2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（山西專用測試范圍：九年級上冊第21章-第23章）（全解全析）

2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷

（山西專用）

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準

考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.測試范圍：人教版九年級上冊第21章-第23章。

6.難度系數(shù)：0.7。

第I卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的。

1.方程2必=、的解為（）

A.Xj=\,x2—2B.X]=0,=2

D.X]=0,/=~

【答案】D

移項，得2%2一%=0,

提公因式，得x（2x-1）=0,

則x=0或21一1二0,

,.巧=0,x?—

故選：D.

2.中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄，下列四幅作品分別代表

“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”，其中既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【詳解】解：A、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

B、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

D、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意；

故選D.

3.關(guān)于X的一元二次方程/+7質(zhì)-2（加+3）=0的根情況是（）

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.沒有實數(shù)根D.實數(shù)根的個數(shù)由加的值確定

【答案】B

【詳解】由題意可知：。=1,b=m,c=-2（加+3）=-2俏一6,

/.A=b2-4ac=m2—4xlx（—2m—6）=（m+4）2+8>8

???方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：B.

4.已知點（-3,弘）,（-2,為）是拋物線了=一3/-12x+加上的點，則（）

A.y3<y2<JiB.%<%</C.%<%<%D.y,<y3<y2

【答案】B

【詳解】解：拋物線的對稱軸為直線：苫=-二旨=-2,

；a=-3<0,

?,.當(dāng)x=-2時，函數(shù)值最大，

又V-3到-2的距離比1到-2的距離小，

%<%<%，

故選：B.

5.如圖，△。石。與△48。關(guān)于點C成中心對稱，AB=3,AC=2,NCAB=90。，則4E*的長為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【詳解】解：???△DEC與△力5C關(guān)于點C成中心對稱，

:?DEC-ABC,

：.DE=AB=3,AC=CD=2,ZCDE=ZCAB=90°,

：.AD=AC+CD=2+2=4,

?*-AE=y/AD2+DE2=5，

故選：A.

6.若64是一元二次方程》2—x—2020=0的兩個實數(shù)根，貝3。-24+3的值為()

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】C

【詳解】解：??,/△是一元二次方程一一工―2020=0的兩個實數(shù)根，

：.a+j3=l,a2-a=2020,

**.—-24+3

=02-戊-2(a+夕)+3

=2020-2+3

=2021,

故選：C.

7.水果店花1500元進了一批水果，按50%的利潤定價，無人購買，決定打折出售，但仍無人購買，結(jié)果又

一次打折后才售完.經(jīng)結(jié)算，這批水果共盈利500元.若兩次打折的折扣相同，設(shè)每次打工折，根據(jù)題意,

下面所列方程正確的是（）

(臺2

A.(1500x50%)=500

B.(1500x50%)。-言2=500

2

C.1500(1+50%)(^)=1500+500

D.15OO（1+5O%）（1-=1500+500

【答案】c

【詳解】解：根據(jù)題意得：1500(1+50%)令)2=1500+500,

故選：C.

8.已知二次函數(shù)y=/-3x+機(機為常數(shù))的圖象與x軸的一個交點為。,0),則關(guān)于龍的一元二次方程

f-3x+加=0的兩實數(shù)根是()

A.X]—0,%2~-1B.%]=1，%2=2

C.X]=1,%2=0D.%]=1,x?~3

【答案】B

【詳解】解：???二次函數(shù)了=--3x+機(加為常數(shù))的圖象與x軸的一個交點為(1,0),

0=1—3+m,

:?m=2,

??—3x+2=0,

(x-l)(x-2)=0,

/.x—1=0,x—2=0,

.?X]—1,%2=2.

故選：B.

9.如圖，小明在某次投籃中，球的運動路線是拋物線》=-0.2/+3.5的一部分，若命中籃圈中心，則他與

籃圈底的距離/是()

【答案】C

【詳解】解：如圖,

把c點縱坐標y=3.05代入J=-o.2x2+3.5中得:

x=±1.5（舍去負值），即08=1.5m,

所以/=AB=2,5+1.5=4m.

故選：C.

