2024高考數(shù)學一輪復習統(tǒng)考第10章統(tǒng)計統(tǒng)計案例第3講變量相關關系與統(tǒng)計案例學案含解析北師大版

PAGE1-第3講變量相關關系與統(tǒng)計案例基礎學問整合1．變量間的相關關系(1)常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數(shù)關系，另一類是相關關系；與函數(shù)關系不同，相關關系是一種非eq\x(\s\up1(01))確定性關系．(2)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關關系稱為eq\x(\s\up1(02))正相關，點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關關系為eq\x(\s\up1(03))負相關．2．回來方程與回來分析(1)線性相關關系與回來直線假如散點圖中點的分布從整體上看大致在eq\x(\s\up1(04))一條直線旁邊，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回來直線．(2)回來方程①最小二乘法：求回來直線使得樣本數(shù)據(jù)的點到回來直線的eq\x(\s\up1(05))距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．②回來方程：方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回來方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是待定數(shù)．(3)回來分析①定義：對具有eq\x(\s\up1(06))相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法．②樣本點的中心：在具有線性相關關系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋…＋xn)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(y1＋…＋yn)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))稱為樣本點的中心．③相關系數(shù)，當r>0時，兩變量eq\x(\s\up1(07))正相關；當r<0時，兩變量eq\x(\s\up1(08))負相關；當|r|≤1且|r|越接近于1，相關程度eq\x(\s\up1(09))越強；當|r|≤1且|r|越接近于0，相關程度eq\x(\s\up1(10))越弱．3．獨立性檢驗(1)獨立性檢驗的有關概念①分類變量可用變量的不同“值”表示個體所屬的eq\x(\s\up1(11))不同類別的變量稱為分類變量．②2×2列聯(lián)表假設有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)獨立性檢驗利用隨機變量(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來推斷“兩個變量有關系”的方法稱為獨立性檢驗．步驟如下：①計算隨機變量K2的觀測值k，查表確定臨界值k0：P(K2≥k0)0.50.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828②假如k≥k0，就推斷“X與Y有關系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)的前提下不能推斷“X與Y有關系”．1．相關關系與函數(shù)關系的異同共同點：二者都是指兩個變量間的關系；不同點：函數(shù)關系是一種確定性關系，體現(xiàn)的是因果關系，而相關關系是一種非確定性關系，體現(xiàn)的不肯定是因果關系，也可能是伴隨關系．2．從散點圖看相關性正相關：樣本點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)；負相關：樣本點分布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)．3．回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點的中心．1．下面是一個2×2列聯(lián)表：y1y2總計x1a2173x2222547合計b46120其中a，b處填的值分別為()A．9472 B．5250C．5274 D．7452答案C解析由a＋21＝73，得a＝52，a＋22＝b，得b＝74.故選C.2．(2024·湖南衡陽聯(lián)考)甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩個變量的線性相關性做了試驗，并用回來分析方法分別求得相關系數(shù)r與殘差平方和m，如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)的A，B兩變量有更強的線性相關性()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案D解析r越大，m越小，線性相關性越強，故選D.3．(2024·湖北荊州模擬)已知相關變量x和y滿足關系y＝－0.1x＋1，相關變量y與z負相關．下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關，x與z負相關B．x與y正相關，x與z正相關C．x與y負相關，x與z負相關D．x與y負相關，x與z正相關答案D解析因為y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x與y負相關．因為y與z負相關，可設z＝eq\o(b,\s\up6(^))y＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))<0，則z＝eq\o(b,\s\up6(^))y＋eq\o(a,\s\up6(^))＝－0.1eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(b,\s\up6(^))＋eq\o(a,\s\up6(^))，故x與z正相關．4．通過隨機詢問110名不同的高校生是否愛好某項運動，得到了如下的列聯(lián)表．參照附表，能得到的正確結(jié)論是()男女總計愛好402060不愛好203050總計6050110A．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”B．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”C．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”D．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”附：，n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.050.0100.001k03.8416.63510.828答案A解析由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得≈7.822>6.635，故有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”．故選A.5．(2024·山西太原摸底)某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954依據(jù)上表可得回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))為9.4，據(jù)此模型預料廣告費用為6萬元時銷售額約為________萬元．答案65.5解析由表可計算eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝3.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)＝42，因為點(3.5,42)在回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))上，且eq\o(b,\s\up6(^))＝9.4，所以42＝9.4×3.5＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝9.1.