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文檔簡介
2024-2025學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷
(山西專用)
(考試時間:120分鐘試卷滿分:120分)
注意事項:
1.本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準
考證號填寫在答題卡上。
2.回答第I卷時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,
用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3.回答第II卷時,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4.測試范圍:人教版九年級上冊第21章-第23章。
6.難度系數(shù):0.7。
第I卷
一、選擇題:本題共10小題,每小題3分,共30分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目
要求的。
1.方程2必=、的解為()
A.Xj=\,x2—2B.X]=0,=2
D.X]=0,/=~
【答案】D
移項,得2%2一%=0,
提公因式,得x(2x-1)=0,
則x=0或21一1二0,
,.巧=0,x?—
故選:D.
2.中國“二十四節(jié)氣”已被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄,下列四幅作品分別代表
“立春”、“立夏”、“芒種”、“大雪”,其中既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形的是()
【答案】D
【詳解】解:A、是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,故此選項不符合題意;
B、既不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形,故此選項不符合題意;
C、既不是軸對稱圖形,也不是中心對稱圖形,故此選項不符合題意;
D、既是軸對稱圖形,也是中心對稱圖形,故此選項符合題意;
故選D.
3.關(guān)于X的一元二次方程/+7質(zhì)-2(加+3)=0的根情況是()
A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根
C.沒有實數(shù)根D.實數(shù)根的個數(shù)由加的值確定
【答案】B
【詳解】由題意可知:。=1,b=m,c=-2(加+3)=-2俏一6,
/.A=b2-4ac=m2—4xlx(—2m—6)=(m+4)2+8>8
???方程有兩個不相等的實數(shù)根.
故選:B.
4.已知點(-3,弘),(-2,為)是拋物線了=一3/-12x+加上的點,則()
A.y3<y2<JiB.%<%</C.%<%<%D.y,<y3<y2
【答案】B
【詳解】解:拋物線的對稱軸為直線:苫=-二旨=-2,
;a=-3<0,
?,.當(dāng)x=-2時,函數(shù)值最大,
又V-3到-2的距離比1到-2的距離小,
%<%<%,
故選:B.
5.如圖,△。石。與△48。關(guān)于點C成中心對稱,AB=3,AC=2,NCAB=90。,則4E*的長為()
A.5B.6C.7D.8
【答案】A
【詳解】解:???△DEC與△力5C關(guān)于點C成中心對稱,
:?DEC-ABC,
:.DE=AB=3,AC=CD=2,ZCDE=ZCAB=90°,
:.AD=AC+CD=2+2=4,
?*-AE=y/AD2+DE2=5,
故選:A.
6.若64是一元二次方程》2—x—2020=0的兩個實數(shù)根,貝3。-24+3的值為()
A.2019B.2020C.2021D.2022
【答案】C
【詳解】解:??,/△是一元二次方程一一工―2020=0的兩個實數(shù)根,
:.a+j3=l,a2-a=2020,
**.—-24+3
=02-戊-2(a+夕)+3
=2020-2+3
=2021,
故選:C.
7.水果店花1500元進了一批水果,按50%的利潤定價,無人購買,決定打折出售,但仍無人購買,結(jié)果又
一次打折后才售完.經(jīng)結(jié)算,這批水果共盈利500元.若兩次打折的折扣相同,設(shè)每次打工折,根據(jù)題意,
下面所列方程正確的是()
(臺2
A.(1500x50%)=500
B.(1500x50%)。-言2=500
2
C.1500(1+50%)(^)=1500+500
D.15OO(1+5O%)(1-=1500+500
【答案】c
【詳解】解:根據(jù)題意得:1500(1+50%)令)2=1500+500,
故選:C.
