平面向量的數(shù)量積教學(xué)講義

平面向量的數(shù)量積教學(xué)講義11知識(shí)梳理⑥雙基自測(cè)ZHISHISHULISWUANGJIZlCE11知識(shí)梳理⑥雙基自測(cè)ZHISHISHULISWUANGJIZlCEZHISHISHULI知識(shí)梳理 ).向量的夾角兩個(gè)非零向量a與b，過(guò)。點(diǎn)作(OA=a,(OB=b,則NAOB叫做向量a與b的夾角；范圍是[0,n].a與b的夾角為n時(shí)，則a與b垂直，記作a±b..平面向量的數(shù)量積⑴定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為仇則數(shù)量|a||b|cos6叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a-b，即a-b=|a||b|cos6，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a=0.(2)幾何意義：數(shù)量積a-b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos6的乘積..平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示(1)設(shè)向量a=(x1,%),b=(x2,%),6為向量a,b的夾角.①數(shù)量積：a-b=|a||b|cos6=x1x2+yp2.②模：|a|=%；a-a=■.Jxj土庫(kù).③設(shè)A(x1,y1),B(x2，y2),則A,B兩點(diǎn)間的距離|AB|=|AB|=\.'(x]x)+依一y2)2.a-b x,x,+yy④夾角：c0s6=麗=訴飛正.⑤已知兩非零向量a與b,a±b臺(tái)a?b=0臺(tái)xIx2+y1y2=0；a〃b臺(tái)a?b=±|a||b|.(或|a|=|a|-|b|).⑥Qb|<|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a〃b時(shí)等號(hào)成立)臺(tái)|x1x2+y1y2|Wx/x2+y2?\jx2+y2.(2)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律①a?b=b?a(交換律).②丸a?b=丸(a?b)=a?(Xb)(結(jié)合律).③(a+b)?c=a?c+b?c(分配律).ZHONGYAOJIELUN重要結(jié)論).兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)..?.0?a=0而0a=0..數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律(a世Wa?(b)c

.a臚的 不能省略.a-a=a2=\a\i..兩向量a與b的夾角為銳角臺(tái)〃或且〃與。不共線；兩向量a與b的夾角為鈍角臺(tái)a物，且a與。不共線.當(dāng)〃、。為非零向量時(shí)a、。同向臺(tái)a務(wù)回|臼；a、。反向臺(tái)a辦一1all瓦.a在。方向上的投影=|0-cose=3p'SHUANGJIZICE雙基自測(cè))(2018?遼寧鞍山一中模擬)向量a=(2,-1),b=(—1,2),則(2a+b)-a=(A)A.6 B.51 D.-6［解析］由題意知2a+b=(3,0),「.(2a+b)?a=(3,0)。，-1)=6,故選A.n2n2.(教材改編)已知向量a與b的夾角為n|a|=尬，則a在b方向上的投影為(C)<3c.*-..,23<3c.*-..,23D.-V乙［解析］:a在b方向上的投影為|a|-cosa,b 二飛12cos齊一.選C.J乙3.(2016?3.(2016?全國(guó)卷III)已知向量BA=(2,g),BC=(乎，1w,2),則NABC=(A)A.30°C.A.30°C.60°［解析］cosNABC二BA?BC二至|ba\\bC\2，所以NABC=30°.故選A.B.45°120°.(教材改編)已知向量a=(1,2),b=(3,4),若a+kb與a—kb互相垂直，則實(shí)數(shù)k=(D)［解析］由已知a=(1,2),b=(3,4)，若a+kb與a-kb互相垂直，則(a+kb)?(a-kb)=0,即a2-k2b2=0，即5-25k2-0，即k2=^,所以k=金^故選D..(2017?全國(guó)卷I)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=2<3.［解析］由題意知|a+2b|=(a+2b)2

