2024-2025學年江西省九年級上學期期中復習 第四章 圖形的相似部分（含解析）

2024-2025學年度江西省九年級上學期期中專題復習

圖形的相似部分

本資料以2023年江西省各大市期中考試題目匯編而成，旨

在為學生期中復習理清方向！

一、單選題

1.（23-24九年級上.江西景德鎮(zhèn)?期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）

A.兩個等腰直角三角形B.兩個直角三角形

C.兩個等腰三角形D.兩個銳角三角形

2.（23-24九年級上?江西鷹潭?期中）如圖，AABC與ADEP位似，點o是它們的位似中心，

其中。￡=208,則AABC與△￡>￡下的周長之比是（）

.D

OBE

A.1：2B.1：4C.1：3D.1：9

3.（23-24九年級上?江西九江?期中）如圖，VA5c中，ZB=60°,43=6,AC=8.將VA5C

沿圖中的DE剪開.剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）

A

/so0\

B4--------------------

AA

BDCB口C

2夭A

CD.E^\D

Gs'X

二、填空題

ace3

4.（23-24九年級上?江西景德鎮(zhèn)?期中）已知工=：=7=7S+d+/w。），貝|

baj2

a+c+e

b+d+f~-----?

5.（23-24九年級上.江西景德鎮(zhèn).期中）如圖，四邊形ABC。與四邊形A9CD是位似圖形,

點。是位似中心，點A，是線段。4的中點，則爭"=______.

〉ABCD

6.（23-24九年級上?江西鷹潭?期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長均為1,

9

四邊形ABCD的面積是一.若四邊形EFG8與四邊形ABC。相似，則四邊形EFG7/的面積

2

7.（23-24九年級上?江西吉安?期中）如圖，線段AB=10cm,點C是線段AB的黃金分割點,

且AC>3C,設以AC為邊的正方形的面積為司，以BC為一邊，長為另一邊的矩形

BCRG的面積為邑,S、S2（填：“>"、"=”或

8.（23-24九年級上?江西萍鄉(xiāng)?期中）符合黃金分割比例形式的圖形很容易使人產(chǎn)生

視覺上的美感.在如圖所示的五角星中，AD=BC=^~,且C,。都是A8的黃金分割

2

9.（23-24九年級上?江西撫州?期中）如圖，ABLBD,DE1BD,AB=6,DE=4,BD=14,

點戶在80上移動，當VABC與ACDE相似時，BC的值為.

A

10.（23-24九年級上?江西景德鎮(zhèn)?期中）如圖，正方形ABCD中，E,尸分別是邊AD,CD上

⑴求證：八ARFs八DFF：

⑵若正方形的邊長為4,求BG的長.

11.（23-24九年級上?江西九江?期中）如圖所示，在4x4的正方形方格中，VABC和ADEF

的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上.

(1)填空：ZABC=,BC=

（2）判斷VA3C與ADE尸是否相似？并證明你的結論.

12.（23-24九年級上?江西鷹潭?期中）人體上半身長和下半身長的黃金比為0.618:1,這時人

的身長比例看上去更美觀.某演員的身長情況如圖所示，她想通過穿高跟鞋使身長比例更美

觀，于是她購買了一雙6厘米的高跟鞋.請依據(jù)“黃金比”判斷這雙高跟鞋的高度是偏高還是

13.（23-24九年級上?江西景德鎮(zhèn)?期中）杭州第19屆亞洲運動會開幕式在杭州奧體中心主體

育場舉行，奧運會游泳冠軍汪順和代表火炬線上傳遞參與者的“虛擬數(shù)字火炬手”一同點燃了

杭州亞運會的主火炬臺.某校社會實踐小組為了測量這座主火炬臺頂端距離地面的高度，如

圖2,小明先在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標桿CD,這時地面上的點E,

標桿的頂端點火炬臺的頂端3正好在同一直線上，測得EC=3米；小明再從點E出發(fā)

