2024-2025學(xué)年人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期專項(xiàng)復(fù)習(xí)：有理數(shù)的運(yùn)算（易錯(cuò)題29題）（解析版）

專題02有理數(shù)的運(yùn)算（易錯(cuò)題29題7個(gè)考點(diǎn)）

有理數(shù)的減法（共1小題）

1.定義：對(duì)于確定位置的三個(gè)數(shù)：a，b,c,計(jì)算a-b,總工，業(yè)，將這三個(gè)數(shù)的最小

23

值稱為a,b,c的“分差”.例如對(duì)于1,-2,3,因?yàn)?-（-2）=3,上3=-1,-2~3

23

=-2所以1,-2,3的“分差”為-9.

33

（1）-1,-4,1的“分差”為；

一3-

（2）調(diào)整“-1,-4,1”這三個(gè)數(shù)的位置，得到不同的“分差”，求這些不同“分差”

中的最大值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）按“新定義”代入三個(gè)代數(shù)式求值再比較大小.

（2）三個(gè)數(shù)根據(jù)位置不同可得6種組合，除第（1）題的順序，計(jì)算其余五種情況的“分

差”，再比較大小.

【解答】解：（1）Va=-1,b=-4,c=l

：.a-b=-1-（-4）=3,a工=-1-」=-i,--1.=-

22333

-1,-4,1的“分差”為-5,

3

故答案為：--;

3

（2）①若〃=-1,b=l,c=-4,

:.a-1-1=-2,a-c=旦,"=2

2233

二-1,1,-4的“分差”為-2,

②若a=-4,b=-1,c=l,

：.a-b=-3,a-c=-——=-2,

2233

-4,-1,1的“分差”為-3,

③若。=-4,b=\,c=-1,

：.a-b=-5,a-c=-3,"=2,

2233

-4,1,-1的“分差”為-5,

④若〃=1,b=-4,c--1,

.'.a-b=5,a-c"-：=-1,

23

：.l,-4,-1的“分差”為-1,

⑤若a=l,b=-1,c=-4,

二。-6=2,a-c.=A,-^Z￡=l,

223

.,.1,-1,-4的''分差”為1,

綜上所述，這些不同“分差”中的最大值為1.

二.有理數(shù)的加減混合運(yùn)算(共1小題)

2.將6-(+3)-(-7)+(-2)中的減法改寫成省略加號(hào)的和的形式是()

A.-6-3+7-2B.6-3-7-2C.6-3+7-2D.6+3-7-2

【答案】C

【分析】先把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法，然后再寫成省略加號(hào)的和的形式，即可解答.

【解答】解：6-(+3)-(-7)+(-2)

=6+(-3)+7+(-2)

=6-3+7-2,

故選：C.

三.有理數(shù)的乘法(共3小題)

3.已知有理數(shù)無、y滿足x+y<0,孫<0,x<y,則有()

A.x<0,y>0,x絕對(duì)值較大

B.尤>0,y<0,y絕對(duì)值較大

C.尤>0,y<0,尤絕對(duì)值較大

D.x<0,y>0,y絕對(duì)值較大

【答案】A

【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則和異號(hào)得負(fù)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：：盯<0,

；.x、y異號(hào)，

"."x+y<0,

負(fù)數(shù)的絕對(duì)值大，

".'x<y,

：.x<0,y>0,x絕對(duì)值較大.

故選：A.

4.下列說法正確的是()

①一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定是正數(shù)；

②若乃<0,a+b>0,則a,6異號(hào)且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；

③當(dāng)⑷=-a時(shí)，。一定是負(fù)數(shù)；

④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1;

⑤任何有理數(shù)都有倒數(shù).

A.①②⑤B.①③④C.②④⑤D.②

【答案】D

【分析】由絕對(duì)值，倒數(shù)的概念，即可判斷.

【解答】解：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，故①不符合題意；

若仍<0,a+b>0,則a,6異號(hào)且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，正確，故②符合題

思；

當(dāng)|a|=-a時(shí)，a可能是0,故③不符合題意；

倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1,故④不符合題意；

0沒有倒數(shù)，故⑤不符合題意.

故選：D.

