2024-2025學年人教版八年級數(shù)學上冊 第13章 軸對稱 單元測試培優(yōu)卷

第13章軸對稱（單元測試-培優(yōu)卷）

一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1.下列圖形中是軸對稱圖形的是（）

2.如圖，點N在直線/上，△NBC與夕C關于直線/對稱，連接A8L分別交NC,于點D,血

連接CC,下列結論不一定正確的是（）

A.NBAC=NB'AC'B.CC||BB'

C.BD=B'D'D.AD=DD'

3.我們知道光的反射是一種常見的物理現(xiàn)象.如圖，某憶型路口放置如圖所示的兩個平面鏡34,兩個

平面鏡所成的夾角為N1,位于點。處的甲同學在平面鏡4中看到位于點/處的乙同學的像，其中光的

路徑為入射光線48經過平面鏡4反射后，又沿2c射向平面鏡/?，在點C處再次反射，反射光線為C/）,

已知入射光線/2〃4,反射光線8〃/「則N1等于（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

4.如圖，已知?！?,直線/與直線0,6分別交于點N,B,分別以點/,5為圓心，大于長為半徑

畫弧，兩弧相交于點N,作直線"N分別交直線0,6于點。、C,連接/C,若Nl=35。，則N34D的

度數(shù)是（）

5.如圖，在等腰RtA43C,ZBAC=90°,AB=AC,8。為VNBC的角平分線，過點C作CE交8。

的延長線與點E,若CE=2,則AD的長為（）

A

6.如圖，ZACB=ZAED=9（F,NCAE=/BAD,BC=DE,若BD〃AC,則/48C與/。E間的數(shù)

量關系為（）

A.2ZABC=NCAEB.ZABC=ZCAE

C.ZABC+2ZCAE=9Q°D.2ZABC+ZCAE=1^0°

7.某平板電腦支架如圖所示，其中/8=CD,EA=ED,為了使用的舒適性，可調整//EC的大小.若

N/EC增大16。，則N8DE的變化情況是（）

A.增大16。B.減小16。C.增大8。D.減小8。

8.如圖，在V4BC中，ZBAC=80°,邊力B的垂直平分線交BC于點E,邊NC的垂直平分線交NC于點尸，

連接AE,AG.則ZEAG的度數(shù)為（）

C.25°D.20°

9.如圖，在中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,ND是△NBC的角平分線，若尸，0分別是ND

和/C邊上的動點，則PC+PQ的最小值是（）

10.如圖，在VN2C中，ZBAC=90°,4D是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交4D于G,交,BE于H,

下面說法：①Lw=S'Bc.；②N/FG=N/GF；③/以G=2乙4CF；④=其中正確的是（）

A.①②③④B.①③C.②③D.①③④

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11.如圖，在V48c中，分別以點8和點。為圓心，大于1臺。的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N,

作直線&W,交4B于點D,連接CD,若V4BC的周長為24,BC=9,則△4DC的周長為.

12.如圖，直線機〃〃，點N是直線加上一點，點2是直線"上一點，48與直線機，”均不垂直，點尸

為線段的中點，直線/分別與加，〃相交于點C,D,若NCPD=9Qo,CD=^,m,〃之間的距離為2,

則PC-PD的值為

13.如圖，ZA=NEGF,F為BE,CG的中點，DB=5,DE=3,則40的長為.

14.如圖所示，在平面直角坐標系中，丫/2(7滿足/氏4。=45。,/位/=90。，點/,C的坐標分別是

(-2,0),(-3,5),點3在y軸上，在坐標平面內存在一點。(不與點。重合)，使"BC四A4BD,且NC

與AD是對應邊，請寫出點。的坐標.

15.如圖，ZAOB=60°,C是80延長線上一點，OC=12cm,動點”從點C出發(fā)沿射線C3以2cm/s的

速度移動，動點N從點。出發(fā)沿射線CM以lcm/s的速度移動，如果點M、N同時出發(fā)，設運動的時間為

ts,那么當年s時，△MON是等腰三角形.