8.已知二次函數(shù)y=/-3x+機(機為常數(shù))的圖象與x軸的一個交點為。,0),則關(guān)于龍的一元二次方程
f-3x+加=0的兩實數(shù)根是()
A.X]—0,%2~-1B.%]=1,%2=2
C.X]=1,%2=0D.%]=1,x?~3
【答案】B
【詳解】解:???二次函數(shù)了=--3x+機(加為常數(shù))的圖象與x軸的一個交點為(1,0),
0=1—3+m,
:?m=2,
??—3x+2=0,
(x-l)(x-2)=0,
/.x—1=0,x—2=0,
.?X]—1,%2=2.
故選:B.
9.如圖,小明在某次投籃中,球的運動路線是拋物線》=-0.2/+3.5的一部分,若命中籃圈中心,則他與
籃圈底的距離/是()
【答案】C
【詳解】解:如圖,
把c點縱坐標y=3.05代入J=-o.2x2+3.5中得:
x=±1.5(舍去負值),即08=1.5m,
所以/=AB=2,5+1.5=4m.
故選:C.
10.如圖,在△ABC中,ZBAC=60°,。為邊/C上的一點,當(dāng)時,連接即,將線段繞點8
按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60。,得到線段5E,連接4E,DE.若/。=6,貝UA/BE的面積的最大值為()
A.V3B.V2C.—D.迪
24
【答案】D
【詳解】解:在/C上截取/尸=N8,連接8/,過8作87,國交E4延長線于“,則乙?7=90。,
E
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得ZEBD=60°,BE=BD,
,:NBAC=60°,AF=AB,
**.A4BF是等邊三角形,
AB=BF,/AFB=/ABF=60°=ZEBD,
AABE=AFBD,
"BE%FBD(SAS),
:./BAE=ZBFD=180°-ZAFB=120°,
.../ABH=/BAE-ZH=30°,
在中,設(shè)/3=2x,則==BH7AB?-AH?=瓜,
AD—6,AF=AB=2x,AD>AB,
AE=DF=6-2x,0<x<3,
*/-V3<0,
...當(dāng)x=:時,S最大,最大值為28,
24
故選:D.
第n卷
二、填空題:本題共5小題,每小題3分,共15分。
11.美術(shù)興趣小組在中秋節(jié)這一天人人相互送一個月餅,共送出56個月餅,美術(shù)興趣小組人數(shù)是
【答案】8
【詳解】解:設(shè)美術(shù)興趣小組有x人,
—1)=56,
解得:x=8,(負值舍去),
???美術(shù)興趣小組有8人.
故答案為:8.
12.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如下表:
X-4-3-115
y0595-27
則滿足"2+(6+l)x+c<2的x的取值范圍是.
【答案】尤<-3或x>2
【詳解】解:由ax?+(6+l)x+c<2得a/+6x+c<-x+2,
由表格可知拋物線的頂點為(T9),
???設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)2+9,
將(-4,0)代入得0="-4+1)2+9,
解得a=-1,
??y--(x+1)+9=-x~-2x+8,
y=-x+2
聯(lián)立
y=一12—2x+8
*=2或x2=-3
解得:
/=°.%=5
.?.4(2,0),5(-3,5),
作出函數(shù)y=-x?-2x+8和y=-x+2圖象,如圖所示:
由圖象可得,當(dāng)x<—3或x>2時,—x?—2x+8<—x+2,即。x~+(6+l)x+c<2.
故答案為:x<-3或x>2.
13.如圖,N4cB=90。,ZBAC=30°,將△4BC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<90。),得到AOEC,設(shè)CD
與初交于點尸,連接40,當(dāng)△/£>尸為等腰三角形時,a=.
【答案】40?;?0。
【詳解】解::將△N8C繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a角(0°<a<90。),得到AOEC
AC=CD,ZACD=a,
ZADF=ZDAC=1(1800-a),
NDAF=ZDAC-ABAC=1(180°-
a)-30°,
根據(jù)三角形的外角性質(zhì),ZAFD=ZBAC+ZDCA=30°+a,
△/DR是等腰三角形,分三種情況討論,
①/ADF=/DAF時,1(180°-a)=1(1800-a)-30o,無解,
②=時,1(180°-?)=30°+?,
解得夕=40。,
③尸=乙裝0時,!(180o-(z)-30o=30o+a,
解得a=20。,
綜上所述,旋轉(zhuǎn)角a度數(shù)為40?;?0。.
