2024-2025學(xué)年蘇科版九年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)復(fù)習(xí)：一元二次方程知識(shí)歸納與題型突破（12類題型清單）解析版

一元二次方程知識(shí)歸納與題型突破(12類題型)

01思維導(dǎo)圖

一元二次方程的定義

一元二次方程一元二次方程的一般形式

一元二次方程的解

直接開平方

配方法

一元二次方程解一元二次方程

公式法

因式分解法

數(shù)字問題

一元二次方程的應(yīng)用增長率問題

形積問題

02知識(shí)速記

一、一元二次方程的定義

(1)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

(2)概念解析：

一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：

①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數(shù)；

②只含有一個(gè)未知數(shù)；

③未知數(shù)的最高次數(shù)是2.

(3)判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高

次數(shù)是2"；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

二、一元二次方程的一般形式

(1)一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0(a#0).這種形

式叫一元二次方程的一般形式.

其中ax?叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)；c叫做常數(shù)項(xiàng).一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任

意實(shí)數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)a是不等于0的實(shí)數(shù)，這是因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，方程中就沒有二次項(xiàng)了，所以，此方程就

不是一元二次方程了.

(2)要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式.

三、一元二次方程的解

(1)一元二次方程的解(根)的意義：

能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.又因?yàn)橹缓幸粋€(gè)未知數(shù)的方程的解

也叫做這個(gè)方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根.

(2)一元二次方程一定有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.這X"X?是一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)

的兩實(shí)數(shù)根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個(gè)等式求解未知量.

22

ax1+bx1+c=0(aWO),ax2+bx2+c=0(a#0).

四、解一元二次方程-直接開平方

形如x2=p或(nx+m)2=p(p>0)的一元二次方程可采用直接開平方的方法解一元二次方程.

如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=土丘；

如果方程能化成(nx+m)2=p(p>0)的形式，那么nx+m=±Vp.

注意：①等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù).

②降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程.

③方法是根據(jù)平方根的意義開平方.

五、解一元二次方程-配方法

(1)將一元二次方程配成(x+m),^的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配

方法.

(2)用配方法解一元二次方程的步驟：

①把原方程化為ax2+bx+c=0(a#0)的形式；

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；

③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；

⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方

程無實(shí)數(shù)解.

六、解一元二次方程-公式法

_b+J/_4ac

(1)把x=---=----------(b2-4ac^0)叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的求根公式.

2a

(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

(3)用公式法解一元二次方程的一般步驟為：

①把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a,b,c的值(注意符號(hào))；

②求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0,方程無實(shí)數(shù)根)；

③在b2-4ac20的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算求出方程的根.

注意：用公式法解一元二次方程的前提條件有兩個(gè)：①aWO；②b2-4acN0.

七、解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)

因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二

次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得

到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

八、由實(shí)際問題抽象出一元二次方程

在解決實(shí)際問題時(shí)，要全面、系統(tǒng)地申清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，找出并全面表示

問題的相等關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，用方程表示出已知量與未知量之間的等量關(guān)系，即列出一元二次方程.

九、一元二次方程的應(yīng)用

1、列方程解決實(shí)際問題的一般步驟是：審清題意設(shè)未知數(shù)，列出方程，解所列方程求所列方程的解，檢驗(yàn)

和作答.

2、列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：

(1)數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a,十位數(shù)是b,則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a.

(2)增長率問題：增長率=增長數(shù)量/原數(shù)量X100%.如：若原數(shù)是a,每次增長的百分率為x,則第一次

增長后為a(1+x)；第二次增長后為a(1+x)2,即原數(shù)X(1+增長百分率)2=后來數(shù).

(3)形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長.②利用三角形、矩形、菱形、

梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程.③利用相似三角形的對應(yīng)比例關(guān)系，

列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程.

【規(guī)律方法】列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”

1.審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系.

2.設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù).

3.歹!I：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程.4.解：準(zhǔn)確求

出方程的解.