5.在明代的《算法統(tǒng)宗》一書中將用格子的方法計(jì)算兩個(gè)數(shù)相乘稱作“鋪地錦”，如圖1,

計(jì)算82X34,將乘數(shù)82記入上行，乘數(shù)34記入右行，然后用乘數(shù)82的每位數(shù)字乘以乘

數(shù)34的每位數(shù)字，將結(jié)果記入相應(yīng)的格子中，最后按斜行加起來，既得2788.如圖2,

圖1圖2

A.6的值為6

B.。為奇數(shù)

C.乘積結(jié)果可以表示為1016+10(a+1)-1

D.a的值小于3

【答案】D

【分析】設(shè)5a的十位數(shù)字是施，個(gè)位數(shù)字是〃，列出符合條件的方程組即可求解;

【解答】解：如圖，設(shè)”的十位數(shù)字是相，個(gè)位數(shù)字是〃，

圖2

b=2+4

…a+l=a+in>

b-l=n

b=6

<m=l>a=15+5=3,

n=5

...乘積結(jié)果可以表示為1006+1031)+b-1=1016+10(a+1)-1.

.,.A,B,C正確，O錯(cuò)誤.

故選：D.

四.有理數(shù)的乘方(共5小題)

6.下列各組數(shù)中，相等的一組是(

A.-(-1)與-|-1|B.-32與(-3)2

C.孑與(-4)3D.[-8|與-|+8|

【答案】C

【分析】分別根據(jù)相反數(shù)的定義，絕對(duì)值的定義以及有理數(shù)的乘方的定義解答即可.

【解答】解：A.-(7)=1,-I-1|=-1,故本選項(xiàng)不合題意；

B.-3?=-9,(-3)2=9,故本選項(xiàng)不合題意；

C.-43=(-4)3=-64,故本選項(xiàng)符合題意；

D.|-8|=8,-|+8|=-8,故本選項(xiàng)不合題意；

故選：C.

7.有一根1米長(zhǎng)的繩子，第一次剪去繩子的2,第二次剪去剩下繩子的2,如果以后每次

33

都剪去剩下繩子的2,第io。次剪完后剩下繩子的長(zhǎng)度是()

3

A.99米B.99米

c.（A）io。米D.仔）1。。米

【答案】c

【分析】根據(jù)題意得每次剪繩子后的長(zhǎng)度都是上一次剩下的長(zhǎng)度的工，根據(jù)乘方的定義可

3

以得出第100次剪完后剩下繩子的長(zhǎng)度.

【解答】解：?.?第一次剪去繩子的2米，

3

剩余工米，

3

..?第二次剪去剩下繩子的2,

3

...第二次剪去后剩下的繩子是：lx（1-2）=（1）2（米），

33匕,

?.?第三次剪去剩下繩子的2,

3

...第三次剪去后剩下的繩子是：/）2義（1-2）=/）3（米），

以此類推，第100次剪完后剩下繩子的長(zhǎng)度是:住嚴(yán)。米

故選：C.

8.若同=5,廿=4且a>6,貝iJa+6的值是（）

A.3B.7.C.-3或5D.3或7

【答案】D

【分析】根據(jù)|。|=5和廬=4,求出。和b的可能值；再根據(jù)確定。和b的值，最

后計(jì)算a+b的值即可.

【解答】解：：同=5,廬=4,

±5,。=±2,

又?：a>b,

，〃=5,。=-2或〃=5,b=2,

/.a+b=3或7.

故選：D.

9.計(jì)算：-尸-（_1）2=2.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先算乘方，再算減法即可.

【解答】解：-（-1）2=-1-1=-2.

故答案為：-2.

10.《莊子?天下篇》中記載道：“一尺之棱，日取其半，萬(wàn)世不竭”.這句話的意思是:

“一尺長(zhǎng)的木棍，每天截掉一半，永遠(yuǎn)也截不完”.根據(jù)這句話計(jì)算：1+工+上+3+-

22223

+，+，=

2202322024-

【答案】2-—1—

22024

【分析】令原式為S,計(jì)算_1亂將兩式相減，得到工5的值，求出S即可.

22

【解答】解：設(shè)S=l+L-+—L-?,

22023I2024

222322

貝!]_Ls=1+」-+工+工+…+.-J—+^_②,，

2342025

22222220242

①-②，得

222025

A5=2-―—.

22024

故答案為：2-2丁.

22024

五.非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方（共1小題）

11.若(tz+1)2+|<7-Z?+4|=0,則a=-1，b=3

【答案】7,3.

【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出八b的值即可.

【解答】解：由題意得:

."+1=0,a-b+4—O,

'.a=-1,b=3.

