2024-2025學(xué)年天津某中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年天津四十七中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知全集U=R,集合2={X|X2-X-6<0},B={x|久<—1或x>4],那么集合4c（QB）等于（）

A.{x|-2<x<4}B.[x\x<3或x>4}

C.{x\-2<x<-1]D.{%|-1<x<3}

2.設(shè)方與加都是非零向量，則“方工〉0”是“向量五與加夾角為銳角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.在回歸直線方程y=-0.85x+2.3中，y與x具有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系

B.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于1

C.回歸直線方程y=0.2x-0.8,當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量y平均增加0.2個(gè)單位

D.對(duì)分類變量X與匕隨機(jī)變量片的觀測(cè)值k越大，則判斷“X與丫有關(guān)系”的把握程度越小

4.函數(shù)/（%）=家一等的圖象可能為（）

5.已知偶函數(shù)/（%）在（一8,0]上是增函數(shù).若Q=/（log2《），b=f（logi3）,c=f（2-0-8）,則a,b,c的大小

32

關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

6.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S6=3S3,則3=（）

A.4B.6C.7D.9

7.已知三棱柱ABC-A/iQ的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為避，

AB=2,AC=1,ABAC=60°,則此球的表面積等于（）

第1頁(yè)，共10頁(yè)

A.87rB.97rC.IOTTD.117T

8.函數(shù)/（%）=cos（i）x-避sina）x（3>0）的部分圖象如圖所示，則下列選

項(xiàng)不正確的是（）

A,函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)既0）中心對(duì)稱

B.函數(shù)/（久）的單調(diào)增區(qū)間為即-冬/ot-勺（keZ）

C.函數(shù)/（久）的圖象可由y=2s出3%的圖象向左平移穿個(gè)單位長(zhǎng)度得到

D.函數(shù)g（%）>0）在（0,兀）上有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍

為心既

9.已知雙曲線C：善餐=l（a>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為七（—c,0）,&（。,0），點(diǎn)M是雙曲線C上一點(diǎn),

點(diǎn)N（1c,0）,且N/MN=30。，MN-MFl=0,則雙曲線C的離心率為（）

A.粵B.^C,A/3D.

二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。

10.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（1,-2）,E為虛數(shù)單位，則宏=

11.已知直線/過點(diǎn)（-1,0）且與直線2x-y=0垂直，則圓/+丫2-4久+8y=0與直線［相交所得的弦長(zhǎng)為

12.在（1-切5（1+爐）的展開式中，久3的系數(shù)為.（結(jié)果用數(shù)值表示）

13.在某次美術(shù)專業(yè)測(cè)試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級(jí)的概率分別是0.6,0.8和0.5,且三人的測(cè)試

結(jié)果相互獨(dú)立，則測(cè)試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒達(dá)優(yōu)秀等級(jí)的前提條件下，乙沒有達(dá)優(yōu)秀

等級(jí)的概率為.°E（

14.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BD上的一動(dòng)/

點(diǎn)，若族=無布+y比（％>0,y>0）,則4,2的最大值為.

15.若方程（X-2）2e>-aef+2alx-2|=0有且僅有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.（本小題14分）

在△4BC中，角4B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a="，b=2c,cosA=-7.

4

第2頁(yè)，共10頁(yè)

⑴求C的值;

(2)求sinB的值；

(3)求sin(24—B)的值.

17.(本小題15分)

如圖，在五面體力BCDEF中，四邊形ABEF為正方形，DF_L平面力BEF,CD//EF,DF=2,

EF=2CD=2,EN=2NC,BM=2MA.

(1)求證：MN〃平面4CF；

(2)求直線2。與平面BCE所成角的正弦值；

(3)求平面4CF與平面BCE所成二面角的正弦值.

18.(本小題15分)

已知橢圓C：*+'=l(a>b>0)的離心率為乎,右焦點(diǎn)為F(2,0).

(1)求橢圓方程；

(2)過點(diǎn)尸的直線2與橢圓交于4B兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線x=3交于點(diǎn)C,△4BC為等邊三角

形，求直線，的方程.

