2024-2025學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第三章 位置與坐標(biāo) 知識(shí)歸納與題型突破（原卷版）

第三章位置與坐標(biāo)知識(shí)歸納與題型突破（十二類題型清單）

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

一、有序數(shù)對(duì)

把一對(duì)數(shù)按某種特定意義，規(guī)定了順序并放在一起就形成了有序數(shù)對(duì)，人們?cè)谏a(chǎn)生活中經(jīng)常以有序

數(shù)對(duì)為工具表達(dá)一個(gè)確定的意思，如某人記錄某個(gè)月不確定周期的零散收入，可用(13,2000),(17,190),

(21,330)-,表示，其中前一數(shù)表示日期，后一數(shù)表示收入，但更多的人們還是用它來(lái)進(jìn)行空間定位，如：

(4,5),(20,12),(13,2),--用來(lái)表示電影院的座位，其中前一數(shù)表示排數(shù)，后一數(shù)表示座位號(hào).

二、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸就組成平面直角坐標(biāo)系，如下圖：

■■y

II3-I

第二象限2'第一象限

1-

-3-2~\O123x

ni12IV

第三象限_3第四象限

要點(diǎn)：

(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)可以劃分為六個(gè)區(qū)域：x軸，y軸、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，這

六個(gè)區(qū)域中，除了x軸與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)(原點(diǎn))外，其他區(qū)域之間均沒(méi)有公共點(diǎn).

(2)在平面上建立平面直角坐標(biāo)系后，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)(x,y)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，這

樣就將‘形'與‘?dāng)?shù)’聯(lián)系起來(lái)，從而實(shí)現(xiàn)了代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題的轉(zhuǎn)化.

(3)要熟記坐標(biāo)系中一些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)及特征：

①x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為零.

②平行于x軸直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)不相等，縱坐標(biāo)相等；

平行于y軸直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)不相等.

③關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；

關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù).

④象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等；

二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

注：反之亦成立.

(4)理解坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示距離的方法和結(jié)論：

①坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離為|y1,到y(tǒng)軸的距離為|x|.

②x軸上兩點(diǎn)A(xi,0)、B(xz,0)的距離為AB=|XLx2|；

y軸上兩點(diǎn)C(0,yj、D(0,y?)的距禺為CD=|yi-y21.

③平行于x軸的直線上兩點(diǎn)A3,y)、B(X2,y)的距離為AB=|X「X2|；

平行于y軸的直線上兩點(diǎn)C(x,y1)、D(x,yz)的距離為CD=|y「yj.

(5)利用坐標(biāo)系求一些知道關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)的幾何圖形的面積：切割、拼補(bǔ).

三、坐標(biāo)方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1.用坐標(biāo)表示地理位置

(1)建立坐標(biāo)系，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)膮⒄拯c(diǎn)為原點(diǎn)，確定x軸、y軸的正方向；

(2)根據(jù)具體問(wèn)題確定適當(dāng)?shù)谋壤?，在坐?biāo)軸上標(biāo)出單位長(zhǎng)度；

(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出這些點(diǎn)，寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)和各個(gè)地點(diǎn)的名稱.

要點(diǎn)：(1)我們習(xí)慣選取向東、向北分別為x軸、y軸的正方向，建立坐標(biāo)系的關(guān)鍵是確定原點(diǎn)的位置.

(2)確定比例尺是畫平面示意圖的重要環(huán)節(jié)，要結(jié)合比例尺來(lái)確定坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度.

2.用坐標(biāo)表示平移

(1)點(diǎn)的平移

點(diǎn)的平移引起坐標(biāo)的變化規(guī)律：在平面直角坐標(biāo)中，將點(diǎn)(x,y)向右(或左)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以

得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x+a,y)(或(x-a,y))；將點(diǎn)(x,y)向上(或下)平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,y+b)(或

(x,y-b)).

要點(diǎn)：上述結(jié)論反之亦成立，即點(diǎn)的坐標(biāo)的上述變化引起的點(diǎn)的平移變換.

