2024-2025學(xué)年上海市某中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年上海市寶山實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.（4分）如果x：y=2：3,那么下列各式不成立的是（）

A.也=5B."=-工C.工=工D.三包=旦

y3y32y3y+14

2.（4分）在比例尺為1：2000的地圖上測得/、8兩地間的圖上距離為5c%,則/、8兩地間的實際距離

為（）

A.10mB.25mC.100mD.10000m

3.（4分）若兩個相似三角形的面積之比為1：4,則它們的最長邊的比是（）

A.1：2B.1：4C.1：16D.無法確定

4.（4分）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=2,點/,8均在拋物線上，其中點/的坐標

5.（4分）如圖所示，△NBC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sig的值為（）

B.2遙c.D.

5105

6.（4分）如圖，在菱形4BCD中，4B=AC,且/連接CE、AF交于點.H,則下列結(jié)論：①△

ABF冬ACAE；（2）ZFHC=ZB；@AE-AD=AH-AF；其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

B

第1頁（共26頁）

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）cos30°=.

8.（4分）把長度為4c〃?的線段進行黃金分割，則較長線段的長是cm.

9.（4分）如果兩個相似三角形的對應(yīng)角平分線之比為1：4,那么它們的周長之比是.

10.（4分）如果拋物線y=（加-1）X2+2/MX+1的圖象開口向下，那么加的取值范圍是.

11.（4分）將二次函數(shù)》=-27的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式

為.

12.（4分）二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表，則m的值為.

X-2-101234

y72-1-2m27

13.（4分）在中，/C=90°,ZB=a,那么3C=.（結(jié)果用a的銳角三角函數(shù)

表示）

14.（4分）如圖，點。、E、尸分別是三邊的中點，與向量而______________________.

15.（4分）已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-^x2+bx+c與x軸交于點/（-4,0）,與y軸交

于點C（0,3）,拋物線的對稱軸與x軸交于點。.點尸是直線/C上方拋物線上一點，垂足為點G,

尸G與直線NC交于點〃.如果PH=AH..

16.（4分）如圖，在平行四邊形/BCD中，點廠是4D上的點，直線AF與/C相交于點E,交CD的延

長線于點G,則EG的值為.

17.（4分）如圖，已知在四邊形48CD中，/4DC=90°,點￡、尸分別在線段CD、4D上.如果NEJ_

第2頁（共26頁）

BF,-B-F-=-2-,那么cotZABD

AE3

18.(4分)如圖，已知在矩形/BCD中，連接/C,cot/ABD衛(wèi)，使點3恰好落在對角線/C上的點夕

4

處，點/、。分別落在點H、D'處，MN-AM=5,那么線段VN的長為.

三、解答題：(本大愚共7題，滿分。分)

19.計算：yj(l-cos300~)^-2sin450+(cos300)°+..--------7r~

tan60-V2

20.如圖，在梯形中，AD//BC,BC=2AD,OD=].

(1)求BD的長:

⑵如果AB=a，BC=b，試用a、味示向量0B.

21.如圖所示，8/和CA表示前后兩幢樓，按照有感規(guī)定兩幢樓間的間距不得小于樓的高度，小明想測量

一下他家所著樓與前面CD樓是否符合規(guī)定，于是他在/C間的點M處架了測角儀，已知/M=4

米，測角儀距地面1.5米.

(1)問：兩樓的間距是否符合規(guī)定？并說出你的理由；

(2)為了知道前面CD樓的高度，小明又到家里(點尸處)，用測角儀再次測得CD樓頂。的仰角為a,

第3頁(共26頁)

sina=0.6,請你來計算一下CO樓的高度.

22.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線M：y=-d+fcc+c過點/(2,2)、點、B(0,2),頂點為點

C

(1)直接寫出拋物線M的表達式和點C的坐標；

(2)點P在x軸上，當(dāng)尸與△/CO相似時，求點P坐標.

￥

1-

II_____III?