故答案為：7,3.

六.有理數(shù)的混合運(yùn)算(共17小題)

12.下列變形，運(yùn)用加法運(yùn)算律錯(cuò)誤的是()

A.(-8)+(-9)=(-9)+(-8)

B.4+(-6)+3=(-6)+4+3

C.[5+(-2)]+4=[5+(-4)]+2

D.1+(-1)+(+$)=(1+5)+(-1)

6666

【答案】c

【分析】根據(jù)加法交換律和結(jié)合律，即可解答.

【解答】解：A、(-8)+(-9)=(-9)+(-8),故A不符合題意；

8、4+(-6)+3=(-6)+4+3,故B不符合題意；

C、[5+(-2)]+4=(5+4)+(-2),故C符合題意；

1+(-1)+(+A)=(1+1)+(-1),故。不符合題意；

6666

故選：C.

13.一件衣服，商店的進(jìn)價(jià)是100元，若先加價(jià)10%,再降價(jià)10%,則商店()

A.賺了1元B.賠了1元C.不賺不賠D.賺了10元

【答案】B

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以先計(jì)算出最后的售價(jià)，然后用售價(jià)減去進(jìn)價(jià)，即

可得到該商店的盈利情況.

【解答】解：由題意可得，

100X(1+10%)X(1-10%),

=100X1.1X0.9,

=110X0.9,

=99(元)，

99-100=1(元),

即賠了1元，

故選:B.

14.下列式子計(jì)算結(jié)果和率相等的是()

A.(-3仔)x-yB.-3X-y+^

C.-3Xy-X-^-D.(-3-y)x-|-

4747

【答案】D

【分析】根據(jù)乘法分配律，即可解答.

【解答】解：一是乂旦=(-3-S)xl,

7747

故選：D.

15.已知m是最小的正整數(shù)，"是最大的負(fù)整數(shù),。、6互為相反數(shù),x、y互為倒數(shù)，則r^+^+a+b

-xy的值是()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【分析】利用相反數(shù)、倒數(shù)的性質(zhì)，以及最小的正整數(shù)為1,最大負(fù)整數(shù)為-1求出各自

的值，代入原式計(jì)算即可求出值.

【解答】解：根據(jù)題意得：m=l,n=-1,a+b=O,xy=l,

則原式=1+1+0-1=1.

故選：D.

16.定義新運(yùn)算：當(dāng)。＞6時(shí)，a?b=a-2b；當(dāng)時(shí)，a■（其中，則

a+b

-102--3

【答案】-3.

【分析】按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：由題意得：-102

=-1-2

-1+2

=z3

=_3,

故答案為：-3.

17.若a和6互為相反數(shù)，。和1互為倒數(shù)，\m\=2,那么代數(shù)式上生_女［1+2m的值為」

2024

或-7.

【答案】1或-7.

【分析】根據(jù)相反數(shù)，倒數(shù)，絕對(duì)值的意義可得q+b=0,cd=l,加=土2,然后分兩種情

況進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：和b互為相反數(shù)，c和d互為倒數(shù)，|加=2,

a+b=O,cd=l,m=+2,

當(dāng)"=2時(shí)，器-3cd+2m—3X1+2X2=O-3+4=1；

2024

一2時(shí)，嘉-3cd+2m0-..-3X1+2X(-2)=0-3+(-4)=-7；

2024

:?毅7.+2m的值為1或一7,

故答案為：1或-7.

18.定義新運(yùn)算：(a-b),如：2*3=2?(2-3)=-4.則2*(3*5)=80.

【答案】80.

【分析】按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：由題意得：2*(3*5)

=2*[32X(3-5)]

=2*[9X(-2)]

=2*(-18)

=22X[2-(-18)]

=4X(2+18)

=4X20

=80,

故答案為：80.

19.定義一種新運(yùn)算：若0n=b(。>0且aWl,b>0),則〃叫做以。為底6的對(duì)數(shù)，記作

logab—n,例如log28=3,log39=2,logs125=3.

【答案】3.

【分析】根據(jù)定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：：53=125,

/.log5125=3,

故答案為：3.

20.分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)方法，如在化簡(jiǎn)同時(shí)，可以這樣分類：當(dāng)a>0時(shí)，\a\=a；

當(dāng)。=0時(shí)，間=0；當(dāng)。<0時(shí)，\a\=-a.用這種方法解決下列問題：

(1)當(dāng)a=5時(shí)，求_h_L的值.

a

(2)當(dāng)a=-2時(shí)，求1■的值.