故答案為:40?;?0。.
14.某單位要對拱形大門進行粉刷,如圖是大門示意圖,門柱3和3c高均為0.75米,門寬濕為9米,
上方門拱可以近似的看作拋物線的一部分,最高點到地面池的最大高度為4.8米,工人師傅站在傾斜木板
AM±,木板點M一端恰好落在門拱上且到點A的水平距離期為7.5米,工人師傅能刷到的最大垂直高度
【詳解】解:以A為坐標原點,所在直線為x軸建立平面直角坐標系,如圖所示:
設(shè)拋物線的解析式為J=?(x-4.5)2+4.8,
AD=0.75,
.'.£>(0,0,75)
,將點。代入拋物線解析式得,0.75=4.5,+4.8,
解得。=-0.2,
拋物線對應(yīng)的函數(shù)的解析式為y=-0.20-4.5)2+4.8,
將x=7.5代入y=-0.2(x-4.5)2+4.8中,得y=3,
,點“坐標為(753),
設(shè)直線OM的解析式為了=kx(k豐0),
將點"(7.5,3)代入y=fcv得,7.5左=3,
k=0.4,
直線。河的解析式為了=0.4x,
設(shè)工人能夠刷到的最大高度點為E,過E作x軸的垂線交直線于點尸,
設(shè)點E的坐標為(m,-0.2(m-4.5)2+4.8),則尸0,0.4"。,
22
;.£F=-0.2(加一4.5)2+4.8-0.4m=-0.2m+lAm+0.75=-0.2(m-3.5)+3.2,
???師傅能刷到的最大垂直高度是2.4米,
...當(dāng)EF=2.4時,即-0.2("-3.5)2+3.2=2.4,
解得加1=1.5,m2=5.5,
?.?5.5-1.5=4米,
工人師傅刷不到的最大水平寬度為4米,
故答案為:4.
15.如圖,已知正方形48。的邊長為3,E、尸分別是/3、3c邊上的點,且NED尸=45。,將AZME繞
點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。,得到△DCN.若4E=1,則*0的長為.
【答案】I
【詳解】解:???四邊形/8CD是正方形
NA=/ADC=/DCB=90。,AB=BC=3
???ADAE逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到△OCN
ZDCM=ZA=90°,DE=DM,ZADE=ZMDC
ZEDM=ZEDC+ZMDC=ZEDC+ZADE=ZADC=90°
?;NEDF=45。
ZMDF=ZEDF=45°
又???ZFCD+ZDCM=90°+90°=l80°
:.F、C、M三點共線
在d)EF和ADMF中
DE=DM
<ZEDF=ZFDM
DF=DF
.△DEF知DMF(SAS)
:.EF=MF
設(shè)EF=MF=x
???AE=CM=\
AW=SC+CM=3+1=4,EB=AB—AE=3—l=2
:.BF=BM-MF=4-x
22
在尸中,由勾股定理得仍2+3尸2=石尸2,gp2+(4-X)=X2
解得:x=3,:.FM=3.
22
故答案為:—.
三、解答題:本題共8小題,共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚。
16.(10分)解下列方程:
(l)x2-2x=4;
(2)(XT)(X+2)=2(X+2).
【詳解】(1)解:,_2X=4,
Z.(X-1)2=5,.........................................................................................................................3分
:.X-1=±45,.............................................................................................................4分
X]=1+石,x2=1-V5...................................................................................5分
(2):(x-l)(x+2)=2(x+2),
(x-l)(x+2)-2(x+2)=0......................................................................................8分
(x-3)(x+2)=0,...............................................................................................9分
解得再=-2,x2=3.............................................................................................10分
17.(7分)已知拋物線>=2X2-4X+5,解答下列問題:
(1)用配方法將該函數(shù)解析式化為了=a(x+”)2+左的形式;
(2)請指出該函數(shù)圖象的開口方向、頂點坐標、對稱軸.