O1x

23.已知：如圖，在梯形N3CD中，AD//BC,點M在邊5C上，S.ZMDB=ZADB2=AD'BC.

(1)求證：BM=CM-,

(2)作BE，?！?，垂足為點E,并交CD于點?求證：2AD*DM=DF*DC.

24.已知，如圖，拋物線y=與％軸正半軸交于4、2兩點，與y軸交于點C,直線y=x-2

經(jīng)過4C兩點.

(1)直接寫出拋物線的解析式；

(2)P為拋物線上一點，若點尸關(guān)于直線NC的對稱點。落在y軸上，求尸點坐標；

第4頁(共26頁)

(3)現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線＞=》-旦，若平移后的拋物線與直線y=x-2交于M、N兩點.

4

①求證：MN的長度為定值；

②結(jié)合(2)的條件，直接寫出△QAW的周長的最小值.

備用圖

25.如圖，已知正方形N3CD,點”是邊8C上的一個動點(不與點8、C重合)，滿足NE=4S,延長

交CD于點F.

(2)點、M、N分別是邊48、AD的中點，己知點尸在線段上，連結(jié)4P、BP,求：cot/4BP；

(3)連結(jié)CE.如果△(?昉是以CE為腰的等腰三角形，求NF8C的正切值.

第5頁(共26頁)

2024-2025學(xué)年上海市寶山實驗學(xué)校九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）

1.（4分）如果x：j=2：3,那么下列各式不成立的是（）

A.x+y=5B.x-y=_1cx=1Dx+1=3

?~y~百~Y~百2y3*'y+TT

【解答】解：設(shè)x=2hy=3k,

進行約分，A,B,。都正確；

。不能實現(xiàn)約分，故錯誤.

故選：D.

2.（4分）在比例尺為1：2000的地圖上測得/、8兩地間的圖上距離為5cm,貝！J/、2兩地間的實際距離

為（）

A.10mB.25mC.100mD.10000m

【解答】解：設(shè)/、8兩地間的實際距離為xm,

根據(jù)題意得」_=」

2000x-100

解得x=100.

所以N、8兩地間的實際距離為100〃?.

故選：C.

3.（4分）若兩個相似三角形的面積之比為1：4,則它們的最長邊的比是（）

A.1：2B.1：4C.1：16D.無法確定

【解答】解：???兩個相似三角形的面積之比為1：4,

???它們的最長邊的比是4：2,

故選：A.

4.（4分）如圖，已知拋物線y=/+6x+c的對稱軸為直線x=2,點/,8均在拋物線上，其中點/的坐標

為（0,3）,則點3的坐標為（）

第6頁（共26頁）

A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3)

【解答】解：由題意可知拋物線的夕=/+8+，的對稱軸為直線x=2,

:點N的坐標為（2,3）,

可知/、3兩點為對稱點,

???8點坐標為（4,2）

故選：D.

5.△N5C的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則sig的值為（）

B.唔

2。?筆

【解答】解：連接DC,

由網(wǎng)格可得：CDLAB,

則。C=&,AC=K，

故"n/=DC=#:&

ACV105

且/￡=2下，連接CE、4尸交于點H,則下列結(jié)論：（1）△

ABF冬ACAE；②/FHC=NB；?AE'AD=AH'AF-,其中正確的結(jié)論個數(shù)是（）

C.3個D.4個

【解答】解：???四邊形ABCD是菱形,

:.AB=BC,

第7頁（共26頁）

'：AB=AC,

"B=BC=AC,

即△NBC是等邊三角形，

同理：△4DC是等邊三角形

:.NB=NEAC=60°,

在△NAF和中，

，BF=AE

-NB=NEAC，

AB=AC

:.AABF咨LCAECSAS）；

：.ZBAF=ZACE,EC=AF,

"：ZFHC=ZACE+ZFAC=ZBAF+ZFAC=ZBAC=60°,

：.NFHC=/B,

故①正確，②正確；

VZAHC+ZADC^120°+60°=180°,

...點/,H,C,。四點共圓，

：./AHD=/ACD=60°,ZACH^ZADH=ZBAF,

：.ZAHD=ZFHC=ZAHE=60°,

:.AAEHsADAH,故③正確；

,/ZACE=ZBAF,ZAEH=ZAEC,

:AAEHsACEA,

??--A-E-=-A-H-,

ECAC

：.AE-AC=AH-EC,

；.AE?AD=AH，AF,

故④正確；

故選：D.