A

'N

CMOB

7

16.如圖，銳角A48C中，//=30。，BC=-,A4BC的面積是6,D,E,尸分別是三邊上的動點，則

2

/周長的最小值是.

17.如圖，在平面直角坐標系中，點4,4,4,4在X軸正半軸上，點用，鳥，鳥，…在直線y=\-x(x20)

上，若4(1,0),且△4瑪4,△&與4，星4，...均為等邊三角形，則線段4。214。22的長度為.

方AIA2AAsx

18.如圖，將長方形紙片48CD沿跖折疊(折線跖交4D于￡,交BC于F),點、C、。的對應點分別是

￡、2,E2交8c于G,再將四邊形CRGF沿FG折疊，點G、2的對應點分別是G、2,GD2交EF

于H,給出下列結論：

BG；F>C

I\

①ZEGD2=ZEFG

②2ZEFC=ZEGC+180°

③若ZFEG=26°,則ZEFC2=102。

④ZFHD2=32EFB

上述正確的結論是.

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19.（8分）在V48c中，ZACB=90°,AC=BC=BE,AD1EC,交EC延長線于點D.

求證：CE=2AD.

20.(8分)如圖，點尸是//OB外的一點，點E與點尸關于CM對稱，點尸與點尸關于。2對稱，直線正￡

分別交。4、03于。、。兩點，連接尸C、PD、PE、PF.

(1)若/00=/尸=2),求/CPD的度數(shù)；

(2)若求C尸=。尸，CF=13,DE=3,求CP的長.

21.(10分)如圖，在V4BC中，平分ZA4C,點￡為NC中點，40與BE相交于點尸.

(1)若//BC=38o,N/C2=82。，求的度數(shù)；

(2)過點8作3〃1/。交/。延長線于點H,作關于對稱的A/GH,設ABFH,△/￡■廠的面

積分別為H，邑，若加c°=6,試求H-邑的值.

A

E

C

G

22.(10分)已知：。尸平分/MON,點48分別在邊OM,ON±.,且/CU尸+/。3尸=180。.

(1)如圖1,當AP〃(W時，求證：OB=PB.

(2)如圖2,當/O4P<90。時，作尸C_L(W于點C.求證：OA-OB=2AC.

圖1圖2

23.(10分)已知，在V/3C中，ZCAB=90°,/DI3c于點。，點E在線段8。上，且CD=OE,點尸

在線段45上，且/BE尸=45。

(1)如圖1,求證：NDAE=NB

(2)如圖1,若NC=2,且/尸=25尸，求V48c的面積

(3)如圖2,若點尸是的中點，求沁的值.

3Azec

圖1圖2

24.(12分)如圖，在V48c中，ZACB=90°,ZABC=30°,ACDE是等邊三角形，點。在邊NB上.

(1)如圖1,當點E在邊3c上時，求證。石=仍

(2)如圖2,當點E在VN8C內部時，猜想EZ)和EB數(shù)量關系，并加以證明；

(3)如圖3,當點E在V/BC外部時，EH—B于點、H,過點E作GE||4B,交線段NC的延長線于點G,

AG=5CG,BH=3,求CG的長.

參考答案：

1.B

【分析】此題主要考查了軸對稱圖形的概念.軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，折疊后對稱軸兩旁的圖形

重合.

根據(jù)軸對稱圖形的意義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就

叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

B、該圖形是軸對稱圖形，故此選項符合題意；

C、該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不合題意；

D、該圖形不是軸對稱圖形，故此選項不合題意.

故選：B.

2.D

【分析】利用軸對稱的性質和全等三角形的性質逐項判斷即可.

【詳解】解：???△A8C與關于直線/對稱，

:必ABC三△ABC,BB'LI,CC'LI,AB=AB',ACAC,

；.ABAC=ZB'AC,CC'\\BB',即選項A、B正確；

由軸對稱的性質得：OD=OD；OB=OB，,

:.OB-OD=OB'-OD',即8。=9。，選項C正確；

由軸對稱的性質得：40=/￡），，但40不一定等于DDL即選項D不一定正確；

故選：D.