5.驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程

03題型歸納

題型一利用一元二次方程的定義判斷是否是一元二次方程

例1.（23-24八年級下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）

12

A.ax2+ftx+c=0B.—+x=2C.x2+x=y2+1D.2（x+l）=3（x+l）

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程的概念.根據(jù)一元二次方程的定義解答，一元二次方程必須滿足四個(gè)條

件：未知數(shù)的最高次數(shù)是2,二次項(xiàng)系數(shù)不為0,是整式方程，含有一個(gè)未知數(shù)；

【詳解】解：4、ax2+bx+c=0當(dāng)。=0時(shí)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、±+x=2,不是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

X

C、x2+x=y2+l,含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、2（x+l/=3（x+l）是一元二次方程，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

鞏固訓(xùn)練

1.（2023?江蘇鹽城?模擬預(yù)測）下列方程是一元二次方程的是（）

A.ax1+bx+c=dB.yjx2—4=xC.2x~H----F2=0D.（〃廠+l）x?-3x=4

【答案】D

【分析】此題主要考查了一元二次方程定義，判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化

簡后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0"；“整式方程”.

根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可

【詳解】解：/、當(dāng)。=0時(shí)不是一元二次方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

8、該方程不是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、該方程不是整式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；

。、該方程符合一元二次方程的定義，是一元二次方程，故本選項(xiàng)正確；

故選：D.

2.（23-24八年級下?山東煙臺(tái)?期中）下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程是（）

A.x-y=lB.x2+x+2=0

C.2x+—=0D.x（x-3）=2+x2

X

【答案】B

【分析】本題考查一元二次方程的定義，根據(jù)只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程

叫一元二次方程求解即可.

【詳解】=l,未知數(shù)的最高次數(shù)是1,不符合一元二次方程定義，不是一元二次方程；

B./+x+2=0符合一元二次方程定義，是一元二次方程；

C.2x+-=0,不是整式方程，不符合一元二次方程定義，不是一元二次方程；

X

D.x（x-3）=2+x2化簡為-3x=2,不含二次項(xiàng)，不符合一元二次方程定義，不是一元二次方程；

故選：B.

2

3.（23-24八年級下,山東煙臺(tái),期中）下列方程中：①/-2工+1=0；②ax2+bx+c=0；③—r+3x—5=0；

x

?-x2=0；⑤（X一碟+/=2；⑥（2x-l）（x-3）=2/,一元二次方程的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫

做一元二次方程，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：①無2_2X+1=0,是一元二次方程；

@ax2+bx+c=0,當(dāng)。=0時(shí)，不是一元二次方程；

③+3》_5=0,不是整式方程，不是一元二次方程；

尤

@-x2=o,是一元二次方程；

@（X-1）2+/=2,含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程;;

@（2x-l）（x-3）=2x2,即-7X+3=0,未知數(shù)的最高次不是2,不是一元二次方程；

二一元二次方程有2個(gè)，

故選：B.

題型二一元二次方程的一般形式

例2.（23-24八年級下?黑龍江哈爾濱?階段練習(xí)）方程（x+3）（x-2）=0化為一元二次方程的一般形式是

【答案】x2+x—6=0

【分析】此題考查了一元二次方程的一般形式，即。/+1+，=0（。-0）.其中。是二次項(xiàng)系數(shù)，6是一次項(xiàng)

系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).去括號(hào)合并同類項(xiàng)整理即可.

【詳解】解：?；（x+3）（x-2）=0

x~—2x+3x—6—0

x?+x—6=0

故答案為：x2+x-6=0

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級下?廣西崇左?期中）把方程（3x+2『=4（x-3）2化為一元二次方程的一般形式是_.

【答案】5X2+36X-32=0

【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，去括號(hào)的過程中要注意符號(hào)的變化，不要漏乘，移項(xiàng)

時(shí)要注意符號(hào)的變化.

首先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，把方程變形為一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a,b,c是常數(shù)

且a-0）特別要注意aW0的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn).

【詳解】解：方程（3x+2）2=4。-3）2

去括號(hào)得：9/+i2x+4=4（/-6x+9）,

即9/+12x+4=4x2-24x+36,

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：5X2+36X-32=0,

即可化成5/+36%-32=0,

故答案為：5/+36尤-32=0.

2.（23-24八年級下?山東東營?階段練習(xí)）把一元二次方程（x+D（l-x）=2x化成一般形式后得到二次項(xiàng)系數(shù)

是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是.

【答案】12-1

【分析】此題主要考查了一元二次方程的一般形式.首先利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算,再整理得到X2+2X-1=0,

然后再確定二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).

【詳解】解：方程（X+D（1T）=2X整理為一般形式為父+2尤_1=0,

???二次項(xiàng)系數(shù)是1,一次項(xiàng)系數(shù)是2,常數(shù)項(xiàng)是T,

故答案為：1,2,-1.

