《有限元基礎(chǔ)－緒論》課件

有限元基礎(chǔ)-緒論本課程將介紹有限元方法的基礎(chǔ)知識，旨在為學(xué)生提供該方法的理論基礎(chǔ)和應(yīng)用技巧。有限元方法是一種數(shù)值計(jì)算方法，廣泛應(yīng)用于工程、科學(xué)等領(lǐng)域。課程介紹課程目標(biāo)掌握有限元方法的基本原理，能夠運(yùn)用有限元分析軟件進(jìn)行工程問題求解。課程內(nèi)容介紹有限元方法的基本概念、理論基礎(chǔ)、主要步驟以及應(yīng)用領(lǐng)域。學(xué)習(xí)方法課堂講授、案例分析、軟件操作實(shí)踐，理論與實(shí)踐相結(jié)合?？己朔绞狡綍r(shí)作業(yè)、期末考試，考核學(xué)生對課程內(nèi)容的理解和應(yīng)用能力。什么是有限元方法有限元方法是解決工程問題的一種數(shù)值方法。它將復(fù)雜結(jié)構(gòu)離散成有限個(gè)單元，每個(gè)單元都是一個(gè)簡單形狀的幾何體。每個(gè)單元都可以用有限個(gè)節(jié)點(diǎn)來表示，這些節(jié)點(diǎn)之間由單元的形狀函數(shù)連接，形成一個(gè)整體的結(jié)構(gòu)模型。這種方法可以將連續(xù)的物理問題轉(zhuǎn)化為離散的代數(shù)方程組，通過求解這些方程組，可以得到結(jié)構(gòu)的位移、應(yīng)力、應(yīng)變等信息。有限元方法的基本原理將連續(xù)體離散化將連續(xù)體分解成許多小的單元，這些單元被稱為有限元。單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，節(jié)點(diǎn)代表單元的頂點(diǎn)或邊界。近似解在每個(gè)單元內(nèi)，用簡單的函數(shù)來近似表示未知變量。這些函數(shù)稱為形函數(shù)，它們在節(jié)點(diǎn)處的值是已知的。有限元分析的基本步驟1建立模型首先，需要根據(jù)實(shí)際工程問題建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型。這個(gè)模型將包括幾何形狀、材料特性、邊界條件和載荷。2網(wǎng)格劃分將模型劃分成許多小的單元，這些單元被稱為有限元。單元的形狀和大小取決于模型的復(fù)雜程度和精度要求。3建立單元方程每個(gè)單元的方程描述了單元內(nèi)部的力和位移之間的關(guān)系。這些方程的建立基于單元的材料特性和幾何形狀。4組裝整體方程將所有單元的方程組裝成一個(gè)整體方程，這個(gè)方程描述了整個(gè)模型的力學(xué)行為。5求解方程使用數(shù)值方法求解整體方程，得到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移值。這些位移值可以用于計(jì)算應(yīng)力、應(yīng)變和其他相關(guān)的物理量。6后處理對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行分析和解釋，并根據(jù)結(jié)果對模型進(jìn)行修正或優(yōu)化。工程應(yīng)用中的有限元分析有限元方法在工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如結(jié)構(gòu)工程、機(jī)械工程、土木工程、航空航天工程等。它可以用于分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)的應(yīng)力、應(yīng)變、位移、振動(dòng)、熱傳導(dǎo)等問題，為工程師提供結(jié)構(gòu)安全性和可靠性的評估依據(jù)。有限元分析的優(yōu)勢1通用性強(qiáng)它可以用于解決各種工程問題，包括結(jié)構(gòu)分析、熱傳導(dǎo)、流體力學(xué)等。2精度高通過細(xì)化網(wǎng)格可以提高計(jì)算精度，滿足各種工程設(shè)計(jì)需求。3計(jì)算效率高有限元分析能夠有效地利用計(jì)算機(jī)資源，快速完成復(fù)雜的計(jì)算。4可視化結(jié)果能夠?qū)⒂?jì)算結(jié)果直觀地展示出來，方便理解和分析。有限元分析的主要假設(shè)線性材料材料的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系是線性的，即應(yīng)力與應(yīng)變成正比。這表示材料的彈性模量和泊松比是常數(shù)，不會隨著應(yīng)力或應(yīng)變的變化而改變。小位移結(jié)構(gòu)的變形很小，可以忽略變形對結(jié)構(gòu)剛度和載荷的影響。這使得有限元分析可以采用線性方程組來描述結(jié)構(gòu)的行為。理想邊界條件邊界條件可以精確定義，例如固定的節(jié)點(diǎn)或施加的載荷。這簡化了有限元模型的建立，但可能導(dǎo)致與實(shí)際情況的偏差。連續(xù)介質(zhì)結(jié)構(gòu)被視為連續(xù)體，忽略了材料的微觀結(jié)構(gòu)和缺陷。這使得有限元分析可以采用連續(xù)的微分方程來描述結(jié)構(gòu)的行為。