【點睛】本題考查了軸對稱的性質、全等三角形的性質，熟練掌握軸對稱的性質是解題關鍵.

3.C

【分析】本題考查了光的反射定律，平行線的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的

關鍵.由光的反射定律以及平行線的性質，推出4=N3=N5,再結合三角形內角和，推出N1的度數(shù).

【詳解】如圖所示，由光的反射定律，可以知道N5=/2,/3=/4

A

VAB//l2,CD//1,

、k

Z1=Z2,Z1=Z4

Z1=Z3=Z5

?/Zl+Z3+Z5=180°

/.Zl=60°

故選：C.

4.B

【分析】本題考查尺規(guī)作圖-垂直平分線、三角形內角和定理、平行線的性質，由題意得，是直線/的

垂直平分線，可得〃乂，/,根據(jù)三角形內角和定理求得NC以=55。，再根據(jù)平行線的性質求解即可.

【詳解】解：由題意得，“N是直線/的垂直平分線，

：.MNll,

NCBA=180。一90。-35。=55。,

?：a"b、

：.ABAD=ZCBA=55°,

故選：B.

5.B

【分析】本題考查全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質等知識，延長CE交"的延長線于

點尸，證明用AC4F（ASA）,得BD=CF,再證NBFC=/BCF,得BC=BF,然后由等腰三角形的

性質得產E=CE=2,即可得出結論.掌握等腰三角形三線合一性質是解題的關鍵.

【詳解】解：如圖，延長CE交A4的延長線于點尸，

?；NBAC=90。,CEYBD,

JZCAF=ABAC=ZDEC=90°,

ZADB=ZCDE,

???ZABD=90°-/ADB=90°-ZCDE=ZACF,

在△540和VC4廠中，

/BAD=ZCAF

<AB=AC,

ZABD=ZACF

：.出ACAF（ASA）,

：.BD=CF,

?：CE_LDB,

；?/BEF=/BEC=9U。,

9：ABC,CE=2,

：.AFBE=/CBE,

???ZBFC=90°-ZFBE=90°-ZCBE=/BCF,

JBC=BF,

：.FE=CE=2,

；.BD=CF=2CE=4,

???助的長為4.

故選：B.

6.A

【分析】本題考查了平行線的性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角的性質，解題的關鍵是掌握全等

三角形的對應邊相等，等邊對等角.

易得/ABD=90。-/ABC,通過證明△/BC四△/Z）￡（AAS）得出4。=,貝U//皿==90?！?45C,

最后根據(jù)在△45。中，AABD+ZADB+ABAD=180°,即可得出結論.

【詳解】解：???瓦）〃4C,

???NCBD=180°-NACB=90°,

JZABD=900-ZABC,

9：/CAE=/BAD,

：./CAE+NBAE=/BAD+/BAE,即ABAC=NDAE,

ABC和V/。石中，

ZACB=ZAED

<NBAC=NDAE,

BC=DE

：.AABC絲AAS),

JAD=AB,

：.ZABD=ZADB=90°-/ABC,

在△45。中，AABD+AADB+ABAD=2(90°-ZABC)+ZCAE=180

整理得：2/4BC=/CAE,

故選：A.

7.D

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，三角形內角和定理等知識，設設原來乙(EC=x。，求出此時

/%加=(180-"。，然后類似求出變化后4少￡=(172-小。，然后兩角作差即可得出結論.

【詳解】解：設原來44EC=x。，則44ED=(180-x)。

,/EA=ED,

：.NEAD=ZEDA=1(18(F-ZAED)=臣，

ZBDE=180°-NEDA=，80-j,

//EC增大16。后，NHE'C'=(x+16)。，

ZE'A'D'=ZE'D'A'=1(180°-ZA'E'D)+8]c,

ZB'D'E'=lS(f-ZE'D'A'=,72-,

ZB'D'E'-NBDE=(172--(180-1^°=-8°,

，ZBDE的變化情況是減小8。,

故選：D.