填空:開口方向:,頂點坐標:,對稱軸:.
【詳解】⑴解:^=2(X2-2X+1-1)+5=2(X-1)2+3...................................................4分
(2)解:':a=2>0,m=-l,k=3,
,該函數(shù)圖象的開口向上;頂點坐標是。,3);對稱軸是直線x=l;
故答案為:向上,。,3),直線x=l..............................................................7分
18.(8分)如圖,在平面直角坐標系內(nèi),已知△NBC的三個頂點坐標分別為/(1,3)、5(4,2)、C(3,4).
+一洶
1111D1
十a(chǎn)一m一以
―:_:_:_:_:_>
012345x
(1)將△/BC沿水平方向向左平移4個單位得△4AG,請畫出;
(2)畫出ZUBC關(guān)于原點O成中心對稱的△4鳥。2,并直接寫出當(dāng),G的坐標;
(3)若△4AG與△4與。2關(guān)于點尸成中心對稱,則點尸的坐標是.
【詳解】(1)如圖,△4AG即為所求;...................................3分
(2)如圖,即為所求,
比的坐標為(-4,-2),。2的坐標為(-3,-4)..............................................................................6分
(3)如圖,點P的坐標是(-2,0).
故答案為:(-2,0)..............................................................................................8分
19.(8分)甲商品的售價為每件40元.
(1)若現(xiàn)在需進行降價促銷活動,預(yù)備從原來的每件40元進行兩次調(diào)價,已知該商品現(xiàn)價為每件32.4元.若
該商品兩次調(diào)價的降價率相同,求這個降價率;
(2)經(jīng)調(diào)查,該商品每降價0.2元,即可多銷售10件.已知甲商品售價40元時每月可銷售500件,若該商場
希望該商品每月銷售額為26250元,且盡可能擴大銷售量,則該商品在原售價的基礎(chǔ)上應(yīng)如何調(diào)整?
【詳解】(1)解:設(shè)這種商品平均降價率是X,
依題意得:40(1-耳?=32.4...................................................................................2分
解得:=0.1=10%,X2=1.9(舍去)
答:這個降價率為10%。..........................................3分
(2)設(shè)降價了元,則多銷售1500+出xio]件,.........................4分
根據(jù)題意得(40-y)(500+出*10j=26250,......................................................6分
解得:乂=25,%=5........................................................................................7分
因為盡可能擴大銷售量,所以夕=5(舍去)
答:該商品在原售價的基礎(chǔ)上,再降低25元.-........................8分
20.(9分)學(xué)科實踐
問題情境:
某學(xué)校舉辦了校園科技節(jié)活動,培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)探究精神,科學(xué)小組的同學(xué)自制了一個小型投石機,并在
校園科技節(jié)主題活動當(dāng)天進行投石試驗展示.
試驗步驟:
第一步:如圖,在操場上放置一塊截面為AOCO的木板,該木板的水平寬度(OD=5米,豎直高度0=0.5
米,將投石機固定在點。處,緊貼木板OCD的矩形厚木板8OG廠表示城墻;
第二步:利用投石機將石塊(石塊大小忽略不計)從點/處拋出,石塊飛行到達最高點后開始下降,最終落
地,其中點N到地面的高度。4=0.3米,測得8c=0.7米.
試驗數(shù)據(jù):
科學(xué)小組的同學(xué)借助儀器得到石塊飛行過程中的一組數(shù)據(jù):石塊飛到最高點尸時離地面的高度也為1.5米,
飛行的水平距離OE為4米.
問題解決:
已知石塊的飛行軌跡是拋物線的一部分,以。為原點,OG所在直線為x軸,CM所在直線為y軸,建立平
面直角坐標系.
