2024-2025學(xué)年河南省百師聯(lián)盟高二年級(jí)上冊(cè)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024-2025學(xué)年河南省百師聯(lián)盟高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.設(shè)直線Z：2比+4y+3=。的傾斜角為a,則cosa的值為

A更B-￡C2非D，非

入5匕5。5口5

2.已知直線人的方向向量為可=(k1),直線%的方向向量為何=(2-匕￡),若?！ㄒ詣t卜=

A.-2B.1C.-2或1D.0或2

3.在四面體04BC中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=^A,JN=ABC(Z>0),若加=-五+貨+2

c,則;I=

A.B.C.1■D.7

4.若｛無(wú)，變，無(wú)｝是空間的一個(gè)基底，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量五，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組Q,y,z),使得之=x

互+ye^+z百，我們把有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做基底｛耳幅看｝下向量方的斜坐標(biāo).設(shè)向量力在基底｛3旅｝下的

斜坐標(biāo)為(-1,2,3),則向量方在基底值-3+防-蕨+Z｝下的斜坐標(biāo)為

A.(2,—4,-1)B.(—2,—4,1)C.(—2,4,1)D.(2,—4,1)

5.平行六面體ABCD—41B1C1E4的底面4BCD是矩形，其中力。=2,AB=4,且NAIAD=^ArAB=60°,

A4i=4,M為&Ci，Bi%的交點(diǎn)，則線段BM的長(zhǎng)為

A.V15B.4C.嚴(yán)D.3”

6.已知從點(diǎn)(3,3)發(fā)出的一束光線，經(jīng)過(guò)直線2久-y+2=0反射，反射光線恰好過(guò)點(diǎn)(4,0),則反射光線所在

的直線方程為

A.3%+y—12=0B.3%+7y—12=0

C.%+y-4=0D.%=4

7.圓C：(%—l)2+y2=i與圓。：％2+曠2-2汽+8、+8=0的公切線的條數(shù)為

A.0B.1C.2D.3

8.已知圓C：(%+2)2+y2=4,直線/：(m+l)x+4y—1+m=0(me/?),則

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A.直線Z恒過(guò)定點(diǎn)(-1,1)

B,直線I與圓C有兩個(gè)交點(diǎn)

C.當(dāng)爪=1時(shí)，圓C上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線1的距離等于1

D.過(guò)直線的勺平行線3久+4y-7M=0上一動(dòng)點(diǎn)P作圓C的一條切線，切點(diǎn)為4則|P41m譏=4

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知空間向量Z=(1,2,3),2a+b=(0,3,7),c-(2,m,6),且勿",則下列說(shuō)法正確的是()

A.\b\=^/6B.m=4

C.(2b+c)1aD.cos(b,c)=

10.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是

A.任何一條直線都有傾斜角，不是所有的直線都有斜率

B,若一條直線的斜率為1,則該直線的傾斜角為苧

C.直線的斜率越大，傾斜角越大

D.設(shè)4(—1,4),5(1,3)，若直線I：a久+y+1=0與線段4B有交點(diǎn)，貝必的取值范圍是(—8,—5]U[4,+8)

11.如圖，在正三棱柱28。一4再也1中，E,F分別為BC,4C1的中點(diǎn)，AC=2,則下列說(shuō)法正確的是

A.若異面直線力F和BC所成的角的余弦值為，，貝=2避

B.若441=后則點(diǎn)C到平面4EF的距離為甯

C.存在441，使得BC1EF

D.若三棱柱力BC-4iBiCi存在內(nèi)切球，貝|441=早

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4(0,2,2),點(diǎn)B(5,-4,6),點(diǎn)C(2,1,1),則荏在不方向上的投影向量的坐標(biāo)為

13.已知實(shí)數(shù)%,y滿足%-3y+7=0,且一1<%<2,則號(hào)的最小值為

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14.已知圓Cl：0-1)2+0—2)2=12和圓G：爐+丫2+6%+2y—6=。交于兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓Cl上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q

在圓。2上運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是.

①點(diǎn)C］和點(diǎn)。2關(guān)于直線8久+6y—l=0對(duì)稱；

②圓C1和圓C2的公共弦長(zhǎng)為等；

③|PQ|的取值范圍為［0,5+2避］;

④若M為直線x—y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|MQ|的最小值為/麗—2，^—4.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

已知△ABC的頂點(diǎn)2(6,-2),頂點(diǎn)C在x軸上，4B邊上的高所在的直線方程為尤+2y-2=0,4C邊上的中

線所在的直線方程為x-y+m=0.

(1)求直線AB的方程；

(2)求m的值.

16.(本小題12分)

如圖，在六棱柱力BCDEF—AiBiCiDiEiFi中，底面力BCDEF是正六邊形，設(shè)同=五AF=b,京=".

(1)用五,b,工分別表示4。,AEr.

(2)若COSNBAAI=COSNF/MI="，AB-2,AA1=5,求：

(i)力修,21。；

(ii)Kl.

17.(本小題12分)

已知點(diǎn)P(2,2),圓C：(x-3)2+(y—l)2=9.

(1)求圓C過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦、最短弦所在的直線方程；

(2)若圓C與直線x-y+a=0相交于4B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且。410B,求a的值.

18.(本小題12分)

如圖，已知四棱錐P—4BCD的底面4BCD是正方形，側(cè)面PCD1底面4BCD,△PCD是以CD為底邊的等腰

三角形，點(diǎn)E,G分別是DC,DP的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱力B上且BF

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(1)求證：FG〃平面BPE；

(2)若4B=6,cos乙PDC=f,求直線FG與平面PBC所成的角的正弦值.

19.(本小題12分)

如圖，在平行六面體ABCD—AiBiCiDi中，D￡)i_L平面力BCD,AD=2,DC=4,D%=23DCrLDr

B.

(1)求證：DA1DB；

(2)求三棱錐C-&CiD的體積；

(3)線段QDi上是否存在點(diǎn)E,使得平面EBD與平面力BBMi的夾角的余弦值為呼？若存在，求。止的長(zhǎng);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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參考答案

1.D

2.C

3.X

4.D

5.C

6.C

7.0

8.B

9.ABD

1Q.BCD

11.AB

12.(4,—2,—2)

13.-3

14.②④

15.解：(1)設(shè)AB邊上的高為CE,

???CELAB,且直線CE的方程為x+2y-2=0,故斜率為一］,

直線AB的斜率為2,???4(6,—2),

直線AB的方程為y+2=2(久—6),即2x-y-14=0；

(2)因?yàn)轫旤c(diǎn)C在式軸上，設(shè)C(t,0),。為AC的中點(diǎn)，則1),

因?yàn)辄c(diǎn)C在的直線x+2y—2=0上，所以t—2=0,解得t=2,即C(2,0),D(4,-l)

又點(diǎn)。在的直線％-y+m=0上，故4+l+zn=0,解得zn=-5,所以zn的值為一5

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16.解：（1）如圖,連接4D,

因?yàn)榱呅?8CDEF是正六邊形，所以同+屈=河，則而=2之+2另

所以41。=AD—AAx=2a+2b—c,

--->>>--->>>>—>—>—>—>—>—>

AEr=AD+DE+EE1=AD—AB+AA1=2a+2b—a+c=a+25+c；

⑵因?yàn)榱呅?BCDEF是正六邊形，所以NB4F=等

1

又COSNB44I=coszJS/i=『AB=2,AA^=5,

所以|a|=2,⑻=2,|c|=5,a-b=\a\\b\cos—=-2,a-c=b'c=\a\\c\x-=2.

--->>—>—>—>—>—>—>

(^i)A^C,A^D=(2a+b-c),(2a+2b—c)

>2>2^^2>>>—>

=4a+2b+c+6a-b—3b?c—4a?c

=16+8+25-12-6-8=23.

(ii)因?yàn)锳Ei=AD+DE+EE1=AD—AB+AA1=2a+2b—a+c=a+2b+c,

所以I福I=^+2b+cy=^+4f+c2+4a-b+4b-c+2a-c

=^4+16+25-8+8+4=7.