二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）

7.（4分）cos30°

—2―

【解答】解：cos30。=叵.

2

第8頁（共26頁）

故答案為：1.

2

8.（4分）把長度為4c加的線段進行黃金分割，則較長線段的長是（2VS-2）cm.

【解答】解：較長線段的長=1二Lx4=（2辰.

2

故答案為（K后-5）.

9.（4分）如果兩個相似三角形的對應(yīng)角平分線之比為1：4,那么它們的周長之比是1：4.

【解答】解：?兩個相似三角形的對應(yīng)角平分線之比為1：4,

，那么它們的周長之比是7：4.

故答案為：1：7.

10.（4分）如果拋物線>=（冽-1）/+2加x+1的圖象開口向下，那么加的取值范圍是冽<1.

【解答】解：???拋物線》=（m-1）x2+7mx+l的圖象開口向下，

：.m-1<4,

解得：冽VI.

故答案為：m<\.

11.（4分）將二次函數(shù)歹=-2,的圖象向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式為y

=-2（x-1）2-2.

【解答】解：二次函數(shù)y=-2,的圖象向右平移7個單位，再向下平移2單位后2-3.

故答案為：歹=-2（%-1）2-2.

12.（4分）二次函數(shù)歹=辦2+樂+。中，函數(shù)歹與自變量1的部分對應(yīng)值如表，則加的值為-1.

X-2-101234

y72-1-2m27

【解答】解：把點(-2,7)(-8,(0,得:

a-b+c=2

<c="4，

4a-2b+c=5

"a=l

解得：<b=-2，

c=-6

???二次函數(shù)的解析式為-2X-2,

當(dāng)x=2時，y=m=24-2X2-5=-1.

故答案為：-1.

13.（4分）在RtZ\45C中，ZC=90°,/B=a,那么5C=2cosa.（結(jié)果用a的銳角三角函數(shù)表示）

第9頁（共26頁）

【解答】解：在中，ZC=90°,AB=2,

：COS3=K,

AB

?\BC=AB9cosB=2cosa.

故答案為：6cosa.

14.（4分）如圖，點、D、E、尸分別是△4BC三邊的中點，與向量而—而，前_.

【解答】解：；點。、E、尸分別是△/8C三邊的中點,

C.DF//BC,DE=L

2

?1.DF=BE=EC）

故答案為正，EC.

15.（4分）已知在平面直角坐標系xS中，拋物線y=-^x2+bx+c與X軸交于點/（-4,0）,與y軸交

于點C（0,3）,拋物線的對稱軸與x軸交于點。.點P是直線/C上方拋物線上一點，垂足為點G,

PG與直線NC交于點X.如果尸〃=4y_（二，

【解答】解：把/（-4,0）,6）代入y母3+bx+c

f-12-4b+c=0

（c=4

b=J-

解得D4，

c=7

?_329小

,,y=-x口*+4，

如圖：

第10頁（共26頁）

設(shè)直線/C解析式為卜=內(nèi)+?,由/(-4,C(0

f-6p+q=0

lq=3

，上,

解得『二，

,q=3

...直線AC解析式為y^x+M，

AC=VOA^OC2=5>

設(shè)P(m,-^-m2-ym+3),則H(m,-j-m+3),

444

,,PH=I'm+S)-((m+3)=-^-m2-4ir,HG=^-m+4,

?；NHAG=NCAO,/AGH=90°=/40C,

：.^AHG^AACO,

???—AH--G-H-,

ACOC

即也Jrl

53

??.AH言4m+5,

4

'：PH=AH,

?3275Q

'?-vm-7m=vni+8,

44

解得m==-|■或次=-3(與/重合,

514、

?1-P(，R

3

故答案為：（514、

3

第11頁（共26頁）

16.（4分）如圖，在平行四邊形/BCD中，點尸是/。上的點，直線3尸與NC相交于點E,交CD的延

長線于點G,則EG的值為3.

【解答】解：???四邊形/BCD是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC,

,:AF=2FD,

:.AF=ZAD=^,DF=2_LBC.

8338

'：AF//BC,

：.△AEFs^CEB,

?EF-AFEF_2

EBCB26

:.EF=2.

3

'：DF//BC,

:.△GFDS^GBC,

?GF-DF即GF—4

GBCBGF0+23

：.GF=^-,

3

EG=EF+GF=匡+3=3.

33

故答案為：6.

17.（4分）如圖，已知在四邊形/BCD中，/ADC=90°,點、E、尸分別在線段CD、AD1..如果4BJ_

BF,此上，那么cot/4BD=-遍一

AE3-2一

第12頁（共26頁）

A

【解答】解：如圖，過8作8G_L/D于G,

\'BG±AD,AELBF,

:./BOA=NBGA=90°,

/BHO=ZAHG,

：.ZGBF=/DAE,

又：NBGF=/ADE.

：.ABGFsAADE.

?BG_BF_2

"AD"AE

設(shè)2G=5f,則A8=/O=33

AG=VAB2-BG6=7(3t)2-(4t)2=V5V

???DG=AD-AG=(8-V5)t;

；AB=AD,

：.ZABD=ZADB,

???cot/ABD=cotNADB帶="嗜)1=3"^?

DuZtN

故答案為：生近.

2

第13頁（共26頁）

18.（4分）如圖，已知在矩形/BCD中，連接/C,cot/ABD駕，使點3恰好落在對角線/C上的點夕

4

處，點/、。分別落在點/'、D'處，MN-AM=5,那么線段兒加的長為15.

【解答】解：如圖，連接3。，

/人、、、

A/，/心'、、

???四邊形45C。為矩形，

ZBAD=ZADC=ZABC=90°,AB=CD,

：cot/ABDJ，

AD4

.,.設(shè)/5=4x,AD=4x,

:.AB=CD=3x,4D=BC=5x,

AC=VAB2+BC2=7X-

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：B'C=BC=4x,A'B'=AB=3x,

：.AB'=AC-B'C=x,ZAB'M=180°-N4'B'C=90°,

VZB'AM=ADAC,

：.AB'AMs^DAC,

?AM=AC=3x=5.

?.AB，而Za’

?5

,,AM=vx,

4

???B，M=VAM4-ABy2=-yx-

4

Q

???A，M=AyB，-By兒4x，

4

第14頁（共26頁）

"：A'ELAD,

：.ZA'EM=/AB'M=90°,

"：ZAMB'=ZA'ME,

：./\AMB's/\HME,

2

.AM=AB，M丁=5

,,h'M"A'E=ME"9而'

7X

o97Y

?',A7E=MX，ME=-^T->

3ZU

?■"DE=AD-AM-ME-^>

■:/A，EN=ZCDN=90°,/A'NE=ZCND,

ENs/\CDN,

.CD_DN_3x_5

‘A，E而

Tx

EN《DE磊x，

MNRE+EN嗡x喘x嚕x,

U：MN-AM=7,

?755u

.?面xqx=6，

**?x=8,

???心1啜乂8=15，

故答案為：15.

三、解答題：（本大愚共7題，滿分0分）

2

以計算：V（l-coS300）-2sin45°+（cos30。）°'^6（）!