故回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝9.4x＋9.1.令x＝6，得eq\o(y,\s\up6(^))＝65.5.故預料廣告費用為6萬元時銷售額約為65.5萬元．核心考向突破考向一兩個變量的相關性角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(1))相關關系的推斷例1為探討語文成果和英語成果之間是否具有線性相關關系，統(tǒng)計某班學生的兩科成果得到如圖所示的散點圖(x軸、y軸的單位長度相同)，用回來直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))近似地刻畫其相關關系，依據(jù)圖形，以下結(jié)論最有可能成立的是()A．線性相關關系較強，b的值為1.25B．線性相關關系較強，b的值為0.83C．線性相關關系較強，b的值為－0.87D．線性相關關系較弱，無探討價值答案B解析由散點圖可以看出兩個變量所構(gòu)成的點在一條直線旁邊，所以線性相關關系較強，且應為正相關，所以回來直線方程的斜率應為正數(shù)，且從散點圖視察，回來直線方程的斜率應當比y＝x的斜率要小一些，綜上可知應選B.角度eq\o(\s\up7(),\s\do5(2))相關系數(shù)的意義例2(2024·廣西聯(lián)考)某公司為了精確地把握市場，做好產(chǎn)品生產(chǎn)安排，對過去四年的數(shù)據(jù)進行整理得到了第x年與年銷售量y(單位：萬件)之間的關系如表：x1234y12284256(1)在圖中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)依據(jù)(1)中的散點圖擬合y與x的回來模型，并用相關系數(shù)加以說明；(3)建立y關于x的回來方程，預料第5年的銷售量約為多少？參考數(shù)據(jù)：，eq\r(5)≈2.24，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝418.參考公式：相關系數(shù)，回來方程y＝a＋bx的斜率和截距的最小二乘估計分別為解(1)作出散點圖如圖：(2)由(1)中的散點圖可知，各點大致分布在一條直線旁邊，由題中所給表格及參考數(shù)據(jù)，得∵y與x的相關系數(shù)近似為0.9966，說明y與x的線性相關程度相當強，∴可以用線性回來模型擬合y與x的關系．(3)由(2)，知eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(69,2)，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝418，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝30，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(73,5)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(69,2)－eq\f(73,5)×eq\f(5,2)＝－2.故y關于x的回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(73,5)x－2，當x＝5時，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(73,5)×5－2＝71，∴預料第5年的銷售量約為71萬件．推斷相關關系的兩種方法(1)散點圖法：假如全部的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線旁邊，變量之間就有相關關系．假如全部的樣本點都落在某始終線旁邊，變量之間就有線性相關關系．(2)相關系數(shù)法：利用相關系數(shù)判定，|r|越趨近于1相關性越強．[即時訓練]1.(2024·貴陽摸底)對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關于其相關系數(shù)的比較，正確的是()A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3答案A解析易知題中圖①與圖③是正相關，圖②與圖④是負相關，且圖①與圖②中的樣本點集中分布在一條直線旁邊，則r2<r4<0<r3<r1.2．為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機抽取一個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．下面是檢驗員在一天內(nèi)依次抽取的16個零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95(1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關系數(shù)r，并回答是否可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小(若|r|<0.25，則可以認為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變小)；(2)一天內(nèi)抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在(eq\o(x,\s\up6(－))－3s，eq\o(x,\s\up6(－))＋3s)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異樣狀況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．①從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？②在(eq\o(x,\s\up6(－))－3s，eq\o(x,\s\up6(－))＋3s)之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標準差．(精確到0.01)附：樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相關系數(shù)參考數(shù)據(jù)：eq\r(0.008)≈0.09.解(1)由樣本數(shù)據(jù)，得(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相關系數(shù)≈eq\f(－2.78,0.212×\r(16)×18.439)≈－0.18.由于|r|<0.25，因此可以認為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進行而系統(tǒng)地變大或變?。?2)①由于eq\o(x,\s\up6(－))＝9.97，s≈0.212，因此由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個零件的尺寸在(eq\o(x,\s\up6(－))－3s，eq\o(x,\s\up6(－))＋3s)以外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．②剔除離群值，即第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\f(1,15)×(16×9.97－9.22)＝10.02，這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計值為10.02.eq\i\su(i＝1,16,x)eq\o\al(2,i)≈16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除第13個數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為eq\f(1,15)×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，這條生產(chǎn)線當天生產(chǎn)的零件尺寸的標準差的估計值為eq\r(0.008)≈0.09.