浙江省2025屆高考數學一輪復習第八章立體幾何與空間向量第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積含解析

PAGE第2節(jié)空間幾何體的表面積與體積考試要求了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式.知識梳理1.多面體的表(側)面積多面體的各個面都是平面，則多面體的側面積就是全部側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和.2.圓柱、圓錐、圓臺的側面綻開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面綻開圖側面積公式S圓柱側＝2πrlS圓錐側＝πrlS圓臺側＝π(r1＋r2)l3.柱、錐、臺和球的表面積和體積表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3[常用結論與易錯提示]1.表面積應為側面積和底面積的和，要留意組合體中哪些部分暴露或遮擋.2.求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：干脆依據相關的體積公式計算.(2)等積法：依據體積計算公式，通過轉換空間幾何體的底面和高使得體積計算更簡單，或是求出一些體積比等.(3)割補法：把不能干脆計算體積的空間幾何體進行適當的分割或補形，轉化為可計算體積的幾何體.診斷自測1.推斷下列說法的正誤.(1)錐體的體積等于底面面積與高之積.()(2)球的體積之比等于半徑比的平方.()(3)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差.()(4)已知球O的半徑為R，其內接正方體的邊長為a，則R＝eq\f(\r(3),2)a.()解析(1)錐體的體積等于底面面積與高之積的三分之一，故不正確.(2)球的體積之比等于半徑比的立方，故不正確.答案(1)×(2)×(3)√(4)√2.已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側面綻開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A.1cm B.2cmC.3cm D.eq\f(3,2)cm解析S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4，∴r＝2(cm).答案B3.(2024·北京通州期末)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側面中面積最小的側面面積為()A.1 B.eq\r(2)C.2 D.eq\r(5)解析由三視圖畫出該四棱錐的直觀圖，如圖所示：在此四棱錐P－ABCD的四個側面中，面積最小的側面是Rt△PBC，它的面積為eq\f(1,2)BC·PB＝eq\f(1,2)×1×eq\r(22＋22)＝eq\r(2).答案B4.(2024·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A.2 B.4C.6 D.8解析由三視圖可知，該幾何體是一個底面為直角梯形的直四棱柱，所以該幾何體的體積V＝eq\f(1,2)×(1＋2)×2×2＝6.故選C.答案C5.(2024·江蘇卷)如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點，則三棱錐E－BCD的體積是________.解析設長方體中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，則abc＝120，∴VE－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,12)abc＝10.答案106.(2024·杭州質檢)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是________cm3；表面積是________cm2.解析由三視圖得該幾何體為一個長、寬、高分別為6，6，8的長方體挖去兩個底面半徑為3，高為4的圓錐體后剩余的部分，則其體積為6×6×8－2×eq\f(1,3)×4×π×32＝288－24π，表面積為2(6×6＋6×8＋6×8)－2×π×32＋2×eq\f(1,2)×5×2×π×3＝264＋12π.答案288－24π264＋12π考點一空間幾何體的表面積【例1】(1)(2024·溫州適應性測試)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是()A.8cm2 B.12cm2C.(4eq\r(5)＋2)cm2 D.(4eq\r(5)＋4)cm2(2)(2024·浙江新高考仿真卷五)圓柱被一個平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16＋20π，則r＝()A.1 B.2C.4 D.8解析(1)由視圖得該幾何體是底面為邊長為2的正方形，高為2的正四棱錐，則其側面的高為eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，所以該幾何體的表面積為2×2＋4×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝4＋4eq\r(5)，故選D.(2)由三視圖得該幾何體為一個半球和一個半圓柱的組合體，且半圓柱的底面和半球體的一半底面重合，則其表面積為eq\f(1,2)×4πr2＋πr2＋2r×2r＋eq\f(1,2)×2πr×2r＝4r2＋5πr2＝16＋20π，解得r＝2，故選B.答案(1)D(2)B規(guī)律方法空間幾何體表面積的求法.(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數量.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積留意連接部分的處理.(3)旋轉體的表面積問題留意其側面綻開圖的應用.【訓練1】(1)一個幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與側視圖均為半徑是2的圓，則這個幾何體的表面積是________.(2)(2024·浙江新高考仿真卷一)《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.