8.D

【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質得到EB=EA,GA=GC,再利用等腰三角形的性質得到NB=AEAB,

ZC=ZGAC,接著利用三角形內角和定理得到NB+/C=100。，然后利用

NEAB+ZGAC=ABAC+ZGAE=ZB+ZC可計算出NGAE的度數(shù).本題考查了線段垂直平分線的性質，

三角形的內角和，角的和差關系，等腰三角形的性質掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵.

【詳解】解：垂直平分4B,

EB=EA,

：.NB=NEAB,

尸垂直平分/C,

GA=GC,

：.ZC^ZGAC,

,/ABAC=80°,

.?.在A/BC中，Z5+ZC=180°-ZSy4C=100°,

NEAB+AGAC=ZBAC+NGAE=ZB+ZC,

：.80°+/G/￡=100°,

NGAE=20°.

故選：D.

9.C

【分析】過點C作CM_LAB交AB于點M,交AD于點P,過點P作PQ_LAC于點Q,由AD是/BAC的平分

線.得出PQ=PM,這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，運用面積法即可求得答案.

【詳解】

如圖，過點C作CMLAB交AB于點M,交AD于點P,過點P作PQLAC于點Q,

VADMZBAC的平分線.

；.PQ=PM,這時PC+PQ有最小值，即CM的長度，

VAC=3,BC=4,ZACB=90°,

AB=A/AC2+BC2=A/32+42=5，

■:s撬BC=；AB-CM=；AC-BC,

.…ACBC3x412

..CM=----------=------=—,

AB55

故選：C.

【點睛】本題主要考查了軸對稱■最短問題以及角平分線的性質，解題的關鍵是學會利用軸對稱的性質找出

滿足PC+PQ有最小值時點P和Q的位置.

10.C

【分析】①無法證明是否同底等高的兩個三角形面積相等即可判斷；②根據(jù)三角形內角和定理求出

ZABC=NCAD,根據(jù)三角形外角性質即可推出；③根據(jù)三角形內角和定理求出4=根據(jù)角平

分線定義即可判斷；④根據(jù)等腰三角形的判定方法即可判斷.

【詳解】解：,??無法證明4尸=8尸，

故無法證明=S.BCF，

故①錯誤；

???CF是角平分線，

/.ZACF=ZBCF,

,?*AD是高，

ZADC=90%

NBAC=90。,

:.ZABC+ZACB=90\ZACB+ZCAD=90°,

/.ZABC=ZCAD,

???ZAFG=ZABC+ZBCF,ZAGF=ZCAD+ZACF,

:.ZAFG=ZAGFf故②正確；

,?*AD是IWJ，

/./ADB=90°,

ZBAC=90°，

ZABC+ZACB=90°,ZABC+ZBAD=90°,

ZACB=ABAD,

???%是角平分線，

ZACB=2ZACF,

ABAD=2NACF,

即/E4G=24CF,故③正確；

根據(jù)已知條件不能推出/HBC=AHCB,

因此不能證明Ba=CH,故④錯誤；

綜上可知，②③結論正確，

故選C.

【點睛】此題考查了三角形的角平分線、中線和高性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質等知識，

難度一般，解題的關鍵是綜合運用上述知識.

11.15

【分析】本題考查作圖一基本作圖、線段垂直平分線的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解答本題的

關鍵.

由作圖過程可知，直線為線段8c的垂直平分線，則。B=Z)C.由題意可得，AB+AC=15,則△4DC

的周長為4D+CD+/C=4D+AD+/C=4B+/C求解.

【詳解】解：由作圖過程可知，直線"N為線段的垂直平分線，

：.DB=DC.

?.,V/8C的周長為24,BC=9,

：.AB+AC=15.

