2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用（30題）（解析版）

專題第01講解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用

專題第01講解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用

1.(2023?紹興)圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱OA垂直地面支架CO與交于點(diǎn)4

支架CGLC。交OA于點(diǎn)G,支架?！昶叫械孛婊@筐跖與支架。E在同一直線上，。4=2.5米，

4。=0.8米.NAGC=32°.

(1)求NGAC的度數(shù)；

(2)某運(yùn)動(dòng)員準(zhǔn)備給籃筐掛上籃網(wǎng)，如果他站在凳子上，最高可以把籃網(wǎng)掛到離地面3米處，那么他能

掛上籃網(wǎng)嗎？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由.(參考數(shù)據(jù)：sin32°^0.53,cos32°弋0.85,tan32°^0.62)

圖1圖2

【分析】(1)根據(jù)垂直定義可得NACG=90°,然后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余進(jìn)行計(jì)算，即可解

答；

(2)延長(zhǎng)。4,交于點(diǎn)根據(jù)垂直定義可得NAOB=90°,從而利用平行線的性質(zhì)可得

ZAOB=90°,再根據(jù)對(duì)頂角相等可得NZMM=NG4C=58°,從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可

得NAr>M=32°,然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長(zhǎng)，從而利用線段的和差

關(guān)系求出MO的長(zhǎng)，比較即可解答.

【解答】解：(1)VCGXCD,

AZACG=90°,

；NAGC=32°,

：.ZGAC=9Q°-ZAGC=9Q°-32°=58°,

.??/G4C的度數(shù)為58°；

(2)該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng)，

理由如下：延長(zhǎng)OA,EO交于點(diǎn)

〈OALOB,

，NAO"90°,

\'DE//OB,

：.ZDMA^ZAOB=90°,

,：ZGAC=58°,

：.ZDAM^ZGAC^58°,

：.ZADM=90°-ZDAM=32°,

在RtZkAOM中，AZ）=0.8米，

：.AM=AD-sin32°?0.8X0.53=0.42（米），

；.OM=OA+AM=2.5+0.424=2.924（米），

：2.924米＜3米，

???該運(yùn)動(dòng)員能掛上籃網(wǎng).

2.（2023?長(zhǎng)沙）2023年5月30日9點(diǎn)31分，“神舟十六號(hào)”載人飛船在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火發(fā)射，

成功把景海鵬、桂海潮、朱楊柱三名航天員送入到中國(guó)空間站.如圖，在發(fā)射的過程中，飛船從地面。

處發(fā)射，當(dāng)飛船到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，從位于地面C處的雷達(dá)站測(cè)得AC的距離是8初7,仰角為30°；10s后飛

船到達(dá)8處，此時(shí)測(cè)得仰角為45°.

（1）求點(diǎn)A離地面的高度A。；

（2）求飛船從A處到B處的平均速度.（結(jié)果精確到0.1h〃/s,參考數(shù)據(jù)：V3^1-73）

【分析】(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論;

(2)在Rtz^AOC中，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到0C=近AC=4j§(板)，在Rt^BOC中，根據(jù)等

2

腰直角三角形的性質(zhì)得到0B=0C=4Mkm,于是得到結(jié)論.

【解答】解：(1)在RtZ\AOC中，VZAOC=90°,ZACO=30°,AC=8km,

.,.AO=—AC=—X2=4(km),

22

(2)在Rt/XAOC中，VZAOC=90°,ZACO=30°,AC=8km,

：.OC=?AC=AM(km),

2

在RtZ\30C中，VZBOC=90°,ZBCO=45°,

：.ZBCO=ZOBC=45°,

：.OB=OC=4北(km),

：.AB=OB-OA=(4百一4)km,

???飛船從A處到B處的平均速度=生巨二1七0.3(km/s).

10

3.(2023?湘潭)問題情境：筒車是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟(jì)又環(huán)保.明朝科學(xué)家徐光啟

在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理(如圖①).假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一

個(gè)盛水筒都按逆時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.

問題設(shè)置：把筒車抽象為一個(gè)半徑為r的。。.如圖②，始終垂直于水平面，設(shè)筒車半徑為2米.當(dāng)

/=0時(shí)，某盛水筒恰好位于水面A處，此時(shí)/4。/=30°,經(jīng)過95秒后該盛水筒運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處.

問題解決：

(1)求該盛水筒從4處逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到8處時(shí)，的度數(shù)；

(2)求該盛水筒旋轉(zhuǎn)至8處時(shí)，它到水面的距離.(結(jié)果精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù)灰心1.414,V3^

1.732)

【分析】(1)求出筒車每秒轉(zhuǎn)過的度數(shù)，再根據(jù)周角的定義進(jìn)行計(jì)算即可；

(2)根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系分別求出?！辏?、0C即可.

【解答】解：(1)由于筒車每旋轉(zhuǎn)一周用時(shí)120秒.所以每秒轉(zhuǎn)過3600+120=3°,

/.ZBOM=360°-3°X95-30°=45°；

（2）如圖，過點(diǎn)8、點(diǎn)A分別作OM的垂線，垂足分別為點(diǎn)C、D,

在RtZ\AO￡）中，ZAOD=30°,04=2米，

：.OD=^-OA=\13（米）.

