2024-2025人教版高二年級數(shù)學(xué)上冊期中模擬檢測卷三（新高考專用）解析版

2024-2025高二上期中模擬檢測三

檢測范圍：選擇性必修一第一章、第二章、第三章

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

1.（23-24高三上?重慶南岸?階段練習(xí)）已知直線《：2x+2y-l=012：4x+3+3=0,/3：儂+6〉-1=0,若

且乙皿3,則%+〃的值為（）

A.-10B.10C.-2D.2

2.（2023?江蘇?模擬預(yù)測）中國國家大劇院是亞洲最大的劇院綜合體，中國國家表演藝術(shù)的最高殿堂，中

外文化交流的最大平臺.大劇院的平面投影是橢圓C,其長軸長度約為212m,短軸長度約為144m.若直

線/平行于長軸且C的中心到/的距離是24m,則/被C截得的線段長度約為（）

A.140mB.143mC.200mD.209m

3.（24-25高二下?全國?隨堂練習(xí)）已知A,B,C三點不共線，。是平面ABC外任意一點，若由

—.1—.2—?—■，

。尸=1。4+§。8+2。。（幾€11）確定的一點尸與人，B,C三點共面，則彳的值為（）

4.（24-25高二上?江蘇南京?階段練習(xí)）已知圓C：（x-3）2+（y-4）2=9,直線/：ira+y-2m-3=0.則直

線/被圓C截得的弦長的最小值為（）

A.2A/7B.屈C.272D.V6

5.（202牛上海,高考真題）定義一個集合。，集合中的元素是空間內(nèi)的點集，任取片,，Ae。，存在不全

為0的實數(shù)4，4，4,使得4加1+4配+4砒=6.已知（i,0,0）eC,貝|）（0,01）任。的充分條件是（）

A.（0,0,0）eQB.（-1,0,0）eQ

C.（0」,0）e。D.（0,0,-l）eQ

22

6.（2023?四川雅安?一模）已知居,E為雙曲線C:=-==l（a>0）>0）的左、右焦點，點A在C上，若

ab

忸A(yù)|=2怩A|,乙有工=30。,八4片乙的面積為66,則C的方程為（）

7.（2023?甘肅定西?模擬預(yù)測）若點（2,1）在圓/+y2-x+y+a=。的外部，則。的取值范圍是（）

A.B.1啊，C.[4,；]D.（-CO,-4）UQ,+OO^

8.（21-22高二上?四川攀枝花?階段練習(xí)）如圖所示，已知拋物線6：>2=2。匹過點（2,4）,圓

22

C2:x+y-4x+3=0.過圓心C2的直線/與拋物線C,和圓C2分別交于P,Q,M,N,則1PM+4口叫的最小值

為（）

A.23B.42C.12D.13

二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）

2

9.（2022?廣東?模擬預(yù)測）已知雙曲線C：X2一￡=]的左、右焦點分別為耳,乙，點尸雙曲線C右支上，

若56=8,口尸片居的面積為S,則下列選項正確的是（）

A.若6=60°,貝”=46

B.若S=4,則陷|=26

C.若□尸耳鳥為銳角三角形，則Se（4,4百）

D.若口尸耳耳的重心為G,隨著點P的運動，點G的軌跡方程為9產(chǎn)-彳=l[x>g

10.（23-24高二上?廣東中山?階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（）

A.已知點P（x,y）在圓C:（x-l『+（y_i）2=2上，貝l］x+y的最大值是4

B.已知直線乙-尸1=0和以M（-3,1）,N（3,2）為端點的線段相交，則實數(shù)4的取值范圍為-§4%41

C.已知尸（。,3是圓V+y2=/外一點，直線/的方程是6+勿=/，則直線/與圓相離

D.若圓M:（尤-W+（y-盯=/位＞0）上恰有兩點到點N（l,0）的距離為1,則r的取值范圍是（4,6）

11.（22-23高二下?江蘇南通,階段練習(xí)）下面四個結(jié)論正確的是（）

A.已知向量2=（9,4,-4）范=（1,2,2）,則［在］上的投影向量為（1,2,2）

—?1—?1—?1—.

