高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題03 概率與統(tǒng)計(jì)（理）（解析版）

專題三概率與統(tǒng)計(jì)（理）【考生存在問題報(bào)告】（一）讀圖識(shí)圖能力弱學(xué)生面對(duì)一堆數(shù)據(jù)無從下手，主要原因是對(duì)數(shù)據(jù)、圖表的直觀印象和積累儲(chǔ)備的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不夠；沒有形成“用數(shù)據(jù)說話”的統(tǒng)計(jì)觀念；對(duì)抽象數(shù)據(jù)的數(shù)字特征理解不到位．【例1】（2020·湖北荊州中學(xué)高三期末）為考察A，B兩種藥物預(yù)防某疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，分別得到等高條形圖如圖所示，根據(jù)圖中信息，在下列各項(xiàng)中，說法最佳的一項(xiàng)是（）A．藥物B的預(yù)防效果優(yōu)于藥物A的預(yù)防效果 B．藥物A、B對(duì)該疾病均沒有預(yù)防效果C．藥物A、B對(duì)該疾病均有顯著的預(yù)防效果 D．藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果【解析】由等高條形圖知，服用A藥物的患病人數(shù)明顯少于服用藥物B的人數(shù)，服用A藥物的未患病人數(shù)明顯多于服用藥物B的人數(shù)，所以藥物A的預(yù)防效果優(yōu)于藥物B的預(yù)防效果，故選D.【評(píng)析】試題設(shè)計(jì)的實(shí)際背景源于生活，考生比較熟悉，試題表征是通過給出一種高中課本沒有介紹的新的統(tǒng)計(jì)圖——等高條形圖，要求考生讀懂統(tǒng)計(jì)圖的內(nèi)容．通過這樣的設(shè)計(jì)要求考生讀圖、識(shí)圖，對(duì)表征進(jìn)行分析，從而得出結(jié)論．這是考查數(shù)據(jù)分析的最基本的問題．解答本題錯(cuò)誤主要是讀圖識(shí)圖能力弱，對(duì)圖形的劃分認(rèn)識(shí)不明確，不知所措，找不到解決問題的方法；其次，不會(huì)從圖表中讀取有用數(shù)據(jù)并進(jìn)行判斷．（二）運(yùn)算能力差運(yùn)算求解能力主要是指會(huì)根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理，能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑，能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算．本專題中，學(xué)生運(yùn)算能力弱主要體現(xiàn)在不能根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑，不能根據(jù)要求對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算．【例2】（2020·安徽高三期末）某市為創(chuàng)建全國文明城市，推出“行人闖紅燈系統(tǒng)建設(shè)項(xiàng)目”，將針對(duì)闖紅燈行為進(jìn)行曝光.交警部門根據(jù)某十字路口以往的監(jiān)測數(shù)據(jù)，從穿越該路口的行人中隨機(jī)抽查了人，得到如圖示的列聯(lián)表：闖紅燈不闖紅燈合計(jì)年齡不超過歲年齡超過歲合計(jì)（1）能否有的把握認(rèn)為闖紅燈行為與年齡有關(guān)？（2）下圖是某路口監(jiān)控設(shè)備抓拍的個(gè)月內(nèi)市民闖紅燈人數(shù)的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)建立與的回歸方程，并估計(jì)該路口月份闖紅燈人數(shù).附：，參考數(shù)據(jù)：，【答案】（1）有的把握認(rèn)為闖紅燈行為與年齡有關(guān)（2）,估計(jì)該路口月份闖紅燈人數(shù)為（也可）【解析】（1）由列聯(lián)表計(jì)算,所以有的把握認(rèn)為闖紅燈行為與年齡有關(guān).（2）由題意得，，當(dāng)時(shí)，所以估計(jì)該路口月份闖紅燈人數(shù)為（也可）【評(píng)析】求解線性回歸方程的3步驟【例3】【2017年全國卷Ⅰ文19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）．下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04抽取次序910111213141516零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，．（1）求的相關(guān)系數(shù)，并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變小（若，則可以認(rèn)為零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（?。倪@一天抽檢的結(jié)果看，是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？（ⅱ）在之外的數(shù)據(jù)稱為離群值，試剔除離群值，估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差．（精確到0.01）附：樣本的相關(guān)系數(shù)．．【解析】（1）由樣本數(shù)據(jù)得的相關(guān)系數(shù)為．由于，因此可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?）（i）由于，由樣本數(shù)據(jù)可以看出抽取的第13個(gè)零件的尺寸在以外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（ii）剔除離群值，即第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值的估計(jì)值為10.02，，剔除第13個(gè)數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為．這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值為．【評(píng)析】從運(yùn)算方面看，學(xué)生不懂從中解出；不會(huì)計(jì)算的值，不懂根據(jù)保留小數(shù)點(diǎn)后兩位的要求，實(shí)施近似處理以簡化運(yùn)算；不懂直接由采用放縮方法判斷是否滿足；不會(huì)由和計(jì)算出區(qū)間的端點(diǎn)值；計(jì)算時(shí)，不懂得先做相反數(shù)相消處理或各項(xiàng)統(tǒng)一分離后轉(zhuǎn)化為計(jì)算；計(jì)算時(shí),不懂得轉(zhuǎn)化為，再利用簡化運(yùn)算；計(jì)算，不懂得各項(xiàng)統(tǒng)一提取的技巧；計(jì)算時(shí)，不懂得在保證精確度要求的前提下作近似處理以簡化運(yùn)算.（三）概念理解不透概念理解不到位的有事件、模型的判斷等；容易混淆的概念有互斥事件與對(duì)立事件、超幾何分布與二項(xiàng)分布、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式與次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生次的概率等．