《物理光學與應(yīng)用光學》課件第9章

第9章光學系統(tǒng)像差基礎(chǔ)和光路計算9.1光學系統(tǒng)中的光闌9.2光學系統(tǒng)光闌對成像的影響9.3像差基本概念9.4光學系統(tǒng)中一般光路計算9.5光學系統(tǒng)設(shè)計軟件——ZEMAX簡介例題9.1光學系統(tǒng)中的光闌9.1.1光闌及其分類在光學系統(tǒng)中，把可以限制光束的光學元件的邊框或者特別設(shè)計的一些帶孔的金屬薄片，通稱為光闌。光闌的內(nèi)孔邊緣就是限制光束的光孔，這個光孔對光學元件來說稱為通光孔徑。光闌的通光孔一般是圓形的，其中心和光軸重合，光闌平面與光軸垂直。實際光學系統(tǒng)中的光闌，按其作用可分為以下三種。

(1)孔徑光闌它是限制軸上物點成像光束立體角的光闌，有時也稱為有效光闌。如果在過光軸的平面上進行考察，這種光闌決定了軸上點發(fā)出成像光束的孔徑角。照相機中的光闌(俗稱光圈)就是這種光闌。在光學系統(tǒng)中，合理地選取孔徑光闌的位置可以改善軸外點的成像質(zhì)量。因為對于軸外點發(fā)出的寬光束而言，孔徑光闌的位置不同，就等于在該物點發(fā)出的光束中選擇不同部分的光束參與成像，一般設(shè)置孔徑光闌總是希望選擇成像質(zhì)量較好的那部分光束，而把成像質(zhì)量較差的那部分光束攔掉。但是在有些光學系統(tǒng)中，孔徑光闌的位置是有特定要求的。例如放大鏡、望遠鏡等目視光學系統(tǒng)，孔徑光闌或它的像一定要在光學系統(tǒng)的外邊，使之與眼睛的瞳孔相重合，以達到良好的觀察效果。又如在光學計量儀器中，通常將孔徑光闌設(shè)置在物鏡的焦平面上，以達到精確測量的目的。

(2)視場光闌它是限制物平面上或物空間中成像范圍的光闌。如照相機中的底片框就是視場光闌?？讖焦怅@和視場光闌是光學系統(tǒng)中的主要光闌，一般光學系統(tǒng)中都有這兩種光闌。

(3)消雜光光闌光學系統(tǒng)中將那些非成像物體射來的光、光學系統(tǒng)各折射面反射的光和儀器內(nèi)壁反射的光等，通稱為雜光。雜光進入光學系統(tǒng)，將使像面產(chǎn)生明亮背景，使像的對比度降低，有損于成像質(zhì)量。消雜光光闌不限制通過光學系統(tǒng)的成像光束，主要是攔掉一部分雜光。一些光學系統(tǒng)，如天文望遠鏡、長焦距平行光管等，都專門設(shè)置消雜光光闌，而且在有些光學系統(tǒng)中可以有多個消雜光光闌。有時在光學系統(tǒng)中，常把鏡管內(nèi)壁加工成內(nèi)螺紋，并涂以黑色無光漆或煮黑來達到消雜光的目的。9.1.2孔徑光闌和入/出瞳在光學系統(tǒng)中，無論有多少個光闌，一般來說，總有一個光闌主要限制給定物面上物點進入光學系統(tǒng)光束的大小，或者說它控制進入光學系統(tǒng)光能量的強弱，該光闌稱為光學系統(tǒng)的孔徑光闌。如圖9-1所示的系統(tǒng)中，存在光闌Q1QQ2和透鏡框M1M2兩個光闌，為了確定孔徑光闌，就要看光闌Q1QQ2和透鏡框M1M2究竟是哪一個起限制成像光束的作用。為此，只需比較兩者各自對軸上已知物點A所發(fā)出的光線的限制情況即可，即在不考慮別的光闌的情況下，看從A發(fā)出的多大范圍的光束可以通過光闌。圖9-1孔徑光闌的確定因為光闌Q1QQ2前面有透鏡存在，光闌處于透鏡的像空間，物體在透鏡的物空間，所以物體與光闌不直接發(fā)生關(guān)系，不能直接從軸上物點A引一條到光闌邊緣Q1的光線來確定光闌Q1QQ2對A點發(fā)出的光束的限制。但可根據(jù)光闌的位置和大小，及它被它前面的光組所成像的位置和大小，因該像位于透鏡的物空間，就可以與物體直接發(fā)生關(guān)系。如圖9-1所示，P1PP2是光闌Q1QQ2被其前面的透鏡在其物空間所成的像，若從軸上A引一條到P1的光線，則經(jīng)過透鏡折射后，正好沿光闌邊緣Q1通過，它給出了受到Q1QQ2限制A點發(fā)出所能夠成像的最邊緣的光線。而透鏡框M1M2前面再沒有透鏡，本身位于透鏡的物空間，它的邊緣M1和A點確定了受到M1M2限制A點發(fā)出所能夠成像的最邊緣的光線。由圖9-1可以看出，∠P1AP小于∠M1AP，即光闌的像對軸上物點A的張角最小，或者說光闌Q1QQ2限制了A點成像光束的范圍。因此，該例中光闌Q1QQ2就是孔徑光闌。根據(jù)光路可逆，將所有光闌和物點A被它后面的光組在系統(tǒng)像空間成像，這時像點A′對所有光闌在像空間的像的張角中，對孔徑光闌在像空間的像的張角也應(yīng)該最小，所以在像空間也可以確定光學系統(tǒng)的孔徑光闌。由此可知，要在光學系統(tǒng)中的多個光闌中找出哪一個是限制光束的孔徑光闌，只要求出所有光闌被它前(后)面的光組在系統(tǒng)物(像)空間所成像的位置和大小，及它們對軸上物點A(像點A′)的張角，其中張角最小的光闌像所對應(yīng)的實際光闌，就是系統(tǒng)的孔徑光闌。再譬如圖9-2所示的光學系統(tǒng)有三個光闌，各光闌在系統(tǒng)物空間的像如圖9-3所示。透鏡L1成像到物空間，就是它本身；光闌Q1QQ2的像為P1PP2；透鏡L2的像為L2′。由物點A對各個像的邊緣引連線，可以看出張角P1AP最小。所以，P1PP2對應(yīng)的光闌Q1QQ2實際上起著限制光軸上物點A的光束的作用，即為孔徑光闌。孔徑光闌在物空間的像P1PP2，稱為入射光瞳，簡稱入瞳。由物點A發(fā)出經(jīng)過入瞳邊緣的光線與光軸的夾角，即圖中角U，稱為光學系統(tǒng)的物方孔徑角。此角即為軸上點作邊緣光線光路計算所取的孔徑角。圖9-2三光闌系統(tǒng)圖9-3三光闌系統(tǒng)中各闌在物空間的像同理，把所有光闌通過其后面的光組成像到系統(tǒng)的像空間去，如圖9-4所示。L1′是透鏡L1的像；P1′PP2′是孔徑光闌Q1QQ2的像；透鏡L2在像空間的像就是它本身。孔徑光闌在系統(tǒng)像空間的像P1′PP2′稱為出射光瞳，簡稱出瞳。軸上物點A的共軛像點為A′。顯然，所有光闌在像空間的像中，出瞳對像面中心點A′所張的角為最小，將經(jīng)過出瞳邊緣的光線與光軸的夾角，即圖中角U′，稱為光學系統(tǒng)的像方孔徑角。圖9-4三光闌系統(tǒng)中各闌在像空間的像顯然，對一定位置的物體，入射光瞳決定了能進入系統(tǒng)成像的最大光束孔徑，并且是物面上各點發(fā)出并進入系統(tǒng)成像光束的公共入口。出射光瞳是物面上各點的成像光束經(jīng)過系統(tǒng)后射出系統(tǒng)的公共出口。入射光瞳通過整個光學系統(tǒng)所成的像就是出射光瞳，二者對整個光學系統(tǒng)是共軛的。如果孔徑光闌在整個光學系統(tǒng)的像空間，它本身也就是出射光瞳。反之，在物空間，就是入射光瞳。由物面上物點發(fā)出的通過入瞳中心的光線稱為該物點的主光線。由于共軛的關(guān)系，對于理想光學系統(tǒng)，主光線也必然通過孔徑光闌中心和出瞳中心。顯然，各物點的主光線是物點發(fā)出的成像光束的光束軸線。光學系統(tǒng)的孔徑光闌是對一定位置的物面而言的，如果物面位置發(fā)生變化，所有光闌在物空間的像對于物面上各物點的張角將發(fā)生變化，這時對光軸上物點起主要限制作用的光闌也將發(fā)生變化，即孔徑光闌和物面位置有關(guān)。當物體位于物方無限遠時，只須比較各光闌通過其前面光組在整個系統(tǒng)的物空間所成像的大小，以直徑最小者為入瞳。入瞳的大小是由光學系統(tǒng)對成像光能量的要求或者對物體細節(jié)的分辨能力的要求來確定的。常以入瞳直徑和系統(tǒng)的像方焦距之比D/f′來表示，稱為相對孔徑。它是光學系統(tǒng)的一個重要成像性能指標。相對孔徑的倒數(shù)稱為F數(shù)。對照相物鏡來說，有時稱F數(shù)為光圈數(shù)。9.1.3視場光闌和入/出窗在一個實際的光學系統(tǒng)中，除孔徑光闌外，還有其它的光闌。在大多數(shù)情況下，軸外點發(fā)出并充滿入瞳的光束，會被這些光闌所遮攔。在圖9-5中，由軸外點B發(fā)出充滿入瞳的光束，其下面有一部分被透鏡L1攔掉，其上面有一部分被透鏡L2攔掉，只有中間一部分(圖中陰影區(qū))可以通過光學系統(tǒng)成像，這樣軸外點的成像光束小于軸上點的成像光束，使像面邊緣的光照度有所下降。圖9-5光闌對通過入瞳的光束的影響顯然，物點離光軸愈遠，其成像光束的孔徑角較軸上點成像光束的孔徑角小得愈多，當物點距離光軸足夠遠時，將不會有物點發(fā)出的光線通過系統(tǒng)所有光闌到達像面，這時物點就不能成像，也就是說，光學系統(tǒng)中由于光闌的存在，物面有一定的成像范圍，它由光學系統(tǒng)中除了孔徑光闌外，別的光闌的位置和大小來決定。其中有一個光闌主要決定了物平面上或物空間中的成像范圍，該光闌稱為系統(tǒng)的視場光闌。