B.若對空間中任意一點0,^OP=-OA+-OB+-OC則P,A,民。四點共面

632f

C.已知｛。,反。｝是空間的一組基底，若石=￡+"則｛a,4〃”也是空間的一組基底

D.若直線/的方向向量為工=。,0,3）,平面a的法向量5=1-2,0彳］,則直線/_La

三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上）

12.（2023?江蘇無錫?三模）已如尸（3,3）,M是拋物線/=4x上的動點（異于頂點），過M作圓

C:（x-2p+y2=4的切線，切點為A,貝+的最小值為.

13.（24-25高二上?黑龍江?開學(xué)考試）如圖，平行六面體ABCO-ABCI"的所有棱長均為2,AB,AD,44,兩

兩所成夾角均為60。，點分別在棱叫刀2上，且BE=2B］E,RF=2DF,則|而卜；直線

AG與EF所成角的余弦值為.

21

14.（22-23高二下?貴州遵義?期中）若點。,2）在直線依+力-1=0上（其中a,6都是正實數(shù)），則一+e的

a2b

最小值為.

四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

15.（13分）（23-24高二上?廣東?階段練習(xí)）已知直線/：x-y+l=O和圓C:x2+y*_2x+4y-4=0.

⑴判斷直線/與圓C的位置關(guān)系；若相交，求直線/被圓C截得的弦長；

⑵求過點（4,-1）且與圓C相切的直線方程.

16.（15分）（2022?全國,高考真題）如圖，四面體ABC。中，AD1CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為

AC的中點.

⑴證明：平面BED_L平面AC。；

（2）設(shè)48=8。=2,/4置=60。，點尸在8。上，當(dāng)口APC的面積最小時，求CF與平面420所成的角的正

弦值.

22

17.（15分）（24-25高二上?江蘇連云港,階段練習(xí)）如圖，已知橢圓C:當(dāng)=l（a>b>0）過點*3,1）,

ab

焦距為4&,斜率為-;的直線/與橢圓C相交于異于點P的兩點，且直線均不與x軸垂直.

⑴求橢圓C的方程；

（2）若九W=而，求MN的方程;

⑶記直線PM的斜率為左，直線PN的斜率為七，證明:改色為定值.

18.（17分）（2023?全國?高考真題）如圖，在正四棱柱ABCD-4蜴。自中，AB=2,AAl=4.點

A,,B2,C2,Z>2分別在棱A4,,AB],CG，DQ上，AA,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴證明：22c2〃43；

(2)點P在棱B耳上，當(dāng)二面角尸-劣。2-3為150°時，求32P.

19.(17分)(2022高三?全國?專題練習(xí))已知動點M到直線尤+2=。的距離比到點尸(1,0)的距離大1.

(1)求動點M所在的曲線C的方程；

⑵已知點尸(1,2),A8是曲線C上的兩個動點，如果直線PA的斜率與直線PB的斜率互為相反數(shù)，證明直

線AB的斜率為定值，并求出這個定值；

參考答案:

題號12345678910

答案CCAACBCDACDAD

題號11

答案ABC

1.C

【分析】由兩直線的平行與垂直求得〃，加值后可得結(jié)論.

4〃3

【詳解】由題意不=不。一=4,2加+12=0,m=-6,

22—1

所以機(jī)+〃=-2.

故選：C.

2.C

22

【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)該橢圓方程為「+2=1,a>b>0,由題意得出橢圓的方程，令1=24,

ab

即可得出答案.

【詳解】設(shè)該橢圓焦點在X軸上，以中心為原點，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)橢圓的方程為：

22

，+與=1,a>b>0,由題意可得2。=212,2b=144,

ab

因為直線I平行于長軸且。的中心到I的距離是24m,

令y=24,得12x|==200(01),

故選：C.