2

在RtZkBOC中，ZBOC=45°,03=2米，

；.OC=^-OB=42（米），

：.CD=OD-OC=6-&-0.3（米），

即該盛水筒旋轉(zhuǎn)至B處時(shí)到水面的距離約為0.3米.

4.（2023?陜西）小華想利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量自家對(duì)面的兩棟樓AB與。的高度差.如圖所示，她站在自家

陽(yáng)臺(tái)上發(fā)現(xiàn)，在陽(yáng)臺(tái)的點(diǎn)E處恰好可經(jīng)過樓的頂端C看到樓A8的底端8,即點(diǎn)E,C,8在同一直

線上.此時(shí)，測(cè)得點(diǎn)2的俯角a=22°,點(diǎn)A的仰角0=16.7°,并測(cè)得所=48%，F(xiàn)D=50m.已知，

EFLFB,CD±FB,AB±FB,點(diǎn)、F,D,B在同一水平直線上.求樓A8與CO的高度差.（參考數(shù)據(jù)：

sinl6.7°^0.29,cosl6.7°心0.96,tanl6.7°^0.30,sin22°仁0.37,cos22°弋0.93,tan22°弋0.40）

【分析】過點(diǎn)C作CGLE尸于G,過點(diǎn)￡作于"根據(jù)正切的定義分別求出EG、FB、AH,計(jì)

算即可.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CGLEP于G,過點(diǎn)E作即，42于人

；EF_LFB,CDLFB,AB±FB,

二得矩形CDFG,矩形EFBH,

：.CG=FD=5Qm,HB=EF=485,

在Rt^CGE中，CG=50m,ZECG=a=22°,

則EG=CG-tanZECG^50X0.40=20.00(m),

:.CD=FG=EF-EG=48-20.0=28.00(m),

在Rtz\EB2中，EF=48m,ZEBF=a=22°,

則EF=FB?tan/EBF,

：.48^FBX0A0,

，F(xiàn)8=120.00(m),

在RtZXAHE中，EH=FB=l2Qm,ZAE/f=p=16.7°,

則AH=EH-tmZAEH^120X0.30=36.00(m),

.?.AB=AH+BH=AH+EF=36,00+48=84.00(w),

：.AB-C￡>=84.00-28.00=56.00(m),

答：樓AB與CD的高度差約為56.00m.

5.(2023?衡陽(yáng))隨著科技的發(fā)展，無(wú)人機(jī)已廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)生活，如代替人們?cè)诟呖諟y(cè)量距離和高度，圓

圓要測(cè)量教學(xué)樓的高度，借助無(wú)人機(jī)設(shè)計(jì)了如下測(cè)量方案：如圖，圓圓在離教學(xué)樓底部24?米的C

處，遙控?zé)o人機(jī)旋停在點(diǎn)C的正上方的點(diǎn)D處，測(cè)得教學(xué)樓AB的頂部B處的俯角為30°,CD長(zhǎng)為49.6

米.已知目高CE為1.6米.

(1)求教學(xué)樓4B的高度.

(2)若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于CA的方向，以4?米/秒的速度繼續(xù)向前勻速飛行.求經(jīng)過多少

秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開圓圓的視線EB.

^飛行方向_

B

-

二

二

一

二

二

二

二

EI二

【分析】(1)過點(diǎn)8作于點(diǎn)M,則NDBM=NBDN=30°,在RtZiBDM中，通過解直角三角

形可得出的長(zhǎng)度，再結(jié)合AB=CM=C。-OM,即可求出結(jié)論;

（2）延長(zhǎng)EB交。N于點(diǎn)G,則/。GE=/MBE,在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出

=30°,從而可得/DEG=60°,然后在Rt△即G中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出￡>G的長(zhǎng)，最后進(jìn)

行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）過點(diǎn)8作BM_LCD于點(diǎn)M,則/。8M=N8ON=30°,

在RtZ^BDW中，8M=AC=24我米，ZDBM=3O°,

DM^BM'tanZDBM^24A/3X=24（米），

.?.A2=CM=CD-￡>M=49.6-24=25.6（米）.

答：教學(xué)樓AB的高度為25.6米；

（2）延長(zhǎng)EB交DN于點(diǎn)G,則/DGE=ZMBE,

飛行方向G

在中，5M=AC=24如米，EM=CM-CE=24米,

tanZMB￡=匝=-2%-=返，

BM24V33

：.ZMBE^3Q°=NDGE,

：NEDG=90°,

：.ZDEG=90°-30°=60°,

在RtAEDG中，ED=CD-CE=48米，

：.DG=ED-tan60°=4873（米），

二48?+4我=12（秒），

經(jīng)過12秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開了圓圓的視線.

6.（2023?遼寧）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風(fēng)景區(qū)登山.需要登頂600機(jī)高的山峰，由山底A處

先步行300%到達(dá)2處，再由B處乘坐登山纜車到達(dá)山頂。處.已知點(diǎn)A,B,D,E,尸在同一平面內(nèi)，

山坡AB的坡角為30°,纜車行駛路線8。與水平面的夾角為53°（換乘登山纜車的時(shí)間忽略不計(jì)）.

