guān)系數(shù)的范圍在到之間，有正有負(fù)，相關(guān)有正相關(guān)和負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值的大小越接近于，兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，線性相關(guān)性越弱，故D錯(cuò)誤.故選：D.6．下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1B．設(shè)，若，，則C．線性回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心D．一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布，且【答案】D【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的表示意義、二項(xiàng)分布的有關(guān)性質(zhì)、線性回歸方程和超幾何分布的定義依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】A：兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，故A正確；B：由，得，解得，故B正確；C：線性回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本點(diǎn)的中心，故C正確；D：由于是不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，所以由超幾何分布的定義知服從超幾何分布，得，故D錯(cuò)誤；故選：D7．若隨機(jī)變量的可能取值為，且（），則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)概率之和等于1得到方程，求出，計(jì)算出期望，進(jìn)而計(jì)算出方差.【詳解】由題意得，解得，故，.故選：A8．設(shè)，，是不全相等的實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量取值為，，的概率都是，隨機(jī)變量取值為，，的概率也都是，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】首先求出，設(shè)，從而得到，、，再利用作差法判斷與的大小關(guān)系，即可得解.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量取值為，，的概率都是，∴，設(shè)，則；隨機(jī)變量取值為，，的概率都是，∴，；由，，是不全相等的實(shí)數(shù)，，，∴；綜上，，.故選：B.9．某人在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)為，，其中，，擊中奇數(shù)次為事件，則（

）A．若，，則取最大值時(shí)B．當(dāng)時(shí)，取得最小值C．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而增大D．當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小【答案】C【分析】對(duì)于A，根據(jù)直接寫(xiě)出，然后根據(jù)取最大值列式計(jì)算即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)，直接寫(xiě)出即可判斷；對(duì)于CD，由題意把表示出來(lái)，然后利用單調(diào)性分析即可.【詳解】對(duì)于A，在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，因?yàn)槿∽畲笾?，所以，即，即，解得，因?yàn)榍?，所以，即時(shí)概率最大，故A不正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故B不正確；對(duì)于C、D，，，，當(dāng)時(shí)，，為正項(xiàng)且單調(diào)遞增的數(shù)列，所以隨著的增大而增大，故C正確；當(dāng)時(shí)，，為正負(fù)交替的擺動(dòng)數(shù)列，所以不會(huì)隨著的增大而減小，故D不正確；故選：C.10．下列說(shuō)法不正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位數(shù)為5B．一組數(shù)據(jù)，3，2，5，7的中位數(shù)為3，則的取值范圍是C．若隨機(jī)變量，則方差D．若隨機(jī)變量，且，則【答案】C【分析】對(duì)于A，先把數(shù)據(jù)從小到大排列，利用百分位定義計(jì)算即可；對(duì)于B，根據(jù)中位數(shù)的定義討論即可；對(duì)于C，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算即可；對(duì)于D，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解.【詳解】對(duì)于A，該組數(shù)據(jù)共8個(gè)，且，所以25％分位數(shù)為從小到大排列后第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為，故A正確；對(duì)于B，若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為2，3，5，，7或2，3，5，7，，中位數(shù)為5，不合題意；若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為2，3，，5，7，中位數(shù)為，不合題意；若，則這組數(shù)據(jù)由小到大排列依次為2，，3，5，7或，2，3，5，7，中位數(shù)為3，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，故B正確；對(duì)于C，若隨機(jī)變量，則，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若隨機(jī)變量，且，則，故D正確．故選：C．考點(diǎn)02：超幾何分布超幾何分布：一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品數(shù)，則事件發(fā)生的概率為,其中，且．