沿著EG方向前進9米，到達點廠.在點尸處放置一平面鏡，小剛站在G處時，恰好在平

面鏡中看到火炬頂端3的像此時測得小剛的眼睛到地面的距離G8為1.5米，G產(chǎn)=3米.已

知點G、F、E、C與火炬臺的底端A在同一直線上，ABYAG,CDrAG,GH^AG.（平

（1）求E4與AB的等量關系；

（2）請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計算該火炬臺的高度

14.（23-24九年級上?江西九江?期中）如圖是6x6的正方形網(wǎng)格，請僅用無刻度的直尺按要

求完成以下作圖（保留作圖痕跡）.

圖1圖2

（1）如圖1,在邊BC上找一點P,使得△ABPS2\CBA.

（2）如圖2,在邊AC上找一點。，使得△ABQS^ACB.

15.（23-24九年級上?江西吉安?期中）已知，如圖所示的四邊形A5CZ）為菱形，AC,BD交

于。，AFLBC^F,交BD于點、E.

⑴求證：ABFE~^DOC

（2）求證：AD2=^DEDB；

⑶過點E作EG人AF,若DE=2BE,交AB于點G,若菱形48C。的面積為，求EG的

長.

DE2

16.（23-24九年級上?江西景德鎮(zhèn)?期中）如圖，在△ABC中，DE〃BC,—

BC5

（1）如果AD=4,求BD的長度；

（2）如果SAADE=2,求S四邊形DBCE的值.

17.（23-24九年級上?江西九江?期中）如圖1,在RtZ\A5C紙片中，ZACB=9Q°,AC=8,

BC=6,D,E分別是BC,A3邊上的動點，且BE=BD,連接。E,將V3DE沿DE翻折,

點2落在點尸的位置，連接

⑴如圖2,當點/在AC邊上時，求BE的長.

（2）如圖3,點。、E在運動過程中，當A尸〃DE時，求顧的長.

18.（23-24九年級上.江西景德鎮(zhèn).期中）如圖1.已知四邊形A8CD是矩形.點E在54的延

長線上.4￡=&。.或;與8。相交于點6,與AD相交于點尸,AF=AA

（1）求證：BD±EC；

（2）若回=1,求AE的長;

⑶如圖2,連接AG,求證：EG-DG=y/2AG.

圖2

19.（23-24九年級上?江西鷹潭?期中）如圖1,在RtAABC中，ZB=90°,BC=2AB=8,點

D,E分別是邊BC,AC的中點，連接DE,將△EDC繞點C按順時針方向旋轉，記旋轉角

為a.

（1）問題發(fā)現(xiàn)

AF

①當，=0。時，—=_；②當a=180。時，—=_

BDDU

（2）拓展探究

AP

試判斷：當0。女＜360。時，蕓的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.

（3）問題解決

當AEDC旋轉至A、D、E三點共線時，直接寫出線段BD的長.

AAA

E

20.（23-24九年級上?江西萍鄉(xiāng)?期中）問題背景:一次數(shù)學綜合實踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并

證明了關于三角形角平分線的一個結論.如圖①，已知AD是VA5C的角平分線，可證

45=黑.小慧的證明思路是：如圖②，過點。作。石〃至，CE交AD的延長線于點及

構造相似三角形來證明槳=黑嘗試證明:

An

（1）請參照小慧提供的思路，利用圖②證明：矍「BD八

應用拓展:

（2）如圖③，在RtAABC中，ABAC=90°,。是邊BC上一點，連接AD,將AACD沿AD

所在直線折疊，點C恰好落在邊AB上的E點處.若AC=1,AB=2,求DE的長.

21.（23-24九年級上.江西吉安?期中）如圖，在四邊形A8CD中，G是。C上的點，連接BG,

點產(chǎn)是BG上的點，在BC上取點使CG=CH,連接HF,CF,AF.