（1）求登山纜車上升的高度。E；

（2）若步行速度為30加/加小登山纜車的速度為60m/加“求從山底A處到達(dá)山頂。處大約需要多少分

鐘（結(jié)果精確到0.L"譏）.

（參考數(shù)據(jù)：sin53°~0.80,cos53°—0.60,tan53°=1.33）

【分析】（1）根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出進(jìn)而求出。E即可；

（2）利用直角三角形的邊角關(guān)系，求出8。的長(zhǎng)，再根據(jù)速度、路程、時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：（1）如圖，過點(diǎn)B作尸于點(diǎn)M,由題意可知，NA=30°,NDBE=53°,。F=600%,

AB=300m,

在RtZXABM中，ZA=30°,AB=300m,

:.BM=—AB=150%=跖，

2

；.DE=DF-EF=600-150=450(m),

答：登山纜車上升的高度。E為450〃z；

(2)在Rt/XBDE中，NDBE=53°,DE=450m,

:.BD=DE

sinZDBE

?450

0.80

=562.5(m),

，需要的時(shí)間步行+f纜車

_30Q,562.5

~3060-

p19.4（mm）,

答：從山底A處到達(dá)山頂。處大約需要19.4分鐘.

7.（2023?蘇州）四邊形不具有穩(wěn)定性，工程上可利用這一性質(zhì)解決問題.如圖是某籃球架的側(cè)面示意圖，

BE,CD,GF為長(zhǎng)度固定的支架，支架在A,D,G處與立柱A8連接（A8垂直于MN,垂足為X）,在

B,C處與籃板連接（BC所在直線垂直于MN）,EP是可以調(diào)節(jié)長(zhǎng)度的伸縮臂（旋轉(zhuǎn)點(diǎn)尸處的螺栓改變

E尸的長(zhǎng)度，使得支架8E繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，從而改變四邊形ABC。的形狀，以此調(diào)節(jié)籃板的高度）.已知

=BC,DH=2O8cm,測(cè)得/G4E=60°時(shí)，點(diǎn)C離地面的高度為288cm.調(diào)節(jié)伸縮臂EF,將/GAE由

60。調(diào)節(jié)為54°,判斷點(diǎn)C離地面的高度升高還是降低了？升高（或降低）了多少？（參考數(shù)據(jù)：sin54。

乙0.8,cos54°乙0.6）

B

【分析】當(dāng)NG4E=60°時(shí)，過點(diǎn)C作CKLH4,交H4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,根據(jù)已知易得BC〃A8,從

而可得四邊形ABC。是平行四邊形，進(jìn)而可得AB〃CD,然后利用平行線的性質(zhì)可得NADC=/GAE=

60°,再根據(jù)己知可得。K=80c〃z,最后在RtZXCDK中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出C。的長(zhǎng)；當(dāng)/

GA￡=54°,過點(diǎn)C作CQLH4,交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q,在RtZ\C。。中，利用銳角三角函數(shù)的定義求

出。。的長(zhǎng)，然后進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：點(diǎn)C離地面的高度升高了，

理由：如圖，當(dāng)/G4E=60°時(shí)，過點(diǎn)C作CKLH4,交HA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K,

J.BC//AH,

"：AD=BC,

...四邊形ABCD是平行四邊形，

J.AB//CD,

：.ZADC=ZGA￡=60°,

,?點(diǎn)C離地面的高度為288cm,￡>H=208cm,

，Z)K=288-208=80(cm),

在RtZkCDK中，CD=—0長(zhǎng)。=^2=160(cm),

cos601

2

如圖，當(dāng)NGAE=54°,過點(diǎn)C作CQLHA,交曲的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。,

：.DQ=CD-cos54°^160X0.6=96(cm),

96-80=16(cm),

點(diǎn)C離地面的高度升高約16cv”.

8.(2023?河南)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組用木板自制了一個(gè)測(cè)高儀測(cè)量樹高，測(cè)高儀ABC。為正方形，AB

=30cm,頂點(diǎn)A處掛了一個(gè)鉛錘如圖是測(cè)量樹高的示意圖，測(cè)高儀上的點(diǎn)。，A與樹頂E在一條直

線上，鉛垂線AM交8c于點(diǎn)H.經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)A距地面1.8%，到樹EG的距離4尸=11m，BH=20cm.求

樹EG的高度(結(jié)果精確到0.1/H).

【分析】由題意可知，ZBAE=ZMAF=ZBAD=W,FG=l.Sm,易知NE4尸=NBA〃，可得tan/EA/

=^=tanZBA//=-|,進(jìn)而求得EF=^H，利用EG=EF+bG即可求解.

【解答】解：由題意可知，ZBAE=ZMAF=ZBAD=90°,FG=l.Sm,

貝（J/EAF+/BA歹=NBAF+/B4H=90°,

：.ZEAF=ZBAH,

AB=3Qcm,BH=20cm,

貝Utan/￡AF=@l=2,

AB3

tanZ￡AF=空=tanZBAH=2,

AF3

VAF=11m,

則里上，

113

：.EF=^-,

3

：.EG=EF+FG=—41.^9.Im.