：.AADC的周長為AD+CZ?+HC=/D+BD+NC=A8+4C=15.

故答案為：15.

12.V6

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質，中垂線的判定和性質，延長CP交BD于點G,過點尸作跖，〃，

證明會AGPB,得到CP=PG,進而得到CD=Z)G,證明A/E尸名ABFP,得到取=尸尸，再根據(jù)等積

法，得到尸。?尸G=DG?尸尸，等量代換，即可得出結果.

【詳解】解：延長C尸交AD于點G,過點尸作成_L〃，

AC/Em

/DFGB

*.*m//n,

：.EFlm,ZACP=/BGP,

:?EF=2,NAEP=NBFP=9。。,

???點P為線段45的中點，

/.AP=BP,

?.?/APE=4BPF,ZAEP=/BFP=90°,

J^AEPWBFP,

：.EP=FP=-EF=1,

2

?：AP=BP,ZACP=/BGP,ZAPC=ABPG,

J^CPA^GPB,

：.CP=PG,

NCPD=90。,

J.DPLCG,

：.DP垂直平分CG,

:,CD=DG=E

?：DP1GP,PFIDG,

：.S=-DPPG=-DGPF,

△DPPGC22

ADPPG=DGPF=46xl=屈，

■:CP=PG,

?9-DPPC=46;

故答案為：V6.

13.1.5

【分析】本題考查全等三角形的判定和性質、等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決

問題的關鍵.先證明△/DG和V/5C是等腰三角形，再證明AEG尸名A8CF（SAS）,設4D=X,則。G=X,

根據(jù)。E=8,列方程可得結論.

［詳解】解：?.?//=NEGF,ZAGD=ZEGF,

ZA=ZAGD,

/.AD=DG,

設=x,則。G=x,

在AEG尸和VBC廠中，

EF=BF

</EFG=/BFC,

FG=FC

:AEGFaBC%A0,

:.BC=EG,ZE=ZEBC,

/.EG//BC,

AAGD=NC=N4,

.，.BC=AB=x+5=EG,

?;DE=8,

x+x+5=8,

??x=1.59

AD=1.5.

故答案為：1.5.

14.（3,1）

【分析】本題考查了平面直角坐標系中點的坐標的特征，三角形全等的判定和性質，等腰直角三角形的性

質，熟練掌握三角形全等的判定和性質是解題的關鍵.過C作軸于“，過。作DNLy軸于N,根

據(jù)已知可得V/3C是等腰直角三角形，得到BC=/3,利用等量代換，進而可證AC3M%A4O（AAS）,由

此得到BM=A0-2,OB=CM-3,再證明^DBN=^CBM（AAS）,即可得到DN—CM=3,BN—MB=2,

ON=OB-NB=\,由此可求點。的坐標.

【詳解】解：過C作CMLy軸于過。作。軸于N,

???點A,C的坐標分別是(-2,0),(-3,5),

:.OA=2,CM=3,OM=5,

???NBAC=45。,/CBA=90。,

.?.△4BC是等腰直角三角形,

二.BC=AB,

???/BCM+/CBM=AABO+/CBM=90°,

/BCM=/ABO,

???/CMB=/AOB=9(T,

「.△CW也△BZO(AAS),

：.BM=AO=2,OB=CM=3,

???△ABC咨AABD,

/.BD=BC,

???ZDBN=NCBM,ZDNB=ZCMB=90°,

:.^DBN^CBM(AAS),

DN=CM=3,BN=MB=2,,

:.ON=OB—NB=3—2=1,

.:。的坐標是(3,1).

故答案為：(3,1).

15.4或12

【分析】本題考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，一元一次方程的應用.熟練掌握等腰

三角形的性質，等邊三角形的判定與性質，一元一次方程的應用是解題的關鍵.

由題意知，當0</46時，0M=12-2/；當6<f時，OM=2t-U,ON=t,由△MCW是等腰三角形，可

知當0<區(qū)6時，OM=ON,即12-2f=f,計算求解即可；當6</時，證明△MCW是等邊三角形，貝U

OM=ON,即21-12=/,計算求解即可.