IanI

(3)已知a,6是有理數(shù)，當(dāng)ab>0時(shí)，試求，&〔+〔0I的值.

laib

(4)已知a,6是有理數(shù)，當(dāng)abc<0時(shí)，試求,：-「+abc的值.

IaIlbIIcIIabcI

【答案】(1)1；

(2)-1；

(3)±2；

(4)0,-4.

【分析】(1)直接將。=5代入求出答案；

(2)直接將a=-2代入求出答案；

(3)分別利用。>0,b>0或a<0,b<0分析得出答案；

(4)分別利用當(dāng)a,b,c三個(gè)字母中有一個(gè)字母小于0,其它兩個(gè)字母大于0,當(dāng)。，b,

c都小于0,分析得出答案.

【解答】解：(1)當(dāng)。=5時(shí)，匕_1=1；

a

(2)當(dāng)〃=-2時(shí)，a=-1；

IaI

(3)若〃，。是有理數(shù)，當(dāng)帥>0時(shí)，分兩種情況：

當(dāng)。>0時(shí)，

&+」b|_=i+i=2,

IaIb

當(dāng)a〈0,0Vo時(shí)，

a+Ib|.=-i-i=-2

IaIb

.?.當(dāng)ab>0時(shí)，丁'+_1±1的值為±2；

laib

(4)若〃，。是有理數(shù)，當(dāng)出?cVO時(shí)，分2種情況：

①當(dāng)a,b,C三個(gè)字母中有一個(gè)字母小于0,其它兩個(gè)字母大于0時(shí)，

lailbIIcI

+abc=_i+]+i_1=0,

IabcI

②當(dāng)a<Q,b<0,c<0時(shí)，-±-+-k--.+-S—+,abc,=-1-1-1-1=-4,

IaIlbIIcIIabcI

綜上所述，也+占+金+菩%的所有可能的值為0,-4.

IaIlbIIcIIabcI

21.計(jì)算：

(1)(A-1+1)4-(-A)；

64312

(2)(-2)3X(-1)-|-1-5|.

2

【答案】(1)-11；

(2)-2.

【分析】(1)先把有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后再利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，即可解

答；

(2)先算乘方，再算乘法，后算加減，即可解答.

【解答】解：(1)(A-1+1)4-(-J_)

64312

=(a-』+工)X(-12)

643

=-12X.§.+12XA-12XA

643

=-10+3-4

=-11;

(2)(-2)3X(-A)-|-1-5|

2

=-8X(-1)-6

2

=4-6

=-2.

22.一根繩子長(zhǎng)15米，現(xiàn)要捆扎一種禮盒(如圖)，如果接頭處要用掉30厘米，這根繩子

最多可以捆扎多少個(gè)這樣的禮盒？

【答案】這根繩子最多可以捆扎13個(gè)這樣的禮盒.

【分析】根據(jù)題意可得：這根繩子可以捆扎這樣的禮盒的個(gè)數(shù)=1500+(8X4+10X2+15

X2+30),然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：..T5米=1500厘米，

.1.15004-(8X4+10X2+15X2+30)

=15004-(32+20+30+30)

=15004-112

=13(個(gè))...44(厘米)，

答：這根繩子最多可以捆扎13個(gè)這樣的禮盒.

23.計(jì)算：

(1)-2X5+(-3)X(^-)+|-10|;

（2）（-2）2+（-9）X（］+2>

【答案】（1）1;

（2）-8.

【分析】（1）先算乘法，后算加減，即可解答；

（2）先算乘方，再算乘法，后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里，即可解答.

【解答】解：⑴-2X5+（-3）X（^）+|-10|

=-10+1+10

=1;

(2)(-2)2+(-9)X(J+2)

=4+(-9)xA

3

=4+(-12)

=-8.

24.小明和同學(xué)們玩撲克牌游戲.游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中

任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌上的數(shù)字只能用一次），使得運(yùn)

算結(jié)果等于24.小明抽到的牌如圖所示，請(qǐng)幫小明列出兩個(gè)結(jié)果等于24的算式.

【答案】①（3+5）4-2X6；②（5-3+2）X6（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：①（3+5）4-2X6

=84-2X6

=4X6

=24；

②(5-3+2)X6

(2+2)X6

=4X6

=24；

兩個(gè)結(jié)果等于24的算式為：①(3+5)4-2X6；②(5-3+2)X6(答案不唯一).