10.如圖，在△ABC中，ZBAC=60°,。為邊/C上的一點，當(dāng)時，連接即，將線段繞點8

按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。，得到線段5E,連接4E,DE.若/。=6,貝UA/BE的面積的最大值為（）

A.V3B.V2C.—D.迪

24

【答案】D

【詳解】解：在/C上截取/尸=N8,連接8/，過8作87，國交E4延長線于“，則乙?7=90。,

E

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得ZEBD=60°,BE=BD,

,：NBAC=60°,AF=AB,

**.A4BF是等邊三角形，

AB=BF,/AFB=/ABF=60°=ZEBD,

AABE=AFBD,

"BE%FBD(SAS),

：./BAE=ZBFD=180°-ZAFB=120°,

.../ABH=/BAE-ZH=30°,

在中，設(shè)/3=2x,則==BH7AB?-AH?=瓜,

AD—6,AF=AB=2x,AD>AB,

AE=DF=6-2x,0<x<3,

*/-V3<0,

...當(dāng)x=:時，S最大，最大值為28,

24

故選：D.

第n卷

二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。

11.美術(shù)興趣小組在中秋節(jié)這一天人人相互送一個月餅，共送出56個月餅，美術(shù)興趣小組人數(shù)是

【答案】8

【詳解】解：設(shè)美術(shù)興趣小組有x人,

—1）=56,

解得：x=8,（負值舍去），

???美術(shù)興趣小組有8人.

故答案為：8.

12.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如下表:

X-4-3-115

y0595-27

則滿足"2+（6+l）x+c<2的x的取值范圍是.

【答案】尤<-3或x>2

【詳解】解：由ax?+(6+l)x+c<2得a/+6x+c<-x+2,

由表格可知拋物線的頂點為（T9）,

???設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)2+9,

將(-4,0)代入得0="-4+1)2+9,

解得a=-1,

??y--(x+1)+9=-x~-2x+8,

y=-x+2

聯(lián)立

y=一12—2x+8

*=2或x2=-3

解得:

/=°.%=5

.?.4(2,0),5(-3,5),

作出函數(shù)y=-x?-2x+8和y=-x+2圖象，如圖所示:

由圖象可得，當(dāng)x<—3或x>2時，—x?—2x+8<—x+2,即。x~+(6+l)x+c<2.

故答案為：x<-3或x>2.

13.如圖，N4cB=90。,ZBAC=30°,將△4BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<90。)，得到AOEC,設(shè)CD

與初交于點尸，連接40,當(dāng)△/￡>尸為等腰三角形時，a=.

【答案】40?；?0。

【詳解】解：：將△N8C繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<90。)，得到AOEC

AC=CD,ZACD=a,

ZADF=ZDAC=1(1800-a),

NDAF=ZDAC-ABAC=1(180°-

a)-30°,

根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，ZAFD=ZBAC+ZDCA=30°+a,

△/DR是等腰三角形，分三種情況討論，

①/ADF=/DAF時，1(180°-a)=1(1800-a)-30o,無解，

②=時，1(180°-?)=30°+?,

解得夕=40。，

③尸=乙裝0時，!(180o-(z)-30o=30o+a,

解得a=20。，

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角a度數(shù)為40?；?0。.

故答案為：40?；?0。.

14.某單位要對拱形大門進行粉刷，如圖是大門示意圖，門柱3和3c高均為0.75米，門寬濕為9米，

上方門拱可以近似的看作拋物線的一部分，最高點到地面池的最大高度為4.8米，工人師傅站在傾斜木板

AM±,木板點M一端恰好落在門拱上且到點A的水平距離期為7.5米，工人師傅能刷到的最大垂直高度

【詳解】解：以A為坐標原點，所在直線為x軸建立平面直角坐標系，如圖所示:

設(shè)拋物線的解析式為J=?(x-4.5)2+4.8,

AD=0.75,

.'.￡>(0,0,75)

，將點。代入拋物線解析式得，0.75=4.5,+4.8,

解得。=-0.2,

拋物線對應(yīng)的函數(shù)的解析式為y=-0.20-4.5)2+4.8,

將x=7.5代入y=-0.2(x-4.5)2+4.8中，得y=3,

,點“坐標為(753),

設(shè)直線OM的解析式為了=kx(k豐0),

將點"(7.5,3)代入y=fcv得，7.5左=3,

k=0.4,

直線。河的解析式為了=0.4x,

設(shè)工人能夠刷到的最大高度點為E,過E作x軸的垂線交直線于點尸,

設(shè)點E的坐標為(m,-0.2(m-4.5)2+4.8),則尸0,0.4"。，

22

;.￡F=-0.2(加一4.5)2+4.8-0.4m=-0.2m+lAm+0.75=-0.2(m-3.5)+3.2,

???師傅能刷到的最大垂直高度是2.4米，

...當(dāng)EF=2.4時，即-0.2("-3.5)2+3.2=2.4,

解得加1=1.5,m2=5.5,

?.?5.5-1.5=4米，

工人師傅刷不到的最大水平寬度為4米，

故答案為：4.