(2)圖形的平移

在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，如果把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加(或減去)一個(gè)正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形就是把

原圖形向右(或向左)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加(或減去)一個(gè)正數(shù)a,相應(yīng)的新圖形

就是把原圖形向上(或向下)平移a個(gè)單位長(zhǎng)度.

要點(diǎn)：平移是圖形的整體運(yùn)動(dòng)，某一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生變化，其他點(diǎn)的坐標(biāo)也進(jìn)行了相應(yīng)的變化，反過(guò)來(lái)點(diǎn)

的坐標(biāo)發(fā)生了相應(yīng)的變化，也就意味著點(diǎn)的位置也發(fā)生了變化，其變化規(guī)律遵循：“右加左減，縱不變；上

加下減，橫不變”.

四、關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征

1.關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征

P(a,b)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a,—b)；

P(a,b)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一a,b)；

P(a,b)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一a,—b).

2.象限的角平分線上點(diǎn)坐標(biāo)的特征

第一、三象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相等，可表示為(a,a)；

第二、四象限角平分線上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，可表示為(a,-a).

3.平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)

平行于x軸的直線上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同；

平行于y軸的直線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同.

03題型歸納

題型一確定位置及其路徑

1.在平面內(nèi)，下列數(shù)據(jù)不能確定物體位置的是()

A.3號(hào)樓2單元5樓1號(hào)B.黃海路8號(hào)

C.北偏西60。D.東經(jīng)120。，北緯30。

鞏固訓(xùn)練

2.一個(gè)學(xué)生方隊(duì)，B的位置是第8列第7行，記為(8,7),則學(xué)生A在第二列第三行的位置可以表示為()

A.(2,1)B.(3,3)C.(2,3)D.(3,2)

3.如圖是某電視塔周圍的建筑群平面示意圖，這個(gè)電視塔的位置用A表示.某人由點(diǎn)8出發(fā)到電視塔，他

的路徑表示錯(cuò)誤的是（注：街在前，巷在后）（）

A.（2,2）f（2,5）f（5,6）B.(2,2)^(2,5)->(6,5)

C.（2,2）-＞（6,2）-＞（6,5）D.(2⑵-(2,3)告(6,3)-(6,5)

題型二判斷點(diǎn)所在的象限

4.點(diǎn)（-6,3）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

鞏固訓(xùn)練

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)可能是（

A.(1.3,1)B.(-1.3,1)C.(-1.3,-1)D.(1.3,-1)

6.如果點(diǎn)尸（。+瓦必）在第二象限，那么點(diǎn)。（。,-6）在第（）象限.

A.-B.二C.三D.四

題型三求點(diǎn)到坐標(biāo)軸的距離

7.點(diǎn)下的坐標(biāo)為（2,-3）,那么點(diǎn)尸到了軸和y軸的距離依次是（)

A.-3,2B.2,-3C.3,2D.2,3

鞏固訓(xùn)練

8.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)卜2,-正）到x軸的距離為（）

A.2B.-J5C.-2D.-V5

題型四寫出平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)

9.若點(diǎn)P（3-%5）在y軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.(0,4)B.(4,0)C.(-2,0)D.(0,-：

鞏固訓(xùn)練

10.已知點(diǎn)尸位于第二象限，到X軸的距離為3,到y(tǒng)軸的距離為5,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.（-3,5）B.（-5,3）C.（一3,5）或（3,5）D.（一5,3）或（5,3）

11.若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2,-1）,AB=4,且軸，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（）

A.（2,-5）B.（6,-1）或（-2,-1）

C.（2,3）D.（2,3）或（2,-5）

12.點(diǎn)P在X軸的下側(cè)，y軸的右側(cè)，距離X軸3個(gè)單位長(zhǎng)度，距離V軸4個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）