=\/22+4X2X1Xcos60°+4=2G.(教材改編)在圓O中，長(zhǎng)度為\/2的弦AB不經(jīng)過(guò)圓心，則AO-AB的值為1.［解析］設(shè)向量AO，AB的夾角為8，則AO?AB=|AO||ABpcos"|AO|cos田AB|二；|AB|-|AB1=2義陋)2=1.考點(diǎn)1考點(diǎn)1平面向量數(shù)量積的運(yùn)算——師生共研計(jì)例1(1)(2014?重慶)已知向量a與b的夾角為60°,且a=(—2,—6),|b|=＞，麗，則aDb=10.(2)(2015?廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AB=(1,—2),AD=(2,1),則AD?AC=(A)A.5 B.4C.3 D.2(3)已知點(diǎn)A,B,C滿(mǎn)足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,則AB?bC+bC?CA+CA?AB的值是一25.［分析］(1)利用數(shù)量積的定義求解；(2)利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式求解；(3)由已知可得△ABC為Rt△，因此可用多種方法解決.［解析］(1):a=(-2,-6),?.|a|二.、卜2)2+(-6)2=2飛而??a\b=2-...'10X...1'TOcos60°=10.(2)在口ABCD中，:AB=(1,-2),AD=(2,1),?.AC=AB+AD=(3,-1)二(2,1)-(3,-1)=5.故選A._ _n 3 -(3)解法一：如圖，根據(jù)題意可得^ABC為直角二角形，且B=2,cosA=-,cosC=4=5，

??AB-BC+BC?CA+CA?AB二BC?CA+CA?AB=4X5cos(n-C)+5X3cos(n-A)=-20cosC-15cosA=-20X4-15x|=-25.解法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(3,0),B(0,0),C(0,4).?.B=(-3,0),BC=(0,4),CA=(3,-4).AB?B=-3X0+0X4=0,B?CA=0X3+4X(-4)=-16,CA?AB=3X(-3)+(-4)X0=-9.??AB?bC+BC?CA+CA?AB=-25.解法三：CA在C上的投影為數(shù)量CB,CA與AB上的投影為數(shù)量BA，因此BC?cA=-BC2=CA?AB=-AB2=-9,AB?BC=0.??AB?bC+BC?cA+CA?AB=-25.解法四：屈?BC+BC?CA+CA?AB=0+CA?(BC+沖)=CA?AC=-AC2=-25.解法五：:AB+BC+CA=0,將其兩邊平方可得B2+B2+CA2+2(B?B+AB?CA+B?CA)=0,故B?B+B?CA+BC?CA=-1(B2+B2+CA2)=-25.名師點(diǎn)撥爭(zhēng)向量數(shù)量積的四種計(jì)算方法⑴當(dāng)已知向量的模和夾角e時(shí)，可利用定義法求解，即初。二|?||b|cos夕