稱分布列01……為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布.注意：若有件產(chǎn)品，其中件為次品，無(wú)放回地任意抽取件，則其中恰有的次品件數(shù)是服出超幾何分布.11．一箱蘋(píng)果共有12個(gè)蘋(píng)果，其中有個(gè)是爛果，從這箱蘋(píng)果中隨機(jī)抽取3個(gè)．恰有2個(gè)爛果的概率為，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由超幾何分布的概率公式列方程即可求解.【詳解】依題意可得，即，整理得，解得或9，因?yàn)椋裕蔬x：B.12．2024年“與輝同行”直播間開(kāi)播，董宇輝領(lǐng)銜7位主播從“心”出發(fā)，其中男性5人，女性3人，現(xiàn)需排班晚8：00黃金檔，隨機(jī)抽取兩人，則男生人數(shù)的期望為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先將男生人數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，再求得概率，代入期望公式，即可求解.【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，且，，，,則.故選：C13．某商場(chǎng)推出一種抽獎(jiǎng)活動(dòng)：盒子中裝有有獎(jiǎng)券和無(wú)獎(jiǎng)券共10張券，客戶從中任意抽取2張，若至少抽中1張有獎(jiǎng)券，則該客戶中獎(jiǎng)，否則不中獎(jiǎng).客戶甲每天都參加1次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，一個(gè)月（30天）下來(lái)，發(fā)現(xiàn)自己共中獎(jiǎng)11次，根據(jù)這個(gè)結(jié)果，估計(jì)盒子中的有獎(jiǎng)券有（

）A．1張 B．2張 C．3張 D．4張【答案】B【分析】根據(jù)題意，計(jì)算盒子中獎(jiǎng)券數(shù)量對(duì)應(yīng)的概率，結(jié)合期望分析更接近11的可能最大.【詳解】設(shè)中獎(jiǎng)的概率為，30天中獎(jiǎng)的天數(shù)為，則若盒子中的有獎(jiǎng)券有1張，則中獎(jiǎng)的概率為，，若盒子中的有獎(jiǎng)券有2張，則中獎(jiǎng)的概率為，，若盒子中的有獎(jiǎng)券有3張，則中獎(jiǎng)的概率為，，若盒子中的有獎(jiǎng)券有4張，則中獎(jiǎng)的概率為，，根據(jù)題意盒子中的有獎(jiǎng)券有2張，更有可能30天中獎(jiǎng)11天，故選：B.14．袋中有6個(gè)大小相同的黑球，編號(hào)為，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，則下列結(jié)論中正確的是（

）①取出的最大號(hào)碼服從超幾何分布；②取出的黑球個(gè)數(shù)服從超幾何分布；③取出2個(gè)白球的概率為；④若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則總得分最大的概率為A．①② B．②④ C．③④ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取可判斷①②；利用超幾何分布求概率的方式即可判斷③④【詳解】對(duì)于①，根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號(hào)碼不符合超幾何分布的定義，無(wú)法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計(jì)算概率，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，取出的黑球個(gè)數(shù)符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計(jì)算概率，故②正確；對(duì)于③，取出2個(gè)白球的概率為，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，則取出四個(gè)黑球的總得分最大，總得分最大的概率為，故④正確．故選：B15．下列說(shuō)法正確的為（

）A．某高中為了解在校學(xué)生對(duì)參加某項(xiàng)社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)的意向，擬采用分層抽樣的方法從該校三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為60的樣本．已知該校高一、高二、高三年級(jí)學(xué)生數(shù)之比為5:4:3，則應(yīng)從高三年級(jí)中抽取14名學(xué)生B．10件產(chǎn)品中有8件正品，2件次品，若從這10件產(chǎn)品中任取2件，則恰好取到1件次品的概率為C．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則D．設(shè)某校男生體重（單位：kg）與身高（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)，用最小二乘法建立的回歸方程為，若該校某男生的身高為170cm，則可斷定其體重為62.5kg【答案】C【分析】對(duì)A，結(jié)合分層抽樣按比例分配原則可判斷錯(cuò)誤；對(duì)B，結(jié)合超幾何分布公式可求解對(duì)應(yīng)概率；對(duì)C，結(jié)合正態(tài)分布對(duì)稱性可判斷；對(duì)D，線性回歸方程只能做出預(yù)測(cè).【詳解】對(duì)于A．應(yīng)從高三年級(jí)中抽取名學(xué)生，A錯(cuò)誤；對(duì)于B．所求概率，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，C正確；對(duì)于D，用回歸方程計(jì)算得到是估計(jì)值，故不能斷定其體重為62.5kg，D錯(cuò)誤．故選：C16．在一次“概率”相關(guān)的研究性活動(dòng)中，老師在每個(gè)箱子中裝了4個(gè)小球，其中3個(gè)是白球，1個(gè)是黑球，用兩種方法讓同學(xué)們來(lái)摸球.方法一：在20箱中各任意摸出一個(gè)小球；方法二：在10箱中各任意摸出兩個(gè)小球.將方法一、二至少能摸出一個(gè)黑球的概率分別記為和，則（

