熱點專題2-1函數(shù)的基本概念及其性質(zhì)（解析式定義域值域）-1

專題2-1

函數(shù)的基本概念（解析式，定義域，值域）近4年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計考點分析考點要求2021年浙江卷：第12題，5分函數(shù)的解析式與定義域、值域問題是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，高考對函數(shù)的概念考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大，函數(shù)的解析式在高考中較少單獨考查，多在解答題中出現(xiàn).高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍將以分段函數(shù)、定義域、值域及最值為主.(1)了解函數(shù)的含義，會求簡單函數(shù)的定義域和值域(2)會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)(3)了解簡單的分段函數(shù)，并會應(yīng)用2022年浙江卷：第14題，5分2023年北京卷：第11題，5分2024年上海卷，第2題,5分【題型1】函數(shù)的概念【題型2】同一函數(shù)的判斷【題型3】已知函數(shù)類型求函數(shù)的解析式（待定系數(shù)法求解析式）【題型4】建立方程組求解析式（方程思想）【題型5】求嵌套函數(shù)的解析式（換元或配湊）【題型6】求具體函數(shù)的定義域【題型7】已知定義域求參數(shù)【題型8】抽象函數(shù)的定義域問題【題型9】分離常數(shù)法求值域【題型10】換元法求函數(shù)的值域【題型11】對勾函數(shù)值域問題【題型12】已知值域求參數(shù)范圍【題型13】分段函數(shù)及其應(yīng)用【題型1】函數(shù)的概念一般地，設(shè)A、B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x).1．下列關(guān)系中是函數(shù)關(guān)系的是（

）A．等邊三角形的邊長和周長關(guān)系 B．電腦的銷售額和利潤的關(guān)系C．玉米的產(chǎn)量和施肥量的關(guān)系 D．日光燈的產(chǎn)量和單位生產(chǎn)成本關(guān)系2．下列圖象中，表示函數(shù)關(guān)系的是（

）A． B． C． D．3．如圖所示，下列對應(yīng)法則，其中是函數(shù)的個數(shù)為（

）A．B．C．D．【鞏固練習(xí)1】4．下列圖象中，能表示函數(shù)圖象的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【鞏固練習(xí)2】5．設(shè)集合，.下列四個圖象中能表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【題型2】同一函數(shù)的判斷兩個函數(shù)相同需要滿足的條件是：1.定義域相同；2.解析式相同.（2024·重慶·二模）6．下列函數(shù)中，與是相同的函數(shù)是A． B．C． D．【鞏固練習(xí)1】（2024·山東·一模）7．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()A．B．C．D．【鞏固練習(xí)2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）8．下列各組函數(shù)中，表示同一個函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【題型3】已知函數(shù)類型求函數(shù)的解析式（待定系數(shù)法求解析式）待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法來求解.9．若二次函數(shù)滿足，且.求的解析式.【鞏固練習(xí)1】10．已知二次函數(shù)滿足，且.求的解析式.【鞏固練習(xí)2】11．已知函數(shù)，則．【鞏固練習(xí)3】（2024·廣東東莞·二模）12．已知函數(shù)，，則．【題型4】建立方程組求解析式（方程思想）已知關(guān)于f(x)與或f(-x)等的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f(x).（廣東深圳實驗?？迹?3．已知函數(shù)滿足，且，則.【鞏固練習(xí)1】（廣東廣雅中學(xué)校考）14．已知，則.【鞏固練習(xí)2】15．若對任意實數(shù)，均有，求.【鞏固練習(xí)3】16．已知定義在上的函數(shù)滿足，則函數(shù)的解析式.【題型5】求嵌套函數(shù)的解析式（換元或配湊）換元法：已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.配湊法：由已知條件f(g(x))=F(x)，可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表達式.17．函數(shù)滿足若，則（

）A． B．C． D．18．若函數(shù)，且，則等于（

）A． B． C．3 D．【鞏固練習(xí)1】19．已知函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)2】20．已知函數(shù)滿足：，則的解析式為（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)3】21．設(shè)函數(shù)，則的表達式為（

）A． B．C． D．【題型6】求具體函數(shù)的定義域求給定解析式的函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式中所含式子(運算)有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組求解；對于實際問題，定義域應(yīng)使實際問題有意義.22．函數(shù)的定義域為23．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為【鞏固練習(xí)1】24．函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】25．函數(shù)的定義域為（）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)3】（2024·山東泰安·三模）26．已知函數(shù)，則函數(shù)的定義域為（