15.如圖，已知正方形48。的邊長為3,E、尸分別是/3、3c邊上的點，且NED尸=45。，將AZME繞

點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到△DCN.若4E=1,則*0的長為.

【答案】I

【詳解】解：???四邊形/8CD是正方形

NA=/ADC=/DCB=90。,AB=BC=3

???ADAE逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△OCN

ZDCM=ZA=90°,DE=DM,ZADE=ZMDC

ZEDM=ZEDC+ZMDC=ZEDC+ZADE=ZADC=90°

?;NEDF=45。

ZMDF=ZEDF=45°

又???ZFCD+ZDCM=90°+90°=l80°

:.F、C、M三點共線

在d)EF和ADMF中

DE=DM

<ZEDF=ZFDM

DF=DF

.△DEF知DMF(SAS)

:.EF=MF

設(shè)EF=MF=x

???AE=CM=\

AW=SC+CM=3+1=4,EB=AB—AE=3—l=2

:.BF=BM-MF=4-x

22

在尸中，由勾股定理得仍2+3尸2=石尸2,gp2+(4-X)=X2

解得：x=3，:.FM=3.

22

故答案為：—.

三、解答題：本題共8小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

16.(10分)解下列方程：

(l)x2-2x=4；

(2)(XT)(X+2)=2(X+2).

【詳解】（1）解：，_2X=4,

Z.(X-1)2=5,.........................................................................................................................3分

：.X-1=±45,.............................................................................................................4分

X]=1+石，x2=1-V5...................................................................................5分

(2)：(x-l)(x+2)=2(x+2),

(x-l)(x+2)-2(x+2)=0......................................................................................8分

(x-3)(x+2)=0,...............................................................................................9分

解得再=-2,x2=3.............................................................................................10分

17.(7分)已知拋物線>=2X2-4X+5,解答下列問題：

(1)用配方法將該函數(shù)解析式化為了=a(x+”)2+左的形式；

(2)請指出該函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標、對稱軸.

填空：開口方向：,頂點坐標：,對稱軸：.

【詳解】⑴解：^=2(X2-2X+1-1)+5=2(X-1)2+3...................................................4分

(2)解：'：a=2>0,m=-l,k=3,

,該函數(shù)圖象的開口向上；頂點坐標是。,3)；對稱軸是直線x=l；

故答案為：向上，。,3),直線x=l..............................................................7分

18.(8分)如圖，在平面直角坐標系內(nèi)，已知△NBC的三個頂點坐標分別為/(1,3)、5(4,2)、C(3,4).

+一洶

1111D1

十a(chǎn)一m一以

―：_：_：_：_：_>

012345x

(1)將△/BC沿水平方向向左平移4個單位得△4AG,請畫出；

(2)畫出ZUBC關(guān)于原點O成中心對稱的△4鳥。2，并直接寫出當(dāng)，G的坐標；

(3)若△4AG與△4與。2關(guān)于點尸成中心對稱，則點尸的坐標是.

【詳解】(1)如圖，△4AG即為所求；...................................3分

(2)如圖，即為所求,

比的坐標為（-4,-2）,。2的坐標為（-3,-4）..............................................................................6分

（3）如圖，點P的坐標是（-2,0）.

故答案為：（-2,0）..............................................................................................8分

19.（8分）甲商品的售價為每件40元.

（1）若現(xiàn)在需進行降價促銷活動，預(yù)備從原來的每件40元進行兩次調(diào)價，已知該商品現(xiàn)價為每件32.4元.若

該商品兩次調(diào)價的降價率相同，求這個降價率；

（2）經(jīng)調(diào)查，該商品每降價0.2元，即可多銷售10件.已知甲商品售價40元時每月可銷售500件，若該商場

希望該商品每月銷售額為26250元，且盡可能擴大銷售量，則該商品在原售價的基礎(chǔ)上應(yīng)如何調(diào)整？

【詳解】（1）解：設(shè)這種商品平均降價率是X,

依題意得：40（1-耳？=32.4...................................................................................2分

解得：=0.1=10%,X2=1.9（舍去）

答：這個降價率為10%。..........................................3分

（2）設(shè)降價了元，則多銷售1500+出xio］件，.........................4分

根據(jù)題意得（40-y）（500+出*10j=26250,......................................................6分

解得：乂=25,%=5........................................................................................7分

因為盡可能擴大銷售量，所以夕=5（舍去）

答：該商品在原售價的基礎(chǔ)上，再降低25元.-........................8分

20.（9分）學(xué)科實踐

問題情境：

某學(xué)校舉辦了校園科技節(jié)活動，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神，科學(xué)小組的同學(xué)自制了一個小型投石機，并在

校園科技節(jié)主題活動當(dāng)天進行投石試驗展示.