3.A

12

【分析】根據(jù)點尸與A,B,C三點共面，可得點+：+4=1,從而可得答案.

【詳解】因為A,B,C三點不共線，點尸與A,B,C三點共面,

—?1—?2—?—?/、

XOP=-OA+-OB+2OC（2eR）,

122

所以,+§+4=1,解得丸二百.

故選：A.

4.A

【分析】由題意可證直線/恒過的定點P(2,3)在圓內(nèi)，當(dāng)。尸，/時直線/被圓。截得的弦長最小，結(jié)合勾

股定理計算即可求解.

【詳解】直線/：mx+y-2m-3=m(x-2)+y-3=0,

[x—2=0[x=2

令ac，解得」，所以直線/恒過定點尸色,3,

[y-3=0[y=3

圓C：(X77+仃-療=9的圓心為C(3,4),半徑為r=3,

且|PC「=(2-3『+(3-4『=2<9,即尸在圓內(nèi)，

當(dāng)CP，/時，圓心c到直線I的距離最大為d=1Pq=V2,

此時，直線/被圓C截得的弦長最小，最小值為26一屋=2"

故選：A.

5.C

【分析】首先分析出三個向量共面，顯然當(dāng)0,1),(0,1,0)時，三個向量構(gòu)成空間的一個基底,

則即可分析出正確答案.

【詳解】由題意知這三個向量3R,砧，礫共面，即這三個向量不能構(gòu)成空間的一個基底，

對A,由空間直角坐標(biāo)系易知(o,o,o),(1,0,0),(0,0,1)三個向量共面，則當(dāng)(-1,0,0),(1,0,0)eQ無法推出

(0,0,1)gQ,故A錯誤:

對B,由空間直角坐標(biāo)系易知(-1,0,0),(1,0,0),(0,0,1)三個向量共面，則當(dāng)(0,0,0),Q,0,0)eC無法推出

(0,0,1)生。，故B錯誤；

對C,由空間直角坐標(biāo)系易知。,0,0),(0,0,1),(0』,0)三個向量不共面，可構(gòu)成空間的一個基底，

則由(1,0,0),(0,1,0)eQ能推出(0,0,1)電Q,

對D,由空間直角坐標(biāo)系易知。,0,0),(0,0,1),(0,0,-1)三個向量共面，

則當(dāng)(0,0,-1)(1,0,0)e。無法推出(0,0,1)￡C,故D錯誤.

故選：c.

6.B

【分析】先根據(jù)雙曲線的定義求出優(yōu)H，由山，在AAG工中，利用正弦定理求出”2耳，再根據(jù)三角形的

面積公式求出利用勾股定理可求得C?,進(jìn)而可求出答案.

【詳解】因為國J=2|%4],所以閨A|>內(nèi)A|,

又因為點A在C上,所以國A|-?A|=2a,

即21KAi-因川=2a,所以國A卜2a,閨A|=4a,

H用H用

在片鳥中，由正弦定理得

sin/AKKsinZAF2F1

IAFIsin30°

所以sin/A用耳」?=1,

AF2

又0。<乙4鳥耳<180。,所以NAg居=90。，故。耳&O=60。,

則￥“但=局$吊60。=2//=66,所以“2=3,

貝IJ閨耳「=(2蛾=|AM-|A用2=16/_4/=]2/=36,所以0?=9,

所以/=02-6=6,

22

所以C的方程為上-匕=1.

36

故選：B.

(分析]利用表示圓的條件和點和圓的位置關(guān)系進(jìn)行計算.

【詳解】依題意，方程/+>2—X+y+4=?？梢员硎緢A，則(一I)?+13—4">0,得“</；

由點(2,1)在圓/+一%+>+〃=o的外部可知：2?+干一2+1+〃>0,得〃>一4.

故M一4,＜。＜一1.