考向二回來分析例3(2024·昆明模擬)某縣畜牧技術(shù)員張三和李四9年來始終對該縣山羊養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模進行著跟蹤調(diào)查，張三供應了該縣某山羊養(yǎng)殖場年養(yǎng)殖數(shù)量y(單位：萬只)與相應年份x(序號)的數(shù)據(jù)表和散點圖(如圖所示)，依據(jù)散點圖，發(fā)覺y與x有較強的線性相關關系，李四供應了該縣山羊養(yǎng)殖場的個數(shù)z(單位：個)關于x的回來方程eq\o(z,\s\up6(^))＝－2x＋30.年份序號x123456789年養(yǎng)殖山羊y/萬只1.21.51.61.61.82.52.52.62.7(1)依據(jù)表中的數(shù)據(jù)和所給統(tǒng)計量，求y關于x的線性回來方程；(2)試估計：①該縣第一年養(yǎng)殖山羊多少萬只？②到第幾年，該縣養(yǎng)殖山羊的數(shù)量與第1年相比削減了？參考統(tǒng)計量：eq\o(∑,\s\up6(9),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝60，eq\o(∑,\s\up6(9),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝12.附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來直線v＝βu＋α的斜率和截距的最小二乘估計分別為.解(1)設y關于x的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，因為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9,9)＝5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1.2＋1.5＋1.6＋1.6＋1.8＋2.5＋2.5＋2.6＋2.7,9)＝2，＝2－0.2×5＝1.所以y關于x的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.2x＋1.(2)①估計第x年山羊養(yǎng)殖的只數(shù)為eq\o(z,\s\up6(^))·eq\o(y,\s\up6(^))＝(0.2x＋1)·(－2x＋30)＝－0.4x2＋4x＋30.令x＝1，則－0.4＋4＋30＝33.6，故該縣第一年養(yǎng)殖山羊約33.6萬只．②由題意，得－0.4x2＋4x＋30<33.6，整理得(x－9)(x－1)>0，解得x>9或x<1(舍去)，所以到第10年該縣養(yǎng)殖山羊的數(shù)量與第1年相比削減了．(1)正確理解計算eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的公式和精確的計算是求線性回來方程的關鍵．(2)回來直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過樣本點中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))．(3)在分析兩個變量的相關關系時，可依據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關關系，若具有線性相關關系，則可通過線性回來方程來估計和預料．(4)對非線性回來分析問題可通過適當?shù)膿Q元轉(zhuǎn)化為線性回來分析問題求解．[即時訓練]3.(2024·河南洛陽模擬)某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視狀況，抽查東、西部各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(單位：千人)，并畫出如下莖葉圖，其中一個數(shù)字被污損．(1)求東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)的概率；(2)該節(jié)目的播出極大地激發(fā)了觀眾對成語學問學習積累的熱忱，現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀眾中隨機統(tǒng)計了4位觀眾學習成語學問的周均時間(單位：小時)與年齡(單位：歲)，并制作了如下比照表：年齡x20304050周均學習成語學問時間y2.5344.5依據(jù)表中數(shù)據(jù)，試求線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，并預料年齡為60歲的觀眾周均學習成語學問的時間．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)設被污損的數(shù)字為a，則a有10種狀況．由88＋89＋90＋91＋92>83＋83＋87＋90＋a＋99，得a<8，∴有8種狀況使得東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)，所求概率為eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).(2)由表中數(shù)據(jù)，計算得eq\o(x,\s\up6(－))＝35，eq\o(y,\s\up6(－))＝3.5，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,4,x)\o\al(2,i)－4\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(525－4×35×3.5,5400－4×352)＝eq\f(7,100)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝3.5－eq\f(7,100)×35＝eq\f(21,20).∴eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(7,100)x＋eq\f(21,20).當x＝60時，eq\o(y,\s\up6(^))＝5.25.即預料年齡為60歲的觀眾周均學習成語學問的時間為5.25小時．考向三獨立性檢驗例4(1)為考察某種藥物對預防禽流感的效果，在四個不同的試驗室取相同的個體進行動物試驗，依據(jù)四個試驗室得到的列聯(lián)表畫出如下四個等高條形圖，最能體現(xiàn)該藥物對預防禽流感有效果的圖形是()答案D解析在頻率等高條形圖中，eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)相差很大時，我們認為兩個分類變量有關系，在四個選項中(等高的條形圖)中，選項D中不服藥樣本中患病的頻率與服藥樣本中患病的頻率相差最大，故選D.(2)(2024·全國卷Ⅰ)某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務給出滿足或不滿足的評價，得到下面列聯(lián)表：滿足不滿足男顧客4010女顧客3020①分別估計男、女顧客對該商場服務滿足的概率；②能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解①由調(diào)查數(shù)據(jù)，得男顧客中對該商場服務滿足的比率為eq\f(40,50)＝0.8，因此男顧客對該商場服務滿足的概率的估計值為0.8.女顧客中對該商場服務滿足的比率為eq\f(30,50)＝0.6，因此女顧客對該商場服務滿足的概率的估計值為0.6.由于4.762>3.841，故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異．1．比較幾個分類變量有關聯(lián)的可能性大小的方法(1)通過計算K2的大小推斷：K2越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大．(2)通過計算|ad－bc|的大小推斷：|ad－bc|越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大．