A.（-3,4）B.（4,-3）C.（T3）D.（3,-4）

13.已知點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,-3）,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2。+2,。-5）,若直線尸。，了軸，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.（2,-5）B.（2,2）C.（6,-3）D.（-14,-3）

14.已知點(diǎn)P（a,6）到x軸的距離為2,到y(tǒng)軸的距離為5,S.\a-b\=a-b,則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（）

A.（-5,2）B.（5,-2）C.（一5,2）或（5,-2）D.（5,2）或（5,-2）

題型五平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)綜合判斷

15.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.x軸上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都等于0B.V軸上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于0

C,原點(diǎn)的坐標(biāo)是（0,0）D.點(diǎn)4（2,-7）與點(diǎn)8（-7,2）是同一個(gè)點(diǎn)

鞏固訓(xùn)練

16.下列說(shuō)法正確的是（）

A.（3,2）和（2,3）表示同一個(gè)點(diǎn)

B.點(diǎn)（、行,0）在x軸的正半軸上

C.點(diǎn)（-2,4）在第四象限

D.點(diǎn)（-3,1）到x軸的距離為3

17.下列命題不正確的是（）

A.平行于無(wú)軸的直線上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)都相同

B.在平面直角坐標(biāo)系中，（-1,2）和（2,-1）表示兩個(gè)不同的點(diǎn)

C.若點(diǎn)尸（a力）在y軸上，貝熊=0

D.P（-3,4）到x軸的距離為3

18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)機(jī)+3）,分別根據(jù)下列條件，求出M點(diǎn)的坐標(biāo).

⑴點(diǎn)M在y軸上；

⑵點(diǎn)M到x軸的距離為1；

⑶點(diǎn)N的坐標(biāo)為（5,-1）,且軸.

19.已知在平面直角坐標(biāo)系中，有線段其中點(diǎn)M（-2,3）,點(diǎn)N（8,3）,則線段MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（5,3）B.（4.5,3）C.（4,3）D.（3,3）

題型六軸對(duì)稱

20.下列圖形中，對(duì)稱軸最多的圖形是（）

B.

鞏固訓(xùn)練

21.下列軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸的條數(shù)四條的有（）個(gè)

題型七軸對(duì)稱的應(yīng)用

22.一個(gè)車牌號(hào)碼在水中的倒影如圖所示，則該車牌號(hào)碼為

鞏固訓(xùn)練

23.如圖，這是小明在平面鏡里看到的背后墻上電子鐘顯示的時(shí)間，則此刻的實(shí)際時(shí)間應(yīng)該是

題型八坐標(biāo)的平移

24.將點(diǎn)A先向下平移3個(gè)單位，再向右平移2個(gè)單位后得8（-1,5）,則A點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（-4,11）B.（-2,6）C.（-4,8）D.（-3,8）

鞏固訓(xùn)練

25.如果點(diǎn)均向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2,-3）,那么a,

b的值分別是（）

A.a=0,b=0B.a=O,b=-6C.a=0,b=4D.a=5,b=—1

26.佳佳將坐標(biāo)系中一圖案橫向拉長(zhǎng)2倍，又向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，若想變回原來(lái)的圖案，需要變化后

的圖案上各點(diǎn)坐標(biāo)（）

A.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)減2

B.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)先除以2,再均減2

C.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)除以2

D.縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)先減2,再均除以2

題型九坐標(biāo)的對(duì)稱問(wèn)題

27.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（5,6）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是（）

A.（6,5）B.（-5,6）C.（5,-6）D.（-5,-6）

鞏固訓(xùn)練

28.已知A（2,a）、B0,-3）兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，貝。的值為（）

A.5B.1C.-1D.-5

29.在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)P（2〃?,3）與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，〃-九的值為（）

A.2B.-5C.5D.-8

30.如圖，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0,0）,3（l,3）,C（2,2）.

（1）請(qǐng)畫出平面直角坐標(biāo)系；

⑵畫出VA3C關(guān)于y軸對(duì)稱的△4瓦G；

（3）判斷VABC的形狀，并說(shuō)明理由.

題型十坐標(biāo)系的簡(jiǎn)單應(yīng)用

31.根據(jù)下面的描述，在平面圖上標(biāo)出各場(chǎng)所的位置.

北

廣場(chǎng)

300m

(1)小彬家在廣場(chǎng)西南方向1200米處；

(2)小麗家在廣場(chǎng)北偏西20。方向600米處；

(3)柳柳家在廣場(chǎng)東偏北30。方向900米處.

鞏固訓(xùn)練

32.如圖是某學(xué)校的平面示意圖，已知從清源樓向西走300米到達(dá)明德樓，圖書館在知行樓與致遠(yuǎn)樓的正

(1)請(qǐng)根據(jù)以上條件，選取清源樓為坐標(biāo)原點(diǎn)，以正東方向?yàn)榱溯S的正方向，以100米為一個(gè)單位長(zhǎng)度建立

平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出圖書館的位置;

(2)在(1)的條件下，可得致遠(yuǎn)樓坐標(biāo)為。，4),請(qǐng)直接寫出圖書館、知行樓、清源樓和崇文樓的坐標(biāo).

33.如圖是中國(guó)象棋棋盤的一部分，棋盤中“馬”所在的位置用(2,3)表示.

(1)圖中“象”的位置可表示為」

(2)根據(jù)象棋的走子規(guī)則，“馬”只能從“日”字的一角走到與它相對(duì)的另一角；“象”只能從“田”字的一角走到與

它相對(duì)的另一角.請(qǐng)按此規(guī)則分別寫出“馬”和“象”下一步可以到達(dá)的位置.

題型十一點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律問(wèn)題

34.小明同學(xué)在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，將小正方形放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，使得小正方形的

中心(即正方形對(duì)角線的交點(diǎn))位于原點(diǎn)，各頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，若各頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1.接下來(lái)，按郎

圖方才作新正方形，即從第二個(gè)正方形開(kāi)始，以前一個(gè)正方形的一條對(duì)角線為邊作正方形，則第十個(gè)正方

形中心。|。的坐標(biāo)為（）

A.（8,16）B.（8,20）C.(15,46)D.(15,48)

鞏固訓(xùn)練

35.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)VABC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱變換，若原來(lái)點(diǎn)8坐標(biāo)是（-5,2）,則經(jīng)過(guò)

第2023次變換后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

36.在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整數(shù)點(diǎn).如圖，一列按箭頭方向有規(guī)律排列的整

數(shù)點(diǎn)，其坐標(biāo)依次為依0）,（U）,（2,1）,（2,0）,（3,0）,（3,1）,（3,2）,（2,2）,根據(jù)規(guī)律,第2024個(gè)整

數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

37.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一電子螞蟻按照設(shè)定程序從原點(diǎn)。出發(fā)，按圖中箭頭所示的方向運(yùn)動(dòng)，

第1次從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（1,石），第2次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2,0）,第3次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（2,-2）,第4次接著運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)（4,-2）,第5次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（4,0）,第6次接著運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)（5,若）L,按這樣的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，經(jīng)過(guò)2024次運(yùn)

動(dòng)后，電子螞蟻運(yùn)動(dòng)到的位置的坐標(biāo)是

題型十二平面直角坐標(biāo)系的幾何應(yīng)用

38.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4。",。），8（2〃z+3,0）,P（2/?7+l,0）,軸，點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為機(jī).則以下

說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)m=-5,點(diǎn)8是線段AP的中點(diǎn)

B.當(dāng)加2-1，點(diǎn)P一定在線段上

C.存在唯一一個(gè)根的值，使得43=PQ

D,存在唯一一個(gè)機(jī)的值，使得AB=2PQ

鞏固訓(xùn)練

39.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A（8,6）分別作X軸、y軸的平行線，交y軸于點(diǎn)B,交X軸

（2）動(dòng)點(diǎn)尸若從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線OC以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f