【詳解】解：由題意知，當0<絲6時，（W=12-2f；

當6</時，OM=2t-U,

ON=t,

：△MON是等腰三角形，

.?.當0</46時，OM=ON,即12-2/=/,

解得，，=4,

當6</時，△MON是等腰三角形，

△MCW是等邊二角形，

：.OM=ON,即2/-12=/,

解得，t=12,

綜上所述，』的值為4或12,

故答案為：4或12.

24,3

16.—/3-

77

【分析】根據(jù)對稱性質，將斯周長轉換為一條直線，如圖所示（見詳解），作點E關于43的對稱點

作點E關于NC的對稱點N,連接NM,AE,AN,三角形/MN是等邊三角形，SE尸周長

7

DE+DF+EF=MN,即MN最小就是4E的值最小，V4BC的面積是6,BC=~,由此即可求解.

2

【詳解】解：如圖所示，作點￡關于48的對稱點作點E關于NC的對稱點N,連接0W,AD,AN,

：.AM=AE=AN,即48是瓦0的垂直平分線，/C是EN的垂直平分線，且NM4B=NBAE,ZCAE=ZCAN

,/ABAC=NBAE+ZEAC=30°,

：.ZMAN=NMAB+ZBAE+ZEAC+ZCAN,即AMAN=2(ZB4E+Z￡4C)=2x30°=60°,

三角形/MN是等邊三角形,

AM=AN=MN=AE,

，當點在一條直線上時，QEF周長DE+DF+EF=MN,即MN最小就是40的值最小，

根據(jù)點到直線垂線段最短，可知當/E，3c時，NE最小，即9跖周長最小，

117

?；V/BC的面積是6,BC=6,即S^gc=ZE=QXQ/Z)=6,

2424

AD=-y,即iJJEF周長最小亍,

故答案為：-

【點睛】本題主要考查點的對稱性找最短路徑，垂直平分線的性質，等邊三角形的性質，理解和掌握垂直

平分線的性質，對稱軸的性質找最短路徑的方法是解題的關鍵.

17.22020

【分析】

本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征及點的坐標變化規(guī)律，能根據(jù)題意得出4,4,+i=2"rn為正整

數(shù))是解題的關鍵.

根據(jù)所給一次函數(shù)解析式得出直線與x軸正半軸的夾角為30°,再依次求出44+1的長度，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解

決問題.

【詳解】

解：?.?一次函數(shù)的解析式為y=fx，

,此直線與X軸正半軸的夾角為30。.???△44片是等邊三角形，

Z.BXAXA2=60°,44=AXBX,

/.NOB]4=NBQ4=30°,

/.OAX=A[B[.

?.?點4的坐標為(i,o),

44=—1.

同理可得，

1

A2A3=2=2

2

A3A4=4=2,

3

A4A5=8=2,

所以44用=2"7（〃為正整數(shù)），

當〃=2021時，

AA-嚴°

^2021^2022-4-

故答案為：22020.

18.②③④

【分析】由折疊性質得到/DEF=NGEF,ZDfiF=ZDpF,根據(jù)平行線性質得到ZDEF=ZGEF=NEFG,

再由三角形外角性質確定=尸+/G尸E,"EGD〔=a,』EFG=/3,則a+4尸=180。，只有當

。=夕=36。時結論①才成立；由尸G，得到/EGC=NGRS一結合折疊性質求證即可得到②正確；

在①的求證過程中可知/GEF=/EFG=26。，設NEFJ=a,則/GFC?=26。+a=/GFC1，從而由折疊

性質表示出角度關系列方程求解即可得到③正確；在①的證明過程中

ZFGH=ZDtGF=ZGEF+ZGFE=2ZEFB,結合外角性質即可得到④正確；從而得到答案.