【例4】（2020·山西省長治市第二中學(xué)校高三期末）某校從參加某次知識(shí)競賽的同學(xué)中，選取60名同學(xué)將其成績（百分制，均為整數(shù)）分成，，，，，六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形中的信息，回答下列問題：（1）求分?jǐn)?shù)內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖；（2）從頻率分布直方圖中，估計(jì)本次考試成績的中位數(shù)；（3）若從第1組和第6組兩組學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求所抽取2人成績之差的絕對(duì)值大于10的概率.【答案】(1)見解析(2)(3)【解析】（1）設(shè)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為，根據(jù)頻率分布直方圖，則有，可得，所以頻率分布直方圖為：（2）以中位數(shù)為準(zhǔn)做一條垂直于橫軸的直線，這條直線把頻率分布直方圖分成面積相等的兩個(gè)部分，由頻率分布直方圖知中位數(shù)要把最高的小長方形三等分，所以中位數(shù)是，所以估計(jì)本次考試成績的中位數(shù)為（3）設(shè)所抽取2人成績之差的絕對(duì)值大于10為事件，第1組學(xué)生數(shù)：人（設(shè)為1，2，3，4，5，6）第6組學(xué)生數(shù)：人（設(shè)為）所有基本事件有：12，13，14，15，16，，23，24，25，26，，，，34，35，36，，，，45，46，，,，56，，，，，，，，，共有35種，事件包括的基本事件有：，，，，，，，，,，，，共有18種，所以.【評(píng)析】本題考查了利用樣本估計(jì)總體的綜合應(yīng)用問題，以及古典概型及其概率的計(jì)算問題，對(duì)弈頻率分布直方圖，應(yīng)注意：1、用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計(jì)總體則是用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準(zhǔn)確，直方圖比較直觀.2、頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所以，所有小長方形的面積的和等于1.（四）知識(shí)缺漏較嚴(yán)重，特別是“冷門知識(shí)”缺失從學(xué)生認(rèn)知的方面看，學(xué)生對(duì)相關(guān)的概念、公式理解掌握不到位，知識(shí)缺漏較嚴(yán)重，如對(duì)正態(tài)分布、條件概率等概念不清楚．另一方面由于老師淡化章節(jié)閱讀與思考、實(shí)習(xí)作業(yè)等教學(xué)，導(dǎo)致學(xué)生忽視了相關(guān)“冷門知識(shí)”的學(xué)習(xí)，如相關(guān)系數(shù)等．【例5】【2018年全國卷Ⅲ理】某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過不超過第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，【解析】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下：（i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.（2）由莖葉圖知.列聯(lián)表如下：超過不超過第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515（3）由于，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.【評(píng)析】正態(tài)分布、非線性回歸轉(zhuǎn)化線性回歸、相關(guān)系數(shù)、莖葉圖的意義等，從教科書看，介紹較少，這個(gè)問題應(yīng)值得引起我們關(guān)注．在復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)關(guān)注閱讀與思考、實(shí)習(xí)作業(yè)等教學(xué)，應(yīng)注意對(duì)學(xué)生的認(rèn)知進(jìn)行補(bǔ)缺補(bǔ)漏，再如正態(tài)分布、條件概率、相關(guān)系數(shù)、殘差圖、擬合效果等知識(shí)．（五）審題析題不到位審題析題不清是本專題解答錯(cuò)誤的主要原因，主要包括題意不清，茫然作答；閱讀膚淺，丟失信息；條件欠缺，魯莽下筆；圖形不準(zhǔn)，缺乏嚴(yán)密；方向不明，目標(biāo)模糊等情況．審題不清的最主要原因在于學(xué)生的閱讀理解能力欠缺．【例6】【2018年理新課標(biāo)I卷】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為,求的最大值點(diǎn)．（2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．（i）若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為，求;（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【答案】(1).(2)（i）490.（ii）應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).【解析】（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為.因此.令，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的最大值點(diǎn)為.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.所以.（ii）如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).【評(píng)析】該題考查的是有關(guān)隨機(jī)變量的問題，在解題的過程中，一是需要明確獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)成功次數(shù)對(duì)應(yīng)的概率公式，再者就是對(duì)其用函數(shù)的思想來研究，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求得其最小值點(diǎn)，在做第二問的時(shí)候，需要明確離散型隨機(jī)變量的可取值以及對(duì)應(yīng)的概率，應(yīng)用期望公式求得結(jié)果，再有就是通過期望的大小關(guān)系得到結(jié)論.面對(duì)試題中冗長的文字表述，學(xué)生方寸大亂，不知所措，從而失去讀題、解題信心；對(duì)概率模型不清，不能利用二項(xiàng)分布模型寫出；不能進(jìn)行知識(shí)的交融運(yùn)用，導(dǎo)致不能利用導(dǎo)數(shù)求最大值點(diǎn)或利用導(dǎo)數(shù)求后，不能合理的變形求最大值點(diǎn)；對(duì)于第（2）不能靈活運(yùn)用期望性質(zhì)，導(dǎo)致無法求；未能準(zhǔn)確題意，方向不明，目標(biāo)模糊，導(dǎo)致回答問題含混不清、詞不達(dá)意．（六）解題規(guī)范性較差涉及本專題內(nèi)容的考查，學(xué)生失誤和失分最多的是會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全和全而不準(zhǔn)，如不能用字母表示事件，導(dǎo)致在利用簡單事件表示復(fù)雜事件書寫混亂；解答過程缺失關(guān)鍵步驟，丟三落四，導(dǎo)致丟分等．【例7】（2020·全國高三專題練習(xí)（理））某校高三實(shí)驗(yàn)班的60名學(xué)生期中考試的語文、數(shù)學(xué)成績都在內(nèi)，其中語文成績分組區(qū)間是：，，，，.