3

答：樹EG的高度為9.1%.

9.（2023?丹東）一艘輪船由西向東航行，行駛到A島時(shí)，測(cè)得燈塔8在它北偏東31°方向上，繼續(xù)向東

航行10加位歷到達(dá)C港，此時(shí)測(cè)得燈塔8在它北偏西61°方向上，求輪船在航行過程中與燈塔8的最短

距離.（結(jié)果精確到0.1麗誦）（參考數(shù)據(jù)：sin31°^0.52,cos31°-0.86,tan31°-0.60,sin61°-0.87,

cos61°仁0.48,tan61°-1.80）.

【分析】過B作8O_LAC于D,則乙4。。=乙4。8=90°,設(shè)8。=工〃加,加，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：過8作8OLAC于。，

則/4OC=NAOB=90°,

VZABD=3l°,ZCBD=61°,

設(shè)BD=xnmile,

.\AZ)=BZ)*tan31o,CD=BDnm61°,

VAC=lOnmile,

.*.x*tan31°+x*tan61°=x(0.60+1.80)=10,

.\x=BD^4.2nmilef

答：輪船在航行過程中與燈塔B的最短距離為4.2nmile.

10.（2020秋?蒼梧縣期末）如圖，從水平面看一山坡上的通訊鐵塔PC,在點(diǎn)A處用測(cè)角儀測(cè)得塔頂端點(diǎn)P

的仰角是45°,向前走9米到達(dá)2點(diǎn)，用測(cè)角儀測(cè)得塔頂端點(diǎn)尸和塔底端點(diǎn)C的仰角分別是60°和30°.

（1）求/BPC的度數(shù)；

（2）求該鐵塔PC的高度.（結(jié)果精確到0.1米；參考數(shù)據(jù)：V3^1-73,72^1.41）

【分析】（1）延長(zhǎng)PC交直線42于點(diǎn)R根據(jù)直角三角形兩銳角互余求得即可;

（2）設(shè)PC=x米，根據(jù)構(gòu)建方程求出x即可.

【解答】解：（1）延長(zhǎng)尸C交直線于點(diǎn)P,則PPLAE

DE

依題意得：ZP4F=45°,NPBF=60°,/CBF=3G°,

：.ZBPC=90°-60°=30°；

(2)設(shè)尸C=尤米，貝iJCB=CP=x米，

在RtzXCBF中，BF=x?cos30°=近尤米，CF=lx米,

22

在中，F(xiàn)A=FP,

；.9+近x=L+x,

22

；.x=9+3V3>

，PC=9+3如-14.2（米），

即該鐵塔PC的高度約為14.2米.

11.（2022秋?源匯區(qū)校級(jí)期末）近幾年中學(xué)生近視的現(xiàn)象越來(lái)越嚴(yán)重，為響應(yīng)國(guó)家的號(hào)召，某公司推出了

如圖1所示的護(hù)眼燈，其側(cè)面示意圖（臺(tái)燈底座高度忽略不計(jì)）如圖2所示，其中燈柱BC=18cm,燈

臂C￡>=31c?i,燈罩DEM24CMJ,BC±AB,CD、OE分別可以繞點(diǎn)C、。上下調(diào)節(jié)一定的角度.經(jīng)使用

發(fā)現(xiàn)：當(dāng)N￡）CB=140°,且時(shí)，臺(tái)燈光線最佳.求此時(shí)點(diǎn)。到桌面凡8的距離.（精確到O.ICTM,

參考數(shù)值：sin50°=0.77,cos50°奔0.64,tan50°坊1.19)

圖1

【分析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可得到。尸的長(zhǎng)，再根據(jù)FG=C8,

即可求得OG的長(zhǎng)，從而可以解答本題.

【解答】解：過點(diǎn)。作。G,A3,垂足為G,過點(diǎn)C作CTLOG,垂足為尸，如圖所示,

VCB±AB,FGVAB,CFLFG,

：.ZB=ZBGF=ZGFC=90°,

四邊形BC/G為矩形，

/.ZBCF=90°,FG=BC=18cm,

又；/DC"140°,

：.ZDCF=5Q°,

"：CD=31cm,NDFC=90°,

：.DF=CD-sin50°?31X0.77=23.87(cm),

?,.DG^23.87+18?41.9(cm),

答：點(diǎn)D到桌面AB的距離約為41.9cm.

圖2

12.（2023春?巴南區(qū)期末）在海平面上有A,B,C三個(gè)標(biāo)記點(diǎn)，其中A在C的北偏西54°方向上，與C

的距離是800海里，8在C的南偏西36°方向上，與C的距離是600海里.

(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)8之間的距離；

(2)若在點(diǎn)C處有一燈塔，燈塔的信號(hào)有效覆蓋半徑為500海里，每隔半小時(shí)會(huì)發(fā)射一次信號(hào)，此時(shí)

在點(diǎn)B處有一艘輪船準(zhǔn)備沿直線向點(diǎn)A處航行，輪船航行的速度為每小時(shí)20海里.輪船在駛向A處的

過程中，最多能收到多少次信號(hào)？(信號(hào)傳播的時(shí)間忽略不計(jì)).