現有一“陽馬”P－ABCD，已知其體積為8，AB＝2，BC＝3，則該“陽馬”的最長側棱長為________，表面積為________.解析(1)依據給定的三視圖可知該幾何體為eq\f(3,4)個球體，其半徑為2，因此該幾何體的表面積為S＝eq\f(3,4)×4π×22＋π×22＝16π.(2)由題意知，該“陽馬”直觀圖如圖所示.由體積V＝eq\f(1,3)×AB×BC×PA＝8可知高PA＝4，∴該四棱錐的最長側棱長PC＝eq\r(AC2＋PA2)＝eq\r(29)，表面積為2×3＋eq\f(1,2)(2×4＋3×4＋2×5＋3×2eq\r(5))＝21＋3eq\r(5).答案(1)16π(2)eq\r(29)21＋3eq\r(5)考點二空間幾何體的體積【例2】(1)(一題多解)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A.90π B.63πC.42π D.36π(2)(2024·北京卷)某幾何體是由一個正方體去掉一個四棱柱所得，其三視圖如圖所示.假如網格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為________.解析(1)法一(割補法)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得，如圖所示.將圓柱補全，并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分.由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的eq\f(1,2)，所以該幾何體的體積V＝π×32×4＋π×32×6×eq\f(1,2)＝63π.法二(估值法)由題意知，eq\f(1,2)V圓柱<V幾何體<V圓柱，又V圓柱＝π×32×10＝90π，∴45π<V幾何體<90π.視察選項可知只有63π符合.(2)如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，去掉四棱柱MQD1A1－NPC1B1(其底面是一個上底為2，下底為4，高為2的直角梯形)所得的幾何體為題中三視圖對應的幾何體，故所求幾何體的體積為43－eq\f(1,2)×(2＋4)×2×4＝40.答案(1)B(2)40規(guī)律方法空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可干脆用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可干脆利用公式進行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能干脆利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先依據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后依據條件求解.【訓練2】(1)(2024·浙江卷)祖暅是我國南北朝時代的宏大科學家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝Sh，其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A.158 B.162C.182 D.324(2)(2024·天津卷)已知四棱錐的底面是邊長為eq\r(2)的正方形，側棱長均為eq\r(5).若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為________.解析(1)由三視圖可知，該柱體是一個直五棱柱，如圖，棱柱的高為6，底面可以看作由兩個直角梯形組合而成，其中一個上底為4，下底為6，高為3，另一個的上底為2，下底為6，高為3.則底面面積S＝eq\f(2＋6,2)×3＋eq\f(4＋6,2)×3＝27.因此，該柱體的體積V＝27×6＝162.故選B.(2)由題意知圓柱的高恰為四棱錐的高的一半，圓柱的底面直徑恰為四棱錐的底面正方形對角線的一半.因為四棱錐的底面正方形的邊長為eq\r(2)，所以底面正方形對角線長為2，所以圓柱的底面半徑為eq\f(1,2).又因為四棱錐的側棱長均為eq\r(5)，所以四棱錐的高為eq\r(（\r(5)）2－12)＝2，所以圓柱的高為1.所以圓柱的體積V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)·1＝eq\f(π,4).答案(1)B(2)eq\f(π,4)考點三最值問題【例3】(1)(2024·浙江卷)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°.若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿意PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD的體積的最大值是________.(2)正六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面邊長為eq\r(2)，側棱長為1，則動點從A沿表面移動到E1時的最短路程是________；動點從A沿表面移動到D1時的最短路程為________.解析(1)設PD＝DA＝x，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r(4＋4－2×2×2×cos120°)＝2eq\r(3)，∴CD＝2eq\r(3)－x，且∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，∴S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DC×sin∠ACB＝eq\f(1,2)×2×(2eq\r(3)－x)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)－x).要使四面體體積最大，當且僅當點P到平面BCD的距離最大，而P到平面BCD的最大距離為x.則V四面體PBCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(2eq\r(3)－x)x＝eq\f(1,6)[－(x－eq\r(3))2＋3]，由于0＜x＜2eq\r(3)，故當x＝eq\r(3)時，V四面體PBCD的最大值為eq\f(1,6)×3＝eq\f(1,2).