其成績的頻率分布直方圖如圖所示，這60名學(xué)生語文成績某些分?jǐn)?shù)段的人數(shù)與數(shù)學(xué)成績相應(yīng)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)之比如下表所示：分組區(qū)間語文人數(shù)243數(shù)學(xué)人數(shù)124（1）求圖中的值及數(shù)學(xué)成績?cè)诘娜藬?shù)；（2）語文成績?cè)诘?名學(xué)生均是女生，數(shù)學(xué)成績?cè)诘?名學(xué)生均是男生，現(xiàn)從這7名學(xué)生中隨機(jī)選取4名學(xué)生，事件為：“其中男生人數(shù)不少于女生人數(shù)”，求事件發(fā)生的概率；（3）若從數(shù)學(xué)成績?cè)诘膶W(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生，且這2名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績?cè)诘娜藬?shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）數(shù)學(xué)成績?cè)诘娜藬?shù)為8人（2）（3）詳見解析【解析】（1）由題意，根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得.則語文成績?cè)冢?，，，中的人?shù)分別為，則數(shù)學(xué)成績?cè)?，，，，中的人?shù)分別為，所以數(shù)學(xué)成績?cè)诘娜藬?shù)為8人.（2）從這7名學(xué)生中隨機(jī)選取4名學(xué)生，事件為：“其中男生人數(shù)不少于女生人數(shù)”，可分為①2個(gè)男生，2個(gè)女生；②3個(gè)男生1個(gè)女生；③4個(gè)男生，三種情況：所以事件發(fā)生的概率.（3）由題意可知可能取值有0，1，2.，，，的分布列為012所以.【評(píng)析】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解，其中解答中認(rèn)真審題，熟記頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及準(zhǔn)確求解隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，得到隨機(jī)變量的分布列是解答的關(guān)鍵，但是事件可分為①2個(gè)男生，2個(gè)女生；②3個(gè)男生1個(gè)女生；③4個(gè)男生三種情況，有些同學(xué)可能考慮問題不全面，造成失分.2.求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨(dú)立事件的概率積公式，以及對(duì)立事件的概率公式等)，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對(duì)于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應(yīng)熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.【命題專家現(xiàn)場支招】（一）加強(qiáng)閱讀理解能力培養(yǎng)與訓(xùn)練統(tǒng)計(jì)與概率進(jìn)一步強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)的考查，已成高考命題改革的必然趨勢，試卷試題文字閱讀量的逐年增加，或成高考試卷的發(fā)展趨勢．復(fù)習(xí)中，應(yīng)規(guī)范教學(xué)的閱讀指導(dǎo)．應(yīng)該呈現(xiàn)讀題提取關(guān)鍵信息、析題形成解題思路、解題示范規(guī)范表達(dá)、反思積淀解題經(jīng)驗(yàn)的“四步曲”完整過程，才能充分發(fā)揮解題教學(xué)的效益．其次，加強(qiáng)平時(shí)的閱讀訓(xùn)練．需要適當(dāng)增加平時(shí)作業(yè)習(xí)題的閱讀量，尤其是應(yīng)用性試題的讀題訓(xùn)練，提高學(xué)生的閱讀理解能力及應(yīng)試心態(tài)．解答應(yīng)用問題要過三關(guān)：一是事理關(guān)，即讀懂題意，需要一定的閱讀理解能力；二是文理關(guān)，即把文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語言；三是數(shù)理關(guān)，即構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建之后還需要扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的數(shù)理能力．除以上過“三關(guān)”外，對(duì)于概率與統(tǒng)計(jì)應(yīng)用問題還應(yīng)再過三關(guān)，即文字關(guān)、圖表關(guān)、計(jì)算關(guān)．【例1】【2017年全國卷Ⅰ理19】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：cm）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．（?。┰囌f明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，．用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01）．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【解析】（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，故，因此，的數(shù)學(xué)期望為．（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率只有0.0408，發(fā)生的概率很?。虼艘坏┌l(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的．（ii）由，得的估計(jì)值為的估計(jì)值為，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為因此的估計(jì)值為10.02．,剔除之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，因此的估計(jì)值為．【評(píng)析】數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念，反應(yīng)隨機(jī)變量取值的平均水平.求解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時(shí)，首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì)，確定離散型隨機(jī)變量的所有取值，然后根據(jù)概率類型選擇公式，計(jì)算每個(gè)變量取每個(gè)值的概率，列出對(duì)應(yīng)的分布列，最后求出數(shù)學(xué)期望.正態(tài)分布是一種重要的分布，之前考過一次，尤其是正態(tài)分布的原則.（二）強(qiáng)化圖表的識(shí)別能力高考試卷的解答題往往以頻率分布表、頻率分布直方圖、柱形圖、折線圖、莖葉圖五個(gè)樣本頻率分布圖表為載體，理科側(cè)重考查隨機(jī)變量的分布列及期望，文科側(cè)重考查樣本數(shù)字特征的應(yīng)用，突出了對(duì)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)據(jù)處理能力及創(chuàng)新能力的考查．