）A． B．C． D．【題型7】已知定義域求參數(shù)函數(shù)定義域是研究函數(shù)的起點，常涉及到兩大問題：一是求函數(shù)定義域，二是已知函數(shù)的定義域求參數(shù).一個帶參數(shù)的函數(shù)，已知函數(shù)值域求參數(shù)的問題，這類問題就是按照求值域的思路并與已知的值域建立聯(lián)系求參數(shù)的值，本質(zhì)上是已知不等式的解集求參數(shù)值，解題時從不等式的角度入手比較容易.27．若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．28．若函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是．【鞏固練習(xí)1】29．已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)2】30．已知函數(shù)的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)3】31．已知函數(shù)的定義域是關(guān)于的不等式的解集的子集，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．參考答案：1．A【分析】題目考察函數(shù)關(guān)系的定義，即當(dāng)一個變量取一定的值時，另外一個變量有確定的值與其對應(yīng)，則符合函數(shù)關(guān)系【詳解】根據(jù)函數(shù)關(guān)系的定義可得，選項A中，當(dāng)?shù)冗吶切蔚倪呴L取一定的值時，周長有唯一且確定的值與其對應(yīng)，所以等邊三角形的邊長和周長符合函數(shù)關(guān)系；其他選項中，兩個量之間沒有明確的對應(yīng)關(guān)系，所以不是函數(shù)關(guān)系故選：A2．D【分析】利用函數(shù)的概念即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義知，一個有唯一的對應(yīng)，由圖象可看出，只有選項D的圖象滿足.故選：D.3．A【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐一判斷即可得出答案.【詳解】解：①②③這三個圖所示的對應(yīng)法則都符合函數(shù)的定義，即A中每一個元素在對應(yīng)法則下，在中都有唯一的元素與之對應(yīng)，對于④⑤，A的每一個元素在中有個元素與之對應(yīng)，∴不是A到的函數(shù)，對于⑥，A中的元素、在中沒有元素與之對應(yīng)，∴不是A到的函數(shù)，綜上可知，是函數(shù)的個數(shù)為.故選：A.4．D【分析】根據(jù)函數(shù)的定義判斷可得出結(jié)論.【詳解】解：∵一個只能對應(yīng)一個，∴①③符合題意，對于②中，當(dāng)時，一個對應(yīng)兩個，不符合函數(shù)的定義；對于④中，當(dāng)時，一個對應(yīng)兩個，不符合函數(shù)的定義.故選：D．5．C【分析】根據(jù)集合到集合的函數(shù)定義即可求解.【詳解】①中：因為在集合中當(dāng)時，在中無元素與之對應(yīng)，所以①不是；②中：對于集合中的任意一個數(shù)，在中都有唯一的數(shù)與之對應(yīng)，所以②是；③中：對應(yīng)元素，所以③不是；④中：當(dāng)時，在中有兩個元素與之對應(yīng)，所以④不是；因此只有②滿足題意，故選：C.6．B【分析】求出各選項函數(shù)的定義域，并對解析式進行化簡，要求所選函數(shù)的定義域和解析式都與函數(shù)的定義域和解析式一致，可得出正確的選項.【詳解】對于A選項，函數(shù)定義域為，其解析式與函數(shù)的解析式不一致，兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；對于B選項，函數(shù)的定義域為，其解析式與函數(shù)的解析式一致，兩個函數(shù)是同一函數(shù)；對于C選項，函數(shù)的定義域為，和函數(shù)的定義域不一致，兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；對于D選項，的定義域為，但其解析式與函數(shù)的解析式不一致，兩個函數(shù)不是同一函數(shù).故選B.【點睛】本題考查函數(shù)相等概念的理解，判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，關(guān)鍵看定義域和對應(yīng)關(guān)系是否一致，而對應(yīng)關(guān)系主要是看解析式，意在考查學(xué)生對于這個概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.7．D【分析】根據(jù)同一函數(shù)的定義對四個選項中的兩個函數(shù)進行比較即可.【詳解】選項A:函數(shù)的定義域是，函數(shù)的定義域是全體實數(shù)，故這兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；選項B:函數(shù)的定義域是，函數(shù)的定義域是全體實數(shù)，故兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；選項C:函數(shù)的定義域是,函數(shù)的定義域是全體實數(shù)，故兩個函數(shù)不是同一函數(shù)；選項D:函數(shù)和的定義域都是全體實數(shù)，且，對應(yīng)關(guān)系相同，所以是同一函數(shù)，故本題選D.