有限元的發(fā)展歷程早期發(fā)展20世紀(jì)40年代，有限元方法的雛形在航空航天領(lǐng)域出現(xiàn)，用于解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)的應(yīng)力分析問題。奠基時(shí)期20世紀(jì)50年代，有限元方法開始得到系統(tǒng)研究，并逐漸發(fā)展成為一種通用的數(shù)值方法?？焖侔l(fā)展20世紀(jì)60年代，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，有限元方法得到了廣泛應(yīng)用，并迅速發(fā)展成為工程領(lǐng)域的重要工具。成熟時(shí)期20世紀(jì)70年代至今，有限元方法不斷完善，并擴(kuò)展到各個(gè)工程領(lǐng)域，成為解決復(fù)雜工程問題的有力手段。有限元方法的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)微積分有限元方法應(yīng)用微積分來計(jì)算單元上的積分，這些積分表示單元的剛度和質(zhì)量矩陣。線性代數(shù)線性代數(shù)用于組裝和求解有限元方程組，這些方程組表示結(jié)構(gòu)的整體行為。數(shù)值分析數(shù)值分析方法用于求解有限元方程組，并獲得結(jié)構(gòu)的解。函數(shù)逼近函數(shù)逼近技術(shù)用于將連續(xù)函數(shù)表示為離散的有限元函數(shù)，以便進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。有限元方法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)1問題描述將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型2離散化將連續(xù)體離散成有限個(gè)單元3求解方程組建立并求解單元?jiǎng)偠染仃嚭洼d荷向量4后處理計(jì)算結(jié)果可視化并分析有限元方法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)需要使用專門的軟件進(jìn)行，例如ANSYS、ABAQUS和COMSOL等。這些軟件可以幫助工程師們完成從模型創(chuàng)建、網(wǎng)格劃分、求解方程組到結(jié)果分析的全過程，極大地提高了工程設(shè)計(jì)效率和準(zhǔn)確性。有限元網(wǎng)格的生成有限元網(wǎng)格是有限元分析的核心步驟之一。網(wǎng)格的質(zhì)量直接影響分析結(jié)果的精度和效率。1幾何模型將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型2網(wǎng)格劃分將幾何模型分解為有限個(gè)單元3節(jié)點(diǎn)定義定義單元的連接點(diǎn)，用于描述變形4網(wǎng)格檢查檢查網(wǎng)格質(zhì)量，確保精度和穩(wěn)定性單元單位單元長度單元長度是指單元在空間中的尺寸。例如，一個(gè)三角形單元的長度可以是其三個(gè)邊的長度。單元面積單元面積是指單元在空間中占有的面積。例如，一個(gè)三角形單元的面積可以是其三個(gè)邊所圍成的面積。單元體積單元體積是指單元在空間中占有的體積。例如，一個(gè)四面體單元的體積可以是其四個(gè)面所圍成的體積。其他單位根據(jù)不同的問題和分析需求，單元單位可能還包括其他單位，例如質(zhì)量、密度、力等。單元類型三角形單元平面問題中常用的單元類型，具有計(jì)算簡單、精度較高的優(yōu)點(diǎn)，適用于復(fù)雜幾何形狀的建模。四邊形單元平面問題中常用的單元類型，具有穩(wěn)定性高、精度較高的優(yōu)點(diǎn)，適用于規(guī)則形狀的建模。四面體單元三維問題中常用的單元類型，具有靈活性和穩(wěn)定性，適用于復(fù)雜幾何形狀的建模。六面體單元三維問題中常用的單元類型，具有精度高、穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)，適用于規(guī)則形狀的建模。單元自由度節(jié)點(diǎn)自由度節(jié)點(diǎn)自由度是指節(jié)點(diǎn)在空間中的運(yùn)動(dòng)自由度。位移自由度位移自由度代表了節(jié)點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的位移。旋轉(zhuǎn)自由度旋轉(zhuǎn)自由度代表了節(jié)點(diǎn)繞三個(gè)坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)。單元?jiǎng)偠染仃嚮靖拍顔卧獎(jiǎng)偠染仃嚤硎締卧谔囟ㄗ冃文Ｊ较碌膭偠忍匦浴Ｋ且粋€(gè)矩陣，描述了單元節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系。計(jì)算方法單元?jiǎng)偠染仃嚳梢酝ㄟ^積分方法計(jì)算得到，具體方法取決于單元的形狀、材料性質(zhì)和邊界條件。應(yīng)用單元?jiǎng)偠染仃囀怯邢拊椒ǖ暮诵母拍钪?，用于?gòu)建整體剛度矩陣，并最終求解結(jié)構(gòu)的變形和應(yīng)力。單元載荷向量1定義單元載荷向量表示作用在單個(gè)有限元單元上的外部載荷。2類型載荷向量可以是集中載荷，分布載荷，或溫度載荷。3計(jì)算可以通過對單元上的外部載荷進(jìn)行積分來計(jì)算單元載荷向量。4作用單元載荷向量與單元?jiǎng)偠染仃囈黄鹩糜谟?jì)算單元的節(jié)點(diǎn)位移。整體剛度矩陣全局剛度矩陣將所有單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝成一個(gè)大型矩陣，代表整個(gè)結(jié)構(gòu)的剛度特性。結(jié)構(gòu)分析的核心用于建立結(jié)構(gòu)的平衡方程，并最終求解結(jié)構(gòu)的位移和應(yīng)力。稀疏矩陣由于每個(gè)節(jié)點(diǎn)只與周圍有限個(gè)單元連接，因此整體剛度矩陣大多為稀疏矩陣。邊界條件的施加1固定約束節(jié)點(diǎn)固定，位移為零2力約束節(jié)點(diǎn)施加外力3位移約束節(jié)點(diǎn)施加位移邊界條件是有限元分析中的重要步驟，決定了模型的受力狀態(tài)和變形情況。力和位移的關(guān)系位移在有限元分析中，位移是結(jié)構(gòu)在荷載作用下發(fā)生的形狀改變。位移是未知量，需要通過求解方程組得到。力力是作用在結(jié)構(gòu)上的外力，可以是集中力、分布力或邊界條件。力是已知量，用于計(jì)算結(jié)構(gòu)的變形。求解線性方程組1直接法直接法通過一系列的矩陣運(yùn)算，直接求解線性方程組的精確解。常用的直接法包括高斯消元法、LU分解法等。2迭代法迭代法通過反復(fù)迭代，逐步逼近線性方程組的精確解。常用的迭代法包括雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法等。3選擇方法選擇合適的求解方法取決于線性方程組的大小、矩陣的性質(zhì)、計(jì)算精度等因素。應(yīng)力和應(yīng)變的計(jì)算應(yīng)力應(yīng)力是作用在物體上的外力在物體截面積上的分布。應(yīng)變應(yīng)變是指物體在受到外力作用時(shí)所發(fā)生的形變。應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系描述了材料在加載過程中的力學(xué)行為。有限元分析中的誤差11.近似誤差有限元方法使用離散化方法將連續(xù)體問題轉(zhuǎn)化為離散問題，這會導(dǎo)致近似誤差。22.舍入誤差計(jì)算機(jī)計(jì)算過程中會產(chǎn)生舍入誤差，這會累積并影響最終結(jié)果。33.網(wǎng)格誤差網(wǎng)格尺寸和形狀對結(jié)果精度影響很大，需要謹(jǐn)慎選擇和控制。44.材料參數(shù)誤差材料參數(shù)的測量誤差也會影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。收斂性分析收斂性判定通過網(wǎng)格加密和分析結(jié)果的比較，判斷結(jié)果的收斂性。網(wǎng)格加密逐步細(xì)化有限元網(wǎng)格，觀察結(jié)果的變化趨勢。誤差評估計(jì)算有限元解與精確解之間的誤差，評估解的精度。幾何非線性問題大變形結(jié)構(gòu)發(fā)生顯著的形狀變化，比如橋梁在重力作用下彎曲。應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系非線性材料的應(yīng)力和應(yīng)變之間不再呈線性關(guān)系，比如鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)。接觸問題結(jié)構(gòu)之間存在接觸，比如車輛碰撞或建筑物的抗震設(shè)計(jì)。材料非線性問題非線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不再是線性的，而是隨著載荷的增加而變化。材料屬性的變化材料的彈性模量、泊松比等屬性會隨著載荷的增加而變化。材料失效材料會發(fā)生屈服、斷裂、蠕變等失效現(xiàn)象。動(dòng)力學(xué)問題瞬態(tài)分析考慮時(shí)間因素，分析結(jié)構(gòu)在動(dòng)態(tài)載荷下的響應(yīng)。例如，地震或爆炸產(chǎn)生的沖擊。瞬態(tài)分析可以預(yù)測結(jié)構(gòu)的振動(dòng)、位移和應(yīng)力隨時(shí)間的變化。頻率響應(yīng)分析研究結(jié)構(gòu)在不同頻率的激勵(lì)下的振動(dòng)行為。頻率響應(yīng)分析可以確定結(jié)構(gòu)的共振頻率，以及不同頻率激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。熱傳導(dǎo)問題11.熱傳遞熱量從高溫物體傳遞到低溫物體，直到達(dá)到熱平衡。22.傳導(dǎo)機(jī)制通過分子運(yùn)動(dòng)，熱量在固體、液體或氣體中傳遞。33.傅里葉定律描述了熱流與溫度梯度之間的關(guān)系。44.有限元方法用于求解熱