(1)求石塊飛行軌跡對應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達式;
(2)在試驗時,石塊越過了城墻后落地,求城墻的厚度即的取值范圍;
拓展應(yīng)用:
(3)如圖,在進行第二次試驗前,小組同學(xué)準備在OC上與y軸水平距離為2米的范圍內(nèi)豎直安裝一支木
桿用于瞄準,為確保木桿不會被石塊擊中,則這支木桿的最大長度是多少?
【詳解】(1)依題意,:石塊飛到最高點尸時離地面的高度%為1.5米,飛行的水平距離為4米.且
04=0.3
/.設(shè)該拋物線的函數(shù)表達式v=a(x-4)2+1.5,
把Z(0,0.3)代入y=a(x-4『+1.5,..................................................................................................1分
/.O.3=ax(O-4)2+1.5,........................................................................................................................2分
解得。=-0.075,
y=-0.075(x-4)2+1.5;............................................................................................................3分
(2):測得BC=0.7米,CD=0.5,OD=5米,且緊貼木板OCD的矩形厚木板廠表示城墻,
.?.AD_Lx軸,0.5+0.7=1.2(米),
.?.3(5,1.2),
把x=5代入夕=-0.075(x-4『+L5,
得出y=-0.075X(5-4)2+1.5=1.425>1.2,.......................................4分
設(shè)BF=n,
???石塊越過了城墻后落地,且緊貼木板OCD的矩形厚木板BDGF表示城墻,
.?.尸G=8£>=1.2米,則尸(5+77,1.2),
二把廠(5+77,1.2)代入v=-0,075(x-4)2+1.5,
得1.2=-0.075(5+"-4『+1.5.....................................................5分
二-0.3=-0.075(1+〃『,
解得”=1或者〃=-3(舍去),
在試驗時,石塊越過了城墻后落地,求城墻的厚度時的取值范圍為0<2尸<1;.......6分
(3):該木板的水平寬度(。。=5米,豎直高度CD=0.5米),
C(5,0.5),
設(shè)線段oc的解析式為y=Ax(O<x<5),
把C(5,0.5)代入y=foc(OWxW5),
得0.5="5,
.二左二0.1,
線段OC的解析式為y=o.lx(o<x<5),
?..在OC上與y軸水平距離為2米的范圍內(nèi)豎直安裝一支木桿用于瞄準,
設(shè)這支木桿的長度為加,
如圖:設(shè)木桿的頂端為M
/.W^OAx+m),其中04xV2,
設(shè)拋物線到點〃的距離為S,
則s=y—0.5一加二-0.075(X-4)2+1.5-O.lx-m=-0.075x2+0.5x+0.3-m,.......................7分
V-0.075<0,開口向下,
0.510
X一_2x(一0.075)―T取大值,
■:Q<x<2,
.?.把x=2代入s=-0,075%2+0.5x+0.3-m,
得出-0.075x22+0.5x2+03-%=0,此時這支木桿有最大長度,即加有最大值,
即7W=1............................................................................................................................................9分
21.(8分)2)閱讀理解:
如圖,等邊4ABC內(nèi)有一點P若點P到頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,求/APB的大小.
思路點撥:考慮到PA,PB,PC不在一個三角形中,采用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,可以將aABP繞頂點A
逆時針旋轉(zhuǎn)6。1到^ACP,處,此時△ACPNZ\ABP,這樣,就可以利用全等三角形知識,結(jié)合已知條件,將
三條線段的長度轉(zhuǎn)化到一個三角形中,從而求出NAPB的度數(shù).請你寫出完整的解題過程.
(2)變式拓展:請你利用第(1)題的解答思想方法,解答下面問題:
已知如圖,aABC中,ZCAB=90°,AB=AC,E、F為BC上的點且NEAF=45。,就雪=冬?跺=邛,求EF的
大小.