(3)通過計算eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)的大小推斷：相差越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大．2．獨立性檢驗的一般步驟(1)依據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表．(2)依據(jù)公式計算K2的觀測值k.(3)比較k與臨界值的大小關系，作統(tǒng)計推斷．[即時訓練]4.(2024·南陽市一中第一次目標考試)為考察A，B兩種藥物預防某疾病的效果，進行動物試驗，分別得到如下等高條形圖．依據(jù)圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是()A．藥物B的預防效果優(yōu)于藥物A的預防效果B．藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果C．藥物A，B對該疾病均有顯著的預防效果D．藥物A，B對該疾病均沒有預防效果答案B解析由題圖可得服用藥物A的患病數(shù)量少于服用藥物B的患病數(shù)量，而服用藥物A的未患病數(shù)量多于服用藥物B的未患病數(shù)量，所以藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果．故選B.5．(2024·全國卷Ⅲ)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，其次組工人用其次種生產(chǎn)方式．依據(jù)工人完成生產(chǎn)任務的工作時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖：(1)依據(jù)莖葉圖推斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務所需時間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式其次種生產(chǎn)方式(3)依據(jù)(2)中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？，P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解(1)其次種生產(chǎn)方式的效率更高．理由如下：①由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間超過80分鐘，用其次種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務所需時間不超過79分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．②由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘．因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．③由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間高于80分鐘；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務平均所需時間低于80分鐘，因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．④由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖8上的最多，且關于莖8大致呈對稱分布；用其次種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布在莖7上的最多，且關于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務所需時間分布的區(qū)間相同，故可以認為用其次種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務所需的時間更少，因此其次種生產(chǎn)方式的效率更高．(以上給出了4種理由，考生答出其中隨意一種或其他合理理由均可得分)(2)由莖葉圖，知m＝eq\f(79＋81,2)＝80.列聯(lián)表如下：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155其次種生產(chǎn)方式515(3)由于K2的觀測值k＝＝10>6.635，所以有99%的把握認為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異．某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣揚費，需了解年宣揚費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響．對近8年的年宣揚費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(w,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))wi.(1)依據(jù)散點圖推斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個相宜作為年銷售量y關于年宣揚費x的回來方程類型？(給出推斷即可，不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的推斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回來方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關系為z＝0.2y－x.依據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣揚費x＝49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？②年宣揚費x為何值時，年利潤的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回來直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ui－\o(u,\s\up6(－))vi－\o(v,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ui－\o(u,\s\up6(－))2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).解(1)由散點圖可以推斷，y＝c＋deq\r(x)相宜作為年銷售量y關于年宣揚費x的回來方程類型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關于w的線性回來方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))wi－\o(w,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))wi－\o(w,\s\up6(－))2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(d,\s\up6(^))eq\o(w,\s\up6(－))＝563－68×6.8＝100.6，所以y關于w的線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關于x的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當x＝49時，年銷售量y的預報值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②依據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預報值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12.所以當eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq