2024北京初三一模數(shù)學(xué)匯編：圓章節(jié)綜合

2024北京初三一模數(shù)學(xué)匯編

圓章節(jié)綜合

一、單選題

1.（2024北京東城初三一模）如圖，A8是二的弦，是。的直徑，CDJ_AB于點(diǎn)E.在下列結(jié)論

中，不一定成立的是（）

A.AE=BEB.ZCBD=90PC.NCOB=2NDD.ZCOB^ZC

2.（2024北京東城初三一模）如圖，作線段AC=a,在線段AC的延長(zhǎng)線上作點(diǎn)8,使得C5=bm<6）,

取線段A3的中點(diǎn)0,以。為圓心，線段。4的長(zhǎng)為半徑作：。，分別過(guò)點(diǎn)C、。作直徑AB的垂線，交O

于點(diǎn)。、F,連接OZXAF、CF,過(guò)點(diǎn)C作CELC?于點(diǎn)E.設(shè)Cb=c,給出下面4個(gè)結(jié)論：

①";"<c；?4ai><c;?yla2+b2<—（a+b）;?2ab<ac+bc

，2

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

二、填空題

3.（2024北京門頭溝初三一模）如圖所示，為了驗(yàn)證某個(gè)機(jī)械零件的截面是個(gè)半圓，某同學(xué)用三角板放在

了如下位置，通過(guò)實(shí)際操作可以得出結(jié)論，該機(jī)械零件的截面是半圓，其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是.

4.（2024北京大興初三一模）如圖，A3是的直徑，點(diǎn)C,。在O上，若AC=3C,則/￡>的度數(shù)

為

5.（2024北京通州初三一模）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出了著名的“割圓術(shù)”.所謂

“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無(wú)限逼近圓面積，并以此求取圓周率萬(wàn)的方法，劉徽指出“割之彌

細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”.例如，。的半徑為1,運(yùn)用

“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積估計(jì)。的面積，S正六邊形=6x；xlxg=￥，所以。的面積近似為

班,由此可得萬(wàn)的估計(jì)值為述，若用圓內(nèi)接正十二邊形估計(jì)：。的面積，可得萬(wàn)的估計(jì)值為.

22

6.（2024北京平谷初三一模）如圖，ABC內(nèi)接于O,BC為。的直徑，。為。上一點(diǎn)，連接

AD、CD.若NO=20。，則/ACB的度數(shù)為.

7.（2024北京西城初三一模）如圖，在。。的內(nèi)接四邊形ABCD中，點(diǎn)A是瓦）的中點(diǎn)，連接AC,若

ZZMB=130°,貝i|NAC3=°,

8.（2024北京石景山初三一模）如圖，AB是；。的直徑，尸是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC與。相切于點(diǎn)

C.若NP=40。，則NA=

如圖，。是一ABC的外接圓，AB=AC,ZBAC=36°,平分/ABC,

交于點(diǎn)，則aMB的度數(shù)為

10.（2024北京朝陽(yáng)初三一模）如圖，。是的外接圓，OELAB于點(diǎn)。，交C。于點(diǎn)E，若

11.（2024北京燕山初三一模）如圖，48是（。的直徑，點(diǎn)C在。上，過(guò)點(diǎn)B作：。的切線與直線AC

交于點(diǎn)。.若ND=50。，貝|ZBOC=°.

三、解答題

12.（2024北京朝陽(yáng)初三一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)A在直線/上，AD與直線/

相交所得的銳角為60。.點(diǎn)P在直線/上，AF=8,即J_直線/,垂足為點(diǎn)F且EF=6,以所為直徑，

在E尸的左側(cè)作半圓。，點(diǎn)M是半圓。上任一點(diǎn).

發(fā)現(xiàn)：A"的最小值為一，AAf的最大值為一，與直線/的位置關(guān)系是一

思考：矩形ABCD保持不動(dòng)，半圓。沿直線/向左平移，當(dāng)點(diǎn)E落在邊上時(shí)，重疊部分面積為多少？

13.（2024北京通州初三一模）如圖，48為＜。的直徑，過(guò)點(diǎn)A作-O的切線AM,C是半圓A3上一點(diǎn)

（不與點(diǎn)A、3重合），連結(jié)AC,過(guò)點(diǎn)。作8，筋于點(diǎn)E,連接并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)H

⑴求證：NCAB=ZAFB；

⑵若O的半徑為5,AC=8,求DF的長(zhǎng).

