第3章 勾股定理高頻考點專訓(xùn)

全章高頻考點專訓(xùn)蘇科版八年級上第3章勾股定理1234567溫馨提示：點擊進(jìn)入講評習(xí)題鏈接8《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)著作之一，其中記載了一道“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？譯為：一根直立地面的竹子，原來高一丈(1丈＝10尺)，自A處折斷，其竹梢B恰好抵地，抵地處與原竹子底部C距離三尺，問直立處還有多高的竹子？1解：設(shè)AC＝x尺，因為AC＋AB＝10(尺)，所以AB＝10－x(尺)，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，所以AC2＋BC2＝AB2，即x2＋32＝(10－x)2，解得x＝4.55，即AC＝4.55尺．故直立處還有4.55尺的竹子．【2021·邯鄲肥鄉(xiāng)區(qū)月考】如圖，線段AB，BC，CD和BD都為5cm，動點P從點A出發(fā)沿A→B→D以2cm/s的速度運動到點D，動點Q從點D出發(fā)沿D→C→B→A以2.8cm/s的速度運動到點A．若兩點同時開始運動5s時，P，Q相距3cm．試確定兩點運動5s時，△APQ的形狀．2解：5s時，動點P運動的路程為2×5＝10(cm)，即點P運動到D點(點P與點D重合)，動點Q運動的路程為2.8×5＝14(cm)．∵CD＝BC＝AB＝5cm，∴5s時，點Q在AB上，且BQ＝14－10＝4(cm)．在△BPQ中，BP＝5cm，BQ＝4cm，PQ＝3cm，∴BQ2＋PQ2＝42＋32＝25＝BP2.∴△BPQ是直角三角形，且∠BQP＝90°.∴∠AQP＝180°－∠BQP＝180°－90°＝90°.∴兩點運動5s時，△APQ是直角三角形．如圖，長方體的底面相鄰兩邊的長分別為1cm和3cm，高為6cm．如果用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短需要多長？如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短時，其長度的平方是多少？3解：將長方體的側(cè)面展開，如圖所示，連接AB′.∵AA′＝3＋1＋3＋1＝8(cm)，A′B′＝6cm，∴AB′2＝AA′2＋A′B′2＝82＋62＝102.∴AB′＝10cm.∴用一根細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點B，所用細(xì)線最短需要10cm.如果從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞n圈到達(dá)點B，那么所用細(xì)線最短時，其長度的平方為(64n2＋36)cm2.如圖所示，A，B兩個村子在河邊CD的同側(cè)，A，B兩村到河邊的距離分別為AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km．現(xiàn)在河邊CD上建一水廠，分別向A，B兩村輸送自來水，鋪設(shè)水管的費用為20000元/千米，請你在河邊CD上選擇水廠位置O，使鋪設(shè)水管(OA＋OB)的費用最少，并求所鋪設(shè)水管的最少費用．4解：如圖，作點A關(guān)于河邊CD的對稱點A′，連接A′B交河邊CD于點O.點O即為水廠位置，AO＋BO即為所鋪設(shè)的最短水管長，則AO＝A′O，A′C＝AC＝1km.過點A′作A′E⊥BD，交BD延長線于點E，則A′E＝CD＝3km，DE＝A′C＝1km.∴BE＝BD＋DE＝3＋1＝4(km)．由勾股定理，得A′B2＝A′E2＋BE2＝32＋42＝52.∴A′B＝5km.∴AO＋BO＝A′O＋BO＝A′B＝5km.20000×5＝100000(元)．∴所鋪設(shè)水管的最少費用是100000元．如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)一點，連接AE，BE，CE，將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度數(shù)．5解：如圖，連接EE′.

∵△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBE′，∴∠EBE′＝90°，BE′＝BE＝2，CE′＝AE＝1.∴△EBE′是等腰直角三角形．∴∠BE′E＝45°，由勾股定理，得EE′2＝BE2＋BE′2＝22＋22＝8.∴在△EE′C中，CE′2＋EE′2＝12＋8＝32＝CE2.∴△EE′C是直角三角形，∠EE′C＝90°.∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝45°＋90°＝135°.6如圖，在△ABC中，AB＝13，BC＝10，BC邊上的中線AD＝12．求：(1)AC的長度；(2)△ABC的面積．7【2021·銅山區(qū)期末】為了抗旱保收，某市準(zhǔn)備開采地下水，經(jīng)探測，C處地下有水，為此C處需要爆破．已知C處與公路上的?？空続的距離為300m，與公路上的另一停靠站B的距離為400m，AB的距離為500m，如圖所示．為了安全，爆破點C周圍250m的范圍內(nèi)禁止進(jìn)入，在進(jìn)行爆破時，公路AB段是否有危險而需要暫時封鎖？解：根據(jù)題意，得AC＝300m，BC＝400m，AB＝500m，∵AC2＋BC2＝3002＋4002＝5002＝AB2，∴∠ACB＝90°.如圖，有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我國海軍派甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距5nmile的A、B兩個基地前去攔截，6min后同時到達(dá)C地將其攔截．已知甲巡邏艇的速度為40nmile/h，乙巡邏艇的速度為30nmile/h，且乙巡邏艇的航向為北偏西37°，求甲巡邏艇的航向．8解：由題意，得AB＝5nmile，AC＝40×(6÷60)＝4(nmile)，BC＝30×(6÷60)＝3(nmile)．在△ACB中，AC2＋BC2＝42＋32＝25＝5