復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)充分利用五個(gè)樣本頻率分布圖表以及常用的統(tǒng)計(jì)圖，如雷達(dá)圖、餅圖等，讓學(xué)生會(huì)從圖表中讀取有用數(shù)據(jù)，或根據(jù)問題需要選擇合適圖表，依據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)中的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，作出合理的決策．【例2】（2020·全國高三專題練習(xí)）一個(gè)調(diào)查學(xué)生記憶力的研究團(tuán)隊(duì)從某中學(xué)隨機(jī)挑選100名學(xué)生進(jìn)行記憶測試，通過講解100個(gè)陌生單詞后，相隔十分鐘進(jìn)行聽寫測試，間隔時(shí)間（分鐘）和答對(duì)人數(shù)的統(tǒng)計(jì)表格如下：時(shí)間（分鐘）102030405060708090100答對(duì)人數(shù)9870523630201511551.991.851.721.561.481.301.181.040.70.7時(shí)間與答對(duì)人數(shù)的散點(diǎn)圖如圖：附：，，，，，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：，.請(qǐng)根據(jù)表格數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪個(gè)更適宣作為線性回歸類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果，建立與的回歸方程；（數(shù)據(jù)保留3位有效數(shù)字）（3）根據(jù)（2）請(qǐng)估算要想記住的內(nèi)容，至多間隔多少分鐘重新記憶一遍.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）；（2）；（3）19.05分鐘.【解析】（1）由圖象可知，更適宜作為線性回歸類型；（2）設(shè)，根據(jù)最小二乘法得，，所以，因此；（3）由題意知，即，解得，即至多19.05分鐘，就需要重新復(fù)習(xí)一遍.（三）重視樣本估計(jì)總體的思想復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)讓學(xué)生掌握，為了考察一個(gè)總體的情況，在統(tǒng)計(jì)中通常是從總體中抽取一個(gè)樣本，用樣本的有關(guān)情況去估計(jì)總體的相應(yīng)情況．這種估計(jì)大體分為兩類：用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布、用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．其次，“預(yù)測與決策”與人們的生活休戚相關(guān)．隨著社會(huì)的不斷進(jìn)步，人們對(duì)許多實(shí)際問題會(huì)有多種解決方案，但哪種方案最有利于解決問題，需要進(jìn)行科學(xué)的決策．而通過期望、方差等的計(jì)算，并進(jìn)行大小比較，就是其中的一種科學(xué)預(yù)測與決策的手段．【例3】（2020·河南高三月考）2017年3月鄭州市被國務(wù)院確定為全國46個(gè)生活垃圾分類處理試點(diǎn)城市之一，此后由鄭州市城市管理局起草公開征求意見，經(jīng)專家論證，多次組織修改完善，數(shù)易其稿，最終形成《鄭州市城市生活垃圾分類管理辦法》（以下簡稱《辦法》）．《辦法》已于2019年9月26日被鄭州市人民政府第35次常務(wù)會(huì)議審議通過，并于2019年12月1日開始施行．《辦法》中將鄭州市生活垃圾分為廚余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4類．為了獲悉高中學(xué)生對(duì)垃圾分類的了解情況，某中學(xué)設(shè)計(jì)了一份調(diào)查問卷，500名學(xué)生參加測試，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生問卷，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：，，…，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)不低于60的概率；（2）已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)，（3）學(xué)校環(huán)保志愿者協(xié)會(huì)決定組織同學(xué)們利用課余時(shí)間分批參加“垃圾分類，我在實(shí)踐”活動(dòng)，以增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)．首次活動(dòng)從樣本中問卷成績低于40分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人參加，已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的5名學(xué)生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同學(xué)各1人的概率是多少？【答案】（1）0.8（2）（3）【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，樣本中分?jǐn)?shù)高于60的頻率為，所以樣本中分?jǐn)?shù)高于60的概率為0.8．故從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，其分?jǐn)?shù)高于60的概率估計(jì)為0.8．（2）根據(jù)題意，樣本中分?jǐn)?shù)不小于50的頻率為，分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為．所以總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)估計(jì)為．（3）設(shè)3名男生分別為，2名女生分別為，則從這5名同學(xué)中選取2人的結(jié)果為：共10種情況.其中2人中男女同學(xué)各1人包含結(jié)果為：，共6種.設(shè)事件抽取的2人中男女同學(xué)各1人，則所以，抽取的2人中男女同學(xué)各1人的概率是.【評(píng)析】1.用樣本估計(jì)總體是統(tǒng)計(jì)的基本思想，而利用頻率分布表和頻率分布直方圖來估計(jì)總體則是用樣本的頻率分布去估計(jì)總體分布的兩種主要方法.分布表在數(shù)量表示上比較準(zhǔn)確，直方圖比較直觀.2.頻率分布表中的頻數(shù)之和等于樣本容量，各組中的頻率之和等于1；在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，所以，所有小長方形的面積的和等于1.（四）強(qiáng)化概率模型的識(shí)別與應(yīng)用復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)關(guān)注概率模型的識(shí)別與應(yīng)用，一定要注意弄清題意，找出題中的關(guān)鍵字詞，厘清各種概率模型及適用范圍．如超幾何分布和二項(xiàng)分布是教材中兩個(gè)重要概率分布，二項(xiàng)分布與超幾何分布的區(qū)別為，二項(xiàng)分布是有放回的抽樣，每做一次事件，事件A發(fā)生的概率是相同的；超幾何分布是不放回的抽樣，每做一次事件，事件A發(fā)生的概率是不相同的．