(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a=(x1,y1),b=(x2,72)，則加b=x1x2+y1y2.(3)轉(zhuǎn)化法：當(dāng)模和夾角都沒(méi)給出時(shí)，即用已知模或夾角的向量作基底來(lái)表示要求數(shù)量積的向量求解．(4)坐標(biāo)法：結(jié)合圖形特征適當(dāng)建立坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求其數(shù)量積(如本例(3))．〔變式訓(xùn)練1〕(1)(2018?課標(biāo)全國(guó)II,4)已知向量a,b滿(mǎn)足|a|=1,a?b=-1,則a?(2a-b)=(B)TOC\o"1-5"\h\zA．4 B．3C．2 D．0(2)(2015?山東高考)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，/ABC=60°,則BD?CD=(D)A3 3A.12a2 B.—4a2八3 3C.4a2 D.2a2(3)(文)(2018?湖南五市十校教改共同體聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中，AB=3,AD=4,則AC?DB=—7.(理)在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=4,E為CD的中點(diǎn)，則AE?AC=(C)A.8 B.10C.12 D.14［解析］(1)本題考查數(shù)量積的定義和運(yùn)算。(2a-b尸2|a|2-。力=2X12-(-1)=3.故選B.(2)解法一：如圖(2)解法一：如圖BD=BC+CD，又NABC=60°，??.NBCD=120°，從而可知BC與CD夾角為60°，又BC=CD二a「.BD?CD=(BC+CD)?CD=BC?CD+|CD|2二a?acos60°+a2=2a2故選D.?a?J23-|a2.故選D.解法二：由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，NABC=60°得NBCD=120°，NABD=30°，在^BCD中，由余弦定理得BD二承a，所以BD?CD=?a?J23-|a2.故選D.解法三：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則C(。,0),A(a,容),B(0,0)，222a),又CD=B-(a,ga)「.BD-CD=(學(xué)，空)?(2,季尸苧+竽二竽，故選D.(3)(文)在平行四邊形ABCD中，AB-3,AD-4,AC-AB+AD,DB-AB-AD,則AC?DB-(B+AD)?(誦-AD)-AB2-B2-9-16--7.(理)解法一：轉(zhuǎn)化法：注意到菱形的對(duì)角線AC±BD.故用AC、BD表示花，由題意知成-AC+CE-AC+1CD-B+4(BD-B)-4BC+4BD??.AE?AC-(4AC+4BD)?AC-4|成|2+4BD?Ac-4|AC|2-12，故選C.解法二：坐標(biāo)化：如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則A(-2,0)，C(2,0)，不妨設(shè)D(0,2a)，則E(1,??.AE-(3，a)，AC-(4,0)???AE?AC-(3，a)(4,0)-12，故選C.考點(diǎn)2向量的模、夾角——多維探究角度1向量的模2例2(1)(2018?四川綿陽(yáng)一診)已知向量a=(x—1,2),b=(x,1),若a〃b，則|a+b|=(D)A.--.；2 B.2C.2\-'2 D.30(2)(2018?四川雙流中學(xué)月考)若平面向量a、b的夾角為60°,且a=(1,—\”)，|b|=3,則|2a一，|的值為(C)A.13 B.4C.\［13 D.1(3)(2018?云南昆明一中模擬)已知向量a=(2J),a多=10,|〃+臼=5啦,則|〃=￡.［分析］(1)由a〃。求出x,從而求a+A的坐標(biāo)，進(jìn)而求|a+〃；(2)求出同，再由|2a—。|=寸(2〃-〃)2求解;(3)由(僅+力)2=50求解.［解析］(l),.a=(x-1,2),b=(x,l)fia//b,■'-x-1=2x,.'.x=-1,.'a=(-2,2),b-{-1,1),；a+b-(-3,3),+b\=4-3)2+32=30.故選D.(2):”(1,-小)，.?.|a|=2..ab|?||A|cos60°=3,HX］a-b\=4(2a-b)2-yj4a2-4ab+岳-.故選C.(3),.'?=(2,1),.,.|?|=>75,又+〃=5y［2,.".\a\2+2ah\b\2=50,.a010,.*.5+20+\b\2=50,=5.名師點(diǎn)撥至平面向量的模的解題方法⑴若向量a是以坐標(biāo)(％，V)形式出現(xiàn)的，求向量a的模可直接利用同=yjxi+yi.(2)若向量a,b是非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式同2二&=a截口±如=(?！?。)2二即±2優(yōu)3b2冼求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解.即“模的問(wèn)題平方求解角度2向量的夾角例3(1)(2018?河北武邑中學(xué)調(diào)研)已知向量a=(2,l),A=(l,3),則向量2a—A與a的夾角為(A)A.135° B.60°C.45° D.30°(2)(2018?廣西梧州、柳州摸底)設(shè)平面向量mA滿(mǎn)足同=1,回=2,|a—2〃=仃.則向量用。的夾角的余弦值為(B)111 B.1C.一行 D.—［分析］利用夾角公式求解.［解析］(1)-.*?=(2,1),^=(1,3),，同二^22+1=^［5,2a-b=(3,-1),從而12a-b\=432+(-1)2-^/TO,且(2僅-b)a=(3,-1)(2,1)=5,記2a-。與優(yōu)的夾角為0,mil。Qa-b)a_ 5_也貝I」cos。= 二-^= 至二爺|2?-b\-\a\410X452又OWeWjr,：.Q-今,故選A.(2),.-|?-2b\=-^15,.,.|?|2-4ab41Al2=15,又同=1,回=2, ,乙記a、b的夾角為3,.'.cos0= ，故選B.\a\-\b\4［弓I申］本例⑵中〃在"+A方向上的投影為坐［解析］a/?'?1?+b\=yj\a\2+2ab\b\2=-^6.A1+lTOC\o"1-5"\h\z十，七石八M不。(。+辦)_同2+"2 2_&..q在。〃方向上的投影為 ―F-\a+b\\a+b\? 4名師點(diǎn)撥至求兩向量夾角的方法及注意事項(xiàng)(1)一般是利用夾角公式：cose⑵注意：數(shù)量積大于o說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于。說(shuō)明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于o且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角.

