2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何課時(shí)作業(yè)253.2.2空間向量與垂直關(guān)系含解析新人教A版選修2-1

PAGEPAGE7課時(shí)作業(yè)25空間向量與垂直關(guān)系時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．若向量m同時(shí)垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，λ，μ≠0)，則(B)A．m∥nB．m⊥nC．m與n既不平行也不垂直D．以上三種狀況均有可能解析：m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.2．已知直線l與平面α垂直，直線l的一個(gè)方向向量為u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z等于(C)A．3 B．6C．－9 D．9解析：∵l⊥α，v與平面α平行，∴u⊥v，即u·v＝0，∴1×3＋3×2＋z×1＝0，∴z＝－9.3．已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面β的一個(gè)法向量為n＝(－1，－1，－1)，且β與α不重合，則(A)A．α∥β B．α⊥βC．α與β相交不垂直 D．以上都不對(duì)解析：eq\o(AB,\s\up12(→))＝(0,1，－1)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(1,0，－1)，n·eq\o(AB,\s\up12(→))＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，n·eq\o(AC,\s\up12(→))＝－1×1－1×0＋(－1)×(－1)＝0，∴n⊥eq\o(AB,\s\up12(→))，n⊥eq\o(AC,\s\up12(→)).∴n也為α的一個(gè)法向量．又α與β不重合，∴α∥β.4．在菱形ABCD中，若eq\o(PA,\s\up12(→))是平面ABCD的法向量，則以下等式中可能不成立的是(C)A.eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))＝0 B.eq\o(PC,\s\up12(→))·eq\o(BD,\s\up12(→))＝0C.eq\o(PC,\s\up12(→))·eq\o(AB,\s\up12(→))＝0 D.eq\o(PA,\s\up12(→))·eq\o(CD,\s\up12(→))＝0解析：∵PA⊥平面ABCD，∴BD⊥PA.又AC⊥BD，∴PC⊥BD.故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A和D明顯成立．故選C.5．如圖所示，正方體AC1中，平面A1ACC1的一個(gè)法向量可以是(D)A.eq\o(BC,\s\up12(→))B.eq\o(A1B1,\s\up12(→))C.eq\o(BB1,\s\up12(→))D.eq\o(BD,\s\up12(→))解析：BD⊥平面A1ACC1，所以eq\o(BD,\s\up12(→))是平面A1ACC1的一個(gè)法向量．6．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b相互垂直，則k的值是(D)A．1 B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(7,5)解析：因?yàn)閗a＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且ka＋b與2a－b相互垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝eq\f(7,5)，故選D.7．已知三條直線l1，l2，l3的一個(gè)方向向量分別為a＝(4，－1，0)，b＝(1,4,5)，c＝(－3,12，－9)，則(A)A．l1⊥l2，但l1與l3不垂直B．l1⊥l3，但l1與l2不垂直C．l2⊥l3，但l2與l1不垂直D．l1，l2，l3兩兩相互垂直解析：∵a·b＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0，a·c＝(4，－1,0)·(－3,12，－9)＝－12－12＋0＝－24≠0，b·c＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0，∴a⊥b，a與c不垂直，b⊥c.∴l(xiāng)1⊥l2，l2⊥l3，但l1不垂直于l3.8．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，若E為A1C1的中點(diǎn)，則直線CE垂直于(B)A．AC B．BDC．A1D D．A1A解析：建立如下圖坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)．∴eq\o(CE,\s\up12(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，1)－(0,1,0)＝(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，1)．eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BD,\s\up12(→))＝(－1，－1,0)，eq\o(A1D,\s\up12(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(A1A,\s\up12(→))＝(0,0，－1)．∵eq\o(CE,\s\up12(→))·eq\o(BD,\s\up12(→))＝(eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，1)·(－1，－1,0)＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋0＝0.∴eq\o(CE,\s\up12(→))⊥eq\o(BD,\s\up12(→))，∴CE⊥BD.二、填空題9．設(shè)A是空間隨意一點(diǎn)，n為空間任一非零向量，則適合條件eq\o(AM,\s\up12(→))·n＝0的點(diǎn)M的軌跡是過A與n垂直的平面．10．已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若AB⊥AC，則λ等于－14.解析：∵eq\o(AB,\s\up12(→))＝(－2，－6，－2)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝(－1,6，λ－3)，eq\o(AB,\s\up12(→))·eq\o(AC,\s\up12(→))＝2－36－2(λ－3)＝0，∴λ＝－14.11．