2

故選：c

8.D

112

【分析】由點在拋物線上求出p,焦半徑的幾何性質(zhì)有兩+西=萬，再將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為

\PF\+4\QF\-5,應(yīng)用基本不等式"1"的代換求最值即可，注意等號成立條件.

【詳解】由題設(shè)，16=2px2,則20=8,故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=8x,則焦點尸(2,0),

1121

由直線尸。過拋物線的焦點，貝1^網(wǎng)+/=]=1,

圓C2：(x-2)2+丁=1圓心為(2,0),半徑1,

|尸閭+4|0叫=|尸尸|—1+4（|0尸|—1）=|尸尸|+4|0尸|—5=2（|尸產(chǎn)|+4|。尸|）（向+血）—5

=2x用f

當(dāng)且僅當(dāng)I尸切=21QF|時等號成立,故|PM|+4|QN|的最小值為13.

故選：D

112

【點睛】關(guān)鍵點點睛：由焦半徑的傾斜角式得到網(wǎng)+西=彳，并將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為I尸尸I+4IQFI-5,結(jié)

合基本不等式求最值.

9.ACD

【分析】對于A,利用焦點三角形的面積公式求解，對于B,由焦點三角形的面積公式求出90。，再由

以雙曲線的定義和勾股定理列方程組可求得結(jié)果，對于C,當(dāng)口尸耳鳥為直角三角形時，求出臨界值進(jìn)行判

斷，對于D,利用相關(guān)點法結(jié)合重心坐標(biāo)公式求解

2

【詳解】由首一匕=1,得/=i萬=4,則0=—百

4

°b24

焦點三角形尸耳耳的面積公式0~8，將。=60。代入可知S=46,故A正確.

tan—tan一

〕尸團(tuán)-P用=2

可得|尸局=2,故B錯誤.

當(dāng)5=4時，0=90°由，1|P玻+附|2=國閶

當(dāng)/月2區(qū)=90。時，5=4,當(dāng)NP鳥片=90。時，S=4石，因為□尸耳外為銳角三角形，所以Se(4,4右)，故

C正確.

設(shè)G(x,y),P(Xo，yJ(%>l),貝lj玉；一手=1(%>1),由題設(shè)知與(一石,0),用(6,0),貝“：二；；，所以

91一?=故D正確.

故選：ACD

10.AD

【分析】利用三角代換可判斷A；求出直線依-y-1=。所過定點，結(jié)合圖形可判斷B；利用點到直線的距

離公式可判斷C；轉(zhuǎn)化為兩圓相交問題可判斷D.

【詳解】A選項，因為點P(x,y)在圓C:(x-l)2+(y-l)2=2上，

所以x+y=l+V2cosa+1+V2sina=2+2sin(cr+：)W4,

TT

當(dāng)時，1+y取得最大值4,故A正確；

4

fx_0

B選項，由%紅-。)一(>+1)=0,所以Jy=T，即直線質(zhì)一yT=°過點尸(O，T)，

2

因為直線和線段相交，故只需左2/^=1或左《左加=-故B錯誤;

r2

C選項，圓/+產(chǎn)=產(chǎn)的圓心(o,o)到直線=/的距離=

ax+bydJ/+/

而點是圓x2+/=/外一點，所以〃2+廿〉戶,

r2

所以d=/1,<一=r,所以直線與圓相交，故C錯誤;

+br

D選項，與點N(l,0)的距離為1的點在圓(元—l『+y2=i上，

由題意知圓M：(x—4『+(y-4『=r2(r>0)與圓+y2=1相交，

所以圓心距d=|MN|=5,滿足一l<d=5<r+1,解得4<r<6,故D正確.

故選：AD

11.ABC

【分析】利用投影向量的定義判斷A,利用空間四點共面，滿足歷=加刀+〃赤+/反，其中機(jī)+〃+，=1

判斷B,根據(jù)向量基底的概念判斷C,利用線面關(guān)系的向量表示判斷D.

