江西省2023-2024學年高二上學期期末教學檢測數(shù)學試題（解析版）

江西高二期末教學質(zhì)量檢測數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知直線的傾斜角為，則實數(shù)k的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】利用傾斜角與斜率之間的關(guān)系代入計算即可得.【詳解】由題意可知，直線的斜率為，解得．故選：B．2.過點且與直線平行的直線的方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直線的平行系方程及點在直線上即可求解.【詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為，將點代入得，解得，所以所求直線的方程為.故選：A.3.已知點P是雙曲線：上一點，分別為C的左、右焦點，若，則（）A.5 B.13 C.5或9 D.5或6【答案】C【解析】【分析】由雙曲線的定義求解.【詳解】由題意可知，，，若，則或9．故選：C4.在空間直角坐標系中，已知點，若，且，則滿足條件的點P共有（）A.15個 B.20個 C.25個 D.30個【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知從這六個整數(shù)中選出3個再按照從小到大的順序排列即可求得結(jié)果.【詳解】由可知，滿足條件點P即從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)中選3個數(shù)，然后按從小到大的次序分配給a，b，c，則共有個．故選：B．5.已知直線與圓相交于A,B兩點，則的周長為（）A.26 B.18 C.14 D.13【答案】B【解析】【分析】先得到圓心和半徑，進而求得弦長即可.【詳解】由，得，所以圓心為,半徑，圓心C到直線l的距離，所以，所以的周長為．故選：B．6.已知點是拋物線上的動點，則直線的斜率的最大值是（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，由建立關(guān)于k的不等式，解之即可求解.【詳解】設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程為，由題意得直線與拋物線C有交點，聯(lián)立方程，得，當時，，即；當時，，解得且，綜上所述，k的最大值為．故選：D．7.楊輝三角（如下圖所示）是數(shù)學史上的一個偉大成就，楊輝三角中從第2行到第2023行，每行的第3個數(shù)字之和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】由組合性質(zhì)進行計算.【詳解】,由題意可得，第2行到第2023行，每行的第3個數(shù)字之和為,故選：B．8.有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24，棱長都相等的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.已知點為線段上一點且，若直線與直線所成角的余弦值為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量求線線角含參數(shù)問題，將該幾何體還原成正方體，建立空間直角坐標系，求解.【詳解】將半正多面體補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系.設(shè)半正多面體的棱長為，則正方體的棱長為2，所以，，所以，則，設(shè)直線與直線所成角為，則，即，解得或（舍）.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知關(guān)于，的方程表示的曲線是，則曲線可以是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圓以及雙曲線，以及橢圓的性質(zhì)即可分類討論求解.【詳解】當時，，方程可以化簡為，曲線圓；當，且時，或，曲線是橢圓；當時，或，曲線是雙曲線．故選:ABC．10.如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，若，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算，結(jié)合圖形依次判斷即可求解.【詳解】A：，故A錯誤；B：，故B正確；C：，故C正確；D：，故D錯誤．故選：BC.11.已知拋物線的焦點為F，其準線l與x軸的交點為為C上一動點，點，則（）A.當時， B.當時，C.的最小值為5 D.的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，利用拋物線的定義判斷；對于B，與拋物線方程聯(lián)立，借助對稱思想判斷；對于C，利用三角形兩邊的和大于第三邊判斷；對于D，利用三角形兩邊的差小于第三邊判斷，結(jié)合拋物線的定義判斷作答.【詳解】由題意知，當時，，則，故A錯誤；當時，點P為拋物線與圓的交點，二者聯(lián)立并消去y，得，所以，又，所以，故B正確；過B作l的垂線，垂足為，當P為與C的交點時，P,B,F三點共線時最小，最小值為5，故C正確；當點P為線段的延長線與C的交點時，P,B,F三點共線時最大，最大值為，故D正確．故選:BCD．12.如圖，在長方體中，，點E為的中點，點F為側(cè)面（含邊界）上的動點，則下列說法正確的是（）A.存在點F，使得 B.滿足的點F的軌跡長度為C.的最小值為 D.若平面，則線段長度的最小值為【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出相關(guān)點坐標，設(shè)F點坐標，利用空間向量法判斷直線的位置關(guān)系可判斷A；根據(jù)，推出F點的坐標滿足的關(guān)系，可求得F的軌跡長度，判斷C；利用點的對稱點，結(jié)合空間兩點的距離公式可判斷C；求出平面的法向量，根據(jù)空間位置關(guān)系的向量證法求出，結(jié)合空間兩點間距離公式以及二次函數(shù)性質(zhì)，可判斷D.【詳解】以A為原點，分別以所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，對于選項A，若，則，又，所以，即，此方程無解，所以不存在點F，使得，故A錯誤；對于選項B，由，得，化簡可得，即F點軌跡為矩形內(nèi)的線段，又，所以當時，得，當時，得，即滿足的點F的軌跡長度為，故B正確；對于選項C，設(shè)點C關(guān)于平面的對稱點為G，則G的坐標為，則，共線時取等號，故C錯誤；對于選項D，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，因為平面，所以，即，又點，所以，當時，取得最小值，故D正確．故選：BD．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標系，利用空間向量法判斷線線和線面位置關(guān)系，對于D選項還需結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)從而得到其最值.