2025屆湖南省長沙市周南梅溪湖中學(xué)高三一診考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆湖南省長沙市周南梅溪湖中學(xué)高三一診考試數(shù)學(xué)試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)是虛數(shù)單位，，，則（）A． B． C．1 D．22．如圖是一個算法流程圖，則輸出的結(jié)果是（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的一個焦點與拋物線的焦點重合，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．3 D．44．二項式展開式中，項的系數(shù)為（）A． B． C． D．5．已知拋物線：的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，其中點在第一象限，若弦的長為，則（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或6．甲、乙、丙三人參加某公司的面試，最終只有一人能夠被該公司錄用，得到面試結(jié)果以后甲說：丙被錄用了；乙說：甲被錄用了；丙說：我沒被錄用.若這三人中僅有一人說法錯誤，則下列結(jié)論正確的是（）A．丙被錄用了 B．乙被錄用了 C．甲被錄用了 D．無法確定誰被錄用了7．已知橢圓：的左，右焦點分別為，，過的直線交橢圓于，兩點，若，且的三邊長，，成等差數(shù)列，則的離心率為（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A．2 B． C．4 D．9．如圖，在三棱錐中，平面，，現(xiàn)從該三棱錐的個表面中任選個，則選取的個表面互相垂直的概率為（）A． B． C． D．10．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．11．公元前世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了米，此時烏龜便領(lǐng)先他米，當(dāng)阿基里斯跑完下一個米時，烏龜先他米，當(dāng)阿基里斯跑完下-個米時，烏龜先他米....所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律，若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時，烏龜爬行的總距離為（）A．米 B．米C．米 D．米12．若的二項式展開式中二項式系數(shù)的和為32，則正整數(shù)的值為（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為正實數(shù)，且，則的最小值為____________.14．已知無蓋的圓柱形桶的容積是立方米，用來做桶底和側(cè)面的材料每平方米的價格分別為30元和20元，那么圓桶造價最低為________元.15．在平面五邊形中，，，，且.將五邊形沿對角線折起，使平面與平面所成的二面角為，則沿對角線折起后所得幾何體的外接球的表面積是______.16．已知，，且，則最小值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，他需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試.在一次報名中，每個學(xué)員有5次參加科目二考試的機會（這5次考試機會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進(jìn)入下一科目考試；若5次都沒有通過，則需重新報名），其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費.某駕校對以往2000個學(xué)員第1次參加科目二考試進(jìn)行了統(tǒng)計，得到下表：考試情況男學(xué)員女學(xué)員第1次考科目二人數(shù)1200800第1次通過科目二人數(shù)960600第1次未通過科目二人數(shù)240200若以上表得到的男、女學(xué)員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學(xué)員每次通過科目二考試的概率，且每人每次是否通過科目二考試相互獨立.現(xiàn)有一對夫妻同時在此駕校報名參加了駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機會為止.（1）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率；（2）若這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過，記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.18．（12分）如圖，是矩形，的頂點在邊上，點，分別是，上的動點（的長度滿足需求）.設(shè)，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.19．（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，，，，，為的中點，為棱上的一點.（1）證明：面面；（2）當(dāng)為中點時，求二面角余弦值.20．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并說明曲線的形狀；(2)若直線經(jīng)過點，求直線被曲線截得的線段的長.21．（12分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質(zhì)數(shù)）的焦點為F，過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點E，拋物線C在點A，B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點G的軌跡方程；（2）當(dāng)點G的橫坐標(biāo)為整數(shù)時，S是否為整數(shù)？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.22．（10分）某企業(yè)現(xiàn)有A．B兩套設(shè)備生產(chǎn)某種產(chǎn)品，現(xiàn)從A，B兩套設(shè)備生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了100件產(chǎn)品作為樣本，檢測某一項質(zhì)量指標(biāo)值，若該項質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品.圖1是從A設(shè)備抽取的樣本頻率分布直方圖，表1是從B設(shè)備抽取的樣本頻數(shù)分布表.圖1：A設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻率分布直方圖表1：B設(shè)備生產(chǎn)的樣本頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值頻數(shù)2184814162（1）請估計A．B設(shè)備生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值；（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，并對合格品進(jìn)行等級細(xì)分，質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的定為一等品，每件利潤240元；質(zhì)量指標(biāo)值落在或內(nèi)的定為二等品，每件利潤180元；其它的合格品定為三等品，每件利潤120元.根據(jù)圖1、表1的數(shù)據(jù)，用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.企業(yè)由于投入資金的限制，需要根據(jù)A，B兩套設(shè)備生產(chǎn)的同一種產(chǎn)品每件獲得利潤的期望值調(diào)整生產(chǎn)規(guī)模，請根據(jù)以上數(shù)據(jù)，從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮企業(yè)應(yīng)該對哪一套設(shè)備加大生產(chǎn)規(guī)模？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算，考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對于復(fù)數(shù)的運算類問題，易錯點是把當(dāng)成進(jìn)行運算.2、A【解析】