【詳解】解:由折疊性質得/DEF=/GEF,ZDfiF=ZDpF,

ZEGD2+ZD2GF+ZDfiF=18G,

AD//BC,

ZDEF=ZEFG,則ZDEF=ZGEF=ZEFG,

SGF是4EGF的一個外角,

ZDfiF=ZGEF+ZGFE,

沒NEGD[=a,ZEFG=/3,則a+4￡=180°,

當/EG。?=NE『G時，a=〃=36。，

；?題中并未明確/EG?、/MG的度數(shù)，故①錯誤；

VED}//FCX,

ZEGC=ZGFCl,

由折疊性質可知/MC=NMG，則2/E尸C=N8尸C+/G尸。=/￡GC+180。，故②正確；

由折疊性質得NEFQ=ZEFC,ZGFC2-ZGFCV

由①的證明過程可知，NGEF=NEFG=26。,

設ZEFC2=a,貝I]ZGFC2=26°+a=ZGFC,,

ZEFC=ZEFQ=26。+（26。+a）=a+52。,

;NEFG+NEFC=180。,

26°+a+52°=180°,解得a=102。，即/E/C?=102。，故③正確；

由①知ZFGH=ND\GF=ZGEF+ZGFE=2ZEFB,

NFHD］是AHGF的一個外角，

ZFHD2=ZFGH+ZEFB=MEFB,故④正確；

綜上所述，題中正確的結論是②③④，

故答案為：②③④.

【點睛】本題考查折疊求角度關系，涉及折疊性質、鄰補角定義、三角形外角性質、平行線性質等知識，

數(shù)形結合，利用相關幾何性質準確表示出各個角度之間的關系是解決問題的關鍵.

19.證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，過B作瓦FEC于點尸，則2BFC=90°,

根據(jù)等腰三角形的"三線合一"定理得8尸=PC=g￡C,再證明ACB尸也A/CZ)(ASA),根據(jù)全等三角形的性

質即可求證，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】如圖，過8作此，EC于點尸，則N8FC=90。，

BF=FC=-EC,

2

ADLEC,

：.ZCDA=NBFC=90°,

NBCF+ZCBF=NBCF+乙4CD=90。,

NCBF=NACD,

在VC8/和A/CD中，

ZBFC=ZCDA=90P

<BC=CA,

ZCBF=ZACD

.??尸絲△/CO(ASA),

：.CF=AD,

：.AD=-EC,

2

EC=2AD.

20.(l)ZCPD=100°

(2)CP=5

【分析】本題考查了軸對稱的性質，三角形內角和定理等知識.熟練掌握軸對稱的性質，三角形內角和定

理是解題的關鍵.

(1)由點￡與點尸關于。4對稱，點廠與點P關于05對稱，ZOCP=ZF=2(f，可得/0CE=/0b=2QP,

ZDPF=ZF=20°,則/尸CF=40。，ZCPF=180°-Z.F-ZPCF=120°,ZCPD=ZCPF-ZDPF,

求解作答即可；

(2)由點E與點尸關于04對稱，點尸與點尸關于05對稱，CP=DP,可得CE=CP=DP,DP=DF,

即b，由CF=CE+QE+。9=2CE+3=13,可求C￡=5,進而可得CP的長.

【詳解】(1)解：???點E與點尸關于CM對稱，點方與點尸關于05對稱，ZOCP=ZF=20°f

：.Z0CE=Z0CP=2(f,/DPF=/F=20。,

：.ZPCF=40°,ZCPF=180°-ZF-ZPCF=120°,

???ZCPD=/CPF-ZDPF=10(P,

???ZCPD=100°；

(2)解：???點￡與點尸關于CM對稱，點方與點尸關于05對稱，CP=DP,

：.CE=CP=DP,DP=DF,

：.CE=DF,

:?CF=CE+DE+DF=ME+3=\3,

解得C￡=5,

：.CP=5.