⑴①如圖1,點尸為正方形ABC。中對角線AC上一點，求證：GF=FH；

②如圖2,在正方形A8CQ中，若CF_LBG于凡求證：ZCFH=ZAFB.

（2）如圖3,若四邊形A8C。為菱形，ZCFB=ZBCD

①直接寫出ZBHF與445之間的數(shù)量關系；

②若HF=BH,ZFAB=60°.AF=3,AD=5,求AH的長；

22.(23-24九年級上?江西景德鎮(zhèn)?期中)如圖(1),已知點G在正方形ABC。的對角線AC

上，GE±BC,垂足為點E,GFLCD,垂足為點尸.

(1)證明與推斷：

①求證：四邊形CEGP是正方形；

4G

②推斷：高三的值為_____:

BE

(2)探究與證明：

將正方形CEGP繞點C順時針方向旋轉a角(0。<6(<45。)，如圖(2)所示，試探究線段

AG與BE之間的數(shù)量關系，并說明理由：

(3)拓展與運用：

正方形CEG尸在旋轉過程中，當3,E,尸三點在一條直線上時，如圖(3)所示，延長CG

交于點H.若AG=6,GH=2&,,貝U8C=.

圖⑴圖⑵圖⑶

參考答案:

1.A

【詳解】解：A、任意兩個等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質，兩腰分別相等，

它們兩邊的比值成比例，夾角為直角相等，根據(jù)相似三角形的判定定理可得任意兩個等腰直

角三角形相似，故符合題意；

B、任意兩個直角三角形，根據(jù)三角形相似的判定定理不能得到任意兩個直角三角形相似,

故不符合題意；

C、任意兩個等腰三角形，根據(jù)三角形相似的判定定理不能得到任意兩個等腰三角形相似,

故不符合題意；

D、任意兩個銳角三角形，根據(jù)三角形相似的判定定理不能得到任意兩個銳角三角形相似，

故不符合題意；

故選：A.

2.A

【詳解】解：：△ABC與△DEF位似，點。為位似中心.

AAABC^/\DEF,OB；0E=1：2,

.?.△ABC與△OEE的周長比是：1：2.

故選：A.

3.C

【詳解】解：A,VZC=ZC,/DEC=NB=60。,

：.^DECs^ABC,故本選項不符合題意；

B、VZC=ZC,ZCDE=ZB,

Z\CDEs^CBA,故本選項不符合題意；

C、由圖形可知，只有=不能判斷故本選項符合題意；

D、VZA=ZA,ZADE=ZB=60°,

AAADE~AABC,故本選項不符合題意；

故選：C.

4.3

2

ac0%

【詳解】解：?；Z=；7=7=彳3+4+/*。），

baj2

.a+c+e=3

??b+d+f2"

3

故答案為：—.

2

5.-/0.25

4

【詳解】解：???點4是線段Q4的中點,

/.OA'=-OA,

2

,四邊形ABCD與四邊形AB'CD'是位似圖形,

q=(與=1

q

ABCDOA41

1

故答案為:

4

6.迎

8

S四邊形EFG”

【詳解】解：由相似多邊形的性質可知,

S四邊形ABCZ)

S四邊形EFGH=(6]/81

-

914J，解得,S四邊形EFGH--I'

O

2

O1

故答案為：--.

O

7.

【詳解】解：???點c是線段AB的黃金分割點，且AC>8C,

.ACBC

**AB-AC?

AC2=ABBC,

2

'：H=AC,S2=AB?BC,

S.=S2,

故答案為：-.

8.1

【詳解】解：?.?c,。兩點都是的黃金分割點，

,ACAD+CD75-1

??------------------,

ABAB2

AB=AD+CD+BC,AD=BC=^^~,

2

AB=45+l+CD，

^AB=j5+l+CD,*￡）二石+1代入」D+，

2AB2

/日好4+⑺r-

得:2V5-1,

J5+1+CD~2

整理得：（3-石）。=3-右，

:.CD=1,

故答案為：1.