試驗步驟：

第一步：如圖，在操場上放置一塊截面為AOCO的木板，該木板的水平寬度（OD=5米，豎直高度0=0.5

米，將投石機固定在點。處，緊貼木板OCD的矩形厚木板8OG廠表示城墻;

第二步：利用投石機將石塊（石塊大小忽略不計）從點/處拋出，石塊飛行到達最高點后開始下降，最終落

地，其中點N到地面的高度。4=0.3米，測得8c=0.7米.

試驗數(shù)據(jù)：

科學(xué)小組的同學(xué)借助儀器得到石塊飛行過程中的一組數(shù)據(jù)：石塊飛到最高點尸時離地面的高度也為1.5米,

飛行的水平距離OE為4米.

問題解決：

已知石塊的飛行軌跡是拋物線的一部分，以。為原點，OG所在直線為x軸，CM所在直線為y軸，建立平

面直角坐標系.

（1）求石塊飛行軌跡對應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達式；

（2）在試驗時，石塊越過了城墻后落地，求城墻的厚度即的取值范圍；

拓展應(yīng)用：

（3）如圖，在進行第二次試驗前，小組同學(xué)準備在OC上與y軸水平距離為2米的范圍內(nèi)豎直安裝一支木

桿用于瞄準，為確保木桿不會被石塊擊中，則這支木桿的最大長度是多少？

【詳解】（1）依題意，：石塊飛到最高點尸時離地面的高度%為1.5米，飛行的水平距離為4米.且

04=0.3

/.設(shè)該拋物線的函數(shù)表達式v=a（x-4）2+1.5,

把Z(0,0.3)代入y=a(x-4『+1.5,..................................................................................................1分

/.O.3=ax(O-4)2+1.5,........................................................................................................................2分

解得。=-0.075,

y=-0.075(x-4)2+1.5；............................................................................................................3分

（2）：測得BC=0.7米，CD=0.5,OD=5米，且緊貼木板OCD的矩形厚木板廠表示城墻,

.?.AD_Lx軸，0.5+0.7=1.2（米），

.?.3（5,1.2）,

把x=5代入夕=-0.075(x-4『+L5,

得出y=-0.075X(5-4)2+1.5=1.425>1.2,.......................................4分

設(shè)BF=n,

???石塊越過了城墻后落地，且緊貼木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墻，

.?.尸G=8￡>=1.2米，則尸(5+77,1.2),

二把廠(5+77,1.2)代入v=-0,075(x-4)2+1.5,

得1.2=-0.075(5+"-4『+1.5.....................................................5分

二-0.3=-0.075(1+〃『，

解得”=1或者〃=-3(舍去)，

在試驗時，石塊越過了城墻后落地，求城墻的厚度時的取值范圍為0<2尸<1；.......6分

(3):該木板的水平寬度(。。=5米，豎直高度CD=0.5米)，

C(5,0.5),

設(shè)線段oc的解析式為y=Ax(O<x<5),

把C(5,0.5)代入y=foc(OWxW5),

得0.5="5,

.二左二0.1,

線段OC的解析式為y=o.lx(o<x<5),

?..在OC上與y軸水平距離為2米的范圍內(nèi)豎直安裝一支木桿用于瞄準，

設(shè)這支木桿的長度為加，

如圖：設(shè)木桿的頂端為M

/.W^OAx+m),其中04xV2,

設(shè)拋物線到點〃的距離為S,

則s=y—0.5一加二-0.075（X-4）2+1.5-O.lx-m=-0.075x2+0.5x+0.3-m,.......................7分

V-0.075<0,開口向下，

0.510

X一_2x（一0.075）―T取大值，

■：Q<x<2,

.?.把x=2代入s=-0,075%2+0.5x+0.3-m,

得出-0.075x22+0.5x2+03-%=0,此時這支木桿有最大長度，即加有最大值，

即7W=1............................................................................................................................................9分

21.（8分）2）閱讀理解:

如圖，等邊4ABC內(nèi)有一點P若點P到頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,求/APB的大小.