19.(本小題15分)

已知數(shù)列｛冊(cè)｝,｛"｝,Sn是數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和，已知對(duì)于任意neN*,都有3a“=2Sn+3,數(shù)列｛%｝是等

差數(shù)列，=log3ai，且歷+5,b4+1,。6-3成等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛即｝和｛4｝的通項(xiàng)公式.

(an,n為奇數(shù)

(II)記”=但入為偶數(shù),求數(shù)列｛cn｝的前幾項(xiàng)和7n.

(皿)求/

20.(本小題16分)

已知函數(shù)f(久)=xsinx+acosx(aG/?).

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程；

第3頁(yè)，共10頁(yè)

⑵若/(x)在色會(huì)上有零點(diǎn).

①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

②設(shè)函數(shù)g(x)=(a+l)sinx-xcosx,記g(x)在［0,芻上的最小值為八⑷，求h(a)的最大值.

第4頁(yè)，共10頁(yè)

參考答案

l.D

2.B

3.0

4.D

5.4

6.C

7.4

8.C

9.A

10.1+—i

11,2715

12.-9

1,313—

14.寺

6(一備T)

16.解(1)因?yàn)閍=通，b=2c,cosA=-p

q

由余弦定理可得cosA=咨1=經(jīng)署四=—[,

解得：c=1;

(Y)cosA=—7，AE(0,7i),所以sinA=yll—cos2A

由b=2c,可得siziB=2sinCf

由正弦定理可得n訴=赤r，即、也/6=就1，

4

可得s譏C=挈，

O

所以sinB=2sinC=2x^^=^^；

84

(3)因?yàn)閏osA=-psinA=總理，

q4

所以si?i2/=2sinAcosA=2x(~)x=一更1,cos2A=2cos2A—l=2x-^7—1=—，

4X4816o

第5頁(yè)，共10頁(yè)

sinB=可得cosB=理，

44

所以sin(2A—B)=sin2AcosB-cos2AsinB=x乎一(一$x

所以sin(22-B)的值為卑.

17.(1)證明：如圖，在EF上取點(diǎn)P,使EP=2PF,

因?yàn)镋N=2NC,所以NP〃FC,

因?yàn)镹PC平面4CF,FCu平面4CF,所以NP〃平面力CF,

因?yàn)锽M=2M4四邊形4BEF為正方形，所以MP〃4F,

因?yàn)镸PC平面ACF,4Fu平面ACF,所以MP〃平面4CF,

因?yàn)镸PCPN=P,MP、PNu平面MNP,

所以平面MNP〃平面4CF,

因?yàn)镸Nu平面MNP,所以MN〃平面4CF；

(2)解：因?yàn)镈F1平面ABEF,FA、EFu平面4BEF,

所以O(shè)F1FA,DF1EF,

又因?yàn)樗倪呅瘟EF為正方形，所以力F1EF,

所以凡4、FE、尸。兩兩垂直，

以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A,FE,FD所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則F(0,0,0),4(2,0,0),￡>(0,0,2),￡(0,2,0),8(2,2,0),C(0,l,2),

所以而=(-2,0,2),麗=(2,0,0),EC=(0-1,2),

設(shè)平面8CE的一個(gè)法向量為而=(x,y,z),

(EB-m=2x=0

J^(EC-m=-y+2z=O'

令z=l,可得訪=(0,2,1)，

第6頁(yè)，共10頁(yè)

所以直線AD與平面BCE所成角的正弦值為是碧==里；

(3)解:而=(2,0,0),麗=(0,1,2),

設(shè)平面/CF的一個(gè)法向量為五=(u,v,w)f

(FA-n=2u=0

[FC-n=v+2w=O'

令w=-1,可得fi=(02—1)，

由(1)知平面8CE的法向量為方=(0,2,1),

設(shè)平面4CF與平面BCE所成二面角的平面角為仇

|cos0|=歲'=后3尺=Fsin。=Jl—cos2g=

11|m|?\n\J5.J55v5

所以平面4CF與平面BCE所成二面角的正弦值為去

18.解：(1)由題意可得e=?=幸，c=2,解得a=乖,

由扶=a2-c2,...用=2,則橢圓C的方程為(+4=1.