）A． B．C． D．以上三種情況都有可能【答案】C【分析】分別計(jì)算和，再比較大小.【詳解】方法一：每箱中的黑球被選中的概率為，所以至少摸出一個(gè)黑球的概率．方法二：每箱中的黑球被選中的概率為，所以至少摸出一個(gè)黑球的概率．，則．故選：C.17．2021年1月18日，國(guó)家統(tǒng)計(jì)局公布我國(guó)2020年GDP總量首次突破100萬(wàn)億元，這是我國(guó)經(jīng)濟(jì)里程碑式的新飛躍.尤其第三產(chǎn)業(yè)增長(zhǎng)幅度較大，現(xiàn)抽取6個(gè)企業(yè)，調(diào)查其第三產(chǎn)業(yè)產(chǎn)值增長(zhǎng)量分別為0.4，0.6，1.2，1.2，1.8，2.0(單位：十萬(wàn)元)，若增長(zhǎng)量超過(guò)1.5(十萬(wàn)元)可評(píng)為優(yōu)秀企業(yè)，現(xiàn)從6個(gè)企業(yè)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，則恰好有一個(gè)優(yōu)秀企業(yè)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題知，增長(zhǎng)量超過(guò)1.5的有2個(gè)，則從6個(gè)企業(yè)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，則恰好有一個(gè)優(yōu)秀企業(yè)的個(gè)數(shù)為，從而求得概率.【詳解】由題知，增長(zhǎng)量超過(guò)1.5的有2個(gè)，則從6個(gè)企業(yè)中隨機(jī)抽取兩個(gè)，則恰好有一個(gè)優(yōu)秀企業(yè)的概率為故選：D18．《易系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這個(gè)數(shù)中任取個(gè)數(shù)，則這個(gè)數(shù)中至少有個(gè)陽(yáng)數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】本題首先可以根據(jù)題意確定個(gè)數(shù)中的陽(yáng)數(shù)和陰數(shù)，然后求出任取個(gè)數(shù)中有個(gè)陽(yáng)數(shù)以及任取個(gè)數(shù)中有個(gè)陽(yáng)數(shù)的概率，最后兩者相加，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，個(gè)數(shù)中，、、、、是陽(yáng)數(shù)，、、、、是陰數(shù)，若任取個(gè)數(shù)中有個(gè)陽(yáng)數(shù)，則，若任取個(gè)數(shù)中有個(gè)陽(yáng)數(shù)，則，故這個(gè)數(shù)中至少有個(gè)陽(yáng)數(shù)的概率，故選：C.19．紋樣是中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分，它既代表著中華民族的悠久歷史、社會(huì)的發(fā)展進(jìn)步，也是世界文化藝術(shù)寶庫(kù)中的巨大財(cái)富．小楠從小就對(duì)紋樣藝術(shù)有濃厚的興趣．收集了如下9枚紋樣徽章，其中4枚鳳紋徽章，5枚龍紋徽章．小楠從9枚徽章中任取3枚，則其中至少有一枚鳳紋徽章的概率為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題首先可以確定所有可能事件的數(shù)量為，然后確定滿足“一枚鳳紋徽章也沒(méi)有”的所有可能事件的數(shù)目為，最后根據(jù)“至少有一枚鳳紋徽章”的對(duì)立事件為“一枚鳳紋徽章也沒(méi)有”即可得出結(jié)果.【詳解】從9枚紋樣徽章中選擇3枚，所有可能事件的數(shù)量為，滿足“一枚鳳紋徽章也沒(méi)有”的所有可能事件的數(shù)目為，因?yàn)椤爸辽儆幸幻而P紋徽章”的對(duì)立事件為“一枚鳳紋徽章也沒(méi)有”，所以，故選：B.20．一個(gè)班級(jí)共有30名學(xué)生，其中有10名女生，現(xiàn)從中任選三人代表班級(jí)參加學(xué)校開(kāi)展的某項(xiàng)活動(dòng)，假設(shè)選出的3名代表中的女生人數(shù)為變量X，男生的人數(shù)為變量Y，則等于A． B．C． D．【答案】C【解析】求出,即得解.【詳解】由題得,所以.故選：C.考點(diǎn)03：二項(xiàng)分布及二項(xiàng)分布的概率最大問(wèn)題1．n重伯努利試驗(yàn)的概念只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)，將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．2．n重伯努利試驗(yàn)具有如下共同特征(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次；(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立．3．二項(xiàng)分布（若有件產(chǎn)品，其中件是次品，有放回地任意抽取件，則其中恰有的次品件數(shù)是服從二項(xiàng)分布的）一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為：如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)．4．一般地，可以證明：如果X～B(n，p)，那么E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．21．在概率論中，全概率公式指的是：設(shè)為樣本空間，若事件兩兩互斥，，則對(duì)任意的事件，有．若甲盒中有2個(gè)白球、2個(gè)紅球、1個(gè)黑球，乙盒中有個(gè)白球、3個(gè)紅球、2個(gè)黑球，現(xiàn)從甲盒中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙盒，再?gòu)囊液兄须S機(jī)取出一個(gè)球，若從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的概率大于等于，則的最大值為．