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分別是平面α、β、γ的法向量，則α、β、γ三個(gè)平面中相互垂直的有0對(duì)．解析：∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中隨意兩個(gè)都不垂直，即α，β，γ中隨意兩個(gè)都不垂直．三、解答題12．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1的全部棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD.證明：取BC中點(diǎn)O，B1C1中點(diǎn)O1，以O(shè)為原點(diǎn)，eq\o(OB,\s\up12(→))，eq\o(OO1,\s\up12(→))，eq\o(OA,\s\up12(→))的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，eq\r(3))，A(0,0，eq\r(3))，B1(1,2,0)，∴eq\o(AB1,\s\up12(→))＝(1,2，－eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up12(→))＝(－2，1,0)，eq\o(BA1,\s\up12(→))＝(－1,2，eq\r(3))．∵eq\o(AB1,\s\up12(→))·eq\o(BD,\s\up12(→))＝－2＋2＋0＝0，eq\o(AB1,\s\up12(→))·eq\o(BA1,\s\up12(→))＝－1＋4－3＝0，∴eq\o(AB1,\s\up12(→))⊥eq\o(BD,\s\up12(→))，eq\o(AB1,\s\up12(→))⊥eq\o(BA1,\s\up12(→)).即AB1⊥BD，AB1⊥BA1.又BD∩BA1＝B，∴AB1⊥平面A1BD.13．如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點(diǎn)．求證：平面BDE⊥平面ABCD.解：設(shè)AS＝AB＝1，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))．方法一：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，則點(diǎn)O的坐標(biāo)為(eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，0)．易知eq\o(AS,\s\up12(→))＝(0,0,1)，eq\o(OE,\s\up12(→))＝(0,0，eq\f(1,2))，∴eq\o(OE,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AS,\s\up12(→))，∴OE∥AS.又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.又OE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.方法二：設(shè)平面BDE的法向量為n1＝(x，y，z)．易知eq\o(BD,\s\up12(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BE,\s\up12(→))＝(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1⊥\o(BD,\s\up12(→)),n1⊥\o(BE,\s\up12(→))))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(BD,\s\up12(→))＝－x＋y＝0,n1·\o(BE,\s\up12(→))＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(1,2)z＝0)).令x＝1，可得平面BDE的一個(gè)法向量為n1＝(1,1,0)．∵AS⊥底面ABCD，∴平面ABCD的一個(gè)法向量為n2＝eq\o(AS,\s\up12(→))＝(0,0,1)．∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD.——實(shí)力提升類——14．如下圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，則AE＝a或2a.解析：以B為原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B1(0,0,3a)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)，\f(\r(2)a,2)，3a))，C(0，eq\r(2)a,0)．設(shè)E(eq\r(2)a,0，z)(0≤z≤3a)，則eq\o(CE,\s\up12(→))＝(eq\r(2)a，－eq\r(2)a，z)，eq\o(B1E,\s\up12(→))＝(eq\r(2)a,0，z－3a)．由題意得2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.故AE＝a或2a.15．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，CD的中點(diǎn)．(1)求證：平面AED⊥平面A1FD1；(2)在AE上求一點(diǎn)M，使得A1M⊥平面DAE.解：(1)證明：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A(2,0,0，)，E(2,2,1)，F(xiàn)(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0,0,2)，∴eq\o(DA,\s\up12(→))＝(2,0,0)，eq\o(DE,\s\up12(→))＝(2,2,1)，eq\o(AE,\s\up12(→))＝(0,2,1)．設(shè)平面AED的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n1·\o(DA,\s\up12(→))＝0，,n1·\o(DE,\s\up12(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＝0，,2x1＋2y1＋z1＝0，))令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．同理可得平面A1FD1的一個(gè)法向量為n2＝(0,2,1)．∵n1·n2＝0，∴平面AED⊥平面A1FD1.(2)由于點(diǎn)M在AE上，∴可設(shè)eq\o(AM,\s\up12(→))＝λeq\o(AE,\s\up12(→))