(2)當(dāng)直線4B為久軸時(shí)，易得線段4B的垂直平分線與直線x=3沒有交點(diǎn)，故不滿足題意；

當(dāng)48所在直線的斜率存在且不為無軸時(shí)，設(shè)該直線方程為丫=kQ-2)(左力0),X(x1)yi),B(x2,y2),

,y=k(x—2)

聯(lián)立《+尤=1,消去y可得(3/+1)%2―12妙％+12H—6=0,

.62-

4=144/c4-4(3fc2+l)(12/c2-6)=24(/+1)>0,

所以孫+犯=手著，無62=翳言，

—4k

yi+Y2=k(%1—2)+/c(%2—2)=k(X1+X2—4)—3k2+1，

設(shè)48的中點(diǎn)為。，則。(黑7,獲蕓7)，設(shè)C(3,yc)，

D/V1A-CJKIX

由△ABC為等邊三角形，黑｝=卡，叱=4

印=照…(3-缶)=匕F工:,

\AB\=玳2+1,(巧+久2產(chǎn)一W工)2—4X21),

所以臆=2曝=專，解得M=l,所以k=±l,

當(dāng)48所在直線的斜率不存在時(shí)，將％=2代入?+竽=1可得y=±乎，

第7頁(yè)，共10頁(yè)

所以|4B|=竽，\CD\=1,不滿足題意，

綜上所述，直線，的方程為y=%-2或y=-％+2.

19.解：(I)對(duì)于任意九EN*,都有3冊(cè)=2S九+3,

可得幾=1時(shí)，3al=2sl+3=2al+3,解得臼=3,

n22時(shí),3an-i=2sti+3,又3冊(cè)=2Sn+3,

彳導(dǎo)3a九-3a九一1-2s九+3-2szi—3—2。九,

即為=3@/—1，

所以斯=3-3九一1二3九；

數(shù)列｛,｝是等差數(shù)列，設(shè)公差為乙

&i=log3a1=log33=l,

由打+5,3+1,優(yōu)一3成等比數(shù)列，可得34+1)2=的2+5)36-3)，

即為(2+3d)2=(6+d)(5d—2),解得d=2,

則bn=1+2(n-1)=2n—1；

e、為奇數(shù)(31幾為奇數(shù)

(II)%=［管n%偶數(shù)=［n-l,n為偶數(shù)，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn=(3+27+...+3八-1)+(1+3+...+n-1)

_3(1-3")2(1+H-1)_3"+1—312

―1-9284,

3+32

n為奇數(shù)時(shí)，Tn=Tn+1-n="^-+^(n+l)-n=3北一3+

注出+「用為偶數(shù)

所以Tn=13"+2-3,(n-1)2%在粉；

，為奇數(shù)

—o5—+.qn

(III)￡121czeck+1=+C2c3+■■.+^2n—1^2n+。271c2n+1，

由0271*2'+C2nC2n+l=C2n(t2n-1+2n+1)=(2n-l)(32n-1+32n+1)=y(2n-1)-9n,

設(shè)&=1?91+3-92+5-93+...+(2n-l)-9n,

n+1

9Rn=1?92+3?93+5?94+...+(2n-l)-9,

23nn+1

兩式相減可得-8Rn=9+2(9+9+...+9)-(2n-l)-9

=9+2.3一］)?9n+i,

化簡(jiǎn)可得匕=1|+號(hào),9"+i，

所以第iCM+i喔+*薩?9幾+1.

第8頁(yè)，共10頁(yè)

20.解：(1)當(dāng)a=1,/(%)=xsinx+cosxf/'(%)=xcosx,

???/(0)=1,f(0)=0,

.?.曲線y=/(%)在點(diǎn)(0/(0))處的切線方程為y—l=0x(x-0),即y=1；

(2)???/(x)=xsinx+acosx,???f(%)=xcosx+(1—a)smx.

①re匠幣，%>0,sinx>0,cosx>0,

當(dāng)a20時(shí)，/(x)>0,無零點(diǎn)，舍去.

TTTT

當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0,f(x)在用寸上單調(diào)遞增，

，/zX

(7T7rV2一

v-4-+ax在W0

缶

叱;42

/Zz一

(7TX

K-32+ax->0'

32

得-粵Wa—

實(shí)數(shù)a的取值范圍為［-亭笥；

②'?*g(%)=(a+l)sinx—xcosx,

」?g'(%)=acosx+xsinx=/(%