浙江省杭州市某校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（實(shí)驗(yàn)班）試題（答案）

2027屆高一實(shí)驗(yàn)班第一學(xué)期數(shù)學(xué)月考2 時(shí)間：120分鐘滿分：150分 學(xué)號(hào)姓名____________一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.集合，，則（D）A.B.C.D.解析：由得：，則；由得：，即，解得：或，則或，，故選：D。2.如圖，在中，設(shè)，則（C）A. B. C. D.解析：因?yàn)?，所以，，又因?yàn)椋?，所以，故選：C。3.某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式是。若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是（C）A.100臺(tái) B.120臺(tái) C.150臺(tái) D.180臺(tái)解析：由題意，知總售價(jià)為萬元.要使生產(chǎn)者不虧本，則必須滿足總售價(jià)大于或等于總成本，即，即，可化為，解得或(舍去).故最低產(chǎn)量是150臺(tái)，故選C。4.已知冪函數(shù)，其中，若函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，并且在其定義域上是偶函數(shù)，則（A）A.2 B.3 C.4 D.5解析：因?yàn)楹瘮?shù)為冪函數(shù)，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增的，所以，所以，又因?yàn)椋裕?，2。當(dāng)或時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，為偶函數(shù)，符合題意，故，所以，故選A。5.已知向量，，則在上的投影向量為（B）A. B. C. D.解析：方法1：，則在上的投影向量為。方法2：由圖可得，在軸上的投影數(shù)量為，則在上的投影向量，故選B。6.已知，且，則（B）A. B. C. D.解析：由題設(shè)，所以，且，故，即，所以，故選：B。7.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，N是邊BC上的點(diǎn)，且BN→=NCAN→A.3 B.134 C.92 解析：因?yàn)镺為△ABC的外心，故AO→?AB又BN→=NC→，故N為所以AN→故選：B。8.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)。已知函數(shù)的對(duì)稱中心為，且與函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則k的值為（D）A. B. C.16 D.22解析：由題意可得的對(duì)稱中心為等價(jià)于是奇函數(shù)，因?yàn)樗?，解得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，所以，即有且僅有一個(gè)解，，解得，故選：D。二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法中正確的是（AC）A. B.若且，則 C.若、非零向量且，則D.若，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得解析：由，互為相反向量，則，故正確；由且，可得或，故錯(cuò)誤；由、非零向量且，兩邊平方可得，即，所以，故正確；若且，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，故錯(cuò)誤，故選AC。10.設(shè)函數(shù)，其中表示，，中的居中者，下列說法正確的有（BCD）A.只有一個(gè)最小值點(diǎn) B.值域?yàn)镃.為偶函數(shù) D.在上單調(diào)遞減解析：由已知在同一坐標(biāo)系中分別畫出、與的圖象（虛線），根據(jù)表示，，中的居中者知函數(shù)的圖象（實(shí)線）如圖：對(duì)于A，由圖知當(dāng)時(shí)，取到最小值，所以有兩個(gè)最小值點(diǎn)，錯(cuò)誤；對(duì)于B，由圖知，函數(shù)的值域?yàn)?，正確；對(duì)于C，由圖知，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，又函數(shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，正確；對(duì)于D，由圖知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，正確，故選：BCD。11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（BCD）A.函數(shù)的最小正周期為 B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.為函數(shù)的一條對(duì)稱軸 D.函數(shù)在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)解析：因?yàn)闀r(shí)，，即不是函數(shù)的周期，則函數(shù)的最小正周期不是，A錯(cuò)誤；函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，而在上單調(diào)遞增，而可看作由和復(fù)合而成，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，B正確；因?yàn)椋?，所以為函?shù)的一條對(duì)稱軸，C正確；由于，令，即，即，即，可得或，當(dāng)時(shí)，由可得或，由，可得，則函數(shù)在上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，D正確，故選：BCD。三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)的圖象在上恰有四個(gè)對(duì)稱中心，則的取值范圍為_________________。答案：。解析：由題意有，解得，故的取值范圍為。13.已知函數(shù)，關(guān)于不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_________________。答案：。解析：由于，所以為奇函數(shù)，且由，單調(diào)遞增，故在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故，因此，由于，所以，因此，故對(duì)任意的，恒成立，由余弦的二倍角公式可得，所以恒成立即可，故。14.若實(shí)數(shù)，，，滿足，則的最大值為________。答案：。解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴的最大值為。四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（1）若a，b，x，y是正實(shí)數(shù)，求證：eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(（a＋b）2,x＋y)，當(dāng)且僅當(dāng)ay＝bx時(shí)等號(hào)成立。（2）求eq\f(2,x)＋eq\f(25,1－2x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(1,2)))的最小值，并求此時(shí)x的值。解：（1）證明：因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,x)＋\f(b2,y)))(x＋y)＝a2＋eq\f(ya2,x)＋eq\f(xb2,y)＋b2≥a2＋2eq\r(\f(ya2,x)·\f(xb2,y))＋b2＝(a＋b)2，所以eq\f(a2,x)＋eq\f(b2,y)≥eq\f(（a＋b）2,x＋y)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(ya2,x)＝eq\f(xb2,y)，即ay＝bx時(shí)等號(hào)成立。（2）由（1）可得，eq\f(4,2x)＋eq\f(25,1－2x)＝eq\f(22,2x)＋eq\f(52,1－2x)≥eq\f(（2＋5）2,2x＋1－2x)＝49，當(dāng)且僅當(dāng)2(1－2x)＝5·2x，即x＝eq\f(1,7)時(shí)等號(hào)成立，所以eq\f(2,x)＋eq\f(25,1－2x)的最小值為49，此時(shí)x＝eq\f(1,7)。16.已知；（1）求的最值；（2）是否存在的值使？解：（1）由已知得：,，令,，的。（2）假設(shè)存在的值滿足題設(shè)，即，，。17.已知函數(shù)，其最小正周期與相同。（1）求單調(diào)減區(qū)間和對(duì)稱中心；（2）若方程在區(qū)間[0，]上恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，分別為，求的值。解：（1）∵的最小正周期為π，∴，∴，∴，由，得，由得，綜上，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，對(duì)稱中心為。（2）由得，設(shè)，則有三個(gè)實(shí)根，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，，∴，，∴。18.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，若存在，使得成立，則稱在定義域D上存在不動(dòng)點(diǎn)（是的一個(gè)“不動(dòng)點(diǎn)”）。已知函數(shù)。（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，若，都有成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：（1）由題意知，即在[0，1]上有解，令，，則，則在[1,2]上有解，∴，當(dāng)時(shí)，在遞減，在遞增，∴，則，即?！鄬?shí)數(shù)a的取值范圍為。（2），即，則，又在[－1,0]上是減函數(shù)，∴，∴。令，，則，，則，∵在上遞增，∴.又，∴，。故實(shí)數(shù)a的取值范圍為。19.設(shè)，是由有限個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，