《立體幾何初步》單元測試（二）

高中數(shù)學精編資源11/11《立體幾何初步》單元測試(二)一、選擇題1.(2020·浙江卷)已知空間中不過同一點的三條直線,,則“在同一平面內”是“兩兩相交”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面為正三角形,其三視圖如圖所示,該三棱柱的表面積為()A.B.C.D.3.(2020·全國卷II)日晷是中國古代用來測定時間的儀器,利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間.把地球看成一個球(球心記為),地球上一點的緯度是指與地球赤道所在平面所成角,點處的水平面是指過點且與垂直的平面.在點處放置一個日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點處的緯度為北緯,則晷針與點處的水平面所成角為()A.B.C.D.4.已知為異面直線,平面平面,直線滿足,則()A.,且B.,且C.與相交,且交線垂直于D.與相交,且交線平行于5.在正方體中,點是棱上的動點,則過三點的截面圖形是()A.等邊三角形B.矩形C.等腰梯形D.以上都有可能 6.設表示不同的直線,表示不同的平面,給出下列四個命題:①若,且,則;②若,且,則;③若,則;④若,且,則.其中正確命題的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.47.已知幾何體為正方體,以下結論:①平面;②;③平面.其中正確結論的個數(shù)是()A.0B.1C.2D.38.如圖,邊長為的等邊三角形的中線與中位線交于點,已知是繞直線旋轉過程中的一個圖形(不與,重合),則下列命題中真命題為()①動點在平面上的射影在線段上;②平面;③三棱錐的體積有最大值.A.①B.①②C.①②③D.②③9.在正方體中,點在線段上運動,則異面直線與所成的角的取值范圍是()A.B.C.D.10.已知棱長為的正方體內有一圓柱,此圓柱恰好以直線為軸,則該圓柱側面積的最大值為()A.B.C.D.二、填空題11.(2021·浙江寧波北侖中學高一期中)一個正四棱柱的頂點都在一個球面上,且側棱長是底面邊長的2倍,則這個球與四棱柱的表面積的比值為________.12.將一個真命題中的“平面”換成“直線”,“直線”換成“平面”后仍是真命題,則該命題稱為“可換命題”.有下列四個命題:①垂直于同一平面的兩直線平行;②垂直于同一平面的兩平面平行;③平行于同一直線的兩直線平行;④平行于同一平面的兩直線平行.其中是“可換命題”的是________.(填命題的序號)13.已知球的兩個平行截面面積分別為,它們位于球心的同側,且相距為1,那么這個球的半徑是________.三、解答題14.由四棱柱截去三棱錐后得到的幾何體如圖所示.四邊形為正方形,為與的交點,為的中點,平面.(1)證明:平面;(2)設是的中點,證明:平面平面.15.(2020·浙江卷)如圖,三棱臺中,平面平面.(1)證明:;(2)求與平面所成角的正弦值.

答案解析一、選擇題1.答案:B解析:解決本題需要將兩個條件相互推導,根據能否推導的結果判斷充分必要條件.依題意是空間不過同一點的三條直線,當在同一平面內時,可能,故不能得出兩兩相交.當兩兩相交時,設,根據基本事實2可知確定一個平面,而,根據基本事實1可知,直線即,所以在同一平面內.綜上所述,“在同一平面內”是“兩兩相交”的必要不充分條件.2.答案:D解析:本題是一道三視圖還原直觀圖的表面積計算問題,解決本題首先要確定幾何體的結構特征,然后求解其表面積即可.由題意可得,三棱柱的上下底面為邊長為2的等邊三角形,側面為三個邊長為2的正方形,則其表面積.3.答案:B解析:本題以數(shù)學文化知識為背景考查了空間中線面所成角的問題,解決本題需要畫出過球心和晷針所確定的平面截地球和晷面的截面圖,根據面面平行的性質定理和線面垂直的定義判定有光截線的關系,根據點A處的緯度,計算出晷針與點A處的水平面所成角.