14.（2024北京東城初三一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，）0的半徑為1.對(duì)于線段PQ給出如下定義:

若線段PQ與1。有兩個(gè)交點(diǎn)M,N,且,PM=MN=NQ,則稱線段PQ是。的“倍弦線”.

（1）如圖，點(diǎn)、A,B,C,。的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，在線段AB,CB,8中，。的“倍弦線”是；

（2）。的“倍弦線”PQ與直線x=2交于點(diǎn)E,求點(diǎn)E縱坐標(biāo)力的取值范圍；

⑶若。的“倍弦線”尸Q過(guò)點(diǎn)（1,0）,直線y=x+6與線段尸。有公共點(diǎn)，直接寫出》的取值范圍.

15.（2024北京西城初三一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知O的半徑為1.對(duì)于。上的點(diǎn)P和

平面內(nèi)的直線/：、="給出如下定義：點(diǎn)P關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)記為p,若射線。尸上的點(diǎn)。滿足

OQ=PP'，則稱點(diǎn)。為點(diǎn)尸關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)

aH-1）.且卜雙，-忘）中，點(diǎn)《關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”是一，點(diǎn)旦關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”是「

（2）尸為」。上任意一點(diǎn)，直線y=x+〃z（〃2中0）與X軸，y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B.若線段A8上

存在點(diǎn)S,T,使得點(diǎn)S是點(diǎn)尸關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”，點(diǎn)T不是點(diǎn)尸關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”，直接寫出優(yōu)的

取值范圍；

（3）當(dāng)-IWaWl時(shí)，若過(guò)原點(diǎn)的直線s上存在線段MN,對(duì)于線段MN上任意一點(diǎn)R,都存在。上的點(diǎn)尸

和直線/,使得點(diǎn)R是點(diǎn)尸關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”.將線段MN長(zhǎng)度的最大值記為。（s）,對(duì)于所有的直線

s,直接寫出。（s）的最小值.

16.（2024北京房山初三一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將中心為M的等邊三角形記作等邊三角形

M,對(duì)于等邊三角形M和點(diǎn)尸（不與。重合）給出如下定義：若等邊三角形M的邊上存在點(diǎn)N,使得直

線0P與以MN為半徑的。M相切于點(diǎn)P,則稱點(diǎn)尸為等邊三角形M的“相關(guān)切點(diǎn)”.

⑴如圖，等邊三角形M的頂點(diǎn)分別為點(diǎn)0（0,0）,A（3,V3）,8（3,_君）.

①在點(diǎn)A（2,2）中，等邊三角形/的“相關(guān)切點(diǎn)”是」

②若直線＞=》+人上存在等邊三角形M的“相關(guān)切點(diǎn)”，求b的取值范圍；

（2）已知點(diǎn)〃（，〃，機(jī)-2）,等邊三角形M的邊長(zhǎng)為26.若存在等邊三角形M的兩個(gè)“相關(guān)切點(diǎn)”E,尸，使

得AOEF為等邊三角形,直接寫出機(jī)的取值范圍.

17.（2024北京順義初三一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，對(duì)于圖形M和圖形N給出如下定義：如果圖形

/上存在點(diǎn)P、了軸上存在點(diǎn)T,使得點(diǎn)P以點(diǎn)T為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到的點(diǎn)。在圖形N上，

那么稱圖形N是形M的“關(guān)聯(lián)圖形”.

D

(1)如圖,點(diǎn)4(-3,2),8(0,-1),C(3,2),￡>(-1,6).

①在點(diǎn)8,C,。中，點(diǎn)A的“關(guān)聯(lián)圖形”是；

②若LO不是點(diǎn)A的“關(guān)聯(lián)圖形”，求O的半徑廠的取值范圍；

(2)已知點(diǎn)。'(機(jī),0),E(a-3,0),G(m一2,1),。的半徑為1,以線段EG為對(duì)角線的正方形為￡FGH,

若O'是正方形EPGH的“關(guān)聯(lián)圖形”，直接寫出加的最小值和最大值.