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.方程（且）的解為___________．【答案】2或4【解析】【分析】結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)運算即可得.【詳解】由題意，可知，則，所以或.故答案為：2或4.14.已知平面的法向量為，點為平面內(nèi)一點，點為平面外一點，則點P到平面的距離為____________．【答案】1【解析】【分析】利用空間向量計算點面距離即可.【詳解】由題意得，故點P到平面的距離故答案為：115.若的展開式中的系數(shù)為70，則實數(shù)___________．【答案】2【解析】【分析】先得到的通項公式，進而得到的展開式中含的項為，從而得到不等式，求出答案.【詳解】的通項公式為，當時，，當時，，故的展開式中含的項為，由題意知，解得．故答案為：216.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點P在橢圓C上，的延長線交橢圓C于點Q，且，的面積為，記與的面積分別為，，則___________．【答案】##【解析】【分析】用橢圓的定義和焦點三角形中余弦定理得到的結(jié)論為突破口，結(jié)合三角形的面積公式解決問題.【詳解】不妨設(shè)，，焦距，如圖：由的面積為，得，由余弦定理，得，則，所以，即，所以，所以，易得，，所以，所以，，所以，所以，所以，，所以．故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.根據(jù)張桂梅校長真實事跡拍攝的電影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某數(shù)學組有3名男教師和2名女教師相約一起去觀看該影片，他們的座位在同一排且連在一起．求：（1）2名女教師必須坐在一起坐法有多少種？（2）2名女教師互不相鄰的坐法有多少種？【答案】（1）48（2）72【解析】【分析】（1）捆綁法結(jié)合分步計數(shù)原理即可；（2）插空法結(jié)合分步計數(shù)原理即可；【小問1詳解】根據(jù)題意，先將2名女教師排在一起，有種坐法，將排好的女教師視為一個整體，與3名男教師進行排列，共有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法．【小問2詳解】根據(jù)題意，先將3名男教師排好，有種坐法，再在這3名男教師之間及兩頭的4個空位中插入2名女教師，有種坐法，由分步乘法計數(shù)原理，共有種坐法．18.如圖，正方體的棱長為2．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）直接由線面平行的判定定理證明即可.（2）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，求出直線的方向向量、平面的法向量，由線面角的正弦值公式運算即可.【小問1詳解】平面平面，平面．【小問2詳解】如圖，以為原點，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則，所以，設(shè)平面的法向量為，由得，令，得，．所以直線與平面所成角的正弦值為．19.的展開式中，二項式系數(shù)之和為a，各項系數(shù)之和為b，且．（1）求n的值；（2）求的展開式中的常數(shù)項．【答案】（1）9（2）672【解析】【分析】（1）根據(jù)，，可求解出的值；（2）寫出展開式的通項公式，然后考慮的指數(shù)為，由此可求對應(yīng)的值，代入可求常數(shù)項.【小問1詳解】由題意得，，因為，所以，所以，解得．【小問2詳解】的展開式的通項，令，得，所以的展開式中的常數(shù)項為．20.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，點在棱上，且．（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)與相交于點，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得，根據(jù)、得出，即，再由線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理可得答案；（2）以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，求出平面、平面的一個法向量，由面面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】設(shè)與相交于點，因為平面，平面，所以，在中，，在中，，又，均為銳角，所以，因為，所以，所以，即，因為，平面，且，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】由題意知，，兩兩垂直，以為坐標原點，，，所在的直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，，．設(shè)平面的一個法向量，則即，令，則，，所以，設(shè)平面的一個法向量，則即，令，則，，所以，設(shè)二面角的大小為，由題意知為銳角，所以．21.瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.在平面直角坐標系中，滿足，頂點、，且其“歐拉線”與圓相切.（1）求的“歐拉線”方程；（2）若圓M與圓有公共點，求a的范圍；（3）若點在的“歐拉線”上，求的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得出等腰三角形歐拉線為底邊上的垂直平分線，利用點斜式求出直線方程；（2）因兩圓有公共點，利用兩圓的圓心距與半徑的關(guān)系求出的范圍（3）依題意，轉(zhuǎn)化為直線上的動點到兩定點的距離之和的最小值，根據(jù)點關(guān)于直線對稱求出對稱點即可得結(jié)果.【小問1詳解】因為，所以是等腰三角形，由三線合一得：的外心、重心、垂心均在邊的垂直平分線上，設(shè)的歐拉線為，則過的中點，且與直線垂直，由可得：的中點，即，所以，故的方程為.【小問2詳解】因為與圓相切，故，圓的圓心坐標為，半徑，則要想圓與圓有公共點，只需兩圓圓心的距離小于等于半徑之和，大于等于半徑之差的絕對值，故，所以.【小問3詳解】因為，所以該式子是表示點到點、點的距離之和，又，所以上述式子表示直線上的點到點、點的距離之和的最小值.設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則有解得，即.所以，所以直線上的點到點、點的距離之和的最小值為.22.已知動點P到點的距離等于其到直線距離的2倍，記點P的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）已知斜率為k的直線l與曲線交于點為坐標原點，若,證明：為定