【答案】6【分析】設(shè)相應(yīng)事件，結(jié)合全概率公式列式求解即可.【詳解】設(shè)第一次從甲盒取出白球，紅球，黑球的事件分別為，，，從甲盒中取出的球和從乙盒中取出的球顏色相同的事件為，則，可得，解得，則的最大值為6．故答案為：6.22．近年來(lái)，我國(guó)外賣業(yè)發(fā)展迅猛，外賣小哥穿梭在城市的大街小巷成為一道亮麗的風(fēng)景線．某外賣小哥每天來(lái)往于4個(gè)外賣店（外賣店的編號(hào)分別為），約定：每天他首先從1號(hào)外賣店取單，叫做第1次取單，之后，他等可能的前往其余3個(gè)外賣店中的任何一個(gè)店取單叫做第2次取單，依此類推．假設(shè)從第2次取單開(kāi)始，他每次都是從上次取單的店之外的3個(gè)外賣店取單，設(shè)事件第次取單恰好是從1號(hào)店取單是事件發(fā)生的概率，顯然，則【答案】【分析】依題意利用全概率公式可得，再構(gòu)造等比數(shù)列求解即可．【詳解】由題意可知，由全概率公式可得，，所以，又因?yàn)?，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以．故答案為：．23．馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，為狀態(tài)空間中經(jīng)過(guò)從一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換的隨機(jī)過(guò)程，該過(guò)程要求具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)：下一狀態(tài)的概率分布只能由當(dāng)前狀態(tài)決定，在時(shí)間序列中它前面的事件均與之無(wú)關(guān).甲口袋中各裝有1個(gè)黑球和2個(gè)白球，乙口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋，重復(fù)進(jìn)行n（）次這樣的操作，記口袋甲中黑球的個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)黑球的概率為，則的值是；的數(shù)學(xué)期望是.【答案】【分析】利用全概率公式求出；利用期望的計(jì)算公式求出有關(guān)的遞推式，然后構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)即可.【詳解】考慮到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得；記取0，1，2，3的概率分別為，，，，推導(dǎo)的分布列：，，，則，則，故給合，可知.故答案為：;.24．甲、乙、丙三個(gè)人去做相互傳球訓(xùn)練，訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出．如果第一次由甲將球傳出，設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，則；．【答案】/0.25【分析】設(shè)出事件，由題意得到，由互斥事件的概率加法公式和全概率公式得到概率的遞推式，接著構(gòu)造等比數(shù)列,求出其通項(xiàng)公式即得.【詳解】設(shè)“經(jīng)過(guò)次傳球后，球在甲的手中”，則事件的概率即，則依題意，，則，即，(*)因代入解得，，；由（*）可得，，且，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是，，則得，.故答案為：；.25．如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開(kāi)的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過(guò)程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號(hào)分別為，用表示小球最后落入格子的號(hào)碼，若，則.【答案】5【分析】分析得到～，有，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求最大值.【詳解】小球在下落的過(guò)程中，共10次等可能的向左或向右落下，則小球落入底部的格子號(hào)碼服從二項(xiàng)分布，且落入格子的號(hào)碼即向右次數(shù)，即～，所以，由二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)，最大，即最大，所以．故答案為：5.26．為銘記歷史、緬懷先烈，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)主義情懷，某學(xué)校開(kāi)展共青團(tuán)知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．在最后一輪晉級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)回答一道有關(guān)團(tuán)史的問(wèn)題，每個(gè)人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率為；若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問(wèn)題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率為．【答案】/【分析】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，先由相互獨(dú)立事件的概率公式求出、的值，結(jié)合對(duì)立事件的性質(zhì)求出第一空答案，利用全概率公式計(jì)算第二空的答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，則，，，所以，，若規(guī)定三名同學(xué)都回答這個(gè)問(wèn)題，則甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有1人回答正確的概率，若規(guī)定三名同學(xué)搶答這個(gè)問(wèn)題，已知甲、乙、丙搶到答題機(jī)會(huì)的概率分別為，，，則這個(gè)問(wèn)題回答正確的概率．