新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練專題09 數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用（練習(xí)）（解析版）

專題09數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列求和及綜合應(yīng)用目錄01等差、等比數(shù)列的基本量問題 102證明等差等比數(shù)列 403等差等比數(shù)列的交匯問題 704數(shù)列的通項(xiàng)公式 1105數(shù)列求和 1706數(shù)列性質(zhì)的綜合問題 3007實(shí)際應(yīng)用中的數(shù)列問題 3708以數(shù)列為載體的情境題 4109數(shù)列的遞推問題 4401等差、等比數(shù)列的基本量問題1．（2023·重慶·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】對(duì)于A項(xiàng)，由已知可得SKIPIF1<0，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由已知可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由已知可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，所以，SKIPIF1<0.故D正確.故選：D.2．（2023·云南·怒江傈僳族自治州民族中學(xué)校聯(lián)考一模）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．29 B．31 C．33 D．36【答案】B【解析】因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0，故有SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所有SKIPIF1<0，所有SKIPIF1<0，故B項(xiàng)正確.故選：B.3．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【解析】由已知可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：C4．（2023·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．42 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.5．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．63 B．72 C．135 D．144【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．6．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0對(duì)任意SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．3032 B．3035 C．3038 D．3041【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.故選：C.02證明等差等比數(shù)列7．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谥校┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，并求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0；兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由等差數(shù)列定義可得SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，公差SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0符合上式，即SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0；8．（2023·上?！じ呷虾Ｊ幸舜ㄖ袑W(xué)校考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，且對(duì)任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，又?jǐn)?shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，則由②可得SKIPIF1<0③，將③代入①，得對(duì)任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列.（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由已知，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也滿足此式，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.9．（2023·福建廈門·高三廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0(1)求SKIPIF1<0，并證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)求滿足SKIPIF1<0的所有正整數(shù)SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；由已知得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由二次函數(shù)及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，其中SKIPIF1<0，所以滿足SKIPIF1<0的所有正整數(shù)SKIPIF1<0為1，2.10．（2023·山東日照·高三校聯(lián)考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，并求其前SKIPIF1<0項(xiàng)和.【解析】（1）SKIPIF1<0中令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上式子相乘得：SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.03等差等比數(shù)列的交匯問題11．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是首項(xiàng)為6，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.12．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0．且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0自第二項(xiàng)起構(gòu)成公比為3的等比數(shù)列，可得SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．13．（2023?甲卷）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．已知SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）證明：由已知有：SKIPIF1<0①，把SKIPIF1<0換成SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②，②SKIPIF1<0①可得：SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，由等差數(shù)列定義有SKIPIF1<0為等差數(shù)列；（2）由已知有SKIPIF1<0，設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，由（1）有其公差為1，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0或者SKIPIF1<0時(shí)取最小值，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．14．（2023?乙卷）設(shè)SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和．證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）證明：由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．15．（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，設(shè)SKIPIF1<0，若存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，則SKIPIF1<0的值為.【答案】SKIPIF1<0【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.若存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，這與SKIPIF1<0矛盾，故此時(shí)不存在常數(shù)SKIPIF1<0，使得數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0).因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，對(duì)任意SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為常數(shù)且SKIPIF1<0)，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0對(duì)任意正整數(shù)SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(舍)，所以數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列時(shí)，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<004數(shù)列的通項(xiàng)公式16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【解析】依題SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求出不動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0或3；由定理3知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列．∴SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.【解析】依題SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，求出不動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0；由定理2知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；兩式相除得到SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為公比，SKIPIF1<0為首項(xiàng)的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【解析】設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是以3為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．19．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【解析】SKIPIF1<0為等差數(shù)列，首項(xiàng)SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.20．（2023·江西·高一統(tǒng)考期中）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為Sn，滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0①，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0②，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0③，將③代入①②可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0由①②③得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的值為1.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，兩式作差可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，符合，綜上，SKIPIF1<0.故數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.21．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足遞推關(guān)系：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式.【解析】由于SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0發(fā)生函數(shù)為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于是數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0求SKIPIF1<0.【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0所以兩邊同時(shí)加上SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列.于是SKIPIF1<0SKIPIF1<023．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求{an}的通項(xiàng).【解析】∵SKIPIF1<0……①∴SKIPIF1<0……②②-①得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0……③∵{an}的特征函數(shù)為：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0x=1.設(shè)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……④將④代入③得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【解析】令SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0并將SKIPIF1<0代入，可得SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.25．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【解析】由題意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列．于是SKIPIF1<0．26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩邊取倒數(shù)得到SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<027．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式SKIPIF1<0，且首項(xiàng)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【解析】令SKIPIF1<0．先求出數(shù)列的不動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．將不動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0代入遞推公式，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列．∴SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0代入，得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．28．（2023·廣東江門·高三江門市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于.【解析】由題意可知：SKIPIF1<0，顯然有SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<029．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0【解析】法1：已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為3的等比數(shù)列，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0；法2：由特征根方程SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.05數(shù)列求和30．（2023·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)求SKIPIF1<0.【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①－②得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，又∵SKIPIF1<0∴①＋②得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0.31．（2023·天津河?xùn)|·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比不為0的等比數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)的和SKIPIF1<0；(3)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)的和SKIPIF1<0【解析】（1）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，依題意有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①-②得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.32．（2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，首項(xiàng)SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的根.其中SKIPIF1<0為常數(shù).(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的根，所以SKIPIF1<0.又因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），故：SKIPIF1<0（2）由（1）得：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），故：SKIPIF1<0的最大值為48.33．（2023·山西臨汾·?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，顯然，SKIPIF1<0滿足上式，所以SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.34．（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)若SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前99項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.所以數(shù)列SKIPIF1<0是以3為周期的數(shù)列.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.35．（2023·四川自貢·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0頂和為SKIPIF1<0.且SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得：SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0.（2）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，上式也成立.所以：SKIPIF1<0，SKIPIF1<036．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，且公差為2，又由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，且公比為4，又由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，綜上可得，SKIPIF1<0.37．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，上式也成立.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.38．（2023·黑龍江大慶·高三?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0.【解析】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，兩式做差得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）所以SKIPIF1<0是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0且單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0得證.39．（2023·云南曲靖·高三曲靖一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意知，SKIPIF1<0為正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)的積，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，②÷①得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，可知數(shù)列SKIPIF1<0是常數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）由（1）可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．40．（2023·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中校考期末）已知數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0