【詳解】(1)將4ABP繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)60,到aACP,處,貝lUACP^^ABP
:,PA=PA=3,PB=PC=4
/,或Lq展'=|額期△p,ip是等邊三角形
.PP=PJ=3............................................................................................2分
在△/>/>(?中,pp-+pc:=9+15=25=PC:
△尸產(chǎn)C'是RtA
-Z/>PC=90-
■W.....................................................4分
(2)WAABE繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。到aACE,處,則△ACEK^ABE
AE—AE,,BE=CE
根據(jù)“SAS”可得4AEF注△.<£p
FE=FE.............................................................6分
在RtaEFC中,
EC:+FC:=EF,
EF2=BE2-CF:=5:+4:=41,£J,二向..............................8分
22.(12分)如圖,拋物線y=-/+6x+c與x軸交于A、3兩點(A在3的左側(cè)),與了軸交于點N,過A
點的直線/:/=h+"與V軸交于點C,與拋物線y=f2+6x+c的另一個交點為。,已知/(TO),
。(5,-6),尸點為拋物線y=-x?+6x+c上一動點(不與A、。重合).
(1)求拋物線和直線/的解析式;
(2)當(dāng)點尸在直線/上方的拋物線上時,連接尸工、PD,當(dāng)△尸4D的面積最大時,求尸點的坐標;
⑶設(shè)〃為直線/上的點,探究是否存在點〃,使得以點N、C、X、P為頂點的四邊形為平行四邊形?
若存在,直接寫出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【詳解】(1)解:將"(TO),。(5,-6)代入直線/:"h+力得:
-k+n=O
5左+〃=-6
k=-l
解得:1分
n=-l"
故直線/的解析式為:1;
將/(TO),。(5,-6)代入拋物線解析式得:
-\-b+c=0
-25+56+。=-6'
b=3
解得:
c=4
拋物線的表達式為:y=-/+3x+4;3分
(2)如圖,過點尸作軸,交直線/于點。,
由題意設(shè)點/”,-?+3/+4),則點。&T-1),
5分
*?,—1</v5,
...當(dāng)/=2時,取最大值27,
此時尸(2,6);,7分
(3)在拋物線:y=-/+3x+4中,令x=O,則y=4;在直線/:y=-x-l中,令x=O,則y=T;
,N(0,4),C(O,-1),
NC=4-(-1)=5,
①當(dāng)NC是平行四邊形的一條邊時,設(shè)尸(x,-/+3x+4),則點
由題意得:I%-力1=5,BP:|—X2+3x+4+x+l|=5,
解得:%=2土內(nèi)或%=0或%=4(舍去x=0,此時M和C重合),
則點〃坐標為(2+舊,一3-舊)或(2-舊,一3+&可或(4,一5);........................................9分
②當(dāng)NC是平行四邊形的對角線時,則NC的中點坐標為[。,3],
設(shè)點尸(加,-加2+3加+4),則點一1),
???以N、。、M、?為頂點的四邊形為平行四邊形,
二?NC的中點即為中點,
m+n3—加2+3加+4+(-〃-1)
222
解得:〃=0或〃=-4(舍去x=0,此時/和C重合),
故點M(-4,3),............................................................................................................................11分
綜上,點M的坐標為(2+何,-3-舊)或(2-舊,-3+巧)或(4,-5)或(-4,3)....................12分
23.(13分)如圖1,在Rt/X/BC中,乙4=90。,AB=AC,點。、E分別在邊48、4c上,AD=AE,
連接DC,點出、P、N分別為DE、DC、3c的中點.
A
(1)觀察猜想:圖1中,線段9與PN的數(shù)量關(guān)系是位置關(guān)系是二
(2)探究證明:把石繞點4逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷的形狀,并
說明理由;
(3)拓展延伸:把△/。石繞點/在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=2,AB=A,直接寫出△PMN面積的最大值.
【詳解】(1)解:丁點尸,N
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