17.解：(1)由題知，點(diǎn)P在圓C內(nèi)，所以過(guò)點(diǎn)P的最長(zhǎng)弦所在的直線就是圓心C與點(diǎn)P的連線所在的直線,

因?yàn)閳A心C(3,l),P(2,2),

所以最長(zhǎng)弦所在直線的方程為汽=尸|,BPx+y-4=0,

過(guò)點(diǎn)P的最短弦和圓心c與點(diǎn)P的連線垂直，

因?yàn)閳A心c(3,l),P(2,2),所以最短弦所在直線的斜率k=—在=—寫(xiě)=1,

所以過(guò)點(diǎn)P的最短弦所在直線的方程為y—2=x—2,即x—y=0；

⑵由愜?3篙祗I)'=%消去曠得(久一3)2+(久+a-1)2=9,

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化簡(jiǎn)得2/+(2a—8)x+(a—1)2=0,

因?yàn)閳AC與直線x-y+a=0交于2,B兩點(diǎn)，

所以/=(2a—8)2—8(a—l)2>0,即a2+4a—14<0,

解得-2-<a<—2+3A/2,

(a1)2

設(shè)B(%2,y2)，則Xi+-2=—a+4,%i%2=~?

因?yàn)?。?OB,所以市?南=0,即+丫，2=°，

222g2

由=x^+2得力及=(%i+a)(%2+a)=%i%2+a(x1+x2)+a=^y^-a+4a+a=++1

從而若上+生土啜^=9+1)2=0,解得a=—1.

18.解：(1)如圖，取PE的中點(diǎn)“，連接GH,BH,

因?yàn)辄c(diǎn)G是DP的中點(diǎn)，所以GH〃DE,且GH-|DE.

在正方形ABC。中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，BF=^AF,

所以BF=^AB=^DE,5.BF//DE,

所以G”〃BF,且G”=BF,

所以四邊形BHGF是平行四邊形，所以GF〃BH.

又GFC平面BPE,BHu平面BPE,

所以FG〃平面BPE.

(2)解：由題意知PC=PD,點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，所以PE1CD.

因?yàn)镃D=AB=6,cos乙PDC=黑=1￡￡=京='|,

rupDPD5

所以PD=5,所以PE=聞七萬(wàn)聲=聲孕=4.

又側(cè)面PCD1底面ABCD,側(cè)面PCDCl底面ABCD=CD,PEu平面PCD,

所以PE1平面48CD.

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如圖，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E且平行于40的直線為無(wú)軸，直線EC,EP分別為y軸和z軸建立空間直角坐

標(biāo)系，

則E(0,0,0),P(0,0,4),F您,0),￡>(0-3,0),B(6,3,0),C(0,3,0),

所以G(0,—1,2),所以而=(—6,—3,2),BP=(-6-3,4).近=(—6,0,0).

設(shè)五=是平面PBC的一個(gè)法向量，

(n-BC=-6x=0,

“[n-BP=-6x—3y+4z=0,

取z=3,得％=0,y=4,所以元=(0,4,3),

所以cos<n,前>=?吧="::：：+j=一蔡.

\n\\FG\5x，36+9+435

設(shè)直線FG與平面PBC所成的角為仇

貝！JsinO=|cos<n,FG>|=I-￡l=蔡，

所以直線FG與平面PBC所成的角的正弦值為之.

19.解：(1)因?yàn)镈Di_L平面4BCD,ZMu平面ABCD,

所以。。1_1,。力，所以西?萬(wàn)1=0,

因?yàn)镈Q1D1B,所以西?37=0,

又因?yàn)槲?反+西，~D^B=~DB-DD[=DA+~DC-DD1,

所以(反+西)?(瓦1+反一西)=0,化簡(jiǎn)得52?反=-4,

-->--->--->--->-->--->2---?--?

所以。A-DB^DA-(DA+DC)=DA+DA-DC=4-4=0,

所以D41DB;

(2)因?yàn)镈C=2DA=4,由(1)知乙ADB=90°,所以AADC=120°,

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過(guò)點(diǎn)4作AH，CD于H,

則AH=AD-sin60°=避.

由DDiJ.平面4BCD,u平面*小￡),

可得平面CCiDi。1平面4BCD,

又平面“以1。n平面力BCD=DC,AHu平面ABC。，

所以4”1平面CCiDiD,

因?yàn)?4,/CCi，441c平面CCi%。，CQu平面CCiDi。，

所以441〃平面CCiDiD,

則點(diǎn)心到平面CCiDi。的距離等于點(diǎn)4到平面CCiDi。的距離，為AH,

所以Vc-A1C1D=VA1-CC1D=CC1D-AH=|x(|xDCxCQ)xAH

=|x1x4x2^/3X避=4；

(3)假設(shè)存在點(diǎn)E滿足條件，

因?yàn)?平面4BGD,DA1DB,

所以以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