思路點撥：考慮到PA,PB,PC不在一個三角形中，采用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，可以將aABP繞頂點A

逆時針旋轉(zhuǎn)6。1到^ACP，處，此時△ACPNZ\ABP,這樣，就可以利用全等三角形知識，結(jié)合已知條件，將

三條線段的長度轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出NAPB的度數(shù).請你寫出完整的解題過程.

（2）變式拓展：請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題：

已知如圖，aABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、F為BC上的點且NEAF=45。，就雪=冬?跺=邛，求EF的

大小.

【詳解】(1)將4ABP繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)60,到aACP，處，貝lUACP^^ABP

:,PA=PA=3,PB=PC=4

/,或Lq展'=|額期△p,ip是等邊三角形

.PP=PJ=3............................................................................................2分

在△/>/>(?中，pp-+pc:=9+15=25=PC:

△尸產(chǎn)C'是RtA

-Z/>PC=90-

■W.....................................................4分

（2）WAABE繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。到aACE，處，則△ACEK^ABE

AE—AE,,BE=CE

根據(jù)“SAS”可得4AEF注△.<￡p

FE=FE.............................................................6分

在RtaEFC中，

EC：+FC：=EF，

EF2=BE2-CF:=5:+4:=41,￡J,二向..............................8分

22.（12分）如圖，拋物線y=-/+6x+c與x軸交于A、3兩點（A在3的左側(cè)），與了軸交于點N,過A

點的直線/：/=h+"與V軸交于點C,與拋物線y=f2+6x+c的另一個交點為。，已知/（TO）,

。（5,-6）,尸點為拋物線y=-x?+6x+c上一動點（不與A、。重合）.

（1）求拋物線和直線/的解析式；

（2）當(dāng)點尸在直線/上方的拋物線上時，連接尸工、PD,當(dāng)△尸4D的面積最大時，求尸點的坐標；

⑶設(shè)〃為直線/上的點，探究是否存在點〃，使得以點N、C、X、P為頂點的四邊形為平行四邊形?

若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【詳解】（1）解：將"（TO）,。（5,-6）代入直線/:"h+力得：

-k+n=O

5左+〃=-6

k=-l

解得:1分

n=-l"

故直線/的解析式為：1;

將/(TO),。(5,-6)代入拋物線解析式得:

-\-b+c=0

-25+56+。=-6'

b=3

解得:

c=4

拋物線的表達式為：y=-/+3x+4；3分

(2)如圖，過點尸作軸，交直線/于點。,

由題意設(shè)點/”,-?+3/+4),則點。&T-1),

5分

*?,—1</v5,

...當(dāng)/=2時，取最大值27,

此時尸(2,6)；,7分

(3)在拋物線：y=-/+3x+4中，令x=O,則y=4；在直線/：y=-x-l中，令x=O,則y=T；

，N（0,4）,C（O,-1）,

NC=4-（-1）=5,

①當(dāng)NC是平行四邊形的一條邊時，設(shè)尸（x,-/+3x+4）,則點

由題意得：I%-力1=5,BP：|—X2+3x+4+x+l|=5,

解得：％=2土內(nèi)或％=0或%=4（舍去x=0,此時M和C重合），

則點〃坐標為（2+舊,一3-舊）或（2-舊,一3+&可或（4,一5）；........................................9分

②當(dāng)NC是平行四邊形的對角線時,則NC的中點坐標為[。，3],

設(shè)點尸（加，-加2+3加+4）,則點一1）,

???以N、。、M、?為頂點的四邊形為平行四邊形，

二?NC的中點即為中點，

m+n3—加2+3加+4+（-〃-1）

222

解得：〃=0或〃=-4（舍去x=0,此時/和C重合），

故點M（-4,3）,............................................................................................................................11分

綜上，點M的坐標為（2+何,-3-舊）或（2-舊,-3+巧）或（4,-5）或（-4,3）....................12分

23.（13分）如圖1,在Rt/X/BC中，乙4=90。，AB=AC,點。、E分別在邊48、4c上，AD=AE,

連接DC，點出、P、N分別為DE、DC、3c的中點.

A

(1)觀察猜想：圖1中，線段9與PN的數(shù)量關(guān)系是位置關(guān)系是二

(2)探究證明：把石繞點4逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷的形狀，并

說明理由；

(3)拓展延伸：把△/。石繞點/在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=2,AB=A,直接寫出△PMN面積的最大值.

【詳解】(1)解：丁點尸，N