軸外物點發(fā)出的充滿入瞳的光束被遮攔情況，與光學系統(tǒng)中除了孔徑光闌外，別的光闌的位置和大小有關(guān)，同時還與入瞳的大小有關(guān)。為了簡單起見，先討論孔徑光闌或入瞳為無限小的情況。此時只有主光線附近的一束非常細的光束可能通過光學系統(tǒng)。因此，光學系統(tǒng)的成像范圍，便由對主光線發(fā)生限制的光闌所決定。圖9-6為圖9-5在孔徑光闌、入瞳和出瞳均為無限小時的原理圖，其中透鏡L2經(jīng)過它前面的光學系統(tǒng)在物空間成的像為L2′。過物平面上不同高度的兩點B和C作主光線BP和CP，它們與光軸的夾角不同，并分別經(jīng)過光組L1的下邊緣和L2的上邊緣(在系統(tǒng)物空間為L2′的下邊緣)。由圖9-6可見，主光線CP雖能通過光組L1，但被光組L2的邊框攔掉，在系統(tǒng)的物空間被L2′攔掉；主光線BP能通過L1，也恰好能通過L2，在系統(tǒng)的物空間也能通過L2′。圖9-6孔徑光闌為無限小時視場光闌的確定顯然，物面上一點要成像，在它發(fā)出的主光線在物空間應(yīng)該通過所有光闌在物空間的像，所以物面上的成像范圍就由所有光闌在物空間的像中對入瞳中心的最小者決定。在圖9-6中，L2′對入瞳中心的張角比L1對入瞳中心的張角小，由它所決定的物面上AB范圍以內(nèi)的物點都可以被系統(tǒng)成像，而B點以外的點，如C點，已不能通過系統(tǒng)成像。因此，光組L2的邊框是決定物面上成像范圍的光闌，是視場光闌。根據(jù)光路可逆，類似孔徑光闌一樣，也可以在系統(tǒng)的像空間確定。由此可知，要在光學系統(tǒng)中的多個光闌中找出哪個是限制光束的視場光闌，只要求出所有光闌被它前(后)面的光組在系統(tǒng)物(像)空間所成像的位置和大小，及它們對入(出)瞳中心的張角，其中張角最小的光闌像所對應(yīng)的實際光闌，就是系統(tǒng)的視場光闌。視場光闌通過它前面的光學系統(tǒng)在整個光學系統(tǒng)的物空間的像稱為入射窗，簡稱入窗；通過后面的光學系統(tǒng)在整個光學系統(tǒng)的像空間的像稱為出射窗，簡稱為出窗。在物空間，入瞳中心與入窗邊緣連線的夾角，或經(jīng)過入窗邊緣的主光線之間的夾角稱為系統(tǒng)的物方視場角，表示為2ω;它的一半，稱為物方半視場角。在像空間，出瞳中心與出窗邊緣連線的夾角，或經(jīng)過出窗邊緣的主光線之間的夾角，稱為系統(tǒng)的像方視場角，表示為2ω′；它的一半，稱為像方半視場角。當物體在有限距離時，習慣用入瞳(或出瞳)中心與入窗(或出窗)邊緣連線和物面(像面)交點之間的線距離來表示視場，稱線視場2y(或2y′)。9.2光學系統(tǒng)光闌對成像的影響9.2.1漸暈在圖9-7中僅畫出物平面、入瞳面和入窗平面，來分析物空間的光束被限制的情況。當入瞳為無限小時，物面上能成像的范圍應(yīng)該是由入瞳中心與入窗邊緣連線所決定的AB2區(qū)域。但是當入瞳有一定大小時，B2點以外的一些點，雖然其主光線不能通過入窗，但光束中還有主光線以上一小部分光線可以通過入窗被系統(tǒng)成像，圖中為入瞳上邊緣和入窗下邊緣連線與物面的交點，它才是被系統(tǒng)成像的最邊緣點。由此可見，考慮到入瞳的大小后，物面的成像范圍擴大了。但是在物面上B2B3點段的物點發(fā)出充滿入瞳的光束，會有一部分被視場光闌遮擋。這種軸外物點發(fā)出的充滿入瞳的光束被別的光闌部分遮擋的現(xiàn)象，稱為軸外點光束的漸暈。圖9-7孔徑光闌為有限大小時漸暈現(xiàn)象由于漸暈現(xiàn)象，物面上不同區(qū)域的物點成像光束的孔徑角是不同的，物面成像部分可以分為三個區(qū)域。①以B1A為半徑的圓形區(qū)，其中每個點均以充滿入瞳的全部光束成像。此區(qū)域之邊緣點B1由入射光瞳下邊緣P2和入射窗下邊緣點M2的連線所確定。在入射光瞳平面上的成像光束截面如圖9-7(a)所示，其中小圓為入瞳，大圓為入窗相對A點在入瞳所在平面上的投影。②以B1B2繞光軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的環(huán)形區(qū)域。在此區(qū)域內(nèi)，每一點已不能用充滿入瞳的光束成像。在子午面內(nèi)看光束，由B1點到B2點，其能通過入射光瞳的光束，逐漸變窄，這就是軸外點漸暈。此區(qū)域的邊緣點B2由入射光瞳中心P和入射窗下邊緣M2的連線確定。B2點發(fā)出的光束在入射光瞳面上的截面如圖9-7(b)所示。③以B2B3繞光軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的環(huán)形區(qū)域。在此區(qū)域內(nèi)各點的光束漸暈更嚴重，由B2點到B3點時，幾乎沒有光線通過光學系統(tǒng)，B3點是可見視場最邊緣點，它由入射光瞳上邊緣點P1和入射窗下邊緣點M2的連線決定。B3點發(fā)出的光束在入射光瞳面上的截面如圖9-7(c)所示。為了描述光學系統(tǒng)物面上各點的漸暈程度，定義漸暈系數(shù)。軸外物點發(fā)出的成像光束在入瞳面上光束的截面(即圖9-7中陰影區(qū)域)與入瞳截面的比值，稱為面漸暈系數(shù)，表示為Ks。在子午面上，軸外物點發(fā)出的成像光束在入瞳面上光束的寬度(即圖中陰影區(qū)域在子午面上的長度)與入瞳直徑的比值，稱為線漸暈系數(shù)，表示為KD。在圖9-7中，AB1段的線漸暈系數(shù)為1，B2點的線漸暈系數(shù)為50％，B3點的線漸暈系數(shù)為0。以上三個區(qū)域只是大致的劃分，實際在物平面上，由B1到B3點的線漸暈系數(shù)由100%到0是漸變的，并沒有明顯的界限。由于光束是光能量的載體，通過的光束越寬，其所攜帶的光能就越多。因此，物平面上第一個區(qū)域所成的像，光照度最大，并且均勻，從第二個區(qū)域開始，像的光照度逐漸下降一直到零，整個視場并無明顯界限。光學系統(tǒng)的入瞳具有一定大小時，也可以不存在漸暈。如圖9-8所示，令入射光瞳直徑為2a，以入瞳面作為軸線線度的參考面，用p表示物平面相對入瞳的線度，q表示入窗相對入瞳面的線度，圖中p和q均為負值。由圖可得圖9-8入瞳為有限大小時不存在漸暈的條件由上式可見，要使物面消漸暈，有兩種情況:①B1B3=0，即p=q時，入窗和物平面重合，這時視場為有限的范圍。②AB1→∞，即入窗和入瞳重合時，視場為無限大，這種情況只有在光學系統(tǒng)中僅有一個光闌時才存在。在投影儀器的光學系統(tǒng)中，視場光闌就設(shè)置在物平面上，此時其出射窗恰好落在像平面上，像平面內(nèi)視場邊緣清晰，沒有漸暈。在照相機中，顯然不便于把視場光闌放在物平面上，這時可把視場光闌放在像平面上，其入射窗恰好落在物平面上，也沒有漸暈。應(yīng)該指出的是，并不是所有情況下物平面與入窗重合時，都可使?jié)u暈為零。在上面討論中，主要考慮了系統(tǒng)的孔徑光闌和視場光闌，當光學系統(tǒng)中透鏡較多且孔徑都不太大時，有些光線即使不被孔徑光闌和視場光闌遮擋，也會被別的光闌遮擋而造成漸暈。9.2.2景深和焦深