3.（23-24九年級上?四川南充?階段練習(xí)）方程（2》+1）（工-3）=/-1化為一般形式為,二次項(xiàng)系

數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和為.

【答案】x1—5x—2=0-6

【分析】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a,b,。是常

數(shù)且a/0）特別要注意aNO的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn).在一般形式中辦2叫二次項(xiàng)，bx

叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng).其中。，b,c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng).方程整理為一般形式后，

求出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的和即可.

【詳解】解:方程整理得：爐一5》-2=0,

,二次項(xiàng)系數(shù)為1,一次項(xiàng)系數(shù)為-5,常數(shù)項(xiàng)為-2

則1-5-2=-6.

故答案為:x~—5x—2=0,—6.

題型三利用一元二次方程的定義求參數(shù)

例3.（23-24八年級下?安徽六安?階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程（加+l）xZ+i+4x-5=0是一元二次方程，則加

的值是（）

A.0B.-1C.1D.±1

【答案】C

【分析】本題考查一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵.理解一元二次方程的定

義，需要抓住兩個(gè)條件：①二次項(xiàng)系數(shù)不為0；②未知數(shù)的最高次數(shù)為2；

結(jié)合一元二次方程的定義，可以得到關(guān)于用的方程和不等式，求解即可得到根的值.

【詳解】解：；關(guān)于x的方程（加+l）-4x-5=0是一元二次方程，

］加+1w0

|m2+1=2；

解得m=l.

故選：C.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024八年級下?安徽?專題練習(xí)）關(guān)于x的方程+加x+2=3是一元二次方程，則加值為（）

A.2或一2B.2C.-2D.，，亞0且機(jī)中2

【答案】C

【分析】此題主要考查了一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知

數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：???關(guān)于》的方程（加-2淖+“+2=3是一元二次方程，

|加|=2且〃?一2片0,

解得加=-2.

故選：C.

2.（23-24八年級下?安徽亳州?期中）若（加-2），-2-加x+l=0是一元二次方程，則用的值為（）

A.2B.-2C.2或-2D.-72

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫

r機(jī)2—2=2

做一元二次方程，據(jù)此可得cn,解之即可得到答案.

【詳解】解：,.,（抑-2）無裾N-機(jī)x+l=0是一元二次方程，

［機(jī)2-2=2

［加-2。0'

解得m=-2,

故選：B.

3.（23-24八年級下?安徽池州?期末）若關(guān)于x的方程也-2）-匕+4x-3=0是一元二次方程，則k.

【答案】-2

【分析】本題考查了一元二次方程，熟記定義是解題關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程的定義（只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)2的整式方程，叫做一元二次方程）

即可得.

【詳解】解：???關(guān)于x的方程（左-2）/匕+4工-3=0是一元二次方程,

k2-2=2

k-2^Q

解得人=-2,

故答案為：-2.

題型四一元二次方程的解求參數(shù)的值

例4.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?二模）已知x=2是方程-3x+c=0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)c的值是.

【答案】2

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，把x=2代入x2—3x+c=0即可求出c的值.

【詳解】解：把x=2代入/_3x+c=0,

可得出2。-3x2+c=0,

解得：c=2,

故答案為：2.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級下?浙江杭州?期中）關(guān)于x的一元二次方程，+3》+?7一2=0有一個(gè)根為0,則加的值是

（）

A.1B.±1C.2D.±2

【答案】C

【分析】本題主要考查一元二次方程的解及一元二次方程的定義，一元二次方程的解是使方程左右兩邊相

等的未知數(shù)的值，將x=0代入原方程計(jì)算即可得到答案.

【詳解】解：司是方程的根，

0~+3x0+〃?—2=0,

.,.加=2,

故選：C.

2.（2024?山東濟(jì)南?三模）關(guān)于彳的一元二次方程》2-4工+2加=0的一個(gè)根再=4,則加=.

【答案】0

【分析】本題考查了一元二次方程，把玉=4代入方程/-4x+2m=0,解關(guān)于切的方程即可.

【詳解】解：把占=4代入方程一一4》+2機(jī)=0

得16-16+2加=0

解得：m-0

故答案為：0.

3.（2024?山東濟(jì)南?二模）己知關(guān)于x的一元二次方程2/+蛆-6=0的一個(gè)根是3,則冽的值是.

