第01講 勾股定理（原卷版）-八年級數(shù)學(xué)

第01講勾股定理掌握勾股定理，了解利用拼圖驗證勾股定理的方法；會借助勾股定理確定數(shù)軸上表示無理數(shù)的點，理解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)關(guān)系；3.能夠從實際問題中抽象出直角三角形，并能運用勾股定理進行有關(guān)的計算和證明。知識點1勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方如圖：直角三角形ABC的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么.注意：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問題的目的.理解勾股定理的一些變式：，，.運用：1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；3.利用勾股定理，作出長為的線段知識點2勾股定理證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.圖（1）中，所以.方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.圖（2）中，所以.方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形.，所以.考點一：一直直角三角形的兩邊，求第三邊長例1．（2022八下·灌陽期末）在直角三角形中，若勾為6，股為8，則弦為（）A．7 B．8 C．9 D．10【變式1-1】（2022八下·福州期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°.若a＝6，b＝8，則c的值是（）A．10 B．234 C．27 D．4.8【變式1-2】（2022八下·興仁月考）在一個直角三角形中，斜邊的長為10，其中一條直角邊的長為6，則另一條直角邊的長為（）A．234 B．12 C．9 【變式1-3】（2022秋?雁塔區(qū)校級期中）若直角三角形的三邊長為5，12，m，則m2的值為（）A．13 B．119 C．169 D．119或169考點二：求直接三角形周長，面積、斜邊上的高等問題例2.（2022秋?南關(guān)區(qū)校級期末）如圖，已知正方形A的面積為3，正方形B的面積為4，則正方形C的面積為（）A．7 B．5 C．25 D．1【變式2-1】（2022秋?渾南區(qū)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三邊為邊分別向外作正方形，面積分別為S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，則S3的值為（）A．13 B．17 C．7 D．169【變式2-2】（2022秋?興慶區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝4，則正方形ABDE的面積為（）A．18 B．48 C．65 D．72【變式2-3】如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為16cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為cm2．考點三：等面積法求直接斜邊上的高問題例3.（2020秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，則CD的長是（）A．6 B． C． D．【變式3-1】（2022秋?杭州期中）直角三角形兩直角邊長度為5，12，則斜邊上的高（）A．6 B．8 C．13 D．【變式3-2】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，AC＝20，BC＝15．求：（1）CD的長；（2）AD的長．考點四：作無理數(shù)的線段例4.（2022八上·興平期中）如圖，△ABC是直角三角形，點C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)為?2，目AC=3，AB=1，若以點C為圓心，CB為半徑畫弧交數(shù)軸于點M，則A，M兩點間的距離為（）A．0.4 B．10?2 C．10?3 【變式4-1】（2022八上·歷城期中）如圖，點A表示的數(shù)為x，則x=（）A．2?1 B．-1 C．1?2 【變式4-2】（2022八上·薛城期中）如圖，在2×2的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長為1，點A，B，C均為格點，以點A為圓心，AB長為半徑作弧，交格線于點D，則CD的長為（）A．13 B．3 C．5?2 【變式4-3】（2022八上·埇橋期中）如圖所示，在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，CD＝1，則a的值為（）A．?5 B．﹣1?5 C．1?5考點五：勾股定理的證明例5.勾股定理是畢達哥拉斯定理的中國稱謂，它揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，中國是發(fā)現(xiàn)、研究和運用勾股定理最古老的國家之一，我國古代稱直角三角形的直角邊為“勾”或“股”，斜邊為“弦”，因而將這條定理稱為勾股定理．請你從以下圖形中，任意選擇一個來證明這個定理．【變式5-1】（2022八上·歷城期中）如圖，趙爽弦圖是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD，若AE=5，AB=13，則中間小正方形EFGH的面積是．【變式5-2】（2021秋?東坡區(qū)期末）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，當(dāng)兩個全等的直角三角形如圖擺放時，可以用“面積法”來證明．將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．1．（2022?荊門）如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未曾受損．已知該金字塔的下底面是一個邊長為120m的正方形，且每一個側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）A．120m B．60m C．60m D．120m2．（2022?黑龍江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．3．（2021?婁底）如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，若S△ABC＝1，則PE+PF＝．4．（2022?永州）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“趙爽弦圖”，極富創(chuàng)新意識地給出了勾股定理的證明．如圖所示，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形．若大正方形的面積是25，小正方形的面積是1，則AE＝．5．（2022?青島）【圖形定義】有一條高線相等的兩個三角形稱為等高三角形、例如：如圖①，在△ABC和△A'B'C'中，AD，A'D'分別是BC和B'C'邊上的高線，且AD＝A'D'、則△ABC和△A'B'C'是等高三角形．【性質(zhì)探究】如圖①，用S△ABC，S△A'B'C′分別表示△ABC和△A′B′C′的面積，則S△ABC＝BC?AD，S△A'B'C′＝B′C′?A′D′，∵AD＝A′D′∴S△ABC：S△A'B'C′＝BC：B'C'．【性質(zhì)應(yīng)用】（1）如圖②，D是△ABC的邊BC上的一點．若BD＝3，DC＝4，則S△ABD：S△ADC＝；（2）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：2，CD：BC＝1：3，S△ABC＝1，則S△BEC＝，S△CDE＝；（3）如圖③，在△ABC中，D，E分別是BC和AB邊上的點．若BE：AB＝1：m，CD：BC＝1：n，S△ABC＝a，則S△CDE＝．1．（2022八上·大田期中）直角三角形的一條直角邊長是8cm，另一條直角邊比斜邊短2cm，則斜邊長為（）A．12cm B．15cm C．17cm D．20cm2．（2023八上·渠縣期末）如圖，在數(shù)軸上，點A，B表示的數(shù)分別為﹣2，2，CB⊥AB于點B，且BC=2.連接AC，在AC上截取CD=BC，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AB于點E，則點E表示的實數(shù)是（）A．25?2 B．25?4 C．3．（2022八上·杏花嶺期中）如圖，作一個正方形，使其邊長為單位長度，以表示數(shù)1的點為圓心，正方形對角線的長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點A，則點A表示的數(shù)是（）A．?12 B．?13 C．4．（2021八上·侯馬期末）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長是9cm，則圖中所有正方形的面積的和是（）A．64cm2 B．81cm2 C．5．（2022八上·泗縣期中）若直角三角形的兩條邊長為a，b，且滿足a?2+|b?3|=06．（2022八上·大田期中）2002年8月在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會徽取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的大正方形，如圖，如果大正方形的面積是49，小正方形的面積為4，直角三角形的較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，下列四個說法：①a2+b2=49，②a?b=4，7．（2022八上·源城期中）在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，則BC邊上的高是cm．8．（2022八上·代縣期末）如圖，△ABC是張大爺?shù)囊粔K小菜地，已知CD是△ABC中AB邊上的高，AC=5，9.（2022春?巢湖市校級期中）學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法．某同學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點B是正方形ACDE邊CD上一點，連接AB，得到直角三角形ACB，三邊分別為a，b，c，將△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如圖2所示，該同學(xué)用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理．請你寫出該方法證明勾股定理的過程．10．（2022八上·太原期中）閱讀與應(yīng)用：下面是小敏學(xué)習(xí)實數(shù)之后，寫的數(shù)學(xué)日記的一部分，請你認真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．2022年9月22日天氣：晴無理數(shù)與線段長．今天我們借助勾股定理，在數(shù)軸上找到了一些特殊的無理數(shù)對應(yīng)的點，認識了“數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)”這一事實．回顧梳理：要在數(shù)軸上找到表示±2的點，關(guān)鍵是在數(shù)軸上構(gòu)造線段OA=OA′=2．如圖1，正方形的邊長為1個單位長度，以原點O為圓心，對角線長為半徑畫弧與數(shù)軸分別交于點A，A′，則點A對應(yīng)的數(shù)為2，點A′拓展思考：如圖2，改變圖1中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數(shù)軸上構(gòu)造出線段OB與OB′，其中O仍為原點，點B，B′分別在原點的右側(cè)、左側(cè)，可由線段OB與O按照這樣的思路，只要構(gòu)造出特定長度的線段，就能在數(shù)軸上找到無理數(shù)對應(yīng)的點！任務(wù)：（1）“拓展思考”中，線段OB的長為，OB′的長為；點B表示的數(shù)為，點B′（2）請從A，B兩題中任選一題作答．我選擇