執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，執(zhí)行上述的程序框圖：第1次循環(huán)：滿足判斷條件，；第2次循環(huán)：滿足判斷條件，；第3次循環(huán)：滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，輸出計算結(jié)果，故選A．【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的結(jié)果的計算與輸出，其中解答中執(zhí)行程序框圖，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解析】

根據(jù)題意，由拋物線的方程可得其焦點坐標(biāo)，由此可得雙曲線的焦點坐標(biāo)，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得，解可得，由離心率公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，拋物線的焦點為，則雙曲線的焦點也為，即，則有，解可得，雙曲線的離心率.故選：A．【點睛】本題主要考查雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是求出拋物線焦點的坐標(biāo)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平．4、D【解析】

寫出二項式的通項公式,再分析的系數(shù)求解即可.【詳解】二項式展開式的通項為,令,得,故項的系數(shù)為.故選：D【點睛】本題主要考查了二項式定理的運算,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

先根據(jù)弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，，即，所以直線的方程為.當(dāng)直線的方程為，聯(lián)立，解得和，所以；同理，當(dāng)直線的方程為.，綜上，或.選C.【點睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現(xiàn)了到焦點的距離時，一般考慮拋物線的定義.6、C【解析】

假設(shè)若甲被錄用了，若乙被錄用了，若丙被錄用了，再逐一判斷即可.【詳解】解：若甲被錄用了，則甲的說法錯誤，乙，丙的說法正確，滿足題意，若乙被錄用了，則甲、乙的說法錯誤，丙的說法正確，不符合題意，若丙被錄用了，則乙、丙的說法錯誤，甲的說法正確，不符合題意，綜上可得甲被錄用了，故選：C.【點睛】本題考查了邏輯推理能力，屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè)出，，，利用勾股定理列方程，結(jié)合橢圓的定義，求得.再利用勾股定理建立的關(guān)系式，化簡后求得離心率.【詳解】由已知，，成等差數(shù)列，設(shè)，，.由于，據(jù)勾股定理有，即，化簡得；由橢圓定義知的周長為，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，，∴離心率.故選：C【點睛】本小題主要考查橢圓離心率的求法，考查橢圓的定義，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.8、A【解析】

對復(fù)數(shù)進(jìn)行乘法運算，并計算得到，從而得到虛部為2.【詳解】因為，所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算及虛部的概念，計算過程要注意.9、A【解析】

根據(jù)線面垂直得面面垂直，已知平面，由，可得平面，這樣可確定垂直平面的對數(shù)，再求出四個面中任選2個的方法數(shù)，從而可計算概率．【詳解】由已知平面，，可得，從該三棱錐的個面中任選個面共有種不同的選法，而選取的個表面互相垂直的有種情況，故所求事件的概率為．故選：A．【點睛】本題考查古典概型概率，解題關(guān)鍵是求出基本事件的個數(shù)．10、A【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，同增異減以及采用排除法，可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，，由在遞增，所以在遞增又是增函數(shù)，所以在遞增，故排除B、C當(dāng)時，若，則所以在遞減，而是增函數(shù)所以在遞減，所以A正確，D錯誤故選：A【點睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷，關(guān)鍵在于對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解，記住常用的結(jié)論：增+增=增，增-減=增，減+減=減，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減，屬中檔題.11、D【解析】

根據(jù)題意，是一個等比數(shù)列模型，設(shè)，由，解得，再求和.【詳解】根據(jù)題意，這是一個等比數(shù)列模型，設(shè)，所以，解得，所以.故選：D【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.12、C【解析】

由二項式系數(shù)性質(zhì)，的展開式中所有二項式系數(shù)和為計算．【詳解】的二項展開式中二項式系數(shù)和為，．故選：C．【點睛】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，掌握二項式系數(shù)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

，所以有，再利用基本不等式求最值即可.【詳解】由已知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：【點睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值問題，采用的是“1”的替換，也可以消元等，是一道中檔題.14、【解析】