【答案】-4

【分析】根據(jù)一元二次方程2/+加—6=0的一個(gè)根是3,將x=3代入原方程得到關(guān)于用的一元一次方程進(jìn)

而即可解答.本題考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???關(guān)于x的一元二次方程2/+蛆-6=0的一個(gè)根是3,

.,.將X=3代入方程2x2+如-6=0得：2x3?+3m—6=0,

解得:m=-4,

故答案為：-4.

題型五一元二次方程的解求代數(shù)式的值

例5.（2024?青海玉樹三模）若x=3是關(guān)于x的方程爾_樂=6的解，則2024-94+36的值為.

【答案】2018

【分析】本題考查了方程的解的定義、代數(shù)式求值，根據(jù)方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，

把x=3代入原方程得出9a-36=6,整理2024-9“+3b為2024-（9?！?6）,整體代入計(jì)算即可，熟練掌握

方程的解的定義、代數(shù)式求值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?。=3是關(guān)于x的方程爾一反=6的解，

9a-3b=6,

??.2024—9。+3b

=2024—（9a—36）

=2024-6

=2018,

故答案為：2018.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?四川南充?中考真題）已知加是方程/+4.”1=0的一個(gè)根，貝U（優(yōu)+5）（優(yōu)-1）的值為.

【答案】-4

【分析】本題主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代數(shù)式的值，根據(jù)〃7是方程Y+4x7=0

的一個(gè)根，可得出/+4〃?=1,再化簡代數(shù)式，整體代入即可求解.

【詳解1解：???加是方程X2+4X-1=0的一個(gè)根，

???m2+4m=1

(m+5)(m-l)

=m2—m+5m—5

=m2+4m—5

=1-5

=-4,

故答案為：-4.

2.(2024?江蘇常州?二模)已知加為方程％2_3工_6=0的一個(gè)根，貝!)代數(shù)式一加?+3加一6的值是.

【答案】-12

【分析】本題主要考查了一元二次方程的解等知識(shí)點(diǎn)，先根據(jù)方程解的定義，化簡關(guān)于冽的方程，然后整

體代入求值，掌握方程解的定義和整體代入的思想方法是解決本題的關(guān)鍵.

【詳解】為方程爐-3%-6=0的一個(gè)根，

m2—3m—6=0,

m2—3m=6,

—m2+3m—6

=-(m2-3m)-6

=—6—6

=-12,

故答案為：-12.

3.(2024?福建?模擬預(yù)測)已知加為方程公+3%—2024=0的根，那么加?+2加？—2027^+2024的值為

【答案】。

【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義；將方程的根代入方程，化簡得/+3機(jī)=2024,將代數(shù)式變

形，整體代入求值即可.

【詳解】???加為方程f+3%—2024=0的根，

m2+31n—2024=0，

m2+3m-2024，

32

???原式=m+3加之_m_2m—2024m+2024

=m(m2+3m)—(m2+3m)—2024m+2024

=2024m-2024-2024w+2024

=0.

故答案為：。.

題型六一元二次方程的解的估算

例6.（23-24八年級下?黑龍江大慶?階段練習(xí)）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)：估計(jì)一元二次方程?2+bx+c=0（?,

b,c為常數(shù)，。片0）一個(gè)解x的范圍為（）

X0.511.523

ax2+bx+c2818104-2

A.0.5<x<lB.1cx<1.5C.1,5<x<2D.2<x<3

【答案】D

【分析】本題考查了利用二次函數(shù)估算一元二次方程的近似解，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解

決本類題型的關(guān)鍵?根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，尤在0.5到3之間時(shí)，ax?+金+c隨著x的增大而減小，而當(dāng)x=2

時(shí)，ax2+bx+c=4,當(dāng)x=3時(shí)，ax2+bx+c=-2>0在4和-2之間，所以一元二次方程ax?+bx+c=O其中

一個(gè)解的范圍是2cx<3.

【詳解】由表格可知：

ax2+bx+c=0在辦°+bx+c=4和ax2+6x+c=-2之間，對應(yīng)的x在2和3之間，

所以分+&+c=0一個(gè)解的取值范圍為2cx<3.

故選D.