【分析】(1)由題意易得/AC8是直角，由勾股定理即可求得點(diǎn)A與點(diǎn)8之間的距離；

(2)過C作COLA8于。，由面積關(guān)系可求得CD的長(zhǎng)，判斷出COV500,分別在和D4上找點(diǎn)E

和點(diǎn)E使CF=CE=500,分別求得。E、。產(chǎn)的長(zhǎng)，可求得此時(shí)無(wú)人機(jī)飛過時(shí)的時(shí)間，從而可求得最

多能收到的信號(hào)次數(shù).

【解答】解：(1)依題意有：AC=800,BC=600,ZNCA=54°,ZSCB=36°,

：.ZACB=180°-54°-36°=90°,

在Rt/XACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2,

AAB=V6002+8002(米)，

答：點(diǎn)4與點(diǎn)8之間的距離為1000米；

(2)過C作CDLABD,

'：S^ABC=—AC'BC=—AB-CD,

22

.?.C￡>=&C"BC.=480（米），

AB

：480V500,

故分別在DB和DA上找點(diǎn)E和點(diǎn)/使CF=CE=50Q,

在RtZiCDE中，由勾股定理得：CD2+DE2=CE2,

50（）2-4802=140（米），

同理得：Z）F=140（米），

當(dāng)無(wú)人機(jī)處在EF段時(shí)能收到信號(hào)，由無(wú)人機(jī)的速度為lOm/s,

則無(wú)人機(jī)飛過此段的時(shí)間為：140+140=14（小時(shí)），

20

無(wú)人機(jī)收到信號(hào)次數(shù)最多為衛(wèi)+1=29（次）.

0.5

13.（2022秋?寧波期末）如圖1是一個(gè)簡(jiǎn)易手機(jī)支架，由水平底板。E、側(cè)支撐桿8。和手機(jī)托盤長(zhǎng)AC組

亦側(cè)面示意圖如圖2所示.已知手機(jī)托盤長(zhǎng)AC=10cm,側(cè)支撐桿8。=10刖，ZCBD=J5°,ZBDE

=60°,其中點(diǎn)A為手機(jī)托盤最高點(diǎn)，支撐點(diǎn)B是AC的中點(diǎn)，手機(jī)托盤AC可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，側(cè)支撐桿

BD可繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng).

（1）如圖2,求手機(jī)托盤最高點(diǎn)A離水平底板。E的高度/I（精確到0.1cm）.

（2）如圖3,當(dāng)手機(jī)托盤AC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后，再將BD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a,使點(diǎn)C落在水

平底板DE上，求a（精確到0.1°）.（參考數(shù)據(jù)：tan26.6°弋0.5,加仁1.41,代-1.73）

【分析】（D作BfUDE于點(diǎn)RBG//DE,AGL2G于點(diǎn)G,構(gòu)造直角三角形，根據(jù)題中的已知條件,

可求出AG,8尸的長(zhǎng)，可得答案.

（2）由題意可得NOBC=90°,在Rt/XOBC中，已知兩直角邊，可求得/B￡）C的正切值，進(jìn)而可求得

a的度數(shù).

【解答】解：（1）如圖2,作于點(diǎn)EBG//DE,AG_LBG于點(diǎn)G,

"：ZBDE=60°,

；./DBF=30°,

又；BD=10cm,

，BF=5百cir，

9：ZCBD=75°,

.\ZCBF=45°,

AZABG=45°,

VAC=10cm,8是AC的中點(diǎn),

J.AB=5cm

.…5班

,，AG~，

h=AG+BF=-^y-+5V3=12.2cm；

(2)由條件，得：Z￡)BC=90°,

又BD=10cm,BC=5cm,

BC

**,tanZBDC=77T=0.5，

DU

ZBDC^26.6°,

；.a=60°-26.6°=33.4°.

14.(2022秋?平昌縣校級(jí)期末)如圖，某漁船沿正東方向以30海里/小時(shí)的速度航行，在A處測(cè)得島C在

北偏東60°方向，20分鐘后漁船航行到B處，測(cè)得島C在北偏東30°方向，已知該島C周圍9海里內(nèi)

有暗礁.

參考數(shù)據(jù)：我七1.732,sin75°心0.966,cos75°"0.259.

(1)B處離島C10海里.

(2)如果漁船繼續(xù)向東航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？請(qǐng)說明理由.

(3)如果漁船在8處改為向東偏南15°方向航行，有無(wú)觸礁危險(xiǎn)？說明理由.