18.(2024北京門頭溝初三一模)在平面直角坐標(biāo)系中，。的半徑為2,點(diǎn)P、。是平面內(nèi)的點(diǎn)，如

果點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)。的中心對(duì)稱點(diǎn)在上，我們稱圓上的點(diǎn)為點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)Q的“等距點(diǎn)”.

8

^

6

6

5

4

3

3

圖3

(1)已知如圖1點(diǎn)P(4,0).

①如圖1,在點(diǎn)2(3,0),2(2,-1)，2(1,1)中，。上存在點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)。的“等距點(diǎn)”的是,

②如圖2,點(diǎn)。(〃?,〃)，。上存在點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)。的“等距點(diǎn)”，則根的取值范圍是；

(2)如圖3,已知點(diǎn)點(diǎn)尸在y=r+6的圖象上，若。上存在點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)。的“等距點(diǎn)”，求6的取

值范圍.

參考答案

1.D

【分析】此題考查了圓周角定理、垂徑定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)垂徑定理、圓周角定理判斷求解即可.

【詳解】解：CO是。的直徑，CDLAB,

:.AE=BE,ZCBD=90°,NCOB=2ND,NCBO=/C,

故A、B、C不符合題意，D符合題意；

故選：D.

2.C

【分析】本題考查了圓的基本性質(zhì)以及勾股定理內(nèi)容以及完全平方公式的應(yīng)用，先找出半徑，結(jié)合斜邊大

于直角邊，得知①苫是正確的，結(jié)合勾股定理以及完全平方公式的變形運(yùn)算，得證③是錯(cuò)誤的；同

理得證②是正確的.對(duì)④運(yùn)用反證法，得出等>C,與①等<C的結(jié)論相矛盾，即可作答.

【詳解】解：：AC=。，CB=b（b〉a）

：.OF=^AB=^a+b）

OFVAB

CF（斜邊）大于OF

故①是正確的；

OC=AO-AC=-(a+b]-a=-b--a

2、,22

在RtACO廠中，OC2+O尸2=FC?

即(/TN*]

**.a2+b2=2c2

J。2+/=A/2C

..a+b

,------<c

2

yja2+b2-y/2c>~~~(a+0)

故③是錯(cuò)誤的；

*.*b>a

：.他-4>0

??/+a?〉2clb

Jb2+/><2ab

,?*[a2=夜c

**?\[2c>N2ab

即<c,故②是正確的；

假設(shè)2ab<ac+bc是正確的

貝ljQ<ac—ab+bc—ab

/.Q<a(c-b)-￥b(c-a)

Vc-b<0,c-a>0,且

/.\c-Z?|>|(7—tz|>0

??b-c>c—a

即等>C與①等<C的結(jié)論相矛盾

故④是錯(cuò)誤的

綜上：正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2個(gè)

故選：C

3.90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑

【分析】本題考查圓周角定理，掌握“90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑”是正確解答的關(guān)鍵.

根據(jù)圓周角定理進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)“90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑”即可得出答案，

故答案為：90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

4.45

【分析】本題主要考查了圓周角定理，先由直徑所對(duì)的圓周角為90。，可得NACB=90。，然后由AC=3C

得：ZCAB=ZCBA=45°,然后根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，即可求出NO的度數(shù).

【詳解】解：：48是二。的直徑，

ZACB=90°,

AC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=45°,

：.ZD=ZCAB=45°.

故答案為：45

5.3

【分析】過(guò)A作AM,03于求得NAG?的度數(shù)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AM,求出三角形的面

積，于是得到正十二邊形的面積，根據(jù)圓的面積公式即可得到結(jié)論.

本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】如圖，A8是正十二邊形的一條邊，點(diǎn)。是正十二邊形的中心，設(shè)。的半徑為1,

過(guò)A作于M,

B.O

B

在正十二邊形中,

ZAOB=3600+12=30°,

■,AM=-OA=-

22

1

-

SAOB=—OB.AM2xlx—=—

24

???正十二邊形的面積為12x1=3,

4

「.3=12x%,

.".7T=3,

萬(wàn)的近似值為3,

故答案為：3.