1.景深前面我們所討論的只是在垂直于光軸的平面上點的成像問題，屬于這一類成像的光學儀器有生物顯微鏡、照相制版物鏡和電影放映物鏡等。實際上還有很多光學儀器要求對整個空間或部分空間的物點成像在一個像平面上，例如，普通的照相機物鏡和望遠鏡就是這一類。對一定深度的空間在同一像平面上要求所成的像足夠清晰，這就是光學系統(tǒng)的景深問題。圖9-9中，P為入瞳中心，P′為出射光瞳中心，A′所在的平面就是要求成像的平面，譬如照相機膠卷所在的平面，稱為景像平面，在物空間與景像平面共軛的平面，即A所在的平面稱為對準平面?，F(xiàn)在分析在距光學系統(tǒng)入瞳面不同的距離的兩個物面上的兩個物點B1、B2的成像。圖9-9光學系統(tǒng)的景深考慮入瞳有一定大小，由于B1和B2不在對準平面上，因而它們發(fā)出并充滿入瞳的光束在景像平面前后形成兩個像點B1′和B2′，而在景像平面上形成兩個彌散斑Z1′和Z2′。實際中，物體經(jīng)過光學系統(tǒng)所成的像是用探測器或眼睛來接收的，而探測器或眼睛都有一定的分辨率，例如，人眼角分辨率約為1′，因此，并不需要物點必須在景像平面上成一個像點，只要物點在景像平面上成像得到的彌散斑的大小不大于探測器或眼睛在景像平面上要求的線分辨率，就可以認為物點在景像平面上成了一個清晰的像。由此可見，考慮到像的探測或觀察的實際情況，允許在景像平面上成像為一個有限大小的彌散斑，這時對準平面前后一定范圍內(nèi)的物體均可以在景像平面成清晰像。這種能夠在像平面上獲得足夠清晰像的物空間的深度，稱為光學系統(tǒng)的景深。其中能成足夠清晰像的最遠平面(如物點B1所在的平面)稱為遠景，能成清晰像的最近平面(如物點B2所在的平面)稱為近景。它們離對準平面的距離以Δ1和Δ2表示，稱為遠景深度和近景深度。光學系統(tǒng)的景深就是遠景深度與近景深度之和，即Δ=Δ1+Δ2。下面推導(dǎo)景深的解析表達式。如圖9-9所示，在物方和像方分別以入瞳面和出瞳面作為參考面度量軸向線度。物方的對準平面、遠景和近景相對入瞳面的線度分別表示為p、p1和p2，它們的像面相對出瞳面的線度分別表示為p′、p1′和p2′。景像平面上的彌散斑Z1′和Z2′可以看做對準平面上彌散斑Z1和Z2在像空間的共軛像，設(shè)對準平面和景像平面間的垂軸放大率為β，則有Z1′=|β|Z1,

Z2′=|β|Z2對于給定像面的接收系統(tǒng)，它有一定的空間分辨率，設(shè)在像面上允許的彌散斑的直徑為Z0′，則在物面上允許的彌散斑為Z0＝Z0′/β。設(shè)入瞳和出瞳的直徑分別為D和D′，從圖9-9中相似三角形關(guān)系可得用對準平面上的彌散斑作為變量，遠景和近景位置可以表示為(9.2-1)遠景深度和近景深度可以表示為(9.2-2)光學系統(tǒng)的景深為(9.2-3)由上式可見，光學系統(tǒng)的景深與入瞳大小D，入瞳相對對準平面的距離p以及對準平面上允許的彌散斑的大小Z0有關(guān)。在Z0和p一定的條件下，光學系統(tǒng)的入瞳直徑越小，這時的景深越大。

2.照相機物鏡的景深對準平面上允許的彌散斑的大小Z0決定于景像平面上允許的彌散斑的直徑Z0′，Z0′的允許值為多少，要視光學系統(tǒng)的用途而定。下面分析照相機的景深。一個普通的照相物鏡，當照片上各點的彌散斑對人眼的張角小于人眼的最小分辨角(1′)時，看起來好像是點像，可認為圖像是清晰的。用ε表示人眼的角分辨率，當ε確定之后，照片上允許的彌散斑大小與眼睛到照片的觀察距離有關(guān)，因此須要確定這一距離。在用眼晴觀察照片時，為了得到正確的空間感覺而不發(fā)生景像彎曲，就要求照片上圖像各點對眼晴的張角與直接觀察空間時各對應(yīng)點對眼睛的張角相等。符合這一條件的距離，稱為正確透視距離。如圖9-10所示，眼睛在R處，d為正確透視距離，這時景像平面上的像A′B′(即y′)對R點的張角應(yīng)與物空間的共軛線段AB(即y)對入瞳中心p的張角相等，由此得(9.2-4)因此，正確透視距離為圖9-10正確透視距離所以景像平面上或照片上彌散斑直徑的允許值為Z0′=dε=－|β|pε對應(yīng)于對準平面上彌散斑的允許值為(9.2-5)將上式代入(9.2-2)式求得遠景深度Δ1和近景深度Δ2為(9.2-6)可見，當照相物鏡的入瞳大小D和對準平面的位置p以及眼睛的角分辨率ε一定時，遠景深度Δ1較近景深度Δ2大，總的成像空間深度即景深Δ為(9.2-7)如果用物方孔徑角U代替入瞳直徑，由圖9-10可見，它們有以下關(guān)系：D=2ptanU這樣，光學系統(tǒng)的景深(9.2-7)式變?yōu)?9.2-8)由(9.2-7)和(9.2-8)式可知，入瞳直徑愈小，即孔徑角愈小，景深就愈大。在天氣比較晴朗時，在保證一定的曝光量的前提條件下，可以選擇比較大的光圈數(shù)，得到比較小的入瞳直徑，拍攝的照片可以獲得大的空間深度的清晰像就是這個道理。①如果要使對準平面以后的整個物空間都能在景像平面上成清晰像，即遠景深度Δ1=∞，對準平面應(yīng)位于何處?由(9.2-6)式可知，當Δ1=∞時，分母應(yīng)等于零，故(9.2-9)即從對準平面中心看入瞳時，其對眼睛的張角應(yīng)等于極限角ε。當p=－D/ε時，近景位置p2為(9.2-10)因此，把照相機物鏡調(diào)焦于p=－D/ε的距離時，在景像平面上可以得到從入射光瞳前距離為的平面起到無限遠的空間內(nèi)物體的清晰像。②如果把照相機物鏡調(diào)焦于無限遠，即p=∞時，近景位于何處?將(9.2-5)式代入(9.2-1)式的第二式中，并對p=∞求極限，即可求得近景位置為(9.2-11)就是說，這時的景深等于自物鏡前距離為D/ε的平面開始到無限遠。顯然，這種情況下近景距離較第一種情況大1倍。所以，把對準平面調(diào)在無限遠時，景深要小一些。

3.焦深在實際中經(jīng)常會碰到另外一種情況，對于一個物面經(jīng)過光學系統(tǒng)成像后，如果要用屏或者探測器接收像時，最為理想的情況就是在物面的高斯像面上接收，但是由于接收器存在一定的空間分辨率，實際上物面的高斯像面前后一定范圍內(nèi)都能夠接收到清晰的像，這時能夠接收到清晰像的像面的范圍稱為光學系統(tǒng)的焦深。如圖9-11所示，對準平面上物點成像在景像平面上，如果接收面上允許彌散斑的大小為Z0′，這時，景像平面前后在景像平面上形成彌散斑大小為Z0′的兩個像點所在的平面距離景像平面的距離為Δ1′和Δ2′，從圖關(guān)系有圖9-11焦深示意圖則焦深為(9.2-12)由上式可見，焦深與允許彌散斑直徑Z0′，理想像距p′及出瞳口徑D′有關(guān)。在Z0′和p′一定的條件下，焦深和景深一樣，也是隨著入瞳或出瞳的增加而減小的。景深和焦深都是能夠獲得清晰成像的一段空間范圍，景深指的是物空間的深度，焦深則指像空間的深度。這兩個概念都與像面允許有一定的分辨率相聯(lián)系，都與孔徑光闌有關(guān)。隨著孔徑光闌尺寸減小，使光學系統(tǒng)中被限制光束的口徑減小，從而使景深和焦深都相應(yīng)加大；反之，孔徑光闌加大，將使景深和焦深都變小。9.2.3幾個特殊光學系統(tǒng)的光闌的作用

1.助視光學系統(tǒng)人眼看不清楚近處太小或太遠的物體，這時可以借助于顯微鏡和望遠鏡來擴展人眼的視覺范圍。這種擴展人眼視覺范圍的光學儀器稱為助視光學儀器，具體的結(jié)構(gòu)在下一章詳細討論。在這一類光學儀器中，由于是用人的眼睛接收光學系統(tǒng)的像，而人眼睛的光闌瞳孔只有2～6mm，因而必須考慮人眼對于光束的限制。在這類光學儀器的設(shè)計中，對于孔徑光闌有專門的要求，一般要求它的出瞳設(shè)計在光學系統(tǒng)的外部，在使用時，人眼和系統(tǒng)的出瞳重合。

2.物方遠心光路在光學儀器中，有很多是用來測量長度的。它通常分為兩種情況：一種情況是光學系統(tǒng)有一定的放大率，使被測物之像和一刻尺相比，以求知被測物體的長度，如工具顯微鏡等計量儀器；另一種是把一標尺放在不同位置，通過改變光學系統(tǒng)的放大率，使標尺像等于一個已知值，以求儀器到標尺間的距離，如大地測量儀器中的視距測量等。第一種儀器光學系統(tǒng)的實像平面上，放置有已知刻值的透明刻尺(分劃板)，分劃板上的刻尺格值已考慮了物鏡的放大率，因此，按刻度讀得的像高即為物體的長度。此方法用做物體的長度測量，刻尺與物鏡之間的距離應(yīng)保持不變，以使物鏡的放大率保持常數(shù)。這種測量方法的測量精度，在很大程度上取決于像平面與刻尺平面的重合程度。這一般是通過對整個光學系統(tǒng)(連目鏡)相對于被測物體進行調(diào)焦來達到的。但是，由于景深及調(diào)焦誤差的存在，不可能做到使像平面和刻尺平面完全重合，這就難免要產(chǎn)生一些誤差。像平面與刻尺平面不重合的現(xiàn)象稱為視差。由于視差而引起的測量誤差可由圖9-12來說明。圖中，P1′P′P2′是物鏡的出射光瞳，B1′B2′是被測量物體的像，M1M2是刻尺平面，由于二者不重合，像點B1′和B2′在刻尺平面上成彌散斑M1和M2，實際測量得到的長度為M1M2，顯然比真實像B1′B2′要長一些。視差越大，光束對光軸的傾角越大，其測量的誤差也越大。圖9-12視差如果適當?shù)乜刂浦鞴饩€的方向，就可以消除或大為減少視差對測量精度的影響，這只要把孔徑光闌設(shè)置在物鏡的像方焦平面上即可。如圖9-13所示，光闌也是物鏡的出射光瞳，此時，由物鏡射出的每一光束的主光線都通過光闌中心所在的像方焦點，所以物方主光線都平行于光軸。如果物體B1B2正確地位于與刻尺平面M共軛的位置A1上，那么它成像在刻尺平面上的長度為M1M2；如果由于調(diào)焦不準，物體B1B2不在位置A1而在位置A2上，則它的像B1′B2′將偏離刻尺，在刻尺平面上得到的將是由B1′B2′的投影形成的彌散斑。但是，由于物體上同一點發(fā)出的光束的主光線并不隨物體的位置移動而發(fā)生變化，因此物體兩端的主光線仍然通過M1和M2點，M1和M2點將是物體兩端在刻尺平面上形成的兩個彌散斑的中心，這時按在刻尺平面上投影像讀出的長度仍為M1M2。圖9-13設(shè)置光闌消除視差——測長

3.像方遠心光路第二種情況是物體的長度已知(一般是帶有分劃的標尺)，位于望遠物鏡前要測定其距離的地方，物鏡后的分劃板平面上刻有一對間隔為已知的測距絲。欲測量標尺所在處的距離時，調(diào)焦物鏡或連同分劃板一起調(diào)焦目鏡，以使標尺的像和分劃板的刻線平面重合，讀出與固定間隔的測距絲所對應(yīng)的標尺上的長度，即可求出標尺到儀器的距離。同樣，由于調(diào)焦不準，標尺的像和分劃板的刻線平面不重合，使讀數(shù)產(chǎn)生誤差而影響測距精度。為消除或減小這種誤差，可以在望遠鏡的物方焦平面上設(shè)置一個孔徑光闌，如圖9-14所示。由于光闌也是物鏡的入瞳，此時進入物鏡光束的主光線都通過光闌中心所在的物方焦點，因而在像方的這些主光線都平行于光軸。如果物體B1B2(標尺)的像B1′B2′不與分劃板的刻線平面M重合，則在刻線平面M上得到的是B1′B2′的投影像，即彌散斑M1和M2。但由于在像方的主光線平行于光軸，因此按分劃板上彌散斑中心所讀出的距離M1M2與實際的像長B1′B2′相等。M1M2是分劃板上所刻的一對測距絲，不管它是否和B1′B2′相重合，它與標尺所對應(yīng)的長度總是B1B2，顯然，這不會產(chǎn)生誤差。這種光學系統(tǒng)，因為像方的主光線平行于光軸，其會聚中心在像方無窮遠處，故稱之為像方遠心光路。圖9-14設(shè)置光闌消除視差——測距9.3像差基本概念9.3.1像差的描述和分類在光學系統(tǒng)中，描述像差的方法主要有兩種：波像差法和幾何像差法。波像差法基于光的電磁波理論，借助波面進行研究。如果光學系統(tǒng)成完善像，則任一物點發(fā)出的球面波經(jīng)過光學系統(tǒng)后在像空間應(yīng)該是以高斯像點為球心的球面波。實際上，由于光學系統(tǒng)成像的缺陷，像空間成像光波的波面偏離了球面，且偏離球面的程度體現(xiàn)了光學系統(tǒng)成像缺陷的大小。因此，可以以成像光波在像空間實際波面偏離成完善像等光程的球面的多少來衡量光學系統(tǒng)的成像缺陷，這種描述光學系統(tǒng)像差的方法稱為波像差法。光學系統(tǒng)像差的研究，也可以以高斯像作為成像的參考，以物體發(fā)出的光線經(jīng)過光學系統(tǒng)后其出射光線相對于高斯像的偏差來衡量光學系統(tǒng)成像缺陷，這種方法稱為幾何像差法，這時的偏差稱為幾何像差。為了定量表示幾何像差，可以在高斯像面上以實際光線和高斯像面的交點相對于高斯像點的相對偏離量來表示，稱為橫向幾何像差。有時也以物點發(fā)出的部分成像光線的交點相對于高斯像面的軸向線度表示幾何像差，稱為軸向像差。本節(jié)主要基于光線，討論光學系統(tǒng)的幾何像差。單色波成像時，依據(jù)像差對于像面缺陷的影響方式不同，分為五種單色像差：球差、彗差、像散、場曲和畸變。如果成像光波為復(fù)色光時，由于介質(zhì)的色散，介質(zhì)對不同顏色的光波的折射率不同，從而同一物點發(fā)出的沿同一方向不同波長的光線在界面上折射角不同，從而傳播方向不同，這時不同顏色光波的幾何像差也不同，從而也影響光學系統(tǒng)的成像質(zhì)量，這種像差稱為色差。色差又可以分為位置色差和倍率色差。定量地討論光學系統(tǒng)的像差比較復(fù)雜，讀者可以參考相關(guān)的光學系統(tǒng)設(shè)計的書籍。下面定性地介紹各種像差及其對成像的影響。9.3.2球差

7.1節(jié)中曾指出，自光軸上一點發(fā)出的光線，經(jīng)球面折射后所得的像方截距L′是物方孔徑角U(或入射高度h)的函數(shù)。因此，軸上點發(fā)出的同心光束經(jīng)光學系統(tǒng)各個球面折射以后，不再是同心光束，入射光線的孔徑角U不同，其出射光線與光軸交點的位置就不同，相對于理想像點有不同的偏離，這就是球差，如圖9-15所示。球差值可以由軸上點發(fā)出的不同孔徑的光線經(jīng)系統(tǒng)后的像方截距與其近軸光的像方截距之差來表示，稱為軸向球差，即δL′=L′－l′

(9.3-1)圖9-15軸上點的球差由于球差的存在，使得在高斯像面(理想像面)上得到的不是點像，而一個圓形彌散斑。也可以以彌散斑的半徑表示球差，稱為橫向球差，它與軸向球差的關(guān)系為δT′=δL′tanU′

(9.3-2)

球差是光軸上物點存在的唯一的一種單色像差，它與物點發(fā)出光線的物方孔徑角有關(guān)。物方孔徑角與光線在入瞳面上經(jīng)過的點的位置有關(guān)。光學系統(tǒng)入瞳多為圓形，軸上點發(fā)出的光束在通過光學系統(tǒng)前、后均對稱于光軸，所以子午面內(nèi)光軸以上的光束的球差就可以表示物點發(fā)出的全部光束的球差。子午面內(nèi)光軸以上一條光線的球差，實際上代表了與光軸有相同夾角的圓錐面上光束的球差，稱為一個帶光球差。如果光線在入瞳面上歸一化高度(光線在入瞳面高度與入瞳半徑的比值)為Kη，則該帶光球差稱為Kη帶光球差，譬如當Kη＝0.707時，相應(yīng)光線的球差稱為0.707帶光球差。而常常將Kη＝1的帶光球差稱為邊光球差。

球差的存在，使得物點在高斯像面上成一個彌散斑，這將使像模糊不清。對于單個折射球面，根據(jù)第7章的例題可見，物方孔徑角越大，球差量越大。為使光學系統(tǒng)成像清晰，必須校正球差。通過透鏡光路的計算可以看出，對于單透鏡來說，光線的物方孔徑角愈大，球差量也愈大，這說明單透鏡自身不能校正球差，即不能使之為零。還可以看出，單正透鏡的球差均為負值，單負透鏡產(chǎn)生正球差。因此，正、負透鏡組合起來可能使球差得到校正。大部分光學系統(tǒng)只能做到對某個孔徑帶校正球差，一般是對邊光球差校正，若邊光球差為零，則稱該系統(tǒng)為消球差系統(tǒng)。9.3.3彗差彗差是軸外像差的一種，是軸外物點寬光束成像所產(chǎn)生的像差，它與視場和孔徑均有關(guān)。下面以單個折射球面為例說明彗差的形成原因。為了了解軸外物點所發(fā)出的充滿入瞳的光束的結(jié)構(gòu)和傳播，可通過主光線取出兩個互相垂直的截面，其中一個是主光線和光軸決定的平面，稱為子午面；另一個是通過主光線和子午面垂直的截面，稱為弧矢面。由于在兩個垂直方向光線的傳播不同，因而分別考慮子午面和弧矢面內(nèi)光線形成的彗差。首先分析子午面內(nèi)光束的彗差。如圖9-16所示，為了分析方便，從軸外物點B作一條經(jīng)過折射球面曲率中心C的直線，稱為輔軸(輔助光軸)。相對于輔軸(可以看做新的光軸)，物點B可以看做軸上點，而由B發(fā)出通過入瞳的光束變?yōu)榉墙S光線。這時B發(fā)出的子午光束，對輔軸來說就相當于軸上點光束，其中經(jīng)過入瞳上、下邊緣的光線分別稱為上光線、下光線。上光線、主光線和下光線與輔軸的夾角不同，它們有不同的球差值，三條光線不能交于一點。因此，在折射前主光線是子午光束的軸線，而折射后不再是光束的軸線，光束失去了對稱性。用上、下光線的交點到主光線的垂直于光軸方向的偏離來表示這種光束的不對稱，稱為子午彗差，以KT′表示。它是在垂軸方向量度的，故是垂軸像差的一種。圖9-16子午面彗差上、下光線的交點會偏離近軸區(qū)的高斯像面，這種偏離與后面要講的另外一種單色像差——場曲有關(guān)，如果不考慮這種偏離，子午彗差的數(shù)值可以以軸外光束上、下光線在高斯像面上交點高度的平均值和主光線在高斯面上交點的高度之差表示。如果上、下光線和主光線分別與物點B所在物平面在近軸區(qū)的高斯像面交點的高度為Ya′、Yb′和Yz′，則子午彗差表示為(9.3-3)弧矢面上弧矢光束的彗差如圖9-17所示。由軸外點B發(fā)出的弧矢光束的前光線c和后光線d折射后為光線c′和d′，它們不能夠和主光線相交于一點，設(shè)它們相交于Bs′點。由于前、后光線對稱于子午面，故點Bs′應(yīng)在子午面內(nèi)。點Bs′到主光線的垂直于光軸方向的距離稱為弧矢彗差，表示為Ks′。因為前光線和后光線關(guān)于子午面對稱，所以兩者和高斯面交點的高度相同?；∈稿绮畹臄?shù)值是以軸外光束前光線或后光線在高斯像面上交點的高度Yc′或Yd′和主光線在高斯面上交點的高度之差表示，即KT′=Yc′－Yz′

(9.3-4)圖9-17弧矢面彗差如果將上、下光線的交點距離高斯像面的偏離忽略，同時將前、后光線的交點距離高斯像面的偏離也忽略，則經(jīng)過入瞳邊緣的整個環(huán)帶上的光束在高斯像面上將形成一個中心偏離主光線與高斯像面交點的圓環(huán)，如圖9-18(a)所示：環(huán)帶的a、b兩點在物點的子午面上，經(jīng)過這兩點的上、下光線交像面于ab點；經(jīng)過弧矢面上c、d兩點的前、后光線，交像面于cd點，該點仍在子午面上；以此類推，經(jīng)過環(huán)帶上其它點的光線e、f交像面于ef點，光線g、h交像面于gh點等等。如果將入瞳面看做由不同半徑的環(huán)帶構(gòu)成，如圖9-18(b)所示，不同的環(huán)帶上的光束在高斯像面上將形成不同的相互重疊的圓環(huán)。入瞳面上環(huán)帶半徑越大，像面上形成圓環(huán)的半徑和偏離主光線與高斯像面交點的距離越大，最終會形成一個以主光線在像面上的交點Bz′為頂點的彗星狀光斑，如圖9-18(c)所示。圖9-18彗差9.3.4像散若把孔徑光闌縮小到很小，只允許沿主光線的很細的光束通過，則彗差不再存在。這時子午面內(nèi)的光束將近似會聚于主光線上一點Bt′，如圖9-19所示，稱為子午像點。相對于輔軸而言，弧矢面內(nèi)的光線和主光線有近似相同的夾角，可以認為位于以輔軸為軸線的一個圓錐面上，所以它們將會聚于圖示主光線與輔軸的交點Bs′上，稱為弧矢像點。這說明，該系統(tǒng)在兩個相互垂直的方向上聚焦本領(lǐng)不同，一個物點發(fā)出的兩個相互垂直方向的光束相交于不同位置。這種成像缺陷現(xiàn)象就是光學系統(tǒng)的像散現(xiàn)象。像散以子午像點和弧矢像點沿光軸方向的相對距離度量，如果子午像點和弧矢像點的像距為lt′和ls′，即xts=lt′－ls′

(9.3-5)圖9-19像散如圖9-20所示，若有一個屏沿光軸移動，當移動到子午像點Bt′所在的平面時，屏上會得到一條與子午面垂直的短線，稱為子午焦線，這個平面為子午焦面。當屏移動到弧矢像點Bs′所在的平面時，屏上會得到一條位于子午面內(nèi)與光軸垂直的短線，稱為弧矢焦線，這個平面為弧矢焦面。而屏從子午焦面移動到弧矢焦面時，屏上的光斑首先是一個長軸沿垂直子午面方向的橢圓，隨后橢圓的長軸逐漸變短，短軸逐漸變長，會逐漸變成一個圓的光斑，隨著屏的繼續(xù)移動，光斑變?yōu)殚L軸位于子午面內(nèi)的橢圓光斑。圖9-20像散對物點成像的影響上面討論了像散對物點成像的影響。對于一個有像散的光學系統(tǒng)，不能夠使物面上所有的物點成清晰的像。如圖9-21(a)所示，平面物為一組同心圓和沿半徑方向的直線組成，圓心在光軸上。假如成像系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)對稱，存在像散，則在子午焦面上的像中，各圓環(huán)的像很清楚，但沿半徑方向直線的像比較模糊，如圖9-21(b)所示，而在弧矢焦面上的像中，各圓環(huán)的像是模糊的，而沿半徑方向的直線的像比較清楚，如圖9-21(c)所示。如果光學系統(tǒng)存在像散，一個物面將形成兩個像面，在各個像面上不同方向的線條清晰度不同，像散嚴重時，軸外點得不到清晰像。光學系統(tǒng)的像散和物體在物面上的位置有關(guān)，像散的校正是使某一視場(一般是0.707視場)的像散值為零，而其他視場仍然有剩余像散。圖9-21像散對物面成像的影響9.3.5場曲仍然考慮物點發(fā)出的細光束的成像。由前面的分析知道，一個軸外物點將成位于不同平面上的兩個像點，即子午像點和弧矢像點。如果物點遍及物面一定的區(qū)域，則子午像點和弧矢像點在像空間將形成兩個像面，由于兩個像點的間距即像散與物點相對光軸的距離有關(guān)，因而兩個像面通常是兩個彎曲的曲面。如果物點在光軸上沒有像散，則兩個曲面在光軸上相切，如圖9-22所示。這種像面的彎曲稱為場曲，其中子午像面的彎曲稱為子午場曲，弧矢像面的彎曲稱為弧矢場曲。圖9-22場曲在不同視場時，利用子午像面和弧矢像面相對于高斯像面的軸向偏離衡量子午場曲和弧矢場曲，即xt′=lt′－l′xs′=ls′－l′

(9.3-6)場曲和像散的關(guān)系為xts′=xt′－xs′

(9.3-7)

球面光學系統(tǒng)存在像面彎曲也是球面本身的特性所決定的。如果沒有像散，子午像面和弧矢像面重合在一起，仍然會存在像面彎曲。當光學系統(tǒng)存在嚴重的場曲時，就不能使一個較大的平面物體上所有的物點同時清晰成像。當把中心調(diào)焦清晰，邊緣就變模糊，反之，邊緣調(diào)清晰，中心就變模糊。圖9-23是對一塊十字線分劃板進行調(diào)焦的情況。圖(a)是對中心調(diào)清晰，而邊緣模糊；圖(b)是對邊緣調(diào)清晰，而中心模糊。圖9-23場曲對物面成像的影響9.3.6畸變軸外物點成像，無論是寬光束還是細光束都有像差存在，即使只有主光線通過光學系統(tǒng)，由于球差的影響，它仍不能和理想的近軸光相一致。因此，主光線和高斯像面交點的高度不等于理想像高，這種差別就是系統(tǒng)的畸變。隨著視場改變，畸變值也改變。例如，一垂直于光軸的平面物體，其圖案如圖9-24(a)所示，它由成像質(zhì)量良好的光學系統(tǒng)所成的像應(yīng)該是一個和原來物體完全相似的方格。但是，在有些光學系統(tǒng)中也會出現(xiàn)如圖中(b)或(c)那樣的成像情況。這種成像發(fā)生變形的缺陷，稱為畸變，其中圖9-24(b)表示枕形畸變(正畸變)，圖9-24(c)表示桶形畸變(負畸變)。圖9-24畸變對成像的影響光學系統(tǒng)產(chǎn)生畸變的原因是，在一對物、像共軛平面上，垂軸放大率β隨視場角大小而改變，不再保持常數(shù)，使像相對于物失去了相似性。設(shè)軸外高為y的物點的高斯像高為y0′，其主光線在高斯像面上交點的高度為y′，則畸變表示為δy′=y′－y0′

(9.3-8)上式給出的是絕對畸變。光學設(shè)計中，也常用絕對畸變相對于理想像高y0′的百分比來表示，稱為相對畸變，以q′表示：(9.3-9)如果理想成像的垂軸放大率為β0，即β0=y0′/y，實際放大率β定義為β=y′/y，則上式可以表示為(9.3-10)如果|β|隨著物點到光軸的距離增大而增大，則為正畸變或枕形畸變；反之，為負畸變或桶形畸變。結(jié)構(gòu)完全對稱的光學系統(tǒng)，以β＝－1成像，畸變能自動消除。對于薄透鏡或薄透鏡組光學系統(tǒng)，當光闌與它們重合時，也不產(chǎn)生畸變。當光闌不與透鏡組重合時，光闌的位置對于畸變有明顯的影響。9.3.7位置色差(軸向色差)在實際應(yīng)用中，絕大部分光學儀器用白光成像。白光是各種不同波長(或顏色)單色光的組合，它經(jīng)光學系統(tǒng)成像可看成是同時對各種單色光的成像，各單色光成像時都具有前面所述的各種單色像差。由于構(gòu)成光學系統(tǒng)光學元件的材料存在色散，光學系統(tǒng)的元件，譬如透鏡對不同波長的單色光具有不同的折射率，從而當白光經(jīng)過光學系統(tǒng)第一個表面折射以后，各種色光就被分開，隨后它們就在光學系統(tǒng)內(nèi)以各自的光路傳播，造成了各種色光之間成像位置和大小的差異，即造成了不同波長的單色像差之間的差異?，F(xiàn)考慮軸上物點經(jīng)過單個薄透鏡在白光照明下的成像，如圖9-25所示。根據(jù)薄透鏡焦距公式(7.6-3)，透鏡的像方焦距是介質(zhì)折射率的函數(shù)。介質(zhì)一般都存在色散，在正常色散區(qū)，隨著波長的增大，折射率將變小。所以，對于正薄透鏡來說，紅光(表示為C)的像方焦距較大，然后是黃光(表示為D)，而藍光(表示為F)的像方焦距較小。因此，物點經(jīng)過薄透鏡成像，即使在近軸區(qū)也不能夠得到一個完善像，不同顏色的光波成像在光軸的不同位置，波長由短到長，它們的像點離開透鏡由近到遠排列在光軸上，這種現(xiàn)象稱為位置色差，也稱軸向色差。圖9-25位置色差在圖9-25中，如果用一個屏在不同位置接收像，則光場的分布不同。如果屏放在藍光像點所在的平面，這時屏上將得到一個中心為藍色、邊緣為紅色的彩色彌散斑；如果屏放在紅光像點所在的平面，這時屏上將得到一個中心為紅色、邊緣為藍色的彩色彌散斑；如果屏放在黃光像點所在的平面，這時屏上將得到一個中心為黃色的彩色彌散斑。若以數(shù)值表示位置色差，首先應(yīng)確定是對哪兩種色光考慮其色差。一般是以兩種消色差譜線中波長較長的譜線的像點位置為基準來確定色差。設(shè)λ1和λ2為消色差譜線的波長，且λ1<λ2，兩種波長的光成像的像方截距為和，則位置色差表示為(9.3-11)在光學系統(tǒng)中不同色光的位置色差不同，同時，不同色光的單色像差也不同。如果考慮到非近軸光線的成像，一種色光的位置色差和像差與光線在入瞳面上的位置有關(guān)。光學系統(tǒng)在校正單色像差和色差時，只能夠?qū)σ环N色光進行單色像差的校正，對兩種色光的某一帶光線進行位置色差校正。在靠近可見光譜區(qū)間邊緣的兩種色光為紅光和藍光，對人眼最敏感的是黃綠色光。所以目視儀器對黃綠色校正單色像差，對C光和F光校正位置色差。9.3.8倍率色差(垂軸色差)光學系統(tǒng)校正了位置色差以后，軸上點發(fā)出的兩種單色光通過系統(tǒng)后交于光軸上同一點，即認為兩種色光的像面重合在一起。如果是薄透鏡光組，當兩種色光的焦點重合時，則焦距相等，根據(jù)放大率公式β=－f/x可知，在像面上兩種光有相同的放大率。如為復(fù)雜光學系統(tǒng)，兩種色光的焦點重合，因主平面不重合而有不同的焦距，即有不同的放大率。實際上一般只能對兩種色光的一個帶光線校正位置色差，不能夠?qū)λ猩獾墓饩€校正位置色差。對軸外點來說，不同色光的垂軸放大率不一定相等。這時一個有一定高度的物體成像時，不同顏色的光波在一個像面上成像的高度不同，這種光學系統(tǒng)對不同色光的放大率的差異稱為倍率色差，也稱放大率色差或垂軸色差。倍率色差數(shù)值表示為軸外點發(fā)出兩種色光的主光線在消單色像差的色光高斯像面上的交點的高度之差。以目視光學系統(tǒng)為例，若被觀察面是黃綠光(D)的高斯像面，則所看到的F光和C光的像高是它們的主光線在D光高斯像面交點的高度YF′和YC′，如圖9-26所示，則倍率色差表示為ΔYFC′=YF′－YC′

(9.3-12)圖9-26倍率色差倍率色差是在高斯像面上量度的，故是垂軸(橫向)像差的一種。倍率色差嚴重時，物體的像有彩色邊緣，即各種色光的軸外點不重合。因此，倍率色差破壞軸外點像的清晰度，造成白色像的模糊。大視場光學系統(tǒng)必須校正倍率色差。所謂倍率色差校正，是指對所規(guī)定的兩種色光，在某一視場使倍率色差為零。9.4光學系統(tǒng)中一般光路計算9.4.1光學系統(tǒng)計算光路的分類光學系統(tǒng)實際的光路有無數(shù)多條，在通過光路計算分析光學系統(tǒng)的成像質(zhì)量問題時，一般應(yīng)該選擇具有代表性的若干條光路計算。根據(jù)需要計算的光路不同，一般可以分為以下四種。①近軸光線的光路計算。②子午面內(nèi)光路的計算。③沿主光線的細光束光路計算。④空間光路的計算。9.4.2光學系統(tǒng)近軸光線的光路計算近軸光線的光路計算主要是確定近軸區(qū)成像的高斯像面和各物點的高斯像點的位置。近軸光線一般分為兩類，分別稱為第一近軸光線和第二近軸光線，如圖9-27所示。第一近軸光線是指由物面上位于光軸上物點發(fā)出的經(jīng)過入瞳邊緣的光線。該光路的出射光線與光軸的交點就是高斯像面與光軸的交點。它用于確定高斯像面的位置。第二近軸光線是指由軸外物點發(fā)出的主光線。該光路的出射光線和高斯像面的交點就是物點的高斯像點。它用于確定軸外物點的高斯像點。圖9-27光路計算的近軸光線對于球面系統(tǒng)，近軸光線的光路計算采用的公式就是第7章討論的折射球面的近軸區(qū)光路計算公式，即(7.2-7)式，只要知道了入射光線經(jīng)過第一個球面的初始參數(shù)，結(jié)合轉(zhuǎn)面公式，就可以確定出射光線，即可求解整個光路。在此，主要給出光路計算的初始參數(shù)，即入射光線經(jīng)過第一個折射球面時的物方截距l(xiāng)1和物方孔徑角u1。如圖9-27所示，假設(shè)物面距離光學系統(tǒng)第一個折射球面的物距為l，入瞳相對第一個折射球面頂點的線度為lp，入瞳的直徑為D，物高為y，則第一近軸光線的初始參數(shù)：當物面位于有限距離時，(9.4-1a)(9.4-1b)當物面位于無限遠時，入射光線為平行光軸，光線參數(shù)為光線的高度，即第二近軸光線的初始參數(shù)：當物面位于有限距離時，(9.4-2b)當物面位于無限遠時,l1=lp，u1=ωω為物點相對光軸對于入瞳中心的張角。(9.4-2a)9.4.3光學系統(tǒng)子午面內(nèi)光線的光路計算對于球面系統(tǒng)，子午面內(nèi)光線的光路計算公式是第7章討論的折射球面的光路計算公式，即(7.2-1)式，只要知道了入射光線經(jīng)過第一個球面的初始參數(shù)，結(jié)合轉(zhuǎn)面公式，就可以確定出射光線，即可求解整個光路。在此，主要給出光路計算的初始參數(shù)，即入射光線經(jīng)過第一個折射球面時的物方截距L1和物方孔徑角U1。子午面內(nèi)光路對于成像的影響，主要取決于物點的位置和物點發(fā)出的光線在入瞳面上的位置，所以確定入射光線通常是指光線在物面和入瞳面上的位置，即距離光軸的高度。由于不同光學系統(tǒng)的物面大小和入瞳大小不同，通常采用歸一化的參數(shù)給出，即孔徑取點系數(shù)和視場取點系數(shù)。假如光學系統(tǒng)入瞳的半徑為η0，入射光線在入瞳面上的高度為η，稱Kη=η/η0為孔徑取點系數(shù)。顯然，－1≤Kη≤1，一般稱Kη＝1的光線為上光線，稱Kη＝－1的光線為下光線，對于主光線，Kη＝0。當物方半視場角為ω0，物面上物點主光線的孔徑角為ω，則稱Kw=ω/ω0為視場取點系數(shù)。顯然，－1≤Kw≤1，在軸對稱光學系統(tǒng)中，由于光軸上點的成像和光軸下對稱點的成像特性相同，故一般取－1≤Kw≤0。根據(jù)物面的位置不同，子午面內(nèi)光路的計算分為兩種情況，即物面位于無窮遠處和物面位于有限距離處。

1.物面位于無窮遠處入射光線的參數(shù)

1)物點位于光軸外如圖9-28所示，由物點發(fā)出進入光學系統(tǒng)的光束為平行光束，這時所有入射光線和光軸的夾角相等，等于物點對應(yīng)的物高對于入瞳中心的張角ω，可以用視場取點系數(shù)Kw表示為U1=ω0Kw

(9.4-3a)對于入瞳面上高度為η的入射光線，其物方截距為L1=lp+η0Kηcot(ω0Kw)

(9.4-3b)

在實際計算中，根據(jù)要求計算的光路數(shù)目不同，可以選擇不同的視場取點系數(shù)Kw和孔徑取點系數(shù)Kη。如果軸外物點只需要計算三條光路，則一般選擇Kw＝－1，Kη＝－1，0和1。圖9-28無窮遠物點光線參數(shù)

2)物點位于光軸上這時物點發(fā)出進入光學系統(tǒng)的光束為平行于光軸的平行光束，入射光線參數(shù)由其相對光軸的高度確定。對于入瞳面上高度為η的入射光線，入射光線的參數(shù)為h1=η0Kη(9.4-4)

2.物面位于有限距離處入射光線的參數(shù)如圖9-29所示，入射光線的參數(shù)由光線在物面上的高度y和入瞳面上的高度η唯一確定。y和η可以用視場取點系數(shù)Kw和孔徑取點系數(shù)Kη表示為η=η0Kηy=(lp－l)tan(ω0Kw)

(9.4-5)圖9-29有限遠物點光線參數(shù)根據(jù)圖9-29中關(guān)系可得(9.4-6a)(9.4-6b)當物點位于光軸上，即Kw=0時，上式可以簡化為(9.4-7a)(9.4-7b)其中U0為系統(tǒng)物方孔徑角。如果軸外物點只需要計算三條光路，則一般選擇Kw＝－1，Kη＝－1，0和1。9.4.4沿軸外物點主光線細光束的光路計算根據(jù)前面沿主光線細光束像散的分析已知，這時子午面內(nèi)的光束和弧矢面內(nèi)的光束經(jīng)過單個折射球面后，交于主光線上不同的位置，其中上、下光線和主光線的交點形成子午像點Bt′，主光線和前后光線交點形成弧矢像點，弧矢像點實際上就是主光線和輔軸的交點Bs′，如圖9-30所示?，F(xiàn)在討論子午像點和弧矢像點的計算公式。圖9-30軸外物點發(fā)出的沿主光線的細光束成像計算

1.子午像點的計算沿主光線細光束的子午像點和弧矢像點均位于主光線上，主光線的光路為子午面內(nèi)的光路，可以通過本節(jié)第二部分求解，所以像面分析假設(shè)主光線的光路已經(jīng)計算，它的光路參數(shù)已知。與子午面內(nèi)光路計算物距和像距的度量方法不同，在子午像點和弧矢像點的計算中，物距和像距是沿主光線來定義的。如圖9-30所示，假如B點發(fā)出的主光線與第一個球面的交點為P，則物點B的物距以B沿主光線相對P的線度定義，表示為t，因t<0，所以線段長度BP＝－t。同樣，子午像點Bt′到球面上P的線度為t′，則Bt′到P的線段的長度為PBt′＝t′。如果上光線和球面的交點為M；以物點為原點，過P點畫圓弧交上光線于Q點；以子午像點Bt′為原點，過P點畫圓弧交上光線的出射光線于N，主光線在球面上的入射角和折射角分別表示為I和I′，則圓弧PQ和PN與圓弧PM的關(guān)系為PQ=PM·cosI，PN=PM·cosI′如圖9-30所示，以輔軸為光軸度量角度，主光線物方和像方孔徑角為U和U′。當光線從主光線變化到上光線，則物方孔徑角的變化為dU＝－∠PBM(dU為負值)，像方孔徑角的變化為dU′＝∠PBt′N。由弧度角的定義，物方和像方孔徑角的變化可以由圓弧PM表示為((((由于圓弧PM在球面上，設(shè)輔軸與球面P點的法向夾角為j，有PM=rdj，所以rdj

cosI=tdU，rdj

cosI′=t′dU′

由j=I+U=I′+U′，有dj=dI+dU=dI′+dU′，代入上式得((((((9.4-8)又由于在折射球面上滿足折射定律nsinI=n′sinI′，所以ndIcosI=n′dI′cosI′

(9.4-9)代入(9.4-8)式，有(9.4-10)

2.弧矢像點的計算以主光線與球面的交點P為參考點，沿主光線，物點B相對P點的線度為s，弧矢像點Bs′到球面的線度為s′。在△BPC和△Bs′PC中應(yīng)用正弦定理有(9.4-11a)(9.4-11b)將n′乘以(9.4-11b)式再減去n乘以(9.4-11a)式，得(9.4-12)由于n′sinU′－nsinU=n′sin(j－I′)－nsin(j－I)

=sinj(n′cosI′－ncosI)將其代入(9.4-12)式，可得(9.4-13)

3.轉(zhuǎn)面公式由于物距和像距不同于子午面內(nèi)光路計算中物距和像距的度量，因而轉(zhuǎn)面公式也不同于子午面內(nèi)光路計算的轉(zhuǎn)面公式。如圖9-31所示，主光線與第i個和第i+1個球面的交點為Pi和Pi+1，第i個球面成像后，子午像點和弧矢像點為Bti′和Bsi′，則第i+1個球面成像時子午像點的物距和弧矢像點的物距分別為ti+1=ti′－PiPi+1si+1=si′－PiPi+1

即在子午面內(nèi)光路計算的轉(zhuǎn)面公式中，以相鄰兩個球面間主光線的長度PiPi+1代替原來相鄰球面間的空間間隔di。當主光線的光路計算后，PiPi+1就可以計算出。(9.4-14)圖9-31子午像點和弧矢像點計算的轉(zhuǎn)面關(guān)系9.5光學系統(tǒng)設(shè)計軟件——ZEMAX簡介9.5.1

ZEMAX基本概況

ZEMAX起初是由美國FocusSoftwareInc.開發(fā)，現(xiàn)在是合并更名后的RadiantZemax公司的產(chǎn)品。ZEMAX是一套綜合性的模擬、分析和輔助設(shè)計光學系統(tǒng)程序，它將實際光學系統(tǒng)的設(shè)計概念、優(yōu)化、分析、公差以及報表整合在一起，可進行光學組件設(shè)計與照明系統(tǒng)的照度分析，也可建立反射，折射，衍射等光學模型，它不僅是一套輔助設(shè)計軟件，更是全功能的光學設(shè)計分析軟件，具有直觀、功能強大、靈活、快速、容易使用等優(yōu)點。目前有三種不同的版本：ZEMAX-SE（標準版本）、ZEMAX-XE（擴展版本）和ZEMAX–EE（工程版本），其中ZEMAX-XE的包含了ZEMAX-SE的所有功能，ZEMAX-EE的包含了ZEMAX-XE的所有功能，所以ZEMAX–EE版本功能最強大。

ZAMAX功能強大，采用菜單式操作界面，容易操作，菜單條目較多。ZAMAX的使用手冊對其操作和功能進行了詳細的介紹，同時也有一些基本的實例。在ZEMAX使用手冊中，主要對其各項功能的使用進行了詳細的介紹，但未介紹基本的物理原理，所以要求使用者具備一定的光學理論和光學系統(tǒng)設(shè)計的基本知識。本節(jié)內(nèi)容并不詳細介紹ZEMAX的操作和使用，僅作為初級使用者的一個入門教程，基于前面介紹的理論，幫助大家能夠使用它的基本功能，并進行基本的光學設(shè)計。具體內(nèi)容分四部分：ZEMAX的設(shè)計環(huán)境介紹、光學系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計、成像分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化，將從完成一個光學系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計、系統(tǒng)性能分析和優(yōu)化整個過程，介紹ZEMAX軟件，并只介紹其部分最基本的功能。9.5.2

ZEMAX設(shè)計環(huán)境

ZEMAX的開發(fā)環(huán)境由一些窗口構(gòu)成，主要包括主窗口(MainWindows)、編輯窗口(EditorWindows)、圖形窗口(GraphicWindows)、文本窗口(TextWindows)和對話框(Dialogs)。主窗口是ZEMAX的重要開發(fā)環(huán)境，當ZEMAX程序運行后就進入該窗口。它主要由位于頂端的主菜單和工具欄以及下端的狀態(tài)欄構(gòu)成。菜單欄給出了ZEMAX各個功能的入口，也包括別的窗口的入口，主要有文件欄(File)、編輯欄(Editors)、系統(tǒng)欄(System)、分析欄(Analysis)、工具欄(Tools)、報表欄(Reports)、宏指令欄(Macro)、擴展命令欄(Extensions)、窗口欄(Window)和幫助欄(Help)，見圖9-32。圖9-32

ZEMAX的主窗口文件欄主要用于文件的生成(New)、打開(Open)、保存(Save)和重命名(Saveas)、退出系統(tǒng)(Exit)、工作環(huán)境基本參數(shù)的設(shè)置(Preference)等菜單項。Preference菜單項可以設(shè)置工作目錄、圖形窗口、文本窗口、編輯窗口等基本屬性。在ZEMAX主窗口菜單欄下面有48個快捷按鈕，在最下端有四個狀態(tài)顯示欄，用戶按照自己的要求可以在Preference菜單項中進行定義。編輯欄用于進行光學系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的輸入和編輯，也包括輸入的撤消命令(Undo)。點擊編輯菜單項可以彈出相應(yīng)的編輯或文本窗口，譬如下面的用于光學系統(tǒng)元件參數(shù)設(shè)置的LensDataEditor。

系統(tǒng)欄用于光學系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)置，譬如光學系統(tǒng)的孔徑，物點在物平面上的位置，光學系統(tǒng)工作的波長等與成像有關(guān)的光學系統(tǒng)參數(shù)。點擊系統(tǒng)欄中菜單項可以彈出相關(guān)參數(shù)設(shè)置的對話框。編輯欄和系統(tǒng)欄參數(shù)的設(shè)置將在本節(jié)第三部分介紹。分析欄的命令不會改變原來設(shè)定光學系統(tǒng)的參數(shù)，它根據(jù)設(shè)定的系統(tǒng)參數(shù)畫出光學系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，分析光學系統(tǒng)的成像特性，譬如分析系統(tǒng)的像差和色差、傳遞函數(shù)和光路計算結(jié)果等。點擊分析欄中菜單項或子菜單項可以彈出相應(yīng)的窗口。它將在本節(jié)第四部分介紹。

工具欄的命令將整體分析優(yōu)化光學系統(tǒng)的成像特性，它有可能改變原來光學系統(tǒng)的基本參數(shù)。它的基本操作和用法將在本節(jié)第五部分介紹。報表欄的命令以文本的形式給出光學系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)的參數(shù)或元件的參數(shù)。點擊分析欄中菜單項或子菜單項可以彈出文本窗口。

宏指令欄的命令用于編輯和運行ZPL宏。窗口欄中按照窗口標題列出了當前被激活的所有窗口，點擊任何一個將被置于屏幕的最前端。

幫助欄提供在線幫助文檔。9.5.3光學系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的設(shè)定

ZEMAX并不是一個完全的光學系統(tǒng)的設(shè)計軟件，也就是說，你不可以輸入你對光學系統(tǒng)光學參數(shù)和性能的要求，就要求ZEMAX設(shè)計出滿足你要求的光學系統(tǒng)。在采用ZEAMX分析和輔助設(shè)計光學系統(tǒng)以前，你應(yīng)該選擇并輸入你要設(shè)計的光學系統(tǒng)基本結(jié)構(gòu)。本節(jié)主要介紹在如何將你選擇好的模型輸入到ZEMAX中，以便它可以幫助你進行成像分析和結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

ZEMAX有兩種程序模式，即Sequentialmode和Non-Sequentialmode。在Non－Sequentialmode中，光線的傳播比較復(fù)雜，程序會根據(jù)光學元件的空間分布，追蹤光線的傳播，這時光線可能要多次經(jīng)過一個光學元件，它一般用于光的散射等問題的分析，不用于成像光學系統(tǒng)。在Sequentialmode中，嚴格按照光線在實際傳播過程中經(jīng)過各個光學元件的順序輸入光學元件，主要用于光學成像系統(tǒng)的分析和輔助設(shè)計。兩種模式下光學系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)

置基本相同，下面以在Sequentialmode下完成一個光學系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)置、分析和輔助優(yōu)化為例進行介紹。

1.系統(tǒng)參數(shù)系統(tǒng)參數(shù)主要包括波長、用于光路分析和成像評價的成像的物點和光學系統(tǒng)孔徑。

(1)波長點擊主窗口菜單的System欄下的Wavelength菜單項，可以彈出波長設(shè)置的對話框。ZEMAX支持同時設(shè)置多達12種波長，可以直接輸入，也可以通過對話框下面的下拉式單選框選擇輸入。在下拉式單選框中，列出了主要的原子光譜譜線波長和目視光學儀器的色差分析和矯正用的光波波長。在波長的數(shù)值后面有一個單選框，用來選擇主波長，在光學系統(tǒng)進行近軸基點、物像共軛面位置以及像差分析、矯正色差等操作時一般采用主波長。

(2)物點光學系統(tǒng)進行成像分析時許多輸出和物點的位置有關(guān)，需要設(shè)置物點。點擊主窗口菜單的System欄下的Fields菜單項，可以彈出物點設(shè)置的對話框。在此可以設(shè)置多達12個物點。物點有四種設(shè)置方法，即Angle、Objectheight、Paraxialimageheight和Realimageheight，可以通過窗口頂端的單選框選擇。Angle選項設(shè)置物點到入瞳中心的張角，Objectheight選項設(shè)置物點相對光軸的距離，Paraxialimageheight選項設(shè)置近軸區(qū)像點，Realimageheight選項設(shè)置按照主光線得到的像點。

(3)光學系統(tǒng)孔徑點擊主窗口菜單的System欄下的General菜單項，可以彈出一個對話框，它包含多個頁面，其中Aperture頁面用于設(shè)置光學系統(tǒng)的孔徑的大小?？讖降脑O(shè)置可以有多種方法，比如直接設(shè)置入瞳的大小、數(shù)值孔徑、F數(shù)或?qū)ｉT指定孔徑光闌，可以通過下拉式單選框Aperturetype來選擇。

2.結(jié)構(gòu)的設(shè)置

ZEMAX中的光學元件，可以是幾何光學元件，譬如透鏡、平面鏡、球面鏡等，也可以是物理光學元件，譬如光柵、Fresnel波帶板等。每個光學元件被分解為一個或多個界面，以便通過設(shè)置各個界面上的參數(shù)來實現(xiàn)目的。各個界面的參數(shù)可以包括基本參數(shù)和附加參數(shù)?；緟?shù)在LensDataEditor窗口中設(shè)置，點擊主窗口菜單的Editor欄下的LensData菜單項，可以彈出該編輯窗口。該編輯窗口的主體是一個可以進行文本編輯的表格，表格的行代表光學系統(tǒng)的一個界面，表格的列給出了界面的各個參數(shù)。當打開LensDataEditor時，一般有三行，分別是物面、光闌和像面，可以通過該窗口的菜單Edit的子菜單項命令在物面和像面之間選擇插入或刪除界面，界面按照在表格中的順序自上向下編號，編號從0開始，即物面的界面編號為0。各個界面的基本參數(shù)可以分為兩個部分，其中第一個部分是對多數(shù)界面，它的定義基本