黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)綜合題三理含解析

PAGE23-黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)綜合題（三）理（含解析）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【詳解】解:∵,復(fù)數(shù)的虛部是．故選:C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)的計(jì)算題.2.已知，函數(shù)，若滿意關(guān)于的方程，則下列選項(xiàng)的命題中為假命題的是A. B.C. D.【答案】C【解析】試題分析：因?yàn)?，滿意關(guān)于的方程，所以，，使取得最小值，因此，是假命題，選C．考點(diǎn)：方程的根，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，全稱命題、存在性命題．點(diǎn)評(píng)：小綜合題，二次函數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，使函數(shù)取得最小值．3.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了聞名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處起先，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)競(jìng)賽起先后，若阿基里斯跑了1000米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜仍舊前于他10米.當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)10米時(shí)，烏龜仍舊前于他1米……，所以，阿基里斯恒久追不上烏龜.依據(jù)這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時(shí)，烏龜爬行的總距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)烏龜爬行的距離成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)烏龜爬行的距離成等比數(shù)列，則，，，，即烏龜爬行的總距離為.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)學(xué)史和等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是明確烏龜爬行的距離成等比數(shù)列，進(jìn)而利用等比數(shù)列的學(xué)問(wèn)來(lái)進(jìn)行求解.4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個(gè)正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由三視圖可還原幾何體，設(shè)為等邊三角形的中心，可驗(yàn)證出即為三棱錐外接球球心，進(jìn)而利用球的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可還原幾何體，取中點(diǎn)，設(shè)為等邊三角形的中心，連接，如下圖所示：為等邊三角形，為其中心，，由三視圖可知：平面，又平面，，，，為中點(diǎn)，，，為三棱錐外接球的球心，為半徑，則，三棱錐外接球的表面積.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查棱錐外接球表面積的求解問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠確定球心的詳細(xì)位置，結(jié)合球的表面積公式求得結(jié)果.5.如圖3給出的是計(jì)算的值的一個(gè)程序框圖，其中推斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：由題意，該程序按如下步驟運(yùn)行:經(jīng)過(guò)第一次循環(huán)得到；經(jīng)過(guò)其次次循環(huán)得到；經(jīng)過(guò)第三次循環(huán)得到；,看到S中最終一項(xiàng)的分母與的關(guān)系是：分母=,∴解得時(shí)須要輸出,所以推斷框的條件應(yīng)為,故選C.考點(diǎn)：算法框圖.6.將函數(shù)向右至少平移多少個(gè)單位，才能得到一個(gè)偶函數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】寫出函數(shù)向右平移之后的函數(shù)解析式，，函數(shù)為偶函數(shù)，即，即可得解.【詳解】設(shè)函數(shù)向右平移個(gè)單位之后是偶函數(shù)，即是偶函數(shù)，則，，最小的正數(shù)，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)故選：B【點(diǎn)睛】此題考查求函數(shù)平移之后的解析式，依據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的取值，須要嫻熟駕馭三角函數(shù)的圖象性質(zhì).7.已知橢圓，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，則（）A.1 B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線方程，依據(jù)得縱坐標(biāo)關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【詳解】由題：橢圓，右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線，設(shè)，聯(lián)立，得：，，，所以，得，即，，所以故選：B【點(diǎn)睛】此題考查依據(jù)直線與橢圓交點(diǎn)關(guān)系的向量表示求直線方程，結(jié)合韋達(dá)定理解決根的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)直線方程利于化簡(jiǎn)變形，此題作為選擇題，若能熟記焦點(diǎn)弦兩段比例與直線斜率和橢圓離心率的等量關(guān)系可以大大縮短解題時(shí)間.8.“仁義禮智信”為儒家“五?！庇煽鬃犹岢觥叭省⒘x、禮”,孟子延長(zhǎng)為“仁、義、禮、智”,董仲舒擴(kuò)充為“仁、義、禮、智、信”.將“仁義禮智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用特別元素及捆綁法得“仁”排在第一位,且“智信”相鄰的排法有種排法,利用古典概型求解即可【詳解】“仁義禮智信”排成一排,隨意排有種排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相鄰的排法有種排法,故概率故選：A【點(diǎn)睛】本題考查排列問(wèn)題及古典概型，特別元素優(yōu)先考慮，捆綁插空常見(jiàn)方法，是基礎(chǔ)題9.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點(diǎn)．那么異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于()．A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則O(1,1,0)，E(0,2,1)，D1(0,0,2)，F(xiàn)(1,0,0)，＝(－1,1,1)，＝(－1,0,2)，∴·＝3，||＝，||＝，∴cos〈，〉＝＝.即OE與FD1所成的角的余弦值為.10.