【分析】(1)根據(jù)方向角的定義以及等腰三角形的判斷可得BC=A8=10即可;

(2)在中，由銳角三角函數(shù)即可求出答案；

(3)構(gòu)造直角三角形，由銳角三角函數(shù)可求出CD,比較得出結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖，過C作C0LA2于。，

由題意得，ZCAB=90°-60°=30°,ZCBO=90°-30°=60°,

ZACB=ZCAB=3O°,

???BC=AB=30X含=1。（海里），

60

故答案為10；

（2）由（1）知，C。為漁船向東航行到C的最短距離，ZCBO=60°,

VCO1.AB,ZCBO=60°,BC=1O,

??.C0=5百=8.66<9,

，如果漁船繼續(xù)向東航行，有觸礁危險(xiǎn)；

（3）過C作C￡）_L3尸交2尸于。，交BO于E,

在RtZ\BCr）中，ZCBD=ZCBO+ZDBO^60°+15°=75°,BC=10,

.?.C￡）=sin75°BC^9.66>9,

沒有觸礁的危險(xiǎn).

15.（2022秋?平城區(qū)校級(jí)期末）如圖，某無(wú)人機(jī)愛好者在一小區(qū)外放飛無(wú)人機(jī)，當(dāng)無(wú)人機(jī)飛行到一定高度

。點(diǎn)處時(shí)，無(wú)人機(jī)測(cè)得操控者A的俯角為75°,測(cè)得小區(qū)樓房8c頂端點(diǎn)C處的俯角為45°.已知操控

者A和小區(qū)樓房BC之間的距離為45米，無(wú)人機(jī)的高度為（30+15如）米.（假定點(diǎn)A，B,C,。都在

同一平面內(nèi).參考數(shù)據(jù)：tan75°=2+V§，tanl5°=2-愿.計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）

（1）求此時(shí)小區(qū)樓房BC的高度；

（2）在（1）條件下，若無(wú)人機(jī)保持現(xiàn)有高度沿平行于的方向，并以5米/秒的速度繼續(xù)向右勻速飛

行.問：經(jīng)過多少秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開了操控者的視線？

口

口

口

AB

【分析】（1）過點(diǎn)。作。ELA8于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CPLOE于點(diǎn)尸，由題意得AB=45米，/DAE=75°,

/DCF=/FDC=45°,貝I]CF=Z）凡再由四邊形8CFE是矩形，得出BE=CF=Z）R在算出NZME的

正弦值用含BE的式子表示，求出BE,則。BE即為所求；

（2）求得AH,即可求得。G=E",進(jìn)而即可求得無(wú)人機(jī)剛好離開操控者的視線所用的時(shí)間.

【解答】解：（1）過點(diǎn)D作DELA2于點(diǎn)￡,過點(diǎn)C作CfUDE于點(diǎn)尸，如圖所示：

則四邊形BCFE是矩形,

由題意得：AB=45米，NDAE=15°,NDCF=/FDC=45°,

'：ZDCF=ZFDC=45°,

：.CF=DF,

?..四邊形BCEE是矩形，

：.BE=CF=DF,

在RtZ\AQE中，ZA￡D=90°,

=2+?,

：.BE=30,

經(jīng)檢驗(yàn)，BE=30是原方程的解，

.?衣=￡)8-。/=30+15?-30=15?(米)，

答：此時(shí)小區(qū)樓房BC的高度為15百米.

(2)VDE=15(2+73)米，

.,.AE=—D/=15)=15(米)，

2W32W3

過D點(diǎn)作DG〃AB,交AC的延長(zhǎng)線于G,作GH1.AB于H,

在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=45米，8c=15百米，

：.tanZBAC=—=比巨=近，

AB453

在Rt/XAGH中，GH=DE=15(2+73)米，

AH=——孥——=,15(2+/3)(30我+45)米，

tanZGAHV3

~3~

；.DG=EH=AH-AE=(30a+45)-15=(3073+30)米,

(30A/3+30)4-5=(6如+6)(秒)，

答：經(jīng)過(673+6)秒時(shí)，無(wú)人機(jī)剛好離開了操控者的視線.

16.（2022秋?岳麓區(qū)校級(jí)期末）如圖，在一筆直的海岸線/上有A,8兩個(gè)觀測(cè)站，A在8的正東方向.有

一艘漁船在點(diǎn)P處，從A處測(cè)得漁船在北偏西60°的方向，從3處測(cè)得漁船在其東北方向，且測(cè)得8,

產(chǎn)兩點(diǎn)之間的距離為20海里.

（1）求觀測(cè)站A,8之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；

（2）漁船從點(diǎn)尸處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后，到點(diǎn)C處等待補(bǔ)給，此時(shí)，從2測(cè)得漁船在北偏

西15°的方向.在漁船到達(dá)C處的同時(shí)，一艘補(bǔ)給船從點(diǎn)B出發(fā)，以每小時(shí)20海里的速度前往C處,

請(qǐng)問補(bǔ)給船能否在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處？（參考數(shù)據(jù)：A/3^1.73）

【分析】（1）過點(diǎn)P作尸。_LAB于Z）點(diǎn)，可得,然后在中，利用銳角

三角函數(shù)的定義求出3。，。尸的長(zhǎng)，再在RtAR4。中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)

算即可解答；

（2）過點(diǎn)2作BF_LAC,垂足為R根據(jù)題意得：ZABC=105°,NB4Z）=30°,從而求出/C=45°,

然后在Rt/XABB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長(zhǎng)，再在RtZXBCT中，利用銳角三角函數(shù)的定