畫出截面圖如下圖所示,其中是赤道所在平面的截線;是點處的水平面的截線,依題意可知是晷針所在直線,是晷面的截線,依題意,晷面和赤道平面平行,晷針與晷面垂直,根據平面平行的性質定理可得,根據線面垂直的定義可得.由于,所以,由于,所以,也即晷針與點處的水平面所成角為.4.答案:D解析:由于為異面直線,平面平面,則平面與平面必相交但未必垂直,且交線垂直于直線,又直線滿足,則交線平行于.5.答案:D解析:本題考查了立體幾何的截面問題.當點與重合時,截面圖形為等邊三角形,如圖(1);當點與點重合時,截面圖形為矩形,如圖(2);當點不與點重合時,截面圖形為等腰梯形,如圖(3).6.答案:B解析:本題主要考查了空間中線面平行、垂直位置關系的性質與判定,解決此類問題要熟知空間中線面平行、垂直的概念、性質定理、判定定理,以及相互轉化.①正確.②中,有可能,不成立;③中,還有可能相交于一點,不成立;④正確,所以正確的命題有2個.7.答案:D解析:由正方體的性質,得,結合線面平行的判定定理,得平面,所以①正確.連接,由正方體的性質得,因為是在底面內的射影,所以,所以②正確.由正方體的性質得,由②可得,所以,同理可得,結合線面垂直的判定定理得平面,所以③正確.8.答案:C解析:折疊前,折疊后其位置關系沒有改變.①由已知可得平面平面點在平面上的射影在線段上.②∵平面平面平面.③當平面平面時,三棱錐的體積達到最大.9.答案:D解析:本題考查了兩條異面直線所成角的計算,在解決此類問題時注意利用平移的方法,把兩條異面直線平移成平面角進行計算.連接.因為,所以與所成的角就是與所成的角,即.當點從向運動時,從0增大到,但當點與重合時,,與“與為異面直線”矛盾,所以異面直線與所成的角的取值范圍是.10.答案:D解析:本題考查幾何體的側面積,解答本題時要注意先根據條件求得圓柱的底面最大半徑,由此計算得到圓柱的側面積最大值.由題知,只需考慮圓柱的底面與正方體的表面相切的情況,由圖形的對稱性可知,側面積最大時,圓柱的上底面必與過點的三個面相切,且切點分別在線段,上,如圖所示,設線段上的切點為與平面的交點為,圓柱上底面的圓心為,半徑即為,記為,設與平面的交點為.正方體的棱長為.由題意知,,由知,,∴,則圓柱的高為,當時,圓柱的側面積取得最大值,最大值為.二、填空題11.答案:解析:底面為正方形,正四棱柱的外接球半徑為體對角線的一半,設邊長為1,那么側棱長為2,正四棱柱的體對角線為外接球半徑為,可得球表面積為;正四棱柱的表面積為10.球與四棱柱的表面積的比值為.12.答案:①③解析:本題是一道新定義類型的試題,考查了線面、面面平行與垂直的性質與判定.對于①,原命題為真命題,換后的命題為“垂直于同一直線的兩平面平行”,也是真命題,故①是“可換命題”;對于②,命題本身就是假命題,故②不是“可換命題”;對于③,原命題為真命題,換后的命題為“平行于同一平面的兩平面平行”,也是真命題,故③是“可換命題”;對于④,命題本身就是假命題,故④不是“可換命題”.綜上,是“可換命題”的為①③.13.答案:3解析:本題考查了球的結構特征,在求解本題時,只需畫出球的沿直徑的軸截面,然后根據題目中的數(shù)量關系和幾何關系利用勾股定理求解.設球的半徑為,兩截面圓的半徑分別為.由題意,得,∴,又,設,則有,∴,解得.三、解答題14.答案:見解析解析:證明:(1)取的中點,連接.由于原多面體是四棱柱,所以,因此四邊形為平行四邊形,所以.又平面平面,所以平面.(2)因為分別為和的中點,所以.又平面平面,所以.因為,所以.又平面,所以平面.又平面,所以平面平面.思路:本題考查了線面平行的判定,線面垂直的判定與性質,線線平行的性質,面面垂直的判定.要證線面平行,先證線線平行,要證面面垂直,先證線面垂直.15.答案:見解析解析:本題主要考查空間點、線、面位置關系