若函數(shù)在其定義域的一個(gè)子區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因，故由題設(shè)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即，所以且，即，應(yīng)選答案D．11.已知兩正數(shù)，，滿意，則的最小值為（）A. B.4 C. D.8【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式可求得，將化為，依據(jù)對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可確定最小值.【詳解】，，，，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式、對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求解最值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠配湊出符合對(duì)勾函數(shù)的形式，易錯(cuò)點(diǎn)是在利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求解最值時(shí)，忽視自變量的取值范圍.12.已知點(diǎn)是雙曲線左支上的一點(diǎn)，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，，雙曲線離心率為，則（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正弦定理，得，，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】在中，由正弦定理：，，即，所以令，則，解得：.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查依據(jù)正弦定理結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)，求解離心率相關(guān)問(wèn)題，關(guān)鍵在于精確進(jìn)行三角恒等變換.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在答題卡相應(yīng)的位置上.）13.綻開(kāi)式中的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)式定理得到綻開(kāi)式通項(xiàng)，進(jìn)而得到綻開(kāi)式通項(xiàng)，令冪指數(shù)等于可求得，代入求得結(jié)果.【詳解】綻開(kāi)式通項(xiàng)公式為，綻開(kāi)式通項(xiàng)公式為，令，解得：，的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用二項(xiàng)式定理求解指定項(xiàng)的系數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵是嫻熟駕馭二項(xiàng)綻開(kāi)式通項(xiàng)公式的形式.14.學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出狀況，抽出了一個(gè)容量為且支出在元的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，依據(jù)此圖估計(jì)學(xué)生在課外讀物方面的支出費(fèi)用的中位數(shù)為_(kāi)_____元.【答案】【解析】【分析】依據(jù)各個(gè)小矩形面積分析出中位數(shù)在第三組，列方程即可求解.【詳解】第一個(gè)小矩形面積0.1，其次個(gè)小矩形面積0.24，第三個(gè)小矩形面積0.36，則第四個(gè)小矩形面積為0.30，前面兩個(gè)小矩形之和為0.34，所以中位數(shù)在第三組，設(shè)為x，，解得：.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查依據(jù)頻率分布直方圖求中位數(shù)，須要嫻熟駕馭中位數(shù)的求法，精確計(jì)算即可得解.15.中，，，，為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】依據(jù)三邊長(zhǎng)得出直角三角形，以作為基底，表示出，即可求得模長(zhǎng)，利用函數(shù)單調(diào)性求出最值.【詳解】中，，，，，依據(jù)勾股定理為邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，，則，依據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查平面對(duì)量基本定理的應(yīng)用，結(jié)合線性運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算，求模長(zhǎng)，依據(jù)函數(shù)性質(zhì)求最值.16.對(duì)于函數(shù)，若存在區(qū)間，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則稱為倍值函數(shù).下列函數(shù)為2倍值函數(shù)的是__________（填上全部正確的序號(hào)）．①②③④【答案】①②④【解析】分析：為倍值函數(shù)等價(jià)于，的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，且在上遞增，由此逐一推斷所給函數(shù)是否符合題意即可.詳解：為倍值函數(shù)等價(jià)于，的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，且在上遞增：對(duì)于①，與，有兩個(gè)交點(diǎn)，在上遞增，值域?yàn)?，①符合題意.對(duì)于②，與，有兩個(gè)交點(diǎn)，在上遞增，值域?yàn)?，②符合題意.對(duì)于③，與，沒(méi)有交點(diǎn)，不存在，，值域?yàn)?，③不合題意.對(duì)于④，與兩個(gè)交點(diǎn)，在上遞增，值域?yàn)?，④合題意，故答案為①②④.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象與性質(zhì)、新定義問(wèn)題及數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.新定義題型的特點(diǎn)是：通過(guò)給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)全新的問(wèn)題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目供應(yīng)的信息，聯(lián)系所學(xué)的學(xué)問(wèn)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到敏捷解題的目的.遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐性讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清爽定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問(wèn)題得以解決.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）將函數(shù)化簡(jiǎn)，依據(jù)最小正周期即可得解；（2）整體考慮，，即可得解.【詳解】（1）整理得，由最小正周期為，所以.（2）由（1）知，，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】此題考查依據(jù)三角函數(shù)的周期求參數(shù)值，求函數(shù)在某一區(qū)間的值域，關(guān)鍵在于精確進(jìn)行三角恒等變換.18.甲、乙兩位同學(xué)各有張卡片，現(xiàn)以投擲一枚骰子的形式進(jìn)行嬉戲，當(dāng)擲稀奇數(shù)點(diǎn)時(shí)．