25.根據(jù)國(guó)家衛(wèi)健委發(fā)布的《兒童青少年近視防控適宜技術(shù)指南》，中學(xué)生使用電子產(chǎn)品的

時(shí)間不應(yīng)超過2小時(shí).某校想了解該校學(xué)生每天刷抖音的時(shí)間情況，特制作了調(diào)查表進(jìn)行

調(diào)查，下表是該校某學(xué)生某周每天刷抖音的時(shí)間情況(標(biāo)準(zhǔn)使用時(shí)間為每天2小時(shí)，超過

記為正、不超過記為負(fù))：

星期一二三四五六日

增減+3-1-2-0.5-1.5+5+8

(1)根據(jù)上表的數(shù)據(jù)可知該生星期三刷抖音的時(shí)間是0小時(shí);

(2)刷抖音時(shí)間最多的一天比時(shí)間最少的一天多10小時(shí);

(3)該生這一周刷抖音共用了多少小時(shí)？

【答案】⑴0；

(2)10；

(3)該生這一周刷抖音共用了25小時(shí).

【分析】(1)根據(jù)題意可得：該生星期三刷抖音的時(shí)間=2-2,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答;

(2)根據(jù)題意可得：刷抖音時(shí)間最多的一天比時(shí)間最少的一天多的時(shí)間=8-(-2),

然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；

(3)把表格中的這些正數(shù)和負(fù)數(shù)全部相加，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：(1)由題意得：2-2=0(小時(shí))，

該生星期三刷抖音的時(shí)間是0小時(shí)，

故答案為：0；

(2)由題意得：8-(-2)=8+2=10(小時(shí))，

.?.刷抖音時(shí)間最多的一天比時(shí)間最少的一天多10小時(shí)，

故答案為：10;

(3)由題意得：+3+(-1)+(-2)+(-0.5)+(-1.5)+(+5)+(+8)=11(小時(shí))，

.?.2X7+11=14+11=25(小時(shí))，

該生這一周刷抖音共用了25小時(shí).

26.老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成有理數(shù)運(yùn)算，規(guī)則是：每人只能看到前一人給

的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成計(jì)算.過程如圖所示.

-42+204-(-4)-6X(-2P16+20+(—4)-6X(-8)

老師小明小強(qiáng)小蘭

(1)接力中，計(jì)算錯(cuò)誤的學(xué)生是小明和小強(qiáng)；

(2)請(qǐng)正確計(jì)算老師出示的算式；

(3)計(jì)算：-l4-104-yX(-2)2+5-

【答案】(1)小明和小強(qiáng)；

(2)27；

(3)-76.

【分析】(1)先算乘方，再算乘除，后算加減，逐一判斷即可解答；

(2)先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答；

(3)先算乘方，再算乘除，后算加減，逐一判斷即可解答.

【解答】解：(1)接力中，計(jì)算錯(cuò)誤的學(xué)生是小明和小強(qiáng)，

故答案為：小明和小強(qiáng)；

(2)-42+204-(-4)-6X(-2)3

=-16+(-5)-6X(-8)

=-16-5+48

=-21+48

=27；

(3)-l4-10-ryX(-2/+5

=-1-10X2X4+5

=-1-80+5

=-81+5

=-76.

27.2022年由于“新冠肺炎”的原因，使得醫(yī)用口罩銷量大幅增加，某口罩加工廠為滿足市

場(chǎng)需求計(jì)劃每天生產(chǎn)5000個(gè).由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量相比有出入，表格是二月份

某一周的生產(chǎn)情況(超產(chǎn)為正，減產(chǎn)為負(fù)，單位：個(gè)).

星期一二三四五六日

增減+100-200+400-100-100+350+150

(1)產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)多少個(gè)；

(2)該口罩加工廠實(shí)行計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一個(gè)口罩0.2元，本周口罩加工廠應(yīng)支付工

人的工資總額是多少元？

【答案】(1)600個(gè)；

(2)7120元.

【分析】(1)根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義確定星期三產(chǎn)量最多，星期二產(chǎn)量最少，然后用記錄相

減計(jì)算即可得解；

(2)求出一周記錄的和，然后根據(jù)工資總額的計(jì)算方法列式計(jì)算即可得解.