【詳解】選項A：因為2=(9,4,-4)3=(1,2,2),所以2在歸上的投影向量為

H'故選項A正確；

選項B：因為*^+7+7=1,故選項B正確；

632

選項C：&c｝是空間的一組基底，rn=a+c>所以｛。，瓦〃+。｝兩向量之間不共線，所以｛。區(qū)耳也是空間

的一組基底，故選項C正確；.

選項D：因為直線/的方向向量為工=。,0,3),平面a的法向量1=，2,0,g1,e.?=-2+0+2=0.則直線

1〃a或lua,故選項D錯誤；

故選：ABC

12.3

【分析】設(shè)出點M的坐標(biāo)，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)求出IK4I,再借助式子幾何意義作答.

【詳解】依題意，設(shè)加(%,％),%>0,有才=4%,圓C:(x-2y+y2=4的圓心C(2,0),半徑7=2,

222

于是I1=VlA/C|-r=7(X0-2)+^-4=&=X。,

因此|M4|+\MP\=x0+\MP\,表示拋物線C上的點M到y(tǒng)軸距離與到定點P的距離的和，

而點P在拋物線C內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)M是過點P垂直于y軸的直線與拋物線C的交點時，/+|MP|取得最小值

3,

所以+刊的最小值為3.

故答案為：3.

122斤V15

315

【分析】表達(dá)出方=-麗+而一念，平方后求出而2=3，求出網(wǎng)求出年卜2折利

用向量夾角余弦公式求出異面直線距離的余弦值.

【詳解】連接A&AE,

EF=7^F-~AE=~AD+-~DD.-^B--BB,=^AB+~AD--~AA,

31313l

-----?2-----?2------,21---->2--------------2-------*----*2----*----*

EF=AB+AD+—A4t-2AB-AD+-AB-AA.--AD-AA,

47i2兀27i40

=4+4H-----2x2x2cos—I—x2x2cos--------x2x2cos—=—,

9333339

故同=等；

而=通+通+麗，

?/?2?2*2?2??,,??

故A。=AB+AD+A4j+2AB-AD+2AB-AA1+2AD-AA1

=4+4+4+2x2x2x—F2X2X2X—F2X2X2X—=24,

222

故麗|=2",

___.(AB+AD+AA.)-\-AB+AD--AA.I

AC「EF='"3f

MM2&巫

3

------2-21-24—-—>2—1,—(■8

-AB+AD--ABAA.+-ADAA,--在

—8后-8A一15

33

故直線AG與EF所成角的余弦值為叵.

15

故答案為：名便；—

315

14.3+2V2/2V2+3

【分析】根據(jù)點在直線上可得6的關(guān)系，再利用"1"的妙用求解作答.

【詳解】依題意，a+2b=\,而a>O,b>。，

工日21._..,21._4ba、。

于ZE—I---=(〃+2b)(—F—)=3-1----1-->3+2

a2ba2"ba2cb'

當(dāng)且僅當(dāng)竺=￡,即a=2逐時取等號，由卜=2"\得q=2-叵6=立匚,

a2b[a+2b=l2

所以當(dāng)a=2-血，匕=蟲二^寸，2+1取得最小值為3+2血.

2a2b

故答案為：3+20

15.（1）相交，截得的弦長為2.

⑵x=4或4x+3y-13=0.

【分析】（1）利用點到直線的距離公式以及直線與圓的位置關(guān)系求解;

（2）利用直線與圓相切與點到直線的距離公式的關(guān)系求解.

【詳解】（1）由圓C:/+y2-2x+4y-4=0可得，圓心C（l,-2）,半徑廠=在+警f=3,

圓心C（l,一2）到直線/:x—y+1=0的距離為d="「I=2V2<r,

V2

所以直線/與圓C相交，

直線/被圓C截得的弦長為2廠彳=2.

（2）若過點（4,-1）的直線斜率不出在，則方程為x=4,

此時圓心C（l,-2）至lj直線x=4的距離為4一1=3=廠，滿足題意;

若過點（4,-1）且與圓C相切的直線斜率存在,

貝U設(shè)切線方程為V+1=MX-4）,即依一y—4左一1=0,

|—3k+1|4

則圓心到直線依-尸44-1=。的距離為=3解得％=—],

J%2+1

所以切線方程為—4>+寧13=0,即4x+3y—13=0,

綜上，過點（4,-1）且與圓。相切的直線方程為％=4或4x+3y-13=0.

16.⑴證明過程見解析

（2）3與平面A3。所成的角的正弦值為迪

7

【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明△A3。2△C3。，得到A8=C3,結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)

系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；

(2)根據(jù)勾股定理逆用得到BEIDE,從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運算法則進(jìn)行計算即可.

【詳解】(1)因為AD=CD,E為AC的中點，所以ACLDE；

在LABD和ACBD中，因為AO=CD,NADB=ZCDB,DB=DB,

所以AABD注△CBD,所以AB=C8,又因為E為AC的中點，所以4CL8E；

又因為￡>E,BEu平面BED,DEcBE=E,所以AC_L平面BED,

因為ACu平面AC。，所以平面BED_L平面AC。.

(2)連接EF,由(1)知，AC_L平面BE。，因為EFu平面BED,

所以ACLM,所以入〃0=(40￡尸，

當(dāng)EEL8。時，EF最小,即口APC的面積最小.

因為△A3。之△CBD,所以CB=AB=2,

又因為NACB=60。，所以AABC是等邊三角形，

因為E為AC的中點，所以AE=EC=1,BE=/,

因為AD_LCD,所以O(shè)E=；AC=1,

在口。EB中，DE2+BE2=BD2,所以BEJ.DE.

以E為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系￡-孫z,

則4(1,0,0),網(wǎng)0,百,0),￡?(0,0,1),所以蒞=(-1,0,1),荏=卜1,百,0),

設(shè)平面ABD的一個法向量為n=(x,y,z),

n-AD=-x+z=0「

則一廠，取y=G則為=9,百,3「

n?AB=-x+Y3y=0

又因為c(-l,o,o)10,一，:，所以CF=1,一,了

I44JI44J

6

cosn,CF=

所以同5

設(shè)Cf與平面ABD所成的角為“owev]

所以sin0=|cosn,Cp|=

所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為空2.

7

F

17.嗚+卜

(2)y=--x-2

⑶證明見解析

【分析】（1）根據(jù)條件列方程組求解即可；

（2）設(shè)直線/的方程為y=+與橢圓聯(lián)立，由弦長公式求得的方程;

（3）將韋達(dá)定理代入左芯中計算結(jié)果為定值.

91,

---1---=1

/b2a=2^3

【詳解】（1）由題意得?2c=4也解得■b=2

a2=b2+c25=272

故橢圓C的方程為《+2=1.

124

(2)設(shè)直線/的方程為〉=-++，"，/(%,%),"伍，%)

1

y=——x+m

3

由，22得4——6JWC+9m2—36=0,

4^/34A/3

由A=(6m)2—144(m2一勺>o,得_<m<,

3-------3

3m9mz-36

貝milJ玉+/=《-，石工2=--------

\MN\=+\+々)2-4工］/-?V16-3m2=V10，

解得m=2^m=-2

當(dāng)“7=2時，直線/:y=-；x+2經(jīng)過點尸（3,1）,不符合題意，舍去;

當(dāng)機(jī)=一2時，直線/的方程為y=_gx_2.

(3)直線PM,PN均不與x軸垂直，所以尤1*3,々*3,貝I］相*0且初*2,

x2+m-l

所以優(yōu)=且二l.Mzl

Xj—3X?—3a-3)(3-3)

2

gxz-3(根―1)(再+x2)+(m-l)

中2-3(芯+%2)+9

\_9m2-361/3m2

-------(m-1)-------F(m-l)

943、J22篝翟4為定值.

9m2-363m9m-18m3

-------------------3----------1-9

42

18.⑴證明見解析;

(2)1

【分析】