甲贏得乙卡片一張，當(dāng)擲出偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，乙贏得甲卡片一張．規(guī)定投擲的次數(shù)達(dá)到次，或在此之前某人贏得對(duì)方全部卡片時(shí)，嬉戲終止.（1）設(shè)表示嬉戲終止時(shí)投擲的次數(shù)，求的分布列及期望；（2）求在投擲次嬉戲才結(jié)束的條件下，甲、乙沒(méi)有分出輸贏的概率．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，；（2）.【解析】【分析】（1）可能取值為、、，計(jì)算出隨機(jī)變量在不同取值下的概率，可得出隨機(jī)變量的分布列，并可計(jì)算出的數(shù)學(xué)期望；（2）令投次沒(méi)分出輸贏的事務(wù)為，投擲次嬉戲才結(jié)束為事務(wù)，投次能分出輸贏的事務(wù)為，分別計(jì)算出其概率，再利用條件概率計(jì)算公式即可得出．【詳解】（1）可能取值為、、，，，.隨機(jī)變量的分布列如下表所示：所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為；（2）令投次沒(méi)分出輸贏的事務(wù)為，投擲次嬉戲才結(jié)束為事務(wù)，投次能分出輸贏的事務(wù)為，則，，，.【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)變量分布列以及離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，同時(shí)也考查了條件概率公式的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.19.如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且滿意.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若平面與平面所成銳二面角為，試確定點(diǎn)的位置.【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且【解析】【分析】（Ⅰ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)可證得結(jié)論；（Ⅱ）依據(jù)二面角的向量求法可構(gòu)造方程求得，進(jìn)而得到點(diǎn)位置.【詳解】（Ⅰ）由題意知：兩兩相互垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示：則，，，，，設(shè)，由得：，，，，.（Ⅱ）平面，平面的一個(gè)法向量為；設(shè)平面的法向量，又，，，令，則，，，，解得：，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上且.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法證明立體幾何中的線線垂直關(guān)系、依據(jù)二面角大小求解點(diǎn)的位置的問(wèn)題；關(guān)鍵是能夠利用變量表示出點(diǎn)的坐標(biāo)和平面的法向量，進(jìn)而利用二面角的余弦值構(gòu)造方程求得變量.20.已知函數(shù).（Ⅰ）若，求的極值；（Ⅱ）已知有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且.（i）求取值范圍；（ii）求證：.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）（i）；（ii）見(jiàn)解析【解析】分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)單調(diào)性，由極值定義可知極大值為，微小值為，代入可求得極值；（Ⅱ）（i）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等正根問(wèn)題的求解，利用一元二次方程根的分布的學(xué)問(wèn)可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果；（ii）由和可知，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，進(jìn)而得到最值，使得結(jié)論得證.【詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為；微小值為.（Ⅱ）（i），令，則有兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于有兩個(gè)不等正根，，解得：.（ii）由（i）知：，，，，令，，則單調(diào)遞增，，即.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在探討函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值、依據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問(wèn)題；本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過(guò)放縮的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問(wèn)題.21.如圖，已知橢圓：的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，、分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）記、的面積分別為、，若，求的值；（Ⅲ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線與直線相交于點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）依據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)、離心率和橢圓關(guān)系可求得，進(jìn)而得到橢圓方程；（Ⅱ）由面積比可得到，由此利用表示出，依據(jù)兩點(diǎn)橢圓上，代入整理求得，進(jìn)而得到所求斜率；（Ⅲ）利用點(diǎn)差法可求得，求得點(diǎn)坐標(biāo)后可得到；將直線方程與橢圓方程聯(lián)立后可求得坐標(biāo)，由三點(diǎn)共線可整理得到，進(jìn)而得到；將上述三個(gè)關(guān)系式代入整理可得最終結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，即，，又，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，.，，又，，，，代入坐標(biāo)可得：，即，又點(diǎn)、在橢圓上，，解得：，直線的斜率；（Ⅲ）點(diǎn)，在橢圓上，，兩式相減得：，即，，即，直線的方程為，令得：，即，，又直線的方程為，與橢圓聯(lián)立整理得：，，解得：，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為.又點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，，整理得：，由題意知：，，，由可得：，即..【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、橢圓中三角形面積問(wèn)題的求解、橢圓中的定值問(wèn)題；求解定值問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠利用一個(gè)變量表示出所求的式子，進(jìn)而通過(guò)化簡(jiǎn)、消元得到定值.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一