義求出8C的長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：（1）過點(diǎn)于。點(diǎn)，

：.ZBDP^ZADP^90°,

在Rt/XPBO中，/PBD=90°-45°=45°,8P=20海里,

：.DP=BP-sin45°=20X亞=10&（海里），

2

BD-BP-cos45°-20X近-1072（海里），

2

在Rt△以。中，ZPAD=90°-60°=30°,

：.AD=—DP_=J^2.=IOA/6（海里），

tan30V3

~3~

：.AB=BD+AD=（10V2+10V6）海里，

觀測(cè)站A,2之間的距離為（10&+10a）海里;

(2)補(bǔ)給船能在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處,

理由：過點(diǎn)8作2尸，AC,垂足為R

/AFB=NCFB=9Q°

由題意得：ZABC=90°+15°=105°,ZB4D=90°-60°=30°,

AZC=180°-ZABC-ZPAD=45°,

在RtZXAB/中，ZBAF=30°,

：.BF=^AB=(5V2+5V6)海里，

2

在RtZ\BCF中，ZC=45",

：.BC^—理寸=反與圖反=(10+10V3)海里，

sin45y/2_

~2~

補(bǔ)給船從8到C處的航行時(shí)間=此旦史巨X60=30+30向心81.9(分鐘)<83分鐘，

20

；?補(bǔ)給船能在83分鐘之內(nèi)到達(dá)C處.

17.(2022秋?陽(yáng)泉期末)“十一”期間，王紅與家人開車去鄉(xiāng)下看望爺爺和奶奶.她看到汽車尾部自動(dòng)升起

的后備箱，于是根據(jù)實(shí)際情況畫出了相關(guān)的示意圖.圖1是王紅家私家車側(cè)面示意圖，其中矩形ABC。

表示該車的后備箱，圖2是在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為

60°時(shí)，箱蓋AOE落在ADE的位置的示意圖.王紅測(cè)得&。=90厘米，￡>E=30厘米，EC=40厘米.根

據(jù)王紅提供的信息解答下列問題：

(1)求點(diǎn)到BC的距離；

(2)求點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的距離.

D

E'

【分析】（1）通過作高構(gòu)造直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出。'X即可;

（2）根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算方法求出弧EE'的長(zhǎng)即可.

【解答】解：（1）如圖2,過點(diǎn)。'作O'于"，連接AE,AE',由題意可知，D'E'=DE=

30cm,AD'^AD=90cm,/DAD'=ZEAE'=60°,

在RtZXAD'H中，AD'=90cm,/HAD'=60°,

：.D'H=?AD，=4573(cm),

2

...點(diǎn)O'到8C的距離為4//+DC=45V3+30+40=(70+4573)cm,

答：點(diǎn)。'到BC的距離為(70+45如)cm；

(2)在RtZ\ADE中，AD90cm,DE=30cm,

???AE=VAD2+DE2=V8100+900=30^/10(cm),

；.弧團(tuán)的長(zhǎng)為叫浮=1°板…)，

18.（2022秋?鄲州區(qū)期末）小麗與爸媽在公園里蕩秋千.如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，OA與地

面垂直，兩腳在地面上用力一蹬,媽媽在距地面12〃高的B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她.若

媽媽與爸爸到的水平距離瓦）、CE分別為1.8相和2.4〃z,ZB<9C=90°.

（1）△CEO與△ODB全等嗎？請(qǐng)說明理由.

（2）爸爸在距離地面多高的地方接住小麗的？

（3）秋千的起始位置A處與距地面的高是0.6m.

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)得出NCOE=/O8Z),根據(jù)A4s可證明△(%?￡0△OBD；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得出CE=O￡>,OE=BD,求出DE的長(zhǎng)則可得出答案；

(3)因?yàn)椤?=。8,由勾股定理求得。8,再根據(jù)AM=O￡?+Z)M-OA便可求得結(jié)果.

【解答】解：(1)△08。與△COE全等.

理由如下：

由題意可知NCEO=N8OO=90°,OB=OC,

'：ZBOC=90°,

AZCOE+ZBOD=ZBOD+ZOBD=90°.

：.ZCOE=ZOBD,

在△(%>￡和△03。中，

，ZC0E=Z0BD

?ZCEOZODB，

OC=OB

:.△COEmdOBD(AA5)；

(2);ACOE會(huì)AOBD,

:.CE=OD,OE=BD,

；BD、CE分別為1.8m和2.4m,

0D—2Am,0E—1.8m,

：.DE=OD-OE=CE-BD=2A-1.8=0.6(m),

:媽媽在距地面L2MJ高的B處，即DM=L2m,

:.EM=DM+DE=1.8(m),

答：爸爸是在距離地面L8〃?的地方接住小麗的;

⑶,：0A=OB=VOD2+BD2=72.42+l.82=3(根)，

：.AM^OD+DM-04=2.4+1.2-3=0.6(m).

，秋千的起始位置A處與距地面的高0.6m.

故答案為：0.6.