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級下?浙江杭州?階段練習(xí)）已知，-3x+l=0,依據(jù)下表，它的一個(gè)解的范圍是（）

X2.52.62.72.8

—3x+1-0.25-0.040.190.44

A.2.5<x<2.6B.2.6<x<2.7C.2.7<x<2.8D.不確定

【答案】B

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，/-3》+1的值隨著x的增大而增大，那么

在2.6與2.7之間必然有一個(gè)數(shù)使得代數(shù)式/-3x+l的值為0,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：由表格可知，V-3X+1的值隨著x的增大而增大，

當(dāng)x=2.6時(shí)，X2-3X+1=-0.04<0,

當(dāng)尤=2.7時(shí)，X2-3X+1=0.19>0,

那么在2.6與2.7之間必然有一個(gè)數(shù)使得代數(shù)式/-3x+l的值為0,

???方程必一3x+l=0的一個(gè)解的范圍為2.6<x<2.7.

故選：B.

2.(23-24八年級下?江蘇蘇州?期中)觀察表格，一元二次方程X2-2X-L1=0的一個(gè)解的取值范圍

是.

X1.31.41.51.61.71.81.9

2x—1.1-0.71-0.54-0.35-0.140.090.340.61

【答案】1.6<x<1,7

【分析】本題考查了估算一元二次方程的近似解.根據(jù)圖表數(shù)據(jù)找出一元二次方程等于0時(shí)，未知數(shù)的值

的范圍，即可得到答案.

【詳解】解：x=1.6時(shí)，丁=一0.14,工=1.7時(shí)，y=0.09,

二一元二次方程?？-2%-1.1=0的解的范圍是1.6<》<1.7.

故答案為：1.6<x<1.7

題型七用配方法配一元二次方程

例7.(23-24八年級下?浙江金華?期中)用配方法解一元二次方程/-2工=1,配方后得到的方程是()

A.(%-1)2=2B.(x+1)2=2C.(x+1)2=0D.(x-1)2=0

【答案】A

【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，將方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，再寫成完全平

方式即可得出答案.

【詳解】M：■■X2~2X=1,

■■X2-2x+l=l+l，即(x-l>=2,

故選：A.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024?山西陽泉?三模)用配方法解一元二次方程，-8x+10=0配方后得到的方程是()

A.(x+8)2=54B.(x-8)2=54C.(x+4)2=6D.(x-4)2=6

【答案】D

【分析】本題主要考查了一元二次方程的配方法.把常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊后，利用完全平方公式配方得到

結(jié)果，即可做出判斷.

【詳解】解：X2-8X+10=0,

移項(xiàng)得：x2-8x=-10,

配方得：X2-8X+16=-10+16,

整理得：（x-4=6,

故選：D.

2.（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?模擬預(yù)測）用配方法解一元二次方程2——5、-1=0,配方正確的是（）

33412729

A.B.C.D.

161644

【答案】Z

【分析】本題考查的是利用配方法解一元二次方程.先把原方程化為：x2-|x=p再"兩邊同時(shí)加上一次

項(xiàng)系數(shù)一半的平方”，從而可得答案.

【詳解】解：,??2》2一5》一1=0,

故選：A.

3.（23-24八年級下?安徽淮北?階段練習(xí)）用配方法解方程3Y—4X-3=0,應(yīng)把它先變形為（）

13810

A.B.=0C.D.

999

【答案】4

【分析】本題考查解一元二次方程-配方法，涉及完全平方差公式、等式性質(zhì)等知識(shí)，由配方法，利用完全

平方差公式恒等變形即可得到答案，熟練掌握配方法是解決問題的關(guān)鍵.

【詳解】解：3%2—4x—3=0,

4

二次項(xiàng)系數(shù)化為1得Y-丁—1=0,

4

移常數(shù)項(xiàng)得

配方得一。+

故選：A.

題型八解一元二次方程

例8.(23-24九年級?江蘇?假期作業(yè))解關(guān)于工的方程(因式分解方法):

(1)3X2-V5X=0;(2)7x(%-3)=3x-9.

=

【答案】(1)玉=0,x2~~

3

(2)西=3,x2=—

【分析】(1)用提公因式法進(jìn)行因式分解，再解方程即可；

(2)移項(xiàng)后，用提公因式法進(jìn)行因式分解，再解方程即可.

【詳解】(1)解：x(3x-V5)=0

①X=0②3x-后=0

(2)解：7x(%-3)=3(%-3)

7x(x-3)-3(x-3)=0

(x-3)(7x-3)=0

①x-3=0②7x-3=0

)3

玉=3,~?