6.700/70度

【分析】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí).熟練

掌握直徑所對(duì)的圓周角為直角，同弧所對(duì)的圓周角相等是解題的關(guān)鍵.

由3C為。的直徑，可得/B4C=90。，由AC=AC，可得乙數(shù)。=NO=20。，根據(jù)

ZACB=180°-ZBAC-ZABC,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：:BC為O的直徑，

二ZS4C=90°,

**'AC=AC'

：.ZABC=ZD=20°,

：.ZACB=180°-ZBAC-ZABC=70°,

故答案為：70°.

7.25

【分析】本題考查了圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NBCD的

性質(zhì)，然后利用圓周角定理求解即可.

【詳解】解：：。的內(nèi)接四邊形ABCD中，ZZMB=130°,

ZBCD=180°-ZZMB=50°,

?點(diǎn)A是80的中點(diǎn)，

??AD=AB

：.ZACD=ZACB=-ZBCD=25°,

2

故答案為：25.

8.25

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，如圖，連接。C,求解

/COP=90°-40。=50。，再根據(jù)圓周角定理即可得答案.

【詳解】解：如圖，連接OC,

VPC與。相切于點(diǎn)C.ZP=40°,

...ZOCP=90°,/COP=90°-40°=50°,

：.ZA=-ZCOP=25°,

2

故答案為：25

9.72。/72度

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理及三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及

圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可求得/ABC=NC=72。，再由角平分線及圓周角定理確定

ZCBD=ZCAD=36°,即可求解.

【詳解】解：：=/B4c=36。，

.?2"="=18。。-㈤CJ8。。-36。=72。,

22

平分/ABC,

ZCBD=36°,

ZCBD=ZCAD=36°,

ZDAB=ADAC+ZG4B=72°,

故答案為：72°.

10.6

【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理和中位線定理，由垂徑定理得4。=3。=工48=4,

2

ZADO=ZBDO=90°,則可得OD是..ABC的中位線，設(shè)半徑為人由勾股定理得OT=。獷+,求出

r=5即可求解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：OE_LAB,

AD^BD^-AB=4,ZADO=ZBDO=90°,

2

OA=OC,

：.0。是:ABC的中位線，

OD=-BC,即3c=20。，

2

設(shè)半徑為廠，則OD=OE—=2,

在Rt4?中，由勾股定理得：OA2=OD2+AD2,

：.r2=(r-2)2+42,解得r=5,

OD=r-2=3,

BC=2OD=6.

11.80

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)

鍵.先根據(jù)圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑得到？的90?,根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余計(jì)算出

NA=40。，然后根據(jù)圓周角定理即可求解.

【詳解】解：???A5是。的直徑，BD為。的切線，

:.ABLBD,

：.?ABD90?,

ND=50。，

工ZA=40°,

???ZBOC=2ZA=SO0.

故答案為：80.

12.發(fā)現(xiàn)：V73-3；10；平行(或「)；思考：3萬(wàn)-型

4

【分析】發(fā)現(xiàn)：如圖1,連接AO、AE,作尸于P,由題意知，OM=3,/ZMP=60。，當(dāng)

A、M.O三點(diǎn)共線時(shí)，AM最小，為AO-OM；當(dāng)M、E重合時(shí)，AM最大,由勾股定理求解即可；由

題意知N54P=30。，則3P=;A3=3=O歹，進(jìn)而求解作答即可；

13

思考：如圖2,連接OG,作于則/AEF=30。，OH=-OE=-,由OE=OG,可得

NEOG=120。，GE=2EH,根據(jù)S重疊=S扇形映一§吶，計(jì)算求解即可.

【詳解】發(fā)現(xiàn)：解：如圖1,連接AO、AE,作5P_LAF于尸,

圖I

由題意知，OM=3,ZDAF^60°,

當(dāng)A、M.O三點(diǎn)共線時(shí)，4〃最小，

由勾股定理得，AO=y/AF12+OF2=/73>

，4〃的最小值為6-3;

當(dāng)M、E重合時(shí)，4〃最大，

由勾股定理得，AE^yjAF2+EF2-10-

，40的最大值為10；

?..矩形ABCD,

NBAD=90°,

ZBAP=30°,

BP=-AB=3=OF,

2

又：BP//OF,

：.OB//1,

故答案為：平行（或7）；

故答案為：A/73-3;10；平行（或夕）；

思考：解：如圖2,連接。G,作C歸，AD于

ZAEF=30°,

13

OH=-OE=-,

22

---OE=OG,

/EOG=120°,GE=2EH=2^0e-OH2=34，

2

.<_<_<120^--31X3島3=3萬(wàn)一噸

??Q重疊一D扇形EOG-DEOG--布°----

24

重疊部分面積為3兀--------

4

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30。的直角三角形，平行線的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，扇形面

積等知識(shí).熟練掌握勾股定理，含30。的直角三角形，平行線的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，扇形面

積是解題的關(guān)鍵.

13.（1）證明見解析

32

（2）DF=y

【分析】本題考查切線的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理以及勾股定理，掌握切線的性質(zhì)和判斷方

法，垂徑定理，圓周角定理以及勾股定理是正確解答的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)以及圓周角定理即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂徑定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】（1）證明：AM是。的切線，

ZBAM=90°,

ZCEA=90,

:.CD//AF,

：.ZCDB=ZAFB,

；NCDB=NCAB,

:.ZCAB=ZAFB.

(2)解：連結(jié)AO,

/.CE=DE,

是CD的垂直平分線，

AC=AD=S,

。的半徑為5,

:.AB=10,

:?BD=6,

AB是：。的直徑，

:.ZBDA=90,

:.ZBAD=ZAFB,

/.tan/BAD=tanZAFB,

AD_BD

DF-AD

:.Ab2=DFBD，

32

...DF=—

3

14.(1)AB>CD；

(2)-辰*6；

(3)-2-V2<Z?<1+2A/2.

【分析】本題是新定義閱讀題，考查了理解能力，與圓的位置關(guān)系，勾股定理等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是

幾何直觀能力，數(shù)形結(jié)合.

（1）根據(jù)定義驗(yàn)證可得結(jié)果;

（2）根據(jù)PQ最大值為6,所以以。為圓心，3為半徑畫圓，根據(jù)勾股定理求得E尸，進(jìn)而求得結(jié)果;

（3）以（2,0）為圓心，1為半徑作圓，直線y=x+6與圓相切，此時(shí)6=-2-忘，以（T,。）為圓心，2為半

徑作圓，直線V=x+b與圓/相切，求得b,進(jìn)而求得結(jié)果.

AF=FH=BH=2,CG=GF=DF=應(yīng)，

圖1

.-.AB,8是一O的“倍弦線”,

與。。不相交，上翡等

.?.2C和AD不是。的“倍弦線”,

故答案為：AB.CD；

圖2

以。為圓心，3為半徑畫圓交直線x=2于E和,

EF=40E2-0產(chǎn)=百-*=#，

:__后V%V4;

以。（-1,0）為圓心，2為半徑畫圓。，直線y=x+4與一相切，

止匕時(shí)白=20+1,

以。（2,0）為圓心，1為半徑作O",直線y=x+4與。線切，

止匕時(shí)用=-2-魚，

二.-2—^/2V6V1+2^/^?

15.（1）。2，a

（2）24mV2加或-20〈根＜-2

⑶2-

【分析】⑴先得出直線/為…，根據(jù)軸對(duì)稱得出-用，g-1芻.進(jìn)而可得附'=5

心月=&,勾股定理求得點(diǎn)2，Q，03，Q與原點(diǎn)的距離，進(jìn)而根據(jù)新定義即可求解;

（2）依題意，0WPPV2當(dāng)線段上存在一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2時(shí)，則符合題意，進(jìn)而分機(jī)＞0,機(jī)＜0

畫出圖形，即可求解;

（3）根據(jù)題意，畫出圖形，就點(diǎn)P的位置，分類討論，根據(jù)新定義即可求解.

【詳解】（1）解：?.?當(dāng)。=。時(shí)，直線/為y=o,即X軸，

也_立）

叵叵\

???明苔］6’

???他'=百，加=6,

,.,01（1,2）,。2V］，。3（-1，-1），。4卜"-后）

22

?*-OQf=A/1+2=y/5，0Q2=+[)=6'O2=J"1=，OQ4=J2+2=2,

.?.點(diǎn)片關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”是。2,點(diǎn)鳥關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”是Q3,

故答案為：&，Q3.