【點睛】本題考查了同一函數(shù)的識別，正確求出函數(shù)的定義域、判斷對應(yīng)關(guān)系是否相同是解題的關(guān)鍵.8．C【解析】分別求得函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則，結(jié)合同一函數(shù)的判定方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為，兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于B中，函數(shù)和的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于C中，函數(shù)與的定義域相同，對應(yīng)法則也相同，所以是同一函數(shù)；對于D中，函數(shù)的定義域為，的定義域為，兩函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).故選：C.【點睛】本題主要考查了同一函數(shù)的判定，其中解答中熟記兩函數(shù)是同一函數(shù)的判定方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由得到c，由，可得，變形可得，解可得a、b的值，將a、b、c的值代入函數(shù)解析式，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，由得，則.又由，所以.即，則有，解可得，則.【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式的求法.注意利用待定系數(shù)法分析，屬于基礎(chǔ)題.10．【分析】設(shè)，利用建立恒等式求解即可.【詳解】設(shè)二次函數(shù)，因為，所以，由，得，得，所以，得，故.11．【分析】代入函數(shù)解析式計算即可.【詳解】解：因為，所以，.故答案為：.12．3【分析】利用直接代入法結(jié)合對應(yīng)系數(shù)相等可得的值，將代入可得結(jié)果.【詳解】由題意，得，即，解得，，因此，故答案為3.【點睛】本題主要考查了函數(shù)解析式以及函數(shù)值的求法，利用系數(shù)相等是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.13．【分析】用替換,再解方程組可得答案.【詳解】由①，用替換，得②，①×2－②，得，得.故答案為：.14．【分析】令，得到，進而求得函數(shù)的解析式.【詳解】令，則且，所以，所以函數(shù)的解析式為.故答案為：15．.【分析】利用方程組方法即可求解.【詳解】利用方程組法求解即可；∵（1）∴（2）由得，∴.故答案為：.16．【分析】根據(jù)已知把換成，建立方程組求解.【詳解】因為，把換成有：，聯(lián)立，解得.故答案為：17．A【分析】對的式子適當(dāng)變形，即可直接求出.【詳解】因為，所以，則.故選：A.18．D【分析】令，則代入原式計算整理即可得結(jié)果.【詳解】令，則即故選：D.19．B【分析】利用換元法令求解析式即可．【詳解】令，則，且，則，可得，所以.故選：B.20．A【分析】通過化簡即可得出函數(shù)的解析式.【詳解】因為，∴，故選：A.21．B【分析】令，則可得，然后可得答案.【詳解】令，則可得所以，所以故選：B【點睛】易錯點睛：本題主要考查函數(shù)解析式的求法，主要涉及了用換元法，要注意換元后的取值范圍，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.22．【分析】根據(jù)具體函數(shù)有意義的限制條件，列出不等式組，再解不等式組即可求解．【詳解】根據(jù)具體函數(shù)有意義的條件得，.故答案為：．23．【分析】由函數(shù)的定義域可推得的定義域，再結(jié)合對數(shù)的真數(shù)大于0、要使函數(shù)有意義即可得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)的定義域是，得到，故即.解得:；所以原函數(shù)的定義域是：.故答案為：.24．C【分析】由函數(shù)形式得到不等式組，解出即可.【詳解】由題意得，解得，則定義域為，故選：C.25．D【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列出相應(yīng)不等式，即可求得其定義域.【詳解】函數(shù)需滿足且，即的定義域為，故選：D.26．D【分析】先求得函數(shù)的定義域，再運用復(fù)合函數(shù)的定義域求解方法可得選項.【詳解】因為，所以解得，所以函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)需滿足且，解得且，故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)的定義域，以及復(fù)合函數(shù)的定義域的求解方法，屬于基礎(chǔ)題.27．B【分析】由題意可知的解集為R，分，兩種情況討論，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為R，可知的解集為R，若，則不等式為恒成立，滿足題意；若，則，解得．綜上可知，實數(shù)k的取值范圍是．故選：B．28．【分析】由恒成立可得．【詳解】的定義域是R，則恒成立，時，恒成立，時，則，解得，綜上，．故答案為：．29．A【分析】利用題給條件列出