【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程.其中找到合適的公因式是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

1.(2024八年級下?浙江?專題練習(xí))解方程：

2

(1)/-49=0；(2)2(X+1)-49=1.

【答案】(1)$=7,x2=-7

(2)X]=4,X]=—6

【分析】本題考查解一元二次方程:

（1）利用直接開平方法求解；

（2）先移項(xiàng)，再利用直接開平方法求解.

【詳解】（1）解：X2-49=0,

x2=49,

???x=±7,

???玉=7,%2=-7；

（2）解：2（X+1）2-49=1,

（x+1）2=25,

???x+1=+5,

**?X]—4f%2=-6.

2.（23-24九年級上?安徽蕪湖?期中）用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋海╔-3）2=（2X+5）2

2

【答案】網(wǎng)=-8,x2=-1

【分析】本題考查一元二次方程的解法，根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)解法是解題的關(guān)鍵.直接用開平方法求

解即可.

【詳解】解：原式直接開方得，x-3=±（2x+5）,

x-3=2x+5或x-3=-（2x+5）,

2

???原方程的解為：網(wǎng)=-8,x2=--.

3.（23-24八年級下?廣西崇左?期中）解方程：

（1）X2-2X-35=0；⑵（X+3）2=2X+6.

【答案】（1）X]=7,x2=—5

⑵W=-3,x2=-1

【分析】本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方

程的方法有直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法等.

（1）先分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可.

【詳解】（1）解：x2-2x-35=0,

因式分解得(x-7)(x+5)=0,

即x-7=0或x+5=0,

解得項(xiàng)=7,x2=-5.

(2)解：(x+3)?=2x+6,

移項(xiàng)得(X+3『-2(X+3)=0,

因式分解得(X+3)(X+3-2)=0,

即x+3=0或x+3-2=0,

解得占=-3,x2=-l.

4.(23-24八年級下?全國?假期作業(yè))用公式法解下列方程：

(1)X2-X-12=0;

(2)2X2+5X-3=0;

(3)2X2-7X+7=0.

【答案】(1)再=4,%=-3

(2)X]=g,%=_3

(3)方程無解

【分析】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握利用公式法求解方程是解題的關(guān)鍵;

(1)由題意易得a=L6=T,c=T2,然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解；

(2)由題意易得a=2,6=5,c=-3,然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解；

(3)由題意易得a=2,6=-7,c=7,然后根據(jù)公式法可進(jìn)行求解.

【詳解】(1)解：X2-X-12=0

a=l,b=—l,c=—12,

???A=/?2-4ac=1+4x1x12=49>0,

—b±-\lb2-4ac1±V?91±7

x=------------=-------=----，

2a22

**(X]—4,%2~-3；

(2)解：2/+5x-3=0

a=2,b=5,c=—3,

???A=Z?2-4ac=25+4x2x3=49>0，

-b+y/b2-4ac-5±V49-5±7

??x=------------=--------=------，

2a44

1「

*,?玉=f=-3；

(3)解：2X2-7X+7=0

a=2,b=—1,c=1,

A=Z?2-4ac=49-4x2x7=-7<0,

???原方程無解.

5.(23-24九年級上?海南省直轄縣級單位?期末)用配方法解方程:

7

(l)x2+4x=2；(2)x—3x——=0；

(3)4/—8x=-3;(4)4X2+4X+10=1-8X

【答案】(1)m=-2+V^,x2=-2—V6

17

⑵七二一萬，“2=/

13

(3)再=/，*2=2

3

(4)玉=x2=

【分析】本題考查解一元二次方程，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵：

(1)利用配方法解一元二次方程即可；

(2)利用配方法解一元二次方程即可；

(3)利用配方法解一元二次方程即可；

(4)利用配方法解一元二次方程即可.

【詳解】(1)解：x2+4x=2,

(x+2『=6,

—

石二—2+A/6,x2—2—;

c7

(2)解：x—3x—■7=0,

(3)解：4——8x=—3,

（2x-2）2=-3+4=1,

（4）解：4X2+4X+10=1-8X,

4x2+12x+9=0,

（2x+3）2=0,

3

Xj=x2=.