故答案為：；．27．已知一道解答題有兩小問(wèn)，每小問(wèn)5分，共10分.現(xiàn)每十個(gè)人中有六人能夠做出第一問(wèn)，但在第一問(wèn)做不出的情況下，第二問(wèn)做出的概率為0.1；第一問(wèn)做出的情況下，第二問(wèn)做不出的概率為0.6.用頻率估計(jì)概率，則此題得滿分的概率是；得0分的概率是.【答案】0.24/0.36/【分析】設(shè)相應(yīng)事件，由題意可得，根據(jù)對(duì)立事件結(jié)合條件概率公式分析求解.【詳解】設(shè)“第一問(wèn)做出”為事件A，“第二問(wèn)做出”為事件B，由題意可得：，則，所以，即此題得滿分的概率是0.24；所以，即此題得滿分的概率是0.36.故答案為：0.24；0.36.28．甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有5個(gè)大小相同的小球，其中甲箱中有3個(gè)紅球、2個(gè)白球，乙箱中有4個(gè)紅球、1個(gè)白球，從甲箱中隨機(jī)抽出2個(gè)球，在已知至少抽到一個(gè)紅球的條件下，則2個(gè)球都是紅球的概率為；擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)小于等于4，從甲箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)大于等于5，從乙箱子中隨機(jī)抽出1個(gè)球，若抽到的是紅球，則它是來(lái)自乙箱的概率是.【答案】13【分析】利用條件概率公式計(jì)算摸出的2個(gè)球是紅球的概率；利用全概率公式求紅球的概率.【詳解】記事件表示“至少抽到一個(gè)紅球”，事件表示“2個(gè)球都是紅球”，,,所以.設(shè)事件表示“從乙箱中抽球”，則事件表示“從甲箱中抽球”，事件表示“抽到紅球”，則,所以,所以.故答案為：①，②.29．某單位為了提高員工身體素質(zhì)，開(kāi)展雙人投籃比寒，現(xiàn)甲?乙兩人為一組參加比賽，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若投中，則此人繼續(xù)投籃，若未投中，則換為對(duì)方投籃，無(wú)論之前投籃的情況如何，甲每次投籃的命中率均為，乙每次投籃的命中率均為.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲?乙的概率各為.第2次投籃的人是甲的概率為；已知在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為.【答案】【分析】設(shè)相應(yīng)事件，結(jié)合題意分析相應(yīng)事件的概率，結(jié)合全概率公式求；結(jié)合條件概率求.【詳解】設(shè)“第次是甲投籃”為事件，“投籃命中”為事件B，由題意可知：，，則，所以第2次投籃的人是甲的概率為；且在第2次投籃的人是乙的情況下，第1次投籃的人是甲的概率為.故答案為：；.30．學(xué)習(xí)小組為了研究手機(jī)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的影響，對(duì)本學(xué)校學(xué)生手機(jī)使用情況統(tǒng)計(jì)分析有以下結(jié)果：若學(xué)生前一天沒(méi)有玩手機(jī)，則接下來(lái)一天也不玩手機(jī)的概率為0.7，若學(xué)生前一天玩手機(jī)，接下來(lái)一天也玩手機(jī)的概率為0.8.已知一個(gè)學(xué)生第一天沒(méi)玩手機(jī)，根據(jù)這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)果計(jì)算，那么他第二天玩手機(jī)的概率為，第三天不玩手機(jī)的概率為.【答案】0.30.55【分析】根據(jù)題意由對(duì)立事件概率公式得第二天玩手機(jī)的概率，再由全概率公式得第三天不玩手機(jī)概率即可.【詳解】由題意，學(xué)生前一天沒(méi)有玩手機(jī)，則接下來(lái)一天也不玩手機(jī)的概率為0.7，所以一個(gè)學(xué)生第一天沒(méi)玩手機(jī)，那么他第二天玩手機(jī)的概率為，由全概率公式知第三天不玩手機(jī)的概率為.故答案為：；考點(diǎn)04：正態(tài)分布?？碱}型【規(guī)律方法】1.求正態(tài)曲線的兩個(gè)方法(1)圖解法：明確頂點(diǎn)坐標(biāo)即可，橫坐標(biāo)為樣本的均值μ，縱坐標(biāo)為eq\f(1,\r(2π)σ)．(2)待定系數(shù)法：求出μ，σ便可．2.正態(tài)分布下2類常見(jiàn)的概率計(jì)算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3σ原則求概率問(wèn)題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個(gè)．3.正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值概率的求解策略(1)充分利用正態(tài)曲線對(duì)稱性和曲線與x軸之間面積為1．(2)熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．(3)注意概率值的求解轉(zhuǎn)化：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)；③若b<μ，則P(X<b)＝eq\f(1－Pμ－b<X<μ＋b,2)．特別提醒：正態(tài)曲線，并非都關(guān)于y軸對(duì)稱，只有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線才關(guān)于y軸對(duì)稱．31．若隨機(jī)變量，且，則．【答案】0.1/【分析】利用正態(tài)分布的對(duì)稱性得到答案.【詳解】因?yàn)?，且，則，所以．故答案為：0.132．正態(tài)分布在區(qū)間和上取值的概率為，，則二者的大小關(guān)系為．【答案】相等.【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解可得.