(3)a在b方向上的投影二|a|cos。=需；b在a方向上的投影二1b1cos。二代.”\b\ \a\角度3平面向量的垂直沖例4(1)(2018?廣東茂名五校聯(lián)盟聯(lián)考)已知向量a=(6,—2),b=(1,⑼，且a-Lb，則|a—2b|=4%,5.(2)(文)(2017?重慶)已知非零向量a,b滿(mǎn)足|b|=4|a|,且aL(2a+b)，則a與b的夾角為(C)D.D.5n

6(理(理)(2018?河南洛陽(yáng)期中)向量a,b均為非零向量，為(A)(a—2b)La，(b—2a)Lb，則a，b的夾角an3Can3C型\^.D.5n

6［分析］(1)由aLb臺(tái)a*0求出m，從而可得a—2b的坐標(biāo)，進(jìn)而可求|a—2b|；(2)(文)由條件用|a|表示a,b用向量夾角公式求解；(理)由條件用a表示|a|、|b|,用夾角公式求解.[解析](1);a=(6,-2),b=(1,m),且aLb,「.a=6-2m=0,「.m=3,??a-2b=(4,-8),「.|a-2b|=.“2+(-8)2=4-..,15.(2)(文);a±(2a+b),「o(2a+b)=2|a|2+ab0,」.ab-2|a|2,記a、b的夾角為0，又|b|=4|a|ab-21a|2 1r；cbcu.cos0= = =-5,又0W0Wn,|a||b| |a|?4|a| 20=2n，故選C.(理)由題意可知(a-2b)?a=|a|2-2ab0,(b-2a)?b=|b|2-2ab0,即|a|2=2a b|b、記a、b的夾角為0，則cos0=-^=1,又0e[0,n],|a||b|20=^，故選A.

名師點(diǎn)撥爭(zhēng)平面向量垂直問(wèn)題的解題思路解決向量垂直問(wèn)題一般利用向量垂直的充要條件?b0求解.名師點(diǎn)撥爭(zhēng)平面向量垂直問(wèn)題的解題思路解決向量垂直問(wèn)題一般利用向量垂直的充要條件?b0求解.〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2018?山西康杰中學(xué)五校期中)已知向量120°,則|a—2b|=(B)a、b滿(mǎn)足|b|=2|a|=2,a與b的夾角為A.?.川C.13B.D.21(2)(角度2)(2017?江西七校聯(lián)考)已知向量a=(1,\,13),b=(3,m),且b在a上的投影為一3,則向量a與b的夾角為年.(3)(角度2)(2018(3)(角度2)(2018?湖北黃岡質(zhì)檢)若向量a,b的夾角為^，且|a|=2,|b|=1則向量a+2b與向量a的夾角為(A)C2n向量a的夾角為(A)C2nC，35nD，石(4)(角度3)(2018?北京，9)設(shè)向量a=(1,0)b=(—1,m).若a±(ma-b),［解析］(1)|a|二1，|b|-2，ab-1,」|a-2b|=\；(a-2b)2=\：'|a|2-4a+4|b|2=飛5.故選B.ab3+■■■,'3m(2)由題意可知0-b-3，.=-~2~---3.\a\」m--3-Q」m--3-Q，」|b|=\：'32+(3-...13)2-6，記a與b的夾角為0，則cos0_a二二二\a\\b\ |b|0W0Wn，.」0二號(hào).n(3)v|a|-2,|b|-1,a的夾角為］，?ab1，」.(a+2b)-a-|a|2+2ab6又|a+2b|=\(a+2b)2=--j'a2+4a+4b2=2、.j3記a+2b與a的夾角為0，則c0s”?邛，又0W0w…管，故選a?(4)本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.丁a-(1,0)，b=(-1，m)，.」a2=1，a?b--1，由a±(ma-b)得a?(ma-b)=0，即ma2-a?b=0,即m-(-1)=0,「.m=-1.名師講壇?素養(yǎng)提升名師講壇?素養(yǎng)提升INGSHIJIANGTAMSUYANGTHSHENG函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)量積中的應(yīng)用n例5設(shè)e1,e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2,x,y￡R.若e1,e2的夾角為6,x則x的最大值等于2.［解析］因?yàn)閎W0,b=xe1+ye2，所以xW0或yW0.當(dāng)x=