題型九解一元二次方程中錯(cuò)解復(fù)原問題

例9：（2024?江西吉安?三模）小明解一元二次方程2尤2+5》+3=0的過程如下，請你仔細(xì)閱讀，并回答問題:

53

解：原方程可變形為/+”]=0,（第一步）

53

.-.X2+—x=——,（第二步）

22

525325

???X2+—XH-----=”+彳，（第三步）

24

（第四步）

.5_V19

,,AXn+....—工+----,（第五步）

22

-5+V19—5—9

??西（第六步）

2%2,

（1）小明解此方程使用的是法；小明的解答過程是從第步開始出錯(cuò)的.

（2）請寫出此題正確的解答過程.

【答案】（1）配方；三

,3

（2）再=-1,x2

【分析】（1）根據(jù)配方法解答即可.

（2）根據(jù)配方法的基本步驟規(guī)范解答即可.

本題考查了配方法解方程，熟練掌握配方法解方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）根據(jù)題意，這種解方程的方法是配方法，配方時(shí)，在第三步時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤,

故答案為：配方法，第三步.

53

（2）原方程可變形為一+5'+5=0,

253

XH---X=----,

22

2525325

.*.X~\---XH----------1----，

216216

2

x+|I1

16

44

3

???西=-1,x

22

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24八年級下?全國?假期作業(yè)）解方程岳2+4瓜=2后，某位同學(xué)的解答過程如下:

解：a=V2,b=4G，c=2V2，

???△=/一4。。二卜6『-4、g2行=32>0,

-W3±V32_/-

??A-—i——7OH乙,

2xj2

+2,%2=-A/6-2.

請你分析以上解答過程有無錯(cuò)誤，如有錯(cuò)誤，指出錯(cuò)誤的地方，并寫出正確的結(jié)果.

【答案】見解析

【詳解】解：有錯(cuò)誤，C的值應(yīng)為_2行.

將方程化為一般形式，得行工2+4瓜-2亞=0.

a=A/2,b=4^3，c=—2>/2，

...△=（4@2一4義@卜2挺）=64>0,

-4>A±8

2V2

*,?&=_■s/6+2y,%2=-A/6-2-\/2.

2.（23-24八年級下?廣西百色?期中）小涵與小彤兩位同學(xué)解方程3x（x-6）=（x-6『的過程如下:

小涵的解題過程：

第1步：兩邊同時(shí)除以（x-6）得3x=x-6,

第2步：移項(xiàng)，得3x=x-6,

第3步：解得x=-2.

小彤的解題過程：

第1步：移項(xiàng)，得3無(x—6)-(x—6)=0,

第2步：提取公因式，得(x-6)(3xr-6)=0.

第3步：貝!Jx-6=0或3x-x-6=0,

第4步：解得占=6,毛=2.

(1)小涵和小彤的解法都不正確，小涵第一次出錯(cuò)在第步，小彤第一次出錯(cuò)在第步；

(2)請你給出正確的解法，并結(jié)合你的經(jīng)驗(yàn)提出一條解題注意事項(xiàng).

【答案】(1)1,2

(2)正確的解法見解析，占=6,X2=-3.注意事項(xiàng)：移項(xiàng)時(shí)要注意改變符號(hào)，或(除數(shù)不能為0)

【分析】本題考查了解一元二次方程，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)等式的性質(zhì)和因式分解法則即可得出答案；

(2)利用因式分解法解答即可.

【詳解】(1)解：小涵的解法中，因?yàn)?x-6)可能為0,

所以不能兩邊同時(shí)除以(x-6),即第一次出錯(cuò)錯(cuò)在第1步；

小彤的解法中，第1步移項(xiàng)沒錯(cuò)，

第2步提取公因式后有一項(xiàng)忘記變號(hào)，即第一次出錯(cuò)錯(cuò)在第2步；

故答案為：1；2；

(2)解：正確的解法是:3x(x-6)=(x-6)2,

移項(xiàng)，得3x(x-6)-(x-6)2=0,

提取公因式,得(x-6)(3x-x+6)=0,

貝5|x-6=0或3x-x+6=0,

解得再=6,X2=-3,

注意事項(xiàng)：在利用因式分解法解一元二次方程時(shí)，注意把方程一邊的多項(xiàng)式正確因式分解.

題型十根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況

例10.（23-24九年級下?云南昆明?階段練習(xí)）已知關(guān)于X的一元二次方程V-5x+5=0的根的情況，下列說

法正確的是（）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒有實(shí)數(shù)根D.無法確定

【答案】A

【分析】本題考查了一元二次方程。/+bx+c=0（"0）根的判別式_4數(shù)與根的關(guān)系，熟練掌握根的

判別式與根的關(guān)系式解答本題的關(guān)鍵.當(dāng)△>（）時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，一元

二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根.