【詳解】由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，，所以，所以，即.故答案為：相等.33．某生產(chǎn)線正常生產(chǎn)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)近似服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)的值為.【答案】3【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得方程，求出.【詳解】近似服從正態(tài)分布，，故，解得.故答案為：334．李明記錄了自己50次坐公交車所花的時(shí)間為（單位：分鐘），經(jīng)數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)服從正態(tài)分布，平均時(shí)間為36分鐘，方差為36，則.【答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求解即可.【詳解】由題意可知：，所以.故答案為：35．某次數(shù)學(xué)練習(xí)中，學(xué)生成績(jī)X服從正態(tài)分布,若，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，至少有2名學(xué)生的成績(jī)高于125的概率是．【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，求得，設(shè)選中的學(xué)生的成績(jī)高于125分的人數(shù)為，結(jié)論重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，學(xué)生成績(jī)X服從正態(tài)分布，若，則，所以，從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，設(shè)選中的學(xué)生的成績(jī)高于125分的人數(shù)為，可得變量，所以至少有2名學(xué)生的成績(jī)高于125分的概率為.故答案為：.36．隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)，其圖象如圖所示，設(shè)，則圖中陰影部分的面積為．【答案】0.35/【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.【詳解】由題意可知，則，故圖中陰影部分的面積為．故答案為：0.35.37．某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值在內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)合格，在[60，84]內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)良好，在內(nèi)就認(rèn)為身體素質(zhì)優(yōu)秀，現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，經(jīng)計(jì)算．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)良好的概率為．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到）參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，．【答案】【分析】利用正態(tài)分布均值和方差公式得出的值，再由特定區(qū)間的概率即可求解..【詳解】因?yàn)?00個(gè)數(shù)據(jù)的平均值，方差所以的估計(jì)值為的估計(jì)值為.設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為，由，得.故答案為：．38．已知某種零件的尺寸（單位：mm）在內(nèi)的為合格品．某企業(yè)生產(chǎn)的該種零件的尺寸X服從正態(tài)分布，且，則估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)為．【答案】1600【分析】解法一：根據(jù)題意利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求零件合格的概率，進(jìn)而可得結(jié)果；解法二：根據(jù)題意利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求零件不合格的概率，進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】解法一：因?yàn)閄服從正態(tài)分布，且，所以該企業(yè)生產(chǎn)的該種零件合格的概率，所以估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)為．解法二：因?yàn)閄服從正態(tài)分布，且，所以，所以該企業(yè)生產(chǎn)的該種零件不合格的概率為，所以估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)的2000個(gè)零件中合格品的個(gè)數(shù)為．故答案為：1600.39．某企業(yè)生產(chǎn)一種零部件，其質(zhì)量指標(biāo)介于的為優(yōu)品.技術(shù)改造前，該企業(yè)生產(chǎn)的該種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布；技術(shù)改造后，該企業(yè)生產(chǎn)的同種零部件質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布.那么，該企業(yè)生產(chǎn)的這種零部件技術(shù)改造后的優(yōu)品率與技術(shù)改造前的優(yōu)品率之差為.（若，則，，）【答案】【分析】根據(jù)題意利用正態(tài)分布性質(zhì)分別計(jì)算出技術(shù)改造前后的優(yōu)品率，可得結(jié)果.【詳解】技術(shù)改造前，易知，則其優(yōu)品率為；技術(shù)改造后，其中，則其優(yōu)品率為；所以優(yōu)品率之差為.故答案為：40．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常選擇自駕、公交或地鐵這三種方式.