9.2或8.4或12

【詳解】解：VABC與ACDE,ABLBD,DE1BD,

當BC與CD為對應邊，

BCAB

"7jD~~DE，

AB=6,DE=4,BD=14,

:.CD=BD-BC,

,BC6

"14-BC~4'

3c=8.4,

當BC與DE為對應邊,

,BCAB

"~DE~~CD，

■：AB=6,DE=4,BD=14,

:.CD=BD-BC,

BC6

"4"14-BC'

3C=2或12,

綜上所述：當BC的值為2或8.4或12時相似.

故答案為：2或8.4或12.

10.（1）證明見詳解;

⑵10;

【詳解】（1）證明：,?,四邊形ABC。是正方形,

???NA=NO=90。，AB=AD,

VAE=ED,DF=-DC,

4

.DFDE_1

AE~AB~2"

：.Z\ABE^/\DEF;

(2)解：???四邊形ABC。是正方形，

AD//BC,ZD=ZFCG=90°,

:.NDEF=NG,

：.小DEFS△GCF,

.DFDE

^~CF~~CG9

???正方形的邊長為4,DF=\DC,AE=ED,

4

：.DF=1,CF=4—1=3,AE=ED=2,

.1_2

??§_CG，

：.CG=6,

：.BG=BC+CG=4+6=10.

11.(1)135°；272

(2)VABCs立)EF,理由見解析

【詳解】(1)解：ZABC=90°+45°=135°,

BC=A/22+22=2A/2；

故答案為135。；272;

(2)解：△ABC:Z\DEF.

證明：?.?在4x4的正方形方格中，

ZABC=135°,Z.DEF=90°+45°=135°,

:.ZABC=ZDEF.

■.■AB=2,BC=2>/2,EF=2,

‘黑=^=叵，—巫9

DEFE2

.ABBC

^~DE~~EF

Z\ABC:Z\DEF.

12.這雙高跟鞋的高度偏高

【詳解】解：設這雙高跟鞋的高度為xcm時，人體上半身長和下半身長成黃金比例,

由題意得：64:(102+力=0.618:1,

解得：x~1.6,

,/6cm>1.6cm,

,這雙高跟鞋的高度偏高.

3

13.(1)EA=-AB,理由見解析；

(2)該火炬臺的高度=18米.

3

【詳解】(1)解：EA=-AB,理由：

2

:點G、尸、E、。與火炬臺的底端A在同一直線上，AB±AG,CD1AG,

：.CD//AB,

AECD^AEAB,

,ECCD

"EA"AB)

：EC=3米，CD=2米，

??一,

EAAB

3

：.EA=-AB；

2

(2)解：由題意得：EF=9米，

AFA=EF+EA=9+EA(米)，

??,點G、F、區(qū)。與火炬臺的底端A在同一直線上，AB^AG,GHLAG,

：.GH//AB,

：.小FHGS4FAB,

.FGGH

???方G=3米，G〃=1.5米，

.31.5目口31.5

??=f=,

FAAB9+EAAB

3

由（1）得：EA=-AB,

3_1.5

9+-ABAB,

2

AB=18(米)，

答：該火炬臺的高度為18米.

14.(1)見解析

(2)見解析

【詳解】(1)如圖所示，點P即為所求.

圖1

證明：由網(wǎng)格的特點可得，BP=l,AB=2,BC=4

,BPAB1

"AB~BC~2

又：ZABP=ZCBA

：.AABPsMBA；

(2)如圖所示，確定點M,然后連接連接3M交AC于點。，點。即為所求.