(2)側面綻開圖如圖(1)，(2)，∴從A沿表面到E1的最短路程為AE1＝eq\r(AE2＋EEeq\o\al(2,1))＝eq\r(（2\r(2)）2＋1)＝3.從A沿表面到D1的最短路程為AD1＝eq\r(AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝eq\r(（3\r(2)）2＋1)＝eq\r(19).(1)(2)答案(1)eq\f(1,2)(2)3eq\r(19)規(guī)律方法常用方法是將幾何圖形綻開為平面圖形，利用幾何性質求解或利用函數或不等式求最值.【訓練3】(1)(2024·上海徐匯區(qū)一模)如圖，棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為CC1的中點，點P，Q分別為面A1B1C1D1和線段B1C上的動點，則△PEQ周長的最小值為()A.2eq\r(2) B.eq\r(10)C.eq\r(11) D.eq\r(12)(2)(2024·全國Ⅰ卷)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A.2eq\r(17) B.2eq\r(5)C.3 D.2解析(1)如圖，取BC中點N，延長EC1至點M，使MC1＝EC1，連接PM，MN，且M，Q，N共線，則△PEQ的周長為PQ＋PE＋QE＝PQ＋PM＋QN≥MN＝eq\r(10).(2)由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16.畫出該圓柱的側面綻開圖，如圖②所示，連接MN，則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長度為eq\r(MS2＋SN2)＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5).答案(1)B(2)B基礎鞏固題組一、選擇題1.《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A.14斛 B.22斛C.36斛 D.66斛解析設米堆的底面半徑為r尺，則eq\f(π,2)r＝8，所以r＝eq\f(16,π).所以米堆的體積為V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π·r2·5＝eq\f(π,12)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,π)))eq\s\up12(2)·5≈eq\f(320,9)(立方尺).故堆放的米約有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛).故選B.答案B2.某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是3，則正視圖中的x的值是()A.2 B.eq\f(9,2)C.eq\f(3,2) D.3解析由三視圖知，該幾何體是四棱錐，底面是直角梯形，且S底＝eq\f(1,2)(1＋2)×2＝3.∴V＝eq\f(1,3)x·3＝3，解得x＝3.故選D.答案D3.(2024·浙江十校聯盟適考)如圖所示，已知某幾何體的三視圖及其尺寸(單位：cm)，則該幾何體的表面積為()A.15πcm2 B.21πcm2C.24πcm2 D.33πcm2解析由三視圖得該幾何體為一個底面圓直徑為6，母線長為5的圓錐，則其表面積為π×32＋π×eq\f(1,2)×6×5＝24π，故選C.答案C4.(2024·北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為()A.60 B.30C.20 D.10解析由三視圖知可把三棱錐放在一個長方體內部，即三棱錐A1－BCD，VA1－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×5×4＝10，故選D.答案D5.已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90°，C為該球面上的動點.若三棱錐O－ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為()A.36π B.64πC.144π D.256π解析因為△AOB的面積為定值，所以當OC垂直于平面AOB時，三棱錐O－ABC的體積取得最大值.由eq\f(1,3)×eq\f(1,2)R2×R＝36，得R＝6.從而球O的表面積S＝4πR2＝144π.故選C.答案C6.(2024·寧波模擬)如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是由一個棱柱挖去一個棱錐后的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為()A.72 B.64C.48 D.32解析由三視圖可知，此幾何體為正四棱柱中截挖去一個與其共上底且高為3的四棱錐，則體積V＝42×5－eq\f(1,3)×42×3＝64，故選B.答案B二、填空題7.(2024·上海卷)已知球的體積為36π，則該球正視圖的面積等于________.解析eq\f(4,3)πr3＝36π?r＝3?S＝9π.答案9π8.(2024·全國Ⅲ卷)學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體ABCD－A1B1C1D1挖去四棱錐O－EFGH后所得的幾何體.其中O為長方體的中心，E，F，G，H分別為所在棱的中點，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為________g.解析由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6cm和4cm，故V挖去的四棱錐＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×6×3＝12(cm3).又V長方體＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的體積為V長方體－V挖去的四棱錐＝144－12＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質量為132×0.9＝118.8(g).答案118.89.如圖，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是eq\f(28π,3)，則它的表面積是________.