新高考數(shù)學二輪提升練專題13 運用空間向量研究立體幾何問題（原卷版）

專題13運用空間向量研究立體幾何問題1、【2022年全國甲卷】在四棱錐P?ABCD中，PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3(1)證明：BD⊥PA；(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．2、【2022年全國乙卷】如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC，E為AC的中點．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設AB=BD=2,∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．3、【2022年新高考1卷】如圖，直三棱柱ABC?A1B1C

(1)求A到平面A1BC(2)設D為A1C的中點，AA1=AB，平面A4、【2022年新高考2卷】如圖，PO是三棱錐P?ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中點．(1)證明：OE//平面PAC；(2)若∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5，求二面角C?AE?B的正弦值．5、（2021年全國高考乙卷數(shù)學（理）試題）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的正弦值．6、（2021年全國高考甲卷數(shù)學（理）試題）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，側面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中點，D為棱SKIPIF1<0上的點．SKIPIF1<0（1）證明：SKIPIF1<0；（2）當SKIPIF1<0為何值時，面SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的二面角的正弦值最小?7、（2019浙江19）如圖，已知三棱柱，平面平面，，分別是AC，A1B1的中點．（1）證明：；（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值．8、（2020全國Ⅰ理18）如圖，SKIPIF1<0為圓錐的頂點，SKIPIF1<0是圓錐底面的圓心，SKIPIF1<0為底面直徑，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0是底面的內接正三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的余弦值．9、（2020全國Ⅲ理19）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0分別在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．（1）證明：點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內；（2）證明：若SKIPIF1<0時，求二面角SKIPIF1<0的正弦值．題組一、線面角1-1、（2022·山東泰安·高三期末）如圖1，在等腰直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點，將SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0翻折，得到如圖2所示的四棱錐SKIPIF1<0，若二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點.

（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.1-2、（2022·山東省淄博實驗中學高三期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點.（1）求證:平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，且二面角SKIPIF1<0的余弦值是SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.1-3、（2022·湖南郴州·高三期末）如圖，在空間幾何體SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0均為邊長為2的等邊三角形，平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0都與平面SKIPIF1<0垂直，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點．

（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．題組二、面面角2-1、（2022·河北張家口·高三期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點.（1）證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.2-2、（2022·河北唐山·高三期末）四棱錐SKIPIF1<0的底面是矩形，SKIPIF1<0，側面SKIPIF1<0底面OBCD．（1）求證：SKIPIF1<0底面OBCD；（2）若SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小為120°，求四棱錐SKIPIF1<0的體積．2-3、（2022·河北保定·高三期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為平行四邊形，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.題組三、探索性問題3-1、（2022·河北深州市中學高三期末）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動點，若二面角SKIPIF1<0的平面角的大小為SKIPIF1<0，試確定點SKIPIF1<0的位置.3-2、（2022·山東棗莊·高三期末）在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，Q為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，SKIPIF1<0．（1）求證：平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；（2）棱SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0？若存在，確定點SKIPIF1<0的位置；若不存在，說明理由．3-3、（2022·山東濟南·高三期末）如圖，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的動點.（1）求證：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四點共面；（2）是否存在點SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的長度；若不存在，說明理由.3-4、（2022·湖南婁底·高三期末）如圖，在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若平面APSB與棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交于點P，S，且SKIPIF1<0，Q，R分別為棱SKIPIF1<0，BC上的點，且SKIPIF1<0．（1）求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）設平面APSB與平面SKIPIF1<0所成銳二面角為SKIPIF1<0，探究：SKIPIF1<0是否成立？請說明理由．1、（2022·湖南常德·高三期末）如圖，已知AB是圓柱底面圓的一條直徑，OP是圓柱的一條母線．（1）求證：OA⊥PB；（2）若C底面圓上一點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求直線PC與平面PAB所成角的正弦值．2、（2022·山東萊西·高三期末）在如圖所示的三棱柱SKIPIF1<0中，側面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIP