2024年北京某校高三（上）期中數(shù)學試題及答案

人大附中朝陽學校2024~2025學年度上學期高三年級期中試卷

數(shù)學試題2024年11月1日

一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分）

1.已知集合知={x|(x+3)(x-l)〈O},N={x\\x\<2],則()

A.(-2,1]B.[-3,2)C.(-2,3]D.L-1,2)

2.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在(0,包)上單調遞增的是()

A.f{x)=-^—B./(x)=2|v|C./(x)=tanx

D./(x)=2x--

x-1X

3.若|利=1,|切=2,（〃一。），々，則向量〃與-的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

4.設S〃為等比數(shù)列｛an｝的前〃項和，已知S3=?4-2,S2=?3-2,則公比4=)

A.2B.-2C.-D.--

22

5.下列命題中，真命題的是（）

A.若則B.若。＞6,則〃、油〉〃

ab

C.若0<a<6<c,則logjvlogc，D.若a+26=2,貝i)2"+型24

6.設a,是三個不同平面，且\y=m,則“/〃/"”是“a〃夕”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.〃x)=2cos23x+e)+b的部分圖象如圖所示，則以下說法正確的是(

7171

A.co=—,b=\B.a)=—,b=-lC.a)=Tt,b=lD.a>=n,b=-l

22

8.已知向量a,6滿足卜+母=3,a-b=Q,若c=Qz+(l-㈤/2eR),且

?2=2%,則|c|的最大值為()

A.3B.2C.-

2

9.十字歇山頂是中國古代建筑屋頂?shù)慕浀錁邮街?

圖1中的故宮角樓的頂部即為十字歇山頂.其上部

可視為由兩個相同的直三棱柱交疊而成的幾何體

（圖2）,這兩個三棱柱有一個公共側面ABCD.在

底面3CE中，若BE=CE=3,NBEC=120。,則

該幾何體的體積為（）

A.—B.C.27

22

10.2024年1月17日我國自行研制的天舟七號貨運飛船在發(fā)射3小時后成功對接于空間站天和

核心艙后向端口，創(chuàng)造了自動交會對接的記錄.某學校的航天科技活動小組為了探索運動物體

追蹤技術，設計了如下實驗：目標尸在地面軌道上做勻速直線運動；在地面上相距7m的

2兩點各放置一個傳感器，分別實時記錄43兩點與物體尸的距離.科技小組的同學根據(jù)傳

感器的數(shù)據(jù)，繪制了“距離-時間”函數(shù)圖像，分別如曲線。，6所示/和L分別是兩個函數(shù)的

極小值點.曲線.經過和“2,%），曲線6經過色，4）.已知〃=3⑵4=4m,r=4s,

并且從t=0時刻到t=t2時刻P的運動軌跡與線段AB相

交.分析曲線數(shù)據(jù)可知，尸的運動軌跡與直線AB所成夾角

的正弦值以及尸的速度大小分別為（）

A65/口6屈/

A.—,-----m/sD.------m/s

7472

「23#）「23#）

C.—,-----m/sD?—,-----m/s

7472

二、填空題：（本大題共5小題，每小題5分，共25分.）

11.復數(shù)卷-------------；對應的點坐標為一

長為______________;共軌復數(shù)是___________________.

12.已知角x在第二象限，且sin^+|^|=-|,貝ijtan2x=.

13.在；A3C中，。，瓦c分別是角A,氏C的對邊，且a+c=26,則角B的取值范圍為.

J尤-2+a,x>2

14.設函數(shù)/（%）=I_|c（a>0且4R1）.給出下列四個結論:

\ax-2\,x<2

①當。=2時，存在f,方程=f有唯一解；

②當ae（0,l）時,存在f,方程/（x）=r有三個解；

③對任意實數(shù)。（4>0且"1）,/（X）的值域為［0,+8）；

④存在實數(shù)。，使得了。）在區(qū)間（。,+8）上單調遞增；

其中所有正確結論的序號是.

15.已知數(shù)列的前"項和為E,,q=l且%+i=S；+l,（〃eN）給出下列四個結論：①長度分別

為1,。角,5“的三條線段可以構成一個直角三角形：②V〃eN*,S建27③

JT

2a

VneN",a“+%+2<?+i；?VneN*,a?+1=2ancos西.其中所有正確結論的序號是.

人大附中朝陽學校2024~2025學年度上學期高三年級統(tǒng)練試卷

數(shù)學答題紙2024年11月1日

三、解答題：(本大題共5小題，共85分.)

16.(14分(5+4+5))已矢口函數(shù)/(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x.

(I)求/(x)的最小正周期；

(II)求不等式7(x)2-1的解集；

din從條件①，條件②，條件③選擇一個作為已知條件，求加的取值范圍.

①/(%)在(0,m)有恰有兩個極值點；

②在(0,利)單調遞減；

③/(%)在(0,m)恰好有兩個零點.

注：如果選擇的條件不符合要求，0分；如果選擇多個符合要求的條件解答，按第一個解答計分.

17.(13分(7+6))若同時滿足條件①、條件②、條件③、條件④中的三個，請選擇一組

這樣的三個條件并解決下列問題：

(I)求邊”的值；

(II)求△ABC的面積.

條件①：acosA=6sinA；條件②：8=a+2；條件③：sinC=J；條件④：，.cosC=-106-12.

注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個解答計分.

18.(14分(4+5+5))如圖，在三棱柱ABC—44G中，AC=5C=A8]=2,蝴上平面ABC,

AC,1AC,D，石分別是AC,4cl的中點.

(I)證明：ACl/C]

(II)證明：〃平面的43；

din求OE與平面84cle所成角的正弦值.

19.(14分(4+5+5))已知函數(shù)/(x)=x"lnx,其中a為常數(shù)且awO.

(I)求曲線y=/(x)在x=i處的切線方程;

(H)討論函數(shù)/(尤)的單調區(qū)間；

(III)當。=1時，若在點M(XoJ(Xo))，o>J處的切線/分別與X軸和〉軸于，A,8兩點，。為坐

標原點，記的面積為S,求S的最小值.

20.(15分(4+5+6))已知/'(x)=(2x-l)e"-x在x=0處的切線方程為x+y+6=0.

(I)求實數(shù)》的值；

(H)證明：〃龍)僅有一個極值點飛,且“x0)

(III)若g(x)=(依TH'T,是否存在上使得g(x)-l恒成立，存在請求出左的取值范圍，不存在

請說明理由.

21.(15分(4+5+6))已知有限數(shù)列,從數(shù)列中選取第1項、第三項、、第0項

(，；<%<<或)，順次排列構成數(shù)列低｝，其中"=%,”小加，則稱新數(shù)列｛4｝為

的長度為機的子列.規(guī)定：數(shù)列的任意一項都是的長度為1的子列，若數(shù)列的

每一子列的所有項的和都不相同，則稱數(shù)列為完全數(shù)列.設數(shù)列滿足%=〃，

l<n<25,neN*.

(I)判斷下面數(shù)列的兩個子列是否為完全數(shù)列，并說明由；

數(shù)列①：3,5,7,9,11；數(shù)列②：2,4,8,16.

(II)數(shù)列的子列｛a｝長度為m,且｛4｝為完全數(shù)列，證明：加的最大值為6；

(ill)數(shù)列的子列｛4｝長度m=5,且｛4｝為完全數(shù)列，求:+：+：+：+：的最大值.

4“2”3”4“5

2024北京人大附中朝陽學校高三11月統(tǒng)練數(shù)學答案

一、單選題

1.

【答案】B

【分析】分別確定集合N,根據(jù)并集的概念求MuN可得答案.

【詳解】因為M={x|-3VxVl}=[-3,l],N={x]-2<x<2}=(-2,2),

所以MuN=[-3,2).

故選：B

2.

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性先排除AB選項，再結合函數(shù)的單調性選擇正確答案.

【詳解】對A：因為函數(shù)/(x)=工的定義域為定義域不關于原點對稱，

x-1

所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤；

對B：/(-x)=2w=2w=/(x),所以函數(shù)/(X)=2M為偶函數(shù)，故B錯誤；

對C：根據(jù)正切函數(shù)的性質可知，函數(shù)/*)=tanx在(0,+s)不具有單調性，故C錯誤；

對D：函數(shù)的定義域為(-8,0)30，+3°)，/(-x)=2(-x)---=-[2%--|=故函數(shù)

為奇函數(shù)，

又r(力=2+5>0,所以函數(shù)在(0,+8)上單調遞增.

故選：D

3.

【答案】B

【詳解】試題分析：由。?("&)=(),得a2-a.b=0，即。?&=|?！?，所以向量。力的夾角為

?abLI21

==9所以向量。力的夾角為60.

考點：向量的運算及向量的夾角.

4.【答案】A

試卷第1頁，共13頁

【詳解】S3-S2=a3=a^-a3,則9=二二2

a2

5.

【答案】D

【分析】舉反例即可判斷ABC,根據(jù)基本不等式和指數(shù)運算即可判斷D.

【詳解】對A,當。=-1,8=1時，則,<：,故A錯誤；

ab

對B,當〃=-11=一2時，貝=1,。力=2,貝!]〃2<[人，故B錯誤；

對C,當0<c<l時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調性知log->log),故C錯誤；

對D,若a+2b=2,則2。+4嗆2也4"=2d2計2b=4，

當且僅當。=1,占=；時取等號，故D正確.

故選：D.

6.

【答案】B

【分析】利用面面平行的性質定理，及它們之間的推出關系，即可以作出判斷.

【詳解】若?！ㄏ?，a\丫=1邛\y=m,則由平面平行的性質定理：得/〃機；

但當/〃加，a\y=l,/3y=機時，可能有a〃月，也可能有月相交，

如/,也是三棱柱的兩條側棱所在直線，r是/,根確定的平面，

另兩個側面所在平面分別為a,〃，此時符合條件，而外夕相交，

所以“〃/加”是“?！ㄏΑ谋匾怀浞謼l件.

故選：B

7.

【答案】B

【分析】先把函數(shù)解析式化成y=Acos(ox+°)的形式，再結合函數(shù)的周期和值域求值.

【詳解】因為/(x)=2cos2(0x+p)+b=cos(20x+20)+b+l.

由函數(shù)圖象可知：b+l=0nb=-l；

T2兀71

又〈二號5一：1=1,所以T=2,又7=三=@=?.

244202

故選：B

試卷第2頁，共13頁

8.

【答案】D

【分析】令〃=4"，b=MB=AN,根據(jù)題意作出圖形，結合圖形將已知條件轉化，得到

AC人MN,然后數(shù)形結合求卜|的最大值.

【詳解】如圖:令。=AM,b=MB=AN,則〃+A=AM+=AB,故W6卜3.

因為〃?/?=(),所以記AB的中點為。，所以點M在以A3為直徑的圓。上.

設°=4。，連接MV,因為c=X〃+(l-X)。，所以點C在直線MN上.

因為c?〃=c/,所以c-(a—b)=O,即AC.NM=O,所以AC_LMN.

結合圖形可知，當A3時，|AC|即卜|取得最大值，且kLx=MOI=|?

故選:D

9.

【答案】C

【詳解】如圖所示，該幾何體可視為直三柱BCE-ADF與兩個三棱錐S-M4B,S-NCD拼

接而成.

記直三棱柱BCD-ADF的底面BCE的面積為S,高為6,所求幾何體的體積為V,

貝！JS=」BE.CE-sinl20°=』x3x3x3=9,

2224

因為兩個直三棱柱相同，^h=CD=BC=35

所以V二憶棱柱BCE-ADF+V三棱錐S-MAB+棱錐S-N8

=Sh+-S--h+-S--h=-Sh=27.

32323

故選：C.

試卷第3頁，共13頁

10.

【答案】B

【分析】建系，設點，作相應的輔助線，分析可知|Aq=6m,|BC|=2vm,結合|A8|=7m分

析求解即可.

【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，

設動點尸的軌跡與y軸重合，其在，=0,4,L時刻對應的點分別為。(坐標原點)，D,E,p

的速度為皿/s,v〉0,

因為科=，與2=4m,%=2s,，2=4s,可得弓=2m,

由題意可知：A。,BE均與>軸垂直，且|AD|=4m,|BE|=2m,|OD|=|￡?E|=2vm,

作BC1AD垂足為C,則|AC|=6m,|BC|=2vm,

因為|AC「+忸C『=|A砰，即36+4T2=49,解得v=半；

又因為BC〃y軸，可知P的運動軌跡與直線AB所成夾角即為NABC,

一|AC|6

所以尸的運動軌跡與直線AB所成夾角的正弦值為sinZABC=T—j-=-.

\AB\7

故選：B.

二、填空題

11.

【答案】i；(0,1)；1；1；-i

試卷第4頁，共13頁

12.

【答案】-§24/一3=3

77

【分析】先根據(jù)誘導公式得cos%,再根據(jù)同角三角函數(shù)關系得tani,最后利用二倍角公式

即可求解.

【詳解】因為sin、+g)=-所以由誘導公式可得：cosx=-p

________3

因為角1在第二象限，所以sin%=J1—cos?%=g,

13.

【答案】

【分析】由余弦定理、基本不等式得出cosB的范圍即可得解.

22_[￡+￡|

【詳解】a2+c2-b2+C[2J3a2+3c2-2ac6ac-2ac1，

cosB=---=--------------------=------------------->-------------=—

2ac2acSacSac2

當且僅當。=c=b,即-ABC為等邊三角形時，cosB=J,又,0<B<n.-.Be^

故答案為：(o.j].

14.

【答案】①②④

【分析】分情況，做出函數(shù)圖象，數(shù)形結合，可得問題答案.

【詳解】當。=2時，可得函數(shù)圖象如下：

由,-2|=0nx=l；&二5+2=2,|22-2卜2,結合圖象:

試卷第5頁，共13頁

當尤￡（-oo』時，函數(shù)單調遞減，且“力40,2）；

當了￡口,+8）,函數(shù)單調遞增，/（X）G[0,+O>）.

所以當年2時，方程/（%）=才有唯一解.故①正確;

當0VQV1時，函數(shù)圖象如下：

由上一2卜0=>%=log“2<0；由圖象可知，

當％?-8,loga2]時，函數(shù)單調遞減，/（X）G[0,+O））.

當元E（log。2,2）時，函數(shù)單調遞增，/（x）e（0,2-tz2）；

當尤E[2,+8）時，函數(shù)單調遞增，“尤）￡（。,+8）.

因為2-〃2+一1）,因為0<。<1,所以一（〃+2）（。一1）〉。，即2—2>aa

所以，當時，方程=￡有三個解.故②正確；

如圖：

由|優(yōu)一2|=。n%=log42,再由log.2>2夜，

此時〃力在（-叫2）上單調遞減，在[2,+8）上單調遞增，且0<2-〃2<。，

所以此時函數(shù)的值域不是?+8）.故③錯誤；

由①可得，當。=2時，函數(shù)外“在（2,+。）上單調遞增.

即：存在實數(shù)。，使得〃光）在區(qū)間（。,+力）上單調遞增.故④正確.

故答案為：①②④

試卷第6頁，共13頁

15.

【答案】②

[分析】①:先確定L。用，斗最大的那個,再根據(jù)勾股定理列式判斷;②通過放縮得到。角>2%,

再進一步通過放縮判斷；③④求出力，生，。3,然后舉例排除.

【詳解】對于①：=S；+l>0,4=1,則4+i>1,S〃>0,

貝”4+1—=S；+1—S〃=(s〃一g]+(>0,即?！?1>S〃,

假設長度分別為l，"z，S〃的三條線段可以構成一個直角三角形，

則4+1為斜邊,所以〃3=S；+1,

所以。3=?！?1-1+1，所以%=?；?+1=i，與〃/1>1矛盾，故①錯誤；

對于②：an+l=S^+l>2Sn>2an,當且僅當〃=1等號成立，

所以乎22,所以222〃一％=2〃，

所以V〃￡N*,S“24N2i,②正確；

對于③：由已知。1=1,4=2,%=1。，此時4+%>2%，所以￡N*M〃+an+2<2an+i不成立，

③錯誤；

對于④：由已知q=1,。2=2,%=1°，此時為，2〃2cos/，所以V〃￡N*M〃+]=2〃“cos1r不

成立，④錯誤.

故答案為：②.

三、解答題

16.

【詳解】(1)f(x)=sin2x+2sinxcosx-cos2x

=2sinxcosx-(cos2x-sin2x)=sin2x-cos2x

=0sin(2x—2).

2兀

所以“X)的最小正周期為1=限

試卷第7頁，共13頁

(2)sin(2x——)......-,則----卜2kjiG2x---?----卜2k7i,ksZ,

42444

37r

解集為｛x\k7r<x<——+ki,k^Z].

4

(3)因為x￡(。,m)，所以2%—G(—,2m—).

444

選擇①，因為/(九)在(。，附有恰有兩個極值點.

所以_兀,5兀

372t<2m——<——.

42

所

以77-t/11兀

8<m<---.

8

若選擇②，因為當2%-;￡(-■7,大)時，/(九)函數(shù)遞增，

所以/(九)在(0,⑼不可能單調遞減，所以②不符合題意；

選擇③，因為/(%)在(0,附恰好有兩個零點.

兀

所以兀<2m——<2K.

4

5兀9兀

所以一<m<一.

88

17.

【詳解】(1)因為acosA=Z>sinA,由正弦定理得，sinAcosA=sinBsinA

又因為A￡(0,〃)，所以sinA。0,所以COSA=sin

TT

由于sinB>0,所以cosA>0,又因為AEQTT),所以AE(0,1).

2

7T

當AE(0,5)時，COSAG(0,1),

而sin3e(0,1),Be(0㈤時，ZB的取值最多兩個.

當4e(0,工)時，B=^-A^B=A+-,

422

此時，C=T或C=q-2Ae(0,?.

當4嗚$時，因為5-2Ae(g0],所以C=(即NC不可能為鈍角.

由條件④知，cosC<0,NC為鈍角，

所以條件①和條件④不能同時滿足.

因此有兩種情況的解答：

選擇條件①②③

因為“C不可能為鈍角，

試卷第8頁，共13頁

1兀

又因為sinC=M，所以NC==.

26

因為cosA=sin5,且sin5=sin(A+C),

所以cosA=sin(A+—)=^-sinA+—cosA

622

所以」cosA=@sinA,即tanA=^^,

222

又因為Ae(0,7t),所以A='，B=TI-A-C=—.

63

在△ABC中，由正弦定理，三=一二

sinAsinB

所以。sin5=bsinA,

又因為b=a+2,所以〃?咚=；(a+2).所以〃=6+l,

選擇條件②③④

由條件④知，cosC<0,NC為鈍角，

又因為sinC=1，所以NC=^,所以cosC=-YI.

又因為c2.cosC=-10百-12,所以，=20+86.

由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC,^20+8^=a2+(a+2)2-2a(a+2)x(-^-),

整理得a?+2。-8=0,解得。=2或。=-4(舍).

(2)選擇條件①②③，

由(1)矢口〃=6+1,

又因為NA=NC,所以c=Vi+l,b=a+2=6+3.

SABC=1^sinC=i(V3+l)(^+3)xi=|+V3,

所以△ABC的面積為?+

2

選擇條件②③④

結合第⑴問。=2,此時〃=。+2=4,

所以SABC=1^sinC=1x2x4x1=2,

所以△ABC的面積為2.

18.

【詳解】(1)A5]_L平面ABC,ACu平面A5C,.?.A5]_LAC,又〈AG-LAC,

試卷第9頁，共13頁

AQ'AB,=A,ACPAB,<=平面AB^,AC±平面AB^,■B?u平面AB^,

ACLB￡.

(2)取A片的中點歹，連接E尸、AF,

因為E、F分別為AG、用$的中點，所以EF//AG，EF=JAG，

所以四邊形A￡?EF為平行四邊形，所以DE//A尸，

因為。E<Z平面AA4B,APu平面44由8,所以DE//平面A4j與8

⑶過點A作Ay//C4,所以4月，AC,AB,1Ay,AClAy,如圖建系，以4為坐標

原點，AC、Ay、A用所在直線為尤,y,z軸建立空間直角坐標系，

DE=(一1,-1,2),平面BB&C的法向量n=(1,0,1),

所以直線DE與平面BBgC所成角的正弦值為且.

6

19.

［詳角軍］(1)fr(x)=axa~xlnx+xa~l,x>0.

因為廣⑴=1,/(D=o,

所以切線方程為y=%-L

(2)定義域為(0,+8),

f(x)=(alnx+l)xa~l,令/(無)=0,解得％=?4?

當4〉0時，

%G(0,e1)，<0=>/(x)的減區(qū)間為Qe1)；

Xe(e；+8)，/'(X)>°n/(x)的增區(qū)間為(e；+8)?

當av0時，

%￡(0,ej，/'(%)>』/(X)的增區(qū)間為Qej；

Xe(e；+8)，/(x)<°n/⑴的減區(qū)間為屋,”).

(3)當a=l時，f(x)=xlnx,f'(x)=l+lnx.

試卷第10頁，共13頁

切線/：y=(lnxo+l)(x-xo)+xolnxo,

令x=0,%=r()<0；

xQInx0%o

令y=o,4=一+%o=>0.

Inx0+1Inx0+1

1

設g(%)=x>—.

2(lnx+l)e

2xQnx+l)-xM21nx+1)

g'(%)=

2(ln%+l)22(lnx+l)2-

i_11_1

xe(-,e2),g'(x)<0ng(x)在(±,e?)單調遞減;

ee

xe(eW+oo)，g'(九)>0=g(])在(e1,+oo)單調遞增?

所以g(x)2g(e2)=-.

e

所以當%=F時，S的最小值為］

20.

【詳解】⑴由題意，廣(同=(2"+2—。)泮—1,貝IJ尸(。)=1—〃=一1,

解得〃=2,又〃0)=-1,可得切點為代入尤+y+b=0,得八1.

所以實數(shù)〃=2,b=l.

(2)由(1)得/(%)=(2%—1卜2「工，則/(九)=4以-1,

令g(%)=/(%)，=4e2x(1+2龍)，

令g'(%)>。，得%，-萬，令g'(%)<。，得％

所以g(x)在1-8,-上單調遞減，在［-2，”)上單調遞增，

所以8(Ain=g=-2J-1<0,

且當x<0時，g(x)<0,g(0)=-l<0,g(j=eLl>0,

所以g(x)在(0,；)上存在唯一零點飛,使得g(x0)=。即4/K演=1,

當尤￡(-8,%)時，g(X)<0,即廣(無)V0,”龍)單調遞減，

試卷第11頁，共13頁

當%￡(%,+oo)時，g(%)>0,即—(%)>0,單調遞增，

所以，(九)僅存在一個極值點%0，

2

/(x0)=(2x0-l)e'°-x0=(2x0-l)x-ix0=；-'

4%0，I"o)

又函數(shù)y=x+；,xjo』，而v，=E^l<0,

4xI4；4/

所以y=x+；在xJ。,］上單調遞減，則>=工+；>=，

4九(4J4x4

i53

所以/(%)<2_^=_1.

(3)若存在％,使得g(x)"l恒成立，即(正-對xeR恒成立,

當上V0時，當x>l時，則(丘-l)e*<0,顯然上式不成立；

當2>0時，令0(%)=(依-l)e"-％+1,研0)=0,

貝U『'(％)=-1,

令G(%)="(%),則G'(x)=A2(l+3*>0在［0,+oo)上恒成立,

所以G(x)即(可在［0,+功上單調遞增，又“(0)=—1,0(')=工