解析由題知，該幾何體的直觀圖如圖所示，它是一個球(被過球心O且相互垂直的三個平面)切掉左上角的eq\f(1,8)后得到的組合體，其表面積是球面面積的eq\f(7,8)和三個eq\f(1,4)圓面積之和，易得球的半徑為2，則得S＝eq\f(7,8)×4π×22＋3×eq\f(1,4)π×22＝17π.答案17π10.(2024·臺州期末評估)已知某多面體的三視圖如圖所示，則該幾何體的全部棱長和為________，其體積為________.解析由三視圖畫出幾何體的直觀圖如圖所示，其是正方體的一部分，其中E，F是所在棱的中點，正方體的棱長為2，所以該幾何體的全部棱長的和2×7＋1＋1＋eq\r(2)＋2×eq\r(22＋12)＋2eq\r(2)＝16＋3eq\r(2)＋2eq\r(5).該幾何體的體積為2×2×2－eq\f(1,3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1＋\f(1,2)×2×2＋\r(\f(1,2)×1×1×\f(1,2)×2×2)))＝eq\f(17,3).答案16＋3eq\r(2)＋2eq\r(5)eq\f(17,3)三、解答題11.已知一個幾何體的三視圖如圖所示.(1)求此幾何體的表面積；(2)假如點P，Q在正視圖中所示位置，P為所在線段中點，Q為頂點，求在幾何體表面上，從P點到Q點的最短路徑的長.解(1)由三視圖知該幾何體是由一個圓錐與一個圓柱組成的組合體，其表面積是圓錐的側面積、圓柱的側面積和圓柱的一個底面積之和.S圓錐側＝eq\f(1,2)(2πa)·(eq\r(2)a)＝eq\r(2)πa2，S圓柱側＝(2πa)·(2a)＝4πa2，S圓柱底＝πa2，所以S表＝eq\r(2)πa2＋4πa2＋πa2＝(eq\r(2)＋5)πa2.(2)沿P點與Q點所在母線剪開圓柱側面，如圖.則PQ＝eq\r(AP2＋AQ2)＝eq\r(a2＋（πa）2)＝aeq\r(1＋π2)，所以從P點到Q點在側面上的最短路徑的長為aeq\r(1＋π2).12.如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，點E，F分別在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.過點E，F的平面α與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由)；(2)求平面α把該長方體分成的兩部分體積的比值.解(1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)如圖，作EM⊥AB，垂足為M，則AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8.因為四邊形EHGF為正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，AH＝10，HB＝6.故S四邊形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四邊形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因為長方體被平面α分成兩個高為10的直棱柱，所以其體積的比值為eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正確)).實力提升題組13.如圖，有一個底面是正方形的直棱柱型容器(無蓋)，底面棱長為1dm(dm為分米)，高為5dm，兩個小孔在其相對的兩條側棱上，且到下底面距離分別為3dm和4dm，則(水不外漏狀況下)此容器可裝的水最多為()A.eq\f(9,2)dm3 B.4dm3C.eq\f(7,2)dm3 D.3dm3解析由題意得當容器內的水的上表面過兩孔連線所在的平面時，容器內裝的水最多，又因為容器的底面為正方形，則由長方體的對稱性易得當容器內的水的上表面平分以兩孔連線所得的線段為體對角線的長方體時，容器內裝的水最多，此時容器內裝的水的體積為3×1×1＋eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(7,2)，故選C.答案C14.如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的側棱長為a，底面邊長為b，一只螞蟻從點A動身沿每個側面爬到A1，路途為A→M→N→A1，則螞蟻爬行的最短路程是()A.eq\r(a2＋9b2) B.eq\r(9a2＋b2)C.eq\r(4a2＋9b2) D.eq\r(a2＋b2)解析正三棱柱的側面綻開圖是如圖所示的矩形，矩形的長為3b，寬為a，則其對角線AA1的長為最短程.因此螞蟻爬行的最短路程為eq\r(a2＋9b2).故選A.答案A15.如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB＝2PN，則三棱錐N－PAC與三棱錐D－PAC的體積比為()A.1∶2 B.1∶8C.1∶6 D.1∶3解析設點P，N在平面ABCD內的投影分別為點P′，N′，則PP′⊥平面ABCD，NN′⊥平面ABCD，所以PP′∥NN′，則在△BPP′中，由BN＝2PN得eq\f(NN′,PP′)＝eq\f(2,3).V三棱錐N－PAC＝V三棱錐P－ABC－V三棱錐N－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PP′－eq\f(1,3)S△ABC·NN′＝eq\f(1,3)S△ABC·(PP′－NN′)＝eq\f(1,3)S△ABC·eq\f(1,3)PP′＝eq\f(1,9)S△ABC·PP′，V三棱錐D－PAC＝V三棱錐P－ACD＝eq\f(1,3)S△ACD·PP′，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴S△ABC＝S△ACD，∴eq\f(V三棱錐N－PAC,V三棱錐D－PAC)＝eq\f(1,3).故選D.答案D16.(2024·浙江教化綠色評價聯盟適考)如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為________.解析此幾何體為一側棱垂直于底面的三棱臺ABC－A1B1C1，如圖，由上底的面積S1＝eq\f(1,2)，下底的面積S2＝2，高h＝AA1＝1，得體積V＝eq\f(1,3)h(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)＝eq\f(7,6).答案eq\f(7,6)17.四面體ABCD及其三視圖如圖