圖2

證明：由網(wǎng)格的特點可得，

AC是橫4豎2的長方形的對角線，是橫2豎4的長方形的對角線,

ACYBM

：.ZAQB=90°

：.ZA+ZABQ=90°

ZA+ZC=90°

.?.ZABQ=ZC

又?.?ZAQB=ZABC=90°

15.⑴見解析

Q）見解析

⑶GE=M

3

【詳解】（1）證明：???對頂角相等

ZBEF=ZAED

?菱形ABC。

/.AC上3。且80平分/ABC與ZADC（菱形兩對角線互相垂直平分）

,?ZABC=ZADC

：.ZOBC=ZOOC

'：AF±BC

：.ZAFB=ZCOD=90°

:"BFEfDOC（兩角對應相等的兩三角形相似）

（2）由（1）得BO=OD

：.ZCAE+ZAEC=90o

:菱形ABCZ）

/.ADUBC,BD=2OD

：.AELAWNEWngOOuNGlE+NQW

ZAEO=ZOAD,ZAOE=ZAOD=90°

A^AOD-AEAD（兩角對應相等的兩三角形相似）

.ADED

"而一而

?*.AD2=ODxED

1

AD27=-DExBD.

2

（3）,菱形ABCD面積為66，AFJ.BC

AFxBC=6y/3

?；DE=2BE

/.BE=-BD

3

/.AE=-AF

3

設BE=〃z,則DE=2m.BD=3m

由(2)得：AD2=-DExBD

2

**?AD=A/SHI

3

在RtZXAOD中，AD=y/3m,OD=-m

2

AO=^-m

2

此時S菱形ABC。=；AC8O=；X6m'3"2=孚〃22=6』

m2=4m=±2(舍去負值)

則根=2

VEG±AE9AD1AF

；.GE//AD

.GEBE

…茄一茄

.?。二子

21

16.(1)BD=6；(2)S四邊形DBCE=?

【詳解】(1)VDE//BC,

AAADE^AABC,

.ADDE

**AB-BC?

DE2

——二—,ADM,

BC5

.4_2

??4+BD-??

???BD=6；

DE2

(2)VAADE^AABC,—=-,

BC5

.S&ADE_,DE2

.YABC'BC，

?SAADE=2,

2+S四邊形DBCE5

解得：S四邊形DBCE=彳.

(2)275

【詳解】(1)解：由翻折的性質可得：BE=EF，BDDF

BE=BD

：?BE=EF=BD=DF

J四邊形3。五￡是菱形

.?.DF//AB

:?小CDFs^CBA

.BCAB

**DC-BF

.BCDC

**AB

在RtZXABC中，ZACS=90°,AC=8,BC=6

AB=VAC2+BC2=10

.BCDC_6_3

**AB-DF-IO-?

設BE=BD=DF=5x,則:DC=3x

BD+DC=BC

5x+3x=6

3

解得：x=9

4

BE=5x=—；

4

(2)解：如圖，作交BC于點H；

B

,：ZACB=9Q°

：.EH\\AC

:四邊形BOFE是菱形

DFHAB,BE=BD=DF

,/AF//DE

A四邊形AFDE是平行四邊形

:.AE=DF=BD=BE，AF=ED

：.BE=BD=-AB=5,BH=-BC=3

22

?*.HD=BD-BH=2

在RtZYBHE中

EH=y/BE2-BH2=4

在RtADHE中

AF=ED=YIEH2+HD2=2A/5-

18.(1)見解析；(2)匕正；(3)見解析

2

【詳解】(1),?,四邊形ABCD是矩形，

ZBAD=ZEAD=90°,AO=BC,AD〃BC,

在^EAF和aDAB,

AE=AD

<ZEAF=ZDAB,

AF=AB

：.AEAF^ADAB(SAS),

AZE=ZBDA,

VZBDA+ZABD=90°,

???ZE+ZABD=90°,

???ZEGB=90°,

???BGJ_EC；

(2)設AE=x,則EB=l+x,BC=AD=AE=x,

VAF/7BC,NE二NE,

AAEAF^AEBC,

.EAAF

…礪一茲又AF二AB=1,

-=—即%—1=0,

1+xX

解得…符XW(舍去)