【例4】【2018年理數(shù)天津卷】已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．（ii）設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A發(fā)生的概率為．【評(píng)析】本題主要在考查超幾何分布和分層抽樣.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個(gè)體的個(gè)數(shù)．超幾何分布的特征是：①考查對(duì)象分兩類；②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考查某類個(gè)體個(gè)數(shù)X的概率分布，超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實(shí)質(zhì)是古典概型．進(jìn)行分層抽樣的相關(guān)計(jì)算時(shí)，常利用以下關(guān)系式巧解：(1)；(2)總體中某兩層的個(gè)體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個(gè)體數(shù)之比．（五）厘清事件及其概率復(fù)習(xí)過程中，應(yīng)厘清事件間的關(guān)系，準(zhǔn)確計(jì)算相關(guān)事件的概率．特別要求學(xué)生能將復(fù)雜事件進(jìn)行分解，先分解為互斥事件，每個(gè)互斥事件又分解為兩個(gè)相互獨(dú)立事件的積事件．【例5】（2020·遼寧高三月考）在2019年女排世界杯中，中國女子排球隊(duì)以11連勝的優(yōu)異戰(zhàn)績成功奪冠，為祖國母親七十華誕獻(xiàn)上了一份厚禮.排球比賽采用5局3勝制，前4局比賽采用25分制，每個(gè)隊(duì)只有贏得至少25分，并同時(shí)超過對(duì)方2分時(shí)，才勝1局；在決勝局（第五局）采用15分制，每個(gè)隊(duì)只有贏得至少15分，并領(lǐng)先對(duì)方2分為勝.在每局比賽中，發(fā)球方贏得此球后可得1分，并獲得下一球的發(fā)球權(quán)，否則交換發(fā)球權(quán)，并且對(duì)方得1分.現(xiàn)有甲乙兩隊(duì)進(jìn)行排球比賽：（1）若前三局比賽中甲已經(jīng)贏兩局，乙贏一局.接下來兩隊(duì)贏得每局比賽的概率均為，求甲隊(duì)最后贏得整場比賽的概率；（2）若前四局比賽中甲、乙兩隊(duì)已經(jīng)各贏兩局比賽.在決勝局（第五局）中，兩隊(duì)當(dāng)前的得分為甲、乙各14分，且甲已獲得下一發(fā)球權(quán).若甲發(fā)球時(shí)甲贏1分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲贏1分的概率為，得分者獲得下一個(gè)球的發(fā)球權(quán).設(shè)兩隊(duì)打了個(gè)球后甲贏得整場比賽，求x的取值及相應(yīng)的概率p（x）.【答案】（1）（2）x的取值為2或4,.【解析】（1）甲隊(duì)最后贏得整場比賽的情況為第四局贏或第四局輸?shù)谖寰众A，所以甲隊(duì)最后贏得整場比賽的概率為，（2）根據(jù)比賽規(guī)則，x的取值只能為2或4,對(duì)應(yīng)比分為兩隊(duì)打了2個(gè)球后甲贏得整場比賽，即打第一個(gè)球甲發(fā)球甲得分，打第二個(gè)球甲發(fā)球甲得分，此時(shí)概率為；兩隊(duì)打了4個(gè)球后甲贏得整場比賽，即打第一個(gè)球甲發(fā)球甲得分，打第二個(gè)球甲發(fā)球甲失分，打第三個(gè)球乙發(fā)球甲得分，打第四個(gè)球甲發(fā)球甲得分，或打第一個(gè)球甲發(fā)球甲失分，打第二個(gè)球乙發(fā)球甲得分，打第三個(gè)球甲發(fā)球甲得分，打第四個(gè)球甲發(fā)球甲得分，此時(shí)概率為.【評(píng)析】互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，則P(A+B)=P(A)+P(B)，獨(dú)立事件概率乘法公式:若A,B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B).（六）重視樣本數(shù)字特征的含義在復(fù)習(xí)中，應(yīng)關(guān)注眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（期望）、方差與標(biāo)準(zhǔn)差有的含義，并能根據(jù)解決問題的需要選擇合理的數(shù)字特征說明問題．【例6】（2020·河南高三期末）某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；（3）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？【答案】（1）；（2），；（3）．【解析】(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075.-------------3分(2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230.-------------5分因?yàn)?0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.------------8分(3)月平均用電量為[220,240)的用戶有0.0125×20×100＝25戶，月平均用電量為[240,260)的用戶有0.0075×20×100＝15戶，月平均用電量為[260,280)的用戶有0.005×20×100＝10戶，月平均用電量為[280,300]的用戶有0.0025×20×100＝5戶，-------------10分抽取比例＝＝，所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25×＝5戶．--12分【評(píng)析】該題考查的是有關(guān)統(tǒng)計(jì)的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有頻率分布直方圖的繪制、利用頻率分布直方圖計(jì)算變量落在相應(yīng)區(qū)間上的概率、利用頻率分布直方圖求平均數(shù)，在解題的過程中，需要認(rèn)真審題，細(xì)心運(yùn)算，仔細(xì)求解，就可以得出正確結(jié)果.（七）關(guān)注“冷門”知識(shí)的復(fù)習(xí)高考是對(duì)高中階段學(xué)習(xí)結(jié)果的大檢閱，統(tǒng)計(jì)與概率的考查，在突出核心知識(shí)考查的同時(shí)，也關(guān)注知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面．因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，要全面檢索高中階段的所有知識(shí)，特別是不能忽視對(duì)所謂的“冷門知識(shí)”的復(fù)習(xí)，如正態(tài)分布、條件概率、相關(guān)系數(shù)、殘差圖、擬合效果等．【例7】【黑龍江省哈爾濱市第六中學(xué)2019屆高三上期末】有如下四個(gè)命題：①甲乙兩組數(shù)據(jù)分別為甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66；乙：29,34,35,48,42,46,55,53,55,67.則甲乙的中位數(shù)分別為45和44.②相關(guān)系數(shù)，表明兩個(gè)變量的相關(guān)性較弱.③若由一個(gè)22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算得的觀測值,那么有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān).④用最小二乘法求出一組數(shù)據(jù)的回歸直線方程后要進(jìn)行殘差分析，相應(yīng)于數(shù)據(jù)的殘差是指.以上命題“錯(cuò)誤”的序號(hào)是_________________【答案】②【解析】①由甲的數(shù)據(jù)可知它的中位數(shù)為45，乙的中位數(shù)為，故正確；②相關(guān)系數(shù)時(shí)，兩個(gè)變量有很強(qiáng)的相關(guān)性，故②錯(cuò)誤；③由于的觀測值，滿足，故有95%的把握認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)，所以③正確；④用最小二乘法求出一組數(shù)據(jù)的回歸直線方程后要進(jìn)行殘差分析，相應(yīng)于數(shù)據(jù)的殘差是指，是正確的.故答案為②.（八）規(guī)范答題表達(dá)形式規(guī)范答題，一方面，思考問題要規(guī)范．也就是從知識(shí)的源頭出發(fā)，弄清知識(shí)的來龍去脈．知識(shí)是怎么要求的，就怎么想、怎么用、怎么寫，不能模棱兩可，要會(huì)運(yùn)用知識(shí)進(jìn)行思考；另一方面，書寫要規(guī)范．書寫規(guī)范是一個(gè)重要的高考增分點(diǎn)，這一點(diǎn)應(yīng)引起足夠重視．如解題中應(yīng)注意用字母表示事件，注意作答等．【例8】（2020·廣東高三期末）如表是我國2012年至2018年國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：萬億美元）的數(shù)據(jù)：年份2012201320142015201620172018年份代號(hào)1234567國內(nèi)生產(chǎn)總值（單位：萬億美元）8.59.610.41111.112.113.6(1)從表中數(shù)據(jù)可知和線性相關(guān)性較強(qiáng)，求出以為解釋變量為預(yù)報(bào)變量的線性回歸方程；(2)已知美國2018年的國內(nèi)生產(chǎn)總值約為20.5萬億美元，用(1)的結(jié)論，求出我國最早在那個(gè)年份才能趕上美國2018年的國內(nèi)生產(chǎn)總值？參考數(shù)據(jù)：，參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:，.【答案】(1)；(2)2028年.【解析】(1)，，，.所以回歸方程為.(2)由(1)可知，令，得，解得，即要在第17個(gè)年份才能超過20.5萬億.所以用線性回歸分析我國最早也要在2028年才能趕上美國2018年的國內(nèi)生產(chǎn)總值.【評(píng)析】1、判斷方程類型要注意充分利用散點(diǎn)圖聯(lián)想函數(shù)圖象特征作出判斷．2、求回歸方程時(shí)易計(jì)算失誤，注意要強(qiáng)化計(jì)算能力．3、注意借助于函數(shù)知識(shí)解決．【新題好題針對(duì)訓(xùn)練】一、選擇題1．（2020·廣西柳州高級(jí)中學(xué)高三）某高校調(diào)查了320名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了下圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，.根據(jù)直方圖，這320名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不足22.5小時(shí)的人數(shù)是（）A．68 B．72 C．76 D．80【答案】B【解析】由頻率分布直方圖可得，320名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不足22.5小時(shí)的人數(shù)是人．選B．2．（2020·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）某學(xué)生5次考試的成績(單位:分)分別為85，67，，80，93，其中,若該學(xué)生在這5次考試中成績的中位數(shù)為80，則得分的平均數(shù)不可能為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知的四次成績按照由小到大的順序排序?yàn)椋?，，，該學(xué)生這次考試成績的中位數(shù)為，則所以平均數(shù)：，可知不可能為本題正確選項(xiàng)：3．（2020·重慶巴蜀中學(xué)高三月考）新高考方案規(guī)定，普通高中學(xué)業(yè)水平考試分為合格性考試（合格考）和選擇性考試（選擇考）.其中“選擇考”成績將計(jì)入高考總成績，即“選擇考”成績根據(jù)學(xué)生考試時(shí)的原始卷面分?jǐn)?shù)，由高到低進(jìn)行排序，評(píng)定為、、、、五個(gè)等級(jí).某試點(diǎn)高中2018年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)是2016年參加“選擇考”總?cè)藬?shù)的2倍，為了更好地分析該校學(xué)生“選擇考”的水平情況，統(tǒng)計(jì)了該校2016年和2018年“選擇考”成績等級(jí)結(jié)果，得到如下圖表：針對(duì)該?！斑x擇考”情況，2018年與2016年比較，下列說法正確的是（）A．獲得A等級(jí)的人數(shù)減少了 B．獲得B等級(jí)的人數(shù)增加了1.5倍C．獲得D等級(jí)的人數(shù)減少了一半 D．獲得E等級(jí)的人數(shù)相同【答案】B【解析】設(shè)年參加考試人，則年參加考試人，根據(jù)圖表得出兩年各個(gè)等級(jí)的人數(shù)如下圖所示：年份ABCDE20162018由圖可知A,C,D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確，故本小題選B.4．（2020·湖北高三期末）某地有兩個(gè)國家AAAA級(jí)旅游景區(qū)——甲景區(qū)和乙景區(qū).相關(guān)部門統(tǒng)計(jì)了這兩個(gè)景區(qū)2019年1月至6月的月客流量（單位：百人），得到如圖所示的莖葉圖.關(guān)于2019年1月至6月這兩個(gè)景區(qū)的月客流量，以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．甲景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12950人B．乙景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12450人C．甲景區(qū)月客流量的極差為3200人D．乙景區(qū)月客流量的極差為3100人【答案】D【解析】根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)：甲景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12950人，乙景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12450人.甲景區(qū)月客流量的極差為3200人，乙景區(qū)月客流量的極差為3000人.故選：5．（2020·四川高三期末）已知變量、之間的線性回歸方程為，且變量、之間的一-組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．可以預(yù)測，當(dāng)時(shí)， B．C．變量、之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系 D．該回歸直線必過點(diǎn)【答案】B【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入回歸直線方程得，解得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由于回歸直線方程的斜率為負(fù)，則變量、之間呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，回歸直線必過點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.故選：B.二、填空題6．（2020·廣東深圳中學(xué)高三期末）某工廠為了解產(chǎn)品的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取了100個(gè)樣本.若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為16，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為______.【答案】64【解析】樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為16，所以數(shù)據(jù)，，…，的方差為.故答案為：647．【廣東省珠海一中等六校2018屆高三第一次聯(lián)考】一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)位的二進(jìn)制數(shù)，其中的各位數(shù)字中，，出現(xiàn)的概率為，出現(xiàn)的概率為．若啟動(dòng)一次出現(xiàn)的數(shù)字為則稱這次實(shí)驗(yàn)成功，若成功一次得分，失敗一次得分，則次重復(fù)實(shí)驗(yàn)的總得分的方差為__________．【答案】.【解析】啟動(dòng)一次出現(xiàn)數(shù)字為A=10101的概率由題意知變量符合二項(xiàng)分布，根據(jù)成功概率和實(shí)驗(yàn)的次數(shù)的值，有∴η的數(shù)學(xué)方差為．設(shè)得分為所以=．三、解答題8．（2020·云南昆明一中高三期末）某花圃為提高某品種花苗質(zhì)量，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，在實(shí)驗(yàn)地分別用甲、乙方法培育該品種花苗.為觀測其生長情況，分別在實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取各50株，對(duì)每株進(jìn)行綜合評(píng)分，將每株所得的綜合評(píng)分制成如圖所示的頻率分布直方圖，記綜合評(píng)分為80分及以上的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗.（1）用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，若在兩塊實(shí)驗(yàn)地隨機(jī)抽取3株花苗，求所抽取的花苗中優(yōu)質(zhì)花苗數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān).優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計(jì)甲培育法20乙培育法10合計(jì)附：下面的臨界值表僅供參考.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（參考公式：，其中）【答案】（1）分布列見解析，；（2）列聯(lián)表見解析;有99%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)系.【解析】（1）由頻率分布直方圖可知,優(yōu)質(zhì)花苗的頻率為,即概率為.設(shè)所抽取的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗的株數(shù)為,則,于是；；；.其分布列為：0123所以,所抽取的花苗為優(yōu)質(zhì)花苗的數(shù)學(xué)期望（2）頻率分布直方圖,優(yōu)質(zhì)花苗的頻率為,則樣本中優(yōu)質(zhì)花苗的株數(shù)為60株,列聯(lián)表如下表所示：優(yōu)質(zhì)花苗非優(yōu)質(zhì)花苗合計(jì)甲培育法203050乙培育法401050合計(jì)6040100可得.所以,有99%的把握認(rèn)為優(yōu)質(zhì)花苗與培育方法有關(guān)系9．（2020·四川高三期末）手機(jī)運(yùn)動(dòng)計(jì)步已經(jīng)成為一種新時(shí)尚．某單位統(tǒng)計(jì)了職工一天行走步數(shù)（單位：百步），繪制出如下頻率分布直方圖：（1）求直方圖中a的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該單位職工一天步行數(shù)的中位數(shù)；（2）若該單位有職工200人，試估計(jì)職工一天行走步數(shù)不大于13000的人數(shù)；（3）在（2）的條件下，該單位從行走步數(shù)大于15000的3組職工中用分層抽樣的方法選取6人參加遠(yuǎn)足拉練活動(dòng)，再從6人中選取2人擔(dān)任領(lǐng)隊(duì)，求這兩人均來自區(qū)間（150，170]的概率．【答案】（1）125；（2）112；（3）【解析】(1)由題意,得,所以.設(shè)中位數(shù)為,則,所以,所以中位數(shù)為125.(2)由,所以估計(jì)職工一天步行數(shù)不大于13000步的人數(shù)為112人.(3)在區(qū)間,中有人,在區(qū)間,中有人,在區(qū)間,中有人,按分層抽樣抽取6人,則從,中抽取4人,,中抽取1人,,中抽取1人;設(shè)從,中抽取職工為、、、,從,中抽取職工為,從,中抽取職工為,則從6人中抽取2人的情況有、、、、、、、、、、、、、、共15種情況,它們是等可能的,其中滿足兩人均來自區(qū)間,的有、、、、、共有6種情況,所以兩人均來自區(qū)間(150,170]的概率;10．（2020·河南高三期末）某品牌奶茶公司計(jì)劃在A地開設(shè)若干個(gè)連鎖加盟店，經(jīng)調(diào)查研究，加盟店的個(gè)數(shù)x與平均每個(gè)店的月營業(yè)額y(萬元)具有如下表所示的數(shù)據(jù)關(guān)系：x246810y20.920.21917.817.1(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程；(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果分析，為了保證平均每個(gè)加盟店的月營業(yè)額不少于14.6萬元，則A地開設(shè)加盟店的個(gè)數(shù)不能超過幾個(gè)?參考公式:線性回歸方程中的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，【答案】(1)；(2)14個(gè).【解析】(1)依題意，，.，，所以，所以，故所求的線性回歸方程為.(2)依題意，令，解得.因?yàn)?，所以A地開設(shè)加盟店的個(gè)數(shù)不能超過14個(gè).11．（2020·廣東高三期末）某房產(chǎn)中介統(tǒng)計(jì)了深圳市某高檔小區(qū)從2018年12月至2019年11月當(dāng)月在售二手房均價(jià)（單位：萬元/平方米）的散點(diǎn)圖，如下圖所示，圖中月份代碼1至12分別對(duì)應(yīng)2018年12月至2019年11月的相應(yīng)月份.根據(jù)散點(diǎn)圖選擇和兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，根據(jù)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程分別為和，并得到以下一些統(tǒng)計(jì)量的值：殘差平方和0.01485570.0048781總偏差平方和0.069193（1）請(qǐng)利用相關(guān)指數(shù)判斷哪個(gè)模型的擬合效果更好；（2）某位購房者擬于2020年5月份購買深圳市福田區(qū)平方米的二手房（欲購房為其家庭首套房）.若該小區(qū)所有住房的房產(chǎn)證均已滿3年，請(qǐng)你利用（1）中擬合效果更好的模型解決以下問題：（i）估算該購房者應(yīng)支付的購房金額.（購房金額＝房款＋稅費(fèi)；房屋均價(jià)精確到0.01萬元/平方米）（ii）若該購房者擬用不超過760萬元的資金購買該小區(qū)一套二手房，試估算其可購買的最大面積（精確到1平方米）附注：根據(jù)有關(guān)規(guī)定，二手房交易需要繳納若干項(xiàng)稅費(fèi)，稅費(fèi)是按照房屋的計(jì)稅價(jià)格進(jìn)行征收.（計(jì)稅價(jià)格＝房款）征收方式見下表：購買首套房面積（平方米）契稅（買方繳納）的稅率參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，參考公式：相關(guān)指數(shù).【答案】（1）模型的擬合效果更好；詳見解析（2）（i）答案不唯一，具體見解析（ii）104平方米【解析】（1）設(shè)模型和的相關(guān)指數(shù)分別是和，則,,因?yàn)?所以，所以模型的擬合效果更好（2）2020年5月份的對(duì)應(yīng)月份代碼為18,由（1）知,模型的擬合效果更好,利用該模型預(yù)測可得,這個(gè)小區(qū)2020年5月份的在售二手房均價(jià)為萬元/平方米,（i）設(shè)該購房者應(yīng)支付的購房金額為萬元,因?yàn)槎愘M(fèi)中買方只需繳納契稅,所以①當(dāng)時(shí),契稅為計(jì)稅價(jià)格的,故,②當(dāng)時(shí),契稅為計(jì)稅價(jià)格的,故,③當(dāng)時(shí),契稅為計(jì)稅價(jià)格的,故,故,所以當(dāng)時(shí),購房金額為萬元；當(dāng)時(shí),購房金額為萬元；當(dāng)時(shí),購房金額為萬元（ii）設(shè)該購房者可購買該小區(qū)二手房的最大面積為平方米,由（i）知,當(dāng)時(shí),應(yīng)支付的購房金額為萬元,又,又因?yàn)榉课菥鶅r(jià)約為7.16萬元/平方米,,所以,所以,由,解得,所以該購房者可購買該小區(qū)二手房的最大面積為104平方米12．（2020·湖南長沙一中高三月考）政府工作報(bào)告指出，2018年我國深入實(shí)施創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略，創(chuàng)新能力和效率進(jìn)一步提升；2019年要提升科技支撐能力，健全以企業(yè)為主體的產(chǎn)學(xué)研一體化創(chuàng)新機(jī)制.某企業(yè)為了提升行業(yè)核心競爭力，逐漸加大了科技投入；該企業(yè)連續(xù)6年來的科技投入（百萬元）與收益（百萬元）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：科技投入24681012收益根據(jù)散點(diǎn)圖的特點(diǎn)，甲認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在指數(shù)曲線的周圍，據(jù)此他對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了一些初步處理，如下表：其中，.(1)（i）請(qǐng)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程（保留一位小數(shù)）；（ii）根據(jù)所建立的回歸方程，若該企業(yè)想在下一年的收益達(dá)到2億，則科技投入的費(fèi)用至少要多少（其中）？(2)乙認(rèn)為樣本點(diǎn)分布在二次曲線的周圍，并計(jì)算得回歸方程為，以及該回歸模型的相關(guān)指數(shù)，試比較甲、乙兩位員工所建立的模型，誰的擬合效果更好.附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，，相關(guān)指數(shù)：.【答案】(1)(i)；(ii)百萬元；(2)甲.【解析】(1)(i),令,令,則,根據(jù)最小二乘估計(jì)可知:,從而,故回歸方程為,即(ii)令,則,即,所以科技投入的費(fèi)用至少要百萬元(2)由（1）,將科技投入數(shù)據(jù)依次代入中得到,則計(jì)算殘差：4816326412816則,從而.即甲建立的回歸模型擬合效果更好.13．（2020·重慶高三期末）某地區(qū)在“精準(zhǔn)扶貧”工作中切實(shí)貫徹習(xí)近平總書記提出的“因地制宜”的指導(dǎo)思想，扶貧工作小組經(jīng)過多方調(diào)研，綜合該地區(qū)的氣候、地質(zhì)、地理位置等特點(diǎn)，決定向當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶推行某類景觀樹苗種植.工作小組根據(jù)市場前景重點(diǎn)考察了A，B兩種景觀樹苗，為對(duì)比兩種樹苗的成活率，工作小組進(jìn)行了引種試驗(yàn)，分別引種樹苗A，B各50株，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有80%的樹苗成活，未成活的樹苗A，B株數(shù)之比為1：3.（1）完成2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認(rèn)為樹苗A，B的成活率有差異？AB合計(jì)成活株數(shù)未成活株數(shù)合計(jì)50501000.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.828（2）已知樹苗A經(jīng)引種成活后再經(jīng)過1年的生長即可作為景觀樹A在市場上出售，但每株售價(jià)y（單位：百元）受其樹干的直徑x（單位：cm）影響，扶貧工作小組對(duì)一批已出售的景觀樹A的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到結(jié)果如下表：直徑x1015202530單株售價(jià)y48101627根據(jù)上述數(shù)據(jù)，判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系？并用相關(guān)系數(shù)r加以說明.（一般認(rèn)為，為高度線性相關(guān)）參考公式及數(shù)據(jù)：相關(guān)系數(shù).【答案】（1）填表見解析；沒有99%的把握認(rèn)為二者有差異；（2）可以用線性回歸模型擬合..【解析】試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有80%的樹苗成活，故不成活20株，未成活的樹苗A，B株數(shù)之比為1：3.樹苗未成活有5株，成活45株，樹苗未成活有15株，成活35株，（1）列聯(lián)表如下：AB合計(jì)成活株數(shù)453580未成活株數(shù)51520合計(jì)5050100，故沒有99%的把握認(rèn)為二者有差異；（2）..故可以用線性回歸模型擬合.14．（2020·蒙陰縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非