若小明選擇自駕，則從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布若小明選擇地鐵，則從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布；若小明選擇公交，則從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間(單位：分鐘)服從正態(tài)分布.若小明上午8：12從家里出發(fā)，則選擇上班遲到的可能性最小.(填“自駕”“公交”或“地鐵”)參考數(shù)據(jù)：若則，，【答案】公交【分析】由題意可知從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間不超過(guò)48分鐘，小明就不會(huì)遲到，由此計(jì)算三種方式下的值，比較大小，即可得結(jié)論.【詳解】由題意可知從家里到達(dá)公司所用的時(shí)間不超過(guò)48分鐘，小明就不會(huì)遲到；若選擇自駕，則；若選擇地鐵，則；若選擇公交，則，而，故選擇公交上班遲到的可能性最小，故答案為：公交考點(diǎn)05：獨(dú)立事件的乘法公式事件的獨(dú)立性（1）事件與相互獨(dú)立的充要條件是．（2）當(dāng)時(shí)，與獨(dú)立的充要條件是．（3）如果，與獨(dú)立，則成立．41．目前不少網(wǎng)絡(luò)媒體都引入了虛擬主播，某視頻平臺(tái)引入虛擬主播，在第1天的直播中有超過(guò)100萬(wàn)次的觀看．(1)已知小李第1天觀看了虛擬主播的直播，若小李前一天觀看了虛擬主播的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播的直播的概率為，若前一天沒(méi)有觀看虛擬主播的直播，則當(dāng)天觀看虛擬主播的直播的概率為，求小李第2天與第3天至少有一天觀看虛擬主播的直播的概率；(2)若未來(lái)10天內(nèi)虛擬主播的直播每天有超過(guò)100萬(wàn)次觀看的概率均為，記這10天中每天有超過(guò)100萬(wàn)次觀看的天數(shù)為．①判斷為何值時(shí)，最大；②記，求．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）先求出小李第二天和第三天都沒(méi)有觀看虛擬主播直播的概率，然后利用對(duì)立事件的概率，即可求解；（2）①由已知服從二項(xiàng)分布，則，進(jìn)而可得，然后利用比值與1比較大小，即可求解；②因?yàn)?，所以可能取值?或，然后結(jié)合①分別求出和的概率代入，即可得解.【詳解】（1）由已知小李第天和第天都沒(méi)有觀看虛擬主播直播的概率為，所以小李第天和第天至少有一天觀看虛擬主播直播的概率為.（2）①由已知服從二項(xiàng)分布，所以，由，當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，綜上，當(dāng)時(shí)，最大.②因?yàn)椋曰?，?dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，.42．甲、乙兩名圍棋學(xué)員進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，平局雙方均得0分，比賽一直進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，兩人平局的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)若，求進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽的概率；(2)當(dāng)時(shí)，（i）若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)的分布列及期望的最大值；（ii）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，求“甲學(xué)員贏得比賽”的概率（用表示）．【答案】(1)(2)(i)分布列見(jiàn)解析，，(ii)【分析】（1）用事件分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”，“平局”，記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N，則事件N包括事件：共5種，即可求解；（2）（i）由題意得的所有可能取值為：，求出對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列及求出數(shù)學(xué)期望，并求出最大值；（ii）由（1）得前兩局比賽結(jié)果可能有：，其中事件表示“甲學(xué)員贏得比賽”，事件表示“乙學(xué)員贏得比賽”，事件表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時(shí)，甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開(kāi)始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同，所以即可求解．【詳解】（1）用事件分別表示每局比賽“甲獲勝”，“乙獲勝”，“平局”，則，記“進(jìn)行4局比賽后甲學(xué)員贏得比賽”為事件N，則事件N包括事件：共5種，所以．（2）（i）因?yàn)?，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得的所有可能取值為：，，，，所以的分布列為：245所以的期望為：因?yàn)?，所以，等?hào)成立時(shí)，，所以，所以，故的最大值為：．（ii）記“甲學(xué)員贏得比賽”為事件M，則，由（1）得前兩局比賽結(jié)果可能有：，其中事件表示“甲學(xué)員贏得比賽”，事件表示“乙學(xué)員贏得比賽”，事件表示“甲、乙兩名學(xué)員各得1分”，當(dāng)甲、乙兩名學(xué)員得分總數(shù)相同時(shí)，甲學(xué)員贏得比賽的概率與比賽一開(kāi)始甲學(xué)員贏得比賽的概率相同，所以，所以，得，因?yàn)?，所?43．某箱中有個(gè)除顏色之外均相同的球，已知.箱中1個(gè)球?yàn)榘浊颍溆酁楹谇?