即AE=匕更

2

(3)在EG上截取EH=DG,連接AH,

在^EAH和^DAG,

AE=AD

</HEA=NGDA,

EH=DG

：.AEAH^ADAG(SAS),

二?NEAH二NDAG,AH=AG,

ZEAH+ZDAH=90°,

???ZDAG+ZDAH=90°,

???ZHAG=90°,

/.△GAH是等腰直角三角形，

AH2+AG2=GH2即2AG=GH2,

.\GH=V2AG,

,:GH=EG-EH=EG-DG,

「?EG-DG=^2AG.

D

xdN

EAB

19.⑴①手，②字⑵無變化;理由參見解析.（3）4#,竽.

【詳解】(1)①當a=0。時，

：RSABC中，ZB=90°,

AC=YIAB2+BC2=J(84-2)2+82=4A/5,

??,點D、E分別是邊BC、AC的中點

???AE=拽=2A/5,BD=8：2=4,

2

?AE_2y/5_yj5

??麗一~^~一~T?

②如圖i,

A

B------------D

圖1'''E

當a=180°時,

可得AB〃DE,

..ACBC

'AE~BD'

.AE_AC_4非—非

??茄一葭一丁一了

(2)如圖2,

BC

圖2

當0。女＜360。時，工的大小沒有變化,

VZECD=ZACB,

.\ZECA=ZDCB,

Y7??ECAC

乂?----=----=----

DCBC2

AAECA^ADCB,

.AEECy/5

"~BD~~DC~~'

AD=JAC?-CD2=7(4A/5)2-42=V80-16=8

VAD=BC,AB=DC,ZB=90°,

四邊形ABCD是矩形，

；.BD=AC=46.

②如圖4,連接BD,過點D作AC的垂線交AC于點Q,過點B作AC的垂線交AC于點

P,

圖4

：AC=4BCD=4,CD±AD,

AD=y]AC2-CDr=,(4局-42=V80-16=8,

:點D、E分別是邊BC、AC的中點，

.\DE=-AB=-X(84-2)=-X4=2,

222

???AE=AD-DE=8-2=6,

由(2),可得

AE非

----=-----9

BD2

612^/5

BD=非5?

綜上所述，BD的長為4方或苧.

20.(1)見解析(2)DE=—

3

【詳解】(1)證明：：CE//AB,

J/F=/FAR,ZB=ZECB,

JLCEDS^BAD,

.CECD

??二一??，

ABBD

?.?/E=/FAR,ZEAB=ZCAD,

：.NE=NCAD,

：.CE=CA,

.ABBD

'AC-CD

(2),??將△ACD沿AD所在直線折疊，點。恰好落在邊AB上的￡點處,

AZCAD=ZBADfCD=DE,

ABBD

由(可知,

1)~\C~~CD

XVAC=1,AB=2

.2BD

'T-CD

:.BD=2CD,

VZBAC=90,

BC=^AC1+AB1=Vl2+22=45

BD+CD=#,

/.3CD=正,

?非

??CD-;

3

?n/76

??DE=—.

3

21.(1)①見解析；②見解析

(2)①ZBHF+44B=180。；②AH;巫

3

【詳解】(1)①:點尸為正方形A8CO中對角線AC上一點,

???AC平分々CD,

???ZGCF=ZHCF

又?：CG=CH,CF=CF

：.ACGF^ACHF,

:.GF=FH；

②???由CF_LBG,ZBCG=90°,ZFBC=ZFBC,

可得△跳Cs△區(qū)CG,

ZBCF=ZCGB=Z.GBA,

BFBC

,:CG=CH,AB=BC,

.CFCH

,,定一盜'

：.ACFHS&BFA,

ZCFH=ZAFB；

(2)①NBHF+44B=180。，

理由：YNC/5=N3CD,ZFBC=ZFBC,

：.ABFCs△3CG,

CFBF

：.