【詳解】M：1.,X2-5X+5=0,

A=（-5）2-4xlx5=5>0,

方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選4

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?河南周口?三模）關(guān)于x的一元二次方程/+2加x-2=0的根的情況是（）

A.沒有實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根

C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

【答案】D

【分析】本題考查了根的判別式:一元二次方程。/+bx+c=0（?*0）的根與A=〃-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)A>0

時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

先計(jì)算根的判別式的值得到A=4m2+8,再由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷A>0,然后根據(jù)根的判別式的意義對各

選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】解：A=（2m）2-4x（-2）=4m2+8>0,

.?.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

故選：D.

2.（2024?上海?中考真題）以下一元二次方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根的是（）

A.x2-6x=0B.x2-9=0

C.X2—6X+6=0D.x2—6x+9=0

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程判別式判斷根的情況，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程

ax2+bx+c=0(a^0),當(dāng)A=〃-4℃>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=〃一4ac=0時(shí)，方程的兩個(gè)

相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=Z?-4ac<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.分別計(jì)算出各選項(xiàng)中的根的判別式的值，即可判斷.

【詳解】解：A.A=(-6)2-4xlx0=36>0,該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故/選項(xiàng)不符合題意；

B.A=02-4xlx(-9)=36>0,該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故3選項(xiàng)不符合題意；

C.A=(-6)2-4xlx6=12>0,該方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，故C選項(xiàng)不符合題意；

D.A=(-6)2-4x1x9=0,該方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，故。選項(xiàng)不符合題意；

故選：D.

3.(23-24八年級下?安徽六安?階段練習(xí))下列方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是()

A.2x2-xB.x2-2x+1=0

C.x?—JQ—6—0D.=2.x-4

【答案】D

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程?2+bx+c=0(aN0),當(dāng)

A=62-4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)A=/-4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)

△=〃一4*<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵.

分別計(jì)算四個(gè)方程的根的判別式，然后根據(jù)判別式的意義判斷根的情況.

【詳解】解：4、2x2=x可化為：2x2—x=0

?.?A=(-1)2-4X2X0=1>0,

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

B、x2-2x+1=0

?1?A=(-2)2-4xlxl=0,

；?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

C、x2—X—6=0

A=(-l)2-4xlx(-6)=25>0,

???方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

D、x?=2x-4可化為：x2-2x+4=0

VA=(-2)2-4xlx4=-12<0,

???方程沒有實(shí)數(shù)根；

故選：D.

題型十一利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求值

例11.（2024?江西宜春?模擬預(yù)測）一元二次方程/一3尤-1=0的兩根分別為a,尸，則〃（a+￡）=.

【答案】-3

【分析】此題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式：一元二次方程兩根的和等于兩

ax2+6x+c=0,a

根的積等于二，熟記公式是解題的關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到《+￡=3,=再將代

a

數(shù)式化簡代入即可得到答案.

【詳解】???一元二次方程/-3x-1=0的兩根分別為a,B,

:.a+/3=3,oc/3=—1,

cc/3（a+4）=-1x3=—3,

故答案為：-3.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?江西吉安?一模）已知方程/-4x-3=0的兩個(gè)根分另U為X],%2,則網(wǎng)迎的值為.

【答案】-3

【分析】本題考查了一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系公式是解本題的關(guān)鍵.

根據(jù)一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，得出兩根的積即可.

【詳解】：方程，-4》-3=0的兩個(gè)根分別為x2,

-3

Xj%2=-j-=-3,

故答案為：-3.

2.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）若X],*2是方程--2工-1=0的兩個(gè)根，則2占+2々一卒2的值為一.

【答案】5

cb

【分析】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，熟記公式玉％=上，X1+X,=—-是解題關(guān)鍵.先求出

aa

X]X2,Xj+X2,再整體代入即可求值.

【詳解】解：???XA,X?是方程--2x-l=0的兩個(gè)根,

**?=-],X]+x[=2,

2玉+2X2-XAX2=2（&+）-xAx2=2x2-（-1）=5,

故答案為：5.

3.（2024?江蘇南京?三模）設(shè)百、聲是方程/一3x-2021=0的兩個(gè)根，則x；-2再+%=.

【答案】2024

【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，方程解的定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，方

程解的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到