-2x2^31

【解答】解：原式=V(1工

2V2-V2

=1-遍-&+2+返也^

28-2

=1-丑-V2+7+V3+V2

2

=4+直

2

第15頁（共26頁）

20.如圖，在梯形/BCD中，AD//BC,BC=2AD,OD=\.

(1)求BD的長：

,.-?.—*一?1?1?'

(2)如果卷=軟，BC=b，試用a、展示向量0B.

【解答】解：⑴'JAD//BC,

:./DAO=/BCO,ZADO^ZCBO,

：.△NODs△COB,

?OD二AD=AD_1,

"OB"BC"2ADV

：OD=1,

：.OB=2,

：.BD=OB+OD=2.

(2)VBC=b，BC=2AD,

AD=—

2

—*--**—If

,DB=AB-AD=軟號b,

由(1)知，OB="DB，

21.如圖所示，9和C〃表示前后兩幢樓，按照有感規(guī)定兩幢樓間的間距不得小于樓的高度，小明想測量

一下他家所著N5樓與前面CD樓是否符合規(guī)定，于是他在/C間的點M處架了測角儀，已知/M=4

米，測角儀距地面九CV=1.5米.

(1)問：兩樓的間距是否符合規(guī)定？并說出你的理由；

(2)為了知道前面CD樓的高度，小明又到家里(點尸處)，用測角儀再次測得CD樓頂。的仰角為a,

sina=0.6,請你來計算一下CO樓的高度.

第16頁(共26頁)

【解答】解：(1)過點N作于點G,

在RtADTVG中，ZDNG=45°

:.NG=DG,

a：AC=AM+NG,DC=DG+GC,MN=L5m,

AC>DC,

?,?兩樓的間距符合規(guī)定；

(2)延長。尸，GN交于H,

則N〃=a,PJ=AP-MN=3.5m-\2m=6m,

Vsina=0.3,

???+tanex-——3,

4

HJ=——=6m,

tanO.

設(shè)NG=DG=x,則77G=8+4+x=12+x,

Vtana=^-,

HG

?-?--4-_-----x---,

412+x

解得+x=36,即。G=36m,

/.DC=DG+GC=36+1.7=37.5（米），

.?.CD樓的高度為37.5米.

22.如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線M：y=-/+6x+c過點/(2,2)、點、B(0,2),頂點為點

第17頁(共26頁)

c

(1)直接寫出拋物線M的表達式和點C的坐標；

(2)點P在x軸上，當(dāng)△NO尸與△/(7￡>相似時，求點P坐標.

￥

1-

11_________111?

01x

【解答】解：(1)由題意得：

(c=2,

\-4+2b+c=2

解得：，b=2,

lc=5

，拋物線的表達式為y=-，+2x+8,

'?y=~X2+2X+4=-(x-1)2+6,

頂點C(1,3)；

(2)由(1)知，y=-X8+2X+2=-(x-6)2+3,

又：拋物線M的對稱軸交x軸于點D,如圖，

A

/o\D\P\x

點。(4,0),

,：A(2,8),2),3),6),

?■-AC=V(2-l)4+(2-3)2=V2>CD=3,^=7(8-l)2+72=V5>0A=V22+25=2V2>

又AAOP與AACD相似,

第18頁（共26頁）

，點。與點C對應(yīng)，

分兩種情況討論：

當(dāng)△O4PSAC4D時，

貝!]”_屈_,即里金佟，

CDCA473

解得：OP=6,

即點尸(6,6)；

當(dāng)時，

則旦匕理，即丐=啦，

ACCDV23

解得：op]，

則點P4，6),

o

綜上，點尸的坐標為仔，7),0).

23.已知：如圖，在梯形48co中，4D〃BC,點M在邊BC上,且/MDB=/ADB2=AD*BC.

(1)求證：BM=CM；

(2)作3￡_1_。河，垂足為點￡,并交CD于點足求證：2AD?DM=DF?DC.

【解答】證明：（1）,CAD//BC,ABLBC,

：.ZADB=ZDBC=ZMDB,ZA=90°,

：.BM=DM,

又＜BD2=4D,BC,即坦

BDBC

.../\ADB^/\DBC,

：.ZBDC^ZA=90°,

：.ZC=ZMDC=90°-ZDBC,

:.DM=CM,

第19頁(共26頁)

：.BM=CM,

(2):NMDC+NDFB=9Q°,

NDFB=ZDBC,

：.RtZ\DFBsRtLDBC,

???BD-DC,

DFBD

：.DF'DC=BD1

■:BD5=AD?BC=AD,(2DM)=2AD?DM,

24.已知，如圖，拋物線y=-^2+bx+c與x軸正半軸交于/、2兩點，與y軸交于點C,直線y=x-2

經(jīng)過4C兩點.

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）P為拋物線上一點，若點尸關(guān)于直線NC的對稱點0落在夕軸上，求尸點坐標；

（3）現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線y=x-11,若平移后的拋物線與直線y=x-2交于M、N兩點.

4

①求證：的長度為定值；

②結(jié)合（2）的條件，直接寫出△。兒W的周長的最小值4舟26.

第20頁（共26頁）

備用圖

【解答】解：（1）在y=x-2中，令y=0,令x=3,

：.A（2,0）,-3）；

解得F至.

c=-5

拋物線的解析式為：y=工7+當(dāng)一5.

42

（2）如圖，

：。/=。。=2,

：.ZOCA=45°

:點P關(guān)于/C的對稱點。在y軸上,

：.ZOCA=ZPCA=45°,

軸，

第21頁（共26頁）

...點尸的縱坐標為-2,

令_JLr2+-^Jtr-2=-5,

42

：.P(6,-2).

(3)①設(shè)平移后的拋物線的頂點為(m,機-平)，

...平移后的拋物線的解析式為：y=(x-加)7+m-A,

44

令__—(x-m)2+m-^-=x-22+(4-2m)x+m~-4勿+7=0,

44

設(shè)Af(xi，%),N(X2,歹2)，

.*.X5+x2=2m-6,x\*X2=m1-4m+3,

MN=-222++22

(X3X2)+(y5-y2)=7(X7-X2)(X7-2-X26)=J2(x2-x2)-3XJ

8M.

.?."N的長度為定值2蟲.

②如圖，焊KQ//MN,連接MK,由題可知，-2),4)娟，則只需要求QA/+QN的最小值即可.

,JKQ//MN,KQ=MN,

：.KM=QN即KM+MP的最小值，即KP的長，

：.K（-2,2）,

：.KP=6-^5,

.?.△QW的周長的最小值為4遍+2&.

故答案為：61/5+2^/3.

25.如圖，已知正方形48CD,點笈是邊2C上的一個動點（不與點2、。重合），滿足NE=4B,延長BE

交CD于點F.

第22頁（共26頁）

(2)點、M、N分別是邊48、4D的中點，己知點尸在線段"N上，連結(jié)4P、BP,求：cot/4BP；

(3)連結(jié)CE.如果△(?昉是以CE為腰的等腰三角形，求NEBC的正切值.

【解答】解：(1):四邊形/BCD為正方形，AE=AB,

：.AB=AD,ZBAD=90°,

：.AE=AD,

：.ZAEB=ZABE,ZAED=ZADE,

,：ZAEB+ZABE+ZAED+ZADE+ZBAD=360°,

：.2ZAEB+2ZAED+90°=360°,

；./AEB+/AED=135°,

:./BED=135°,

廣￡0=180°-135°=45°,

sinZFED=sin450

(2)由題可得，連接NC交九W于點。，MFVBP

設(shè)正方形/BCD的邊長為2,

:點M、N分別是邊4S,

△M4N為等腰直角三角形,

AM=AN=8,ZAMO=45°

VZAPB=90°,

第23頁（共26頁）

:?AM=MP=BM=1,

,?ZAMO=ZMAO=45

：.