設(shè)桶的底面半徑為，用表示出桶的總造價，利用基本不等式得出最小值.【詳解】設(shè)桶的底面半徑為，高為，則，故，圓通的造價為解法一：當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.解法二：，則，令，即，解得，此函數(shù)在單調(diào)遞增；令，即，解得，此函數(shù)在上單調(diào)遞減；令，即，解得，即當(dāng)時，圓桶的造價最低.所以故答案為：【點睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，注意驗證等號成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

設(shè)的中心為，矩形的中心為，過作垂直于平面的直線，過作垂直于平面的直線，得到直線與的交點為幾何體外接球的球心，結(jié)合三角形的性質(zhì)，求得球的半徑，利用表面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)的中心為，矩形的中心為，過作垂直于平面的直線，過作垂直于平面的直線，則由球的性質(zhì)可知，直線與的交點為幾何體外接球的球心，取的中點，連接，，由條件得，，連接，因為，從而，連接，則為所得幾何體外接球的半徑，在直角中，由，，可得，即外接球的半徑為，故所得幾何體外接球的表面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及多面體的外接球的表面積的計算，其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，求得外接球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力與運算求解能力，屬于中檔試題.16、【解析】

首先整理所給的代數(shù)式，然后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得其最小值.【詳解】，結(jié)合可知原式，且，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.即最小值為.【點睛】在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

事件表示男學(xué)員在第次考科目二通過，事件表示女學(xué)員在第次考科目二通過（其中）（1）這對夫妻是否通過科目二考試相互獨立，利用獨立事件乘法公式即可求得；（2）補考費用之和為元可能取值為400，600，800，1000，1200，根據(jù)題意可求相應(yīng)的概率，進(jìn)而可求X的數(shù)學(xué)期望．【詳解】事件表示男學(xué)員在第次考科目二通過，事件表示女學(xué)員在第次考科目二通過（其中）.（1）事件表示這對夫妻考科目二都不需要交補考費..（2）的可能取值為400，600，800，1000，1200.，，，，.則的分布列為：40060080010001200故(元).【點睛】本題以實際問題為素材，考查離散型隨機變量的概率及期望，解題時要注意獨立事件概率公式的靈活運用，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化簡，根據(jù)勾股定理逆定理求得.（2）設(shè)，由此求得的表達(dá)式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設(shè)，，，由，根據(jù)正弦定理和余弦定理得.化簡整理得.由勾股定理逆定理得.（2）設(shè)，，由（1）的結(jié)論知.在中，，由，所以.在中，，由，所以.所以，由，所以當(dāng)，即時，取得最大值，且最大值為.【點睛】本小題考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函數(shù)性質(zhì)及其三角恒等變換等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，化歸與轉(zhuǎn)換思想，應(yīng)用意識.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）要證明面面，只需證明面即可；（2）以為坐標(biāo)原點，以，，分別為，，軸建系，分別計算出面法向量，面的法向量，再利用公式計算即可.【詳解】證明：（1）因為底面為正方形，所以又因為，，滿足，所以又，面，面，，所以面.又因為面，所以，面面.（2）由（1）知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，以，，分別為，，軸建系如圖所示，則，，,，則，.所以，，，，設(shè)面法向量為，則由得，令得，，即；同理，設(shè)面的法向量為，則由得，令得，，即，所以，設(shè)二面角的大小為，則所以二面角余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求二面角，考查學(xué)生的運算求解能力，此類問題關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點的坐標(biāo)，是一道中檔題.20、(1)曲線表示的是焦點為，準(zhǔn)線為的拋物線;(2)8.【解析】試題分析：（1）將曲線的極坐標(biāo)方程為兩邊同時乘以，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的關(guān)系即可得出其直角坐標(biāo)方程；（2）由直線經(jīng)過點，可得的值，再將直線的參數(shù)方程代入曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，由直線參數(shù)方程的幾何意義可得直線被曲線截得的線段的長.試題解析：（1）由可得，即，∴曲線表示的是焦點為，準(zhǔn)線為的拋物線.（2）將代入，得，∴，∵，∴，∴直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).將直線的參數(shù)方程代入得，由直線參數(shù)方程的幾何意義可知，.21、（1）（2）當(dāng)G點橫坐標(biāo)為整數(shù)時，S不是整數(shù)．【解析】

（1）先求解導(dǎo)數(shù)，得出切線方程，聯(lián)立方程得出交點G的軌跡方程；（2）先求解弦長，再分別求解點到直線的距離，表示出四邊形的面積，結(jié)合點G的橫坐標(biāo)為整數(shù)進(jìn)行判斷.【詳解】（1）設(shè)，則，拋物線C的方程可化為，則，所以曲線C在點A處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩切線均過點G，所以，所以A，B兩點均在直線上