現(xiàn)在該箱中進(jìn)行一取球?qū)嶒?yàn):每次從箱中等可能地取出一個(gè)球，若取出白球或取球次后結(jié)束實(shí)驗(yàn)，否則進(jìn)行相應(yīng)操作進(jìn)行下一次取球.設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)束時(shí)的取球次數(shù)為.(1)若取出黑球后放回箱中，求的數(shù)學(xué)期望;(2)若取出黑球后替換為白球放回箱中，求的最大值，并證明:.【答案】(1)；(2)，證明見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出取出白球、黑球的概率，再求出的可能值及各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望.（2）求出，再列出不等式且并求出，然后利用分析法，結(jié)合不等式性質(zhì)推理證明.【詳解】（1）每一次取到白球的概率為，取到黑球的概率為，當(dāng)時(shí)，的所有可能取值為，且有，因此的分布列為：12…….，即，，兩式作差得，故，代入得.（2）由于取球次數(shù)最多為次，則當(dāng)時(shí)，，分別令，，整理得，代入得，則的最大值在或處取得，且代入有，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)也成立，因此.下面證明：，即證，等價(jià)于證明，等價(jià)于證明，等價(jià)于證明，又當(dāng)時(shí)，，則，且有，所以上式成立，即得證.44．希望中學(xué)高三（8）班擬舉辦為期兩天的氣排球比賽，晏老師從體育室拿了4個(gè)排球放入球車中提供使用，4個(gè)排球中有2個(gè)新球與2個(gè)舊球，比賽當(dāng)天從球車中隨機(jī)取出2個(gè)球進(jìn)行比賽，賽完后新球變成舊球放回球車.設(shè)第1天與第2天賽完后球車中舊球數(shù)量分別為和.(1)求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(2)求與.【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，(2)，【分析】（1）求出可取的值及相應(yīng)的概率，求出可取的值及相應(yīng)的概率，可得的分布列及期望；（2）求出，，由條件概率公式計(jì)算可得答案.【詳解】（1）可取的值為，，，，可取的值為，，，，，所以：的分布列為：234；（2），，.45．小李參加一種紅包接龍游戲：他在紅包里塞了元，然后發(fā)給朋友，如果猜中，將獲得紅包里的所有金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，、平分紅包里的金額；如果未猜中，將當(dāng)前的紅包轉(zhuǎn)發(fā)給朋友，如果猜中，、和平分紅包里的金額；如果未猜中，紅包里的錢(qián)將退回小李的賬戶，設(shè)、、猜中的概率分別為，，，且、、是否猜中互不影響．(1)求恰好獲得元的概率；(2)設(shè)獲得的金額為元，求的分布列及的數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即可；（2）由題意，的可能取值為，，，，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出的分布列與數(shù)學(xué)期望值．【詳解】（1）若恰好獲得8元紅包，則結(jié)果為未猜中，未猜中，猜中，故A恰好獲得元的概率為；（2）的可能取值為，，，，則，，，，所以的分布列為：數(shù)學(xué)期望為．46．小林有五張卡片，他等概率的在每張卡片上寫(xiě)下1，2，3，4，5中的某個(gè)數(shù)字．(1)求五張卡片上的數(shù)字都不相同的概率；(2)證明：這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率的乘法公式計(jì)算；（2）先計(jì)算最大數(shù)的概率，再結(jié)合即可證明.【詳解】（1）．（2）記為這五張卡片上最大的數(shù)字，則．由，由，所以這五張卡片上最大的數(shù)字最可能是5.47．甲、乙兩人進(jìn)行足球射門(mén)訓(xùn)練，設(shè)有I、II兩個(gè)射門(mén)區(qū)，約定如下：每人隨機(jī)選擇I區(qū)內(nèi)射門(mén)或II區(qū)內(nèi)射門(mén)，在I區(qū)內(nèi)射門(mén)，進(jìn)球得1分，不進(jìn)球得0分；在II區(qū)內(nèi)射門(mén)，進(jìn)球得3分，不進(jìn)球得0分.已知甲每次在I區(qū)內(nèi)射門(mén)進(jìn)球的概率均為，每次在II區(qū)內(nèi)射門(mén)進(jìn)球的概率均為；乙每次在I區(qū)內(nèi)射門(mén)進(jìn)球的概率均為，每次在II區(qū)內(nèi)射門(mén)進(jìn)球的概率均為，且甲、乙兩人射門(mén)進(jìn)球與否互不影響（甲、乙各完成一次射門(mén)為一次射門(mén)訓(xùn)練）.(1)在一次射門(mén)訓(xùn)練中，求甲、乙都得0分的概率；(2)若3次射門(mén)訓(xùn)練中，表示甲、乙得分相等的射門(mén)訓(xùn)練次數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，【分析】（1）先分別求得甲，乙選擇兩區(qū)均得0分的概率，進(jìn)而可得甲、乙都得0分的概率；（2）求得甲，乙得分相等的概率，利用二項(xiàng)分布可求分布列與數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）在一次投籃中，甲選擇I區(qū)內(nèi)射門(mén)進(jìn)球得1分的概率為，不進(jìn)球得0分的概率為；甲選擇II區(qū)內(nèi)射門(mén)進(jìn)球得3分的概率為，不進(jìn)球得0分的概率為.乙選擇I區(qū)內(nèi)射門(mén)進(jìn)球得1分的概率為，不進(jìn)球得0分的概率為；乙選擇II區(qū)內(nèi)射門(mén)進(jìn)球得3分的概率為，不進(jìn)球得0分的概率為故一次射門(mén)訓(xùn)練中，甲、乙都得0分的概率為.（2）依題意可知，的所有可能取值為0，1，2，3，由（1）可知，一次射門(mén)訓(xùn)練中，甲、乙得分相等的概率為，則，所以，，，，故X的分布列為X0123P所以.48．陽(yáng)春三月，油菜花進(jìn)入最佳觀賞期，長(zhǎng)沙縣江背鎮(zhèn)