19.（2022秋?蒙城縣期末）北京時(shí)間2022年6月5日10時(shí)44分，神舟十四號(hào)載人飛船在酒泉發(fā)射升空,

為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上從樓頂位置懸掛了一幅勵(lì)志條幅GF.如圖，已知樓頂?shù)降孛娴木嚯x

GE為18.5米，當(dāng)小亮站在樓前點(diǎn)B處，在點(diǎn)B正上方點(diǎn)A處測(cè)得條幅頂端G的仰角為37°,然后向教

學(xué)樓方向前行15米到達(dá)點(diǎn)。處（樓底部點(diǎn)E與點(diǎn)3,。在一條直線上），在點(diǎn)。正上方點(diǎn)C處測(cè)得條幅

底端廠的仰角為42°,若AB,8均為1.7米（即四邊形ABDC為矩形），請(qǐng)你幫助小亮計(jì)算：

（1）當(dāng)小亮站在B處時(shí)離教學(xué)樓的距離BE;

（2）求條幅GP的長(zhǎng)度.

（結(jié)果精確到0」山，參考數(shù)據(jù)：sin37°=0.60,cos37°—0.80,tan37°—0.75,sin42°—0.67,cos42°

-0.74,tan42°心0.90）

【分析】（1）延長(zhǎng)AC交EG于X,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到A2=Cr）=E8=L7米，AC^BD,AH=BE,根

據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；

（2）由（1）知CH=7,4米，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）延長(zhǎng)AC交EG于

貝UAB=CD=EH=L7米，AC=BD,AH=BE,

VGE=18.5米，

：.HG=EG-HE=18.5-1.7=16.8（米），

在Rt/XAGH中，NGAH=31°,

；.tan37。=16-8^0.75,

AH15yH

：.CH=1A,

.,.BE-15+7.4=22.4（米），

答：小亮站在2處時(shí)離教學(xué)樓的距離BE為22.4米;

（2）由（1）知C8=7.4米，

在Rt△尸CW中，?:NFCH=42°,

譚五。。,

Atan42o.9

：.FH=6.66,

：.FG=GH-FH=16.S-6.66^10.1（米），

答：條幅GF的長(zhǎng)度約為10.1米.

20.（2022秋?北倍區(qū)校級(jí)期末）如圖，某工程隊(duì)從A處沿正北方向鋪設(shè)了184米軌道到達(dá)8處.某同學(xué)在

博物館C測(cè)得A處在博物館C的南偏東27°方向，B處在博物館C的東南方向.（參考數(shù)據(jù)：sin270弋

0.45,cos27°心0.90,tan27°心0.50,遍心2.45.）

（1）請(qǐng)計(jì)算博物館C到8處的距離；（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）博物館C周圍若干米內(nèi)因有綠地不能鋪設(shè)軌道.某同學(xué)通過計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，軌道線路鋪設(shè)到B處時(shí)，

只需沿北偏東15°的8E方向繼續(xù)鋪設(shè)，就能使軌道線路恰好避開綠地.請(qǐng)計(jì)算博物館C周圍至少多少

米內(nèi)不能鋪設(shè)軌道.（結(jié)果精確到個(gè)位）

A

【分析】（1）過點(diǎn)C作CGLAB于點(diǎn)G,證ABCG是等腰直角三角形，得CG=BG,設(shè)CG=BG=尤米，

貝米，再由銳角三角函數(shù)定義得AG心2CG=2無(wú)米，貝|2天能184+x,解得尤七184,即可解決問

題；

（2）過點(diǎn)C作于點(diǎn)X,根據(jù)題意得NC2￡=60°,在中，利用銳角三角函數(shù)的定義

求出CW的長(zhǎng)即可.八D,?￥

【解答】解：（1）如圖1,過點(diǎn)C作CGLAB于點(diǎn)G,?

在RtZ^BCG中，NCBG=45°,；/

...△BCG是等腰直角三角形，

：.CG=BG,\；

設(shè)CG=BG=x米，貝I]BC=&A:米，A

圖1

在RtZXACG中，/CAG=27°,tanNCAG="=tan27°-0.50,

AG

...AG^2CG=2x米，

"：AG=AB+BG=（184+無(wú)）米，

:?2x=184+x,

解得：x-184,

；.8C=6XM84&（:米）,

答：博物館C到B處的距離約為184弧米；

（2）如圖2,過點(diǎn)C作CHLBE于點(diǎn)H,

由題意得：ZCBG=45°,ZDBE=\5°,

：.ZCBE=ZCBG+/DBE=600,

由（1）可知，8cpi84、歷米，

在RtZkCBH中，C//=BC?sin60°^184&X返,=92右心225（米）,

A

2圖2

答：博物館C周圍至少225米內(nèi)不能鋪設(shè)軌道.

21.（2022秋?遼寧期末）“愚公移山”是我國(guó)著名寓言故事，它告訴了我們堅(jiān)持不懈的道理.某日，小張穿

越至愚公的年代，碰到了移山的眾人.

（1）在運(yùn)輸山石等雜物時(shí)，有兩條路可行，已知A,B間的直線距離為50里（如圖1所示）.

線路1：折線ACDB,已知點(diǎn)C在點(diǎn)A東北方向，點(diǎn)8在