21.(1)112°

(2)3

【分析】本題是三角形綜合題，考查了軸對稱，三角形的中線，與角平分線有關的三角形內角和定理、三

角形外角的性質等知識，靈活運用這些性質進行推理是本題的關鍵.

(1)由三角形內角和定理可求NB/C=60。，由角平分線的性質和外角的性質可求解；

(2)根據(jù)對稱的性質得到A8=/G,BH=HG,S^ABH=SAAGH,由面積的和差關系可得

SABFH—SAAEF=S“BH—S.ABE=AABG一企AABC，從而得到S]—S?。

【詳解】(1)解：???乙48。=38。,44。5=82。，

ABAC=60°,

平分/A4C,

J/BAD=NCAD=30。，

：.ZADB=ADAC+ZACB=30°+82°=112c；

(2)關于4〃對稱的△ZGH,

；?4B=AG,BH=HG,S“BH=S.AGH，

?S.BFH-S、AEF=^^ABH-S4AsES"BO

=

?-E—S2=-S^ABG--S^ABC=-(S"G—S"c)2ZBCG=3.

22.⑴詳見解析

⑵詳見解析

【分析】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質，等角對等邊，全等三角形的判定與性質，解題的關

鍵是理解題意并掌握這些知識點.

(1)根據(jù)O尸平分/MON得4。尸=/8。尸，根據(jù)8尸〃(W得乙4。尸=48尸。，利用等角對等邊即可得;

(2)作PD_LON于點。，利用AAS可證明,得到4。=以)，然后證明出

RSPOC也RtA尸。。(HL),得至IJOC=O￡>,進而求解即可.

【詳解】(1)證明：平分/MON,

ZAOP=ZBOP,

"BP//OM,

：.ZAOP=NBPO,

：.ZBOP=ZBPO,

OB=PB-

(2)解：如圖所示，作尸0LON于點Q,

???PC_LOM于點C,0P平分4M0N,

：.PC=PD,ZPCA=ZPDB=ZOCP=90°,

???/CMP+/OBP=180。，NDBP+/OBP=180。,

：.ZOAP=ZDBP,

在△尸4C和APBD中,

ZCAP=ZDBP

<ZPCA=/PDB=90P

PC=PD

：.^PAC^APBD(AAS),

JAC=BD

?：OP=OP,PC=PD,

：.RtdO&R"O0(HL),

JOC=OD,

u：OA=OC+AC,OB=OD-BD,

：.OA-OB=OC+AC-(OD-BD)=AC+BD=2AC.

23.⑴證明見解析

⑵3

【分析】(1)根據(jù)題意可得=證明△/。。?△/瓦)，即可得證；

(2)設N5=x,貝l」/C=90。—x,利用三角形內角和定理得乙4防=44月E,繼而得到4E=4尸,

AB-AF+BF=3,再利用面積公式可得答案；

(3)過尸作尸于點G,連接ZG,可得EG=bG,設EG=FG=a,證明△ZCQ會AS尸G和

△EAG學AFAG,繼而得到5G=2*BE=BG+EG=3a,即可得解.

【詳解】(1)證明：???NC45=90。，

???ZCAD+ZBAD=90°,

??,ADIBC,

：?NADB=NADC=90。,

：.NBAD+NB=9b,

ZCAD=ZB,

在△ZCQ和△人助中，

CD=ED

</ADC=/ADE,

AD=AD

：.△4CD7"E￡>(SAS),

ZDAC=ZDAE,

ZDAE=ZB；

(2)解:VZCAB=90°,

：.Z5+ZC=90°,

設N5=x,則/C=90?！?,

由(1)知：LACD必AED,

：.ZCEA=ZC=90°-x,

*：ZBEF=45°,

：.ZAFE=ZB+ZBEF=x+45),

Z^EF=180°-ZC^-Z5EF=180o-(90o-x)-45o=x+45°,

???ZAEF=ZAFE,

AE=AF,

VAC=2,AF=2BF,

由(1)可知：LACDm乙AED,

：.AC=AE,

：.2BF=AF=AC=2f