(2)解：依題意，04PpV2,

由(2)可得當(dāng)點(diǎn)S是點(diǎn)P關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”則OS42,

,:p為：o上任意一點(diǎn)，直線y=x+〃z(〃*0)與X軸，y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B.

OA=OB=m,

二當(dāng)線段A3上存在一個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為2時(shí)，

當(dāng)機(jī)>0時(shí)，如圖所示，

當(dāng)OS=2時(shí)，即S與3點(diǎn)重合時(shí)，存在點(diǎn)S是點(diǎn)尸關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”，貝打w=2

則A2(除端點(diǎn)外)上所有的點(diǎn)到。的距離都<2,

:對(duì)稱軸為直線產(chǎn)％不能為丁軸，則(0,2)和(-2,0)不是點(diǎn)尸關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”，則加=2符合題

忌、,

??,線段A5上存在點(diǎn)S,T,使得點(diǎn)S是點(diǎn)2關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”，點(diǎn)了不是點(diǎn)P關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”，

m>2,

當(dāng)OS3y=x+〃z,此時(shí)OS，最短，則當(dāng)OS'=2時(shí)，w=2血，此時(shí)只有1個(gè)點(diǎn)到。的距離為2,其他的點(diǎn)

都不是點(diǎn)尸關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”，

**?1<m<2>/2;

根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)〃7<0時(shí)，可得-2忘4加V-2;

綜上所述,2<m<2>/2-2A/2<m<-2

⑶時(shí)

隨著。的變化，點(diǎn)尸關(guān)于直線/的對(duì)稱點(diǎn)P'始終在圓上，

如圖所示，依題意，直線/是經(jīng)過(guò)圓心，且經(jīng)過(guò)A8的直線，s經(jīng)過(guò)圓心，

①當(dāng)點(diǎn)尸在4B（包括邊界）上時(shí)，當(dāng)P，P'重合時(shí)，當(dāng)PP為直徑時(shí)，則OQ=PP=2,

根據(jù)新定義可得?！词琍V2,

Z）（s）=2,

②當(dāng)P點(diǎn)在A。的內(nèi)部的圓弧上時(shí)（不包括邊界），當(dāng)PP為直徑時(shí)，則OQ=PP=2,

則對(duì)于線段上任意一點(diǎn)R,都存在O上的點(diǎn)尸和直線/,使得點(diǎn)R是點(diǎn)P關(guān)于直線/的“衍生點(diǎn)”.

當(dāng)尸在丁軸上時(shí)，兩條邊界線的正中間，則PP的最小值為0,

0WPP=OQW2即D(s)=2-0

綜上所述，D⑶=2-叵.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)，圓的定義，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理求線段長(zhǎng)，理解新定義，熟練掌握幾

何變換是解題的關(guān)鍵.

16.⑴①片，P,；②一走-2wbW0-l；

22

(2)2W根W1+幣或1—>/7W機(jī)W0.

【分析】(1)①根據(jù)新定義即可求解；

②找到關(guān)鍵點(diǎn)先求出此時(shí)6的值，然后即可求解；

(2)由-2)可知，點(diǎn)在y=x-2直線上，再根據(jù)新定義分四種情況畫出圖即可；

本題考查了圓的切線，勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)①如圖，

根據(jù)題意，直線。尸與以為半徑的M相切，

由圖可知，等邊三角形M的“相關(guān)切點(diǎn)”是4P2,

故答案為：6、

②根據(jù)題意，滿足題意的尸點(diǎn)是以。,0),半徑為1的弧上，如圖,

若直線y=x+b上存在等邊三角形M的“相關(guān)切點(diǎn)”，如圖,

??KI=^2，

：.OK=OS=C-\，即6=萬(wàn)斤,

??4-走］

?12，2/

:.PL力,KL=l，

22

/.OG=^^

2

此時(shí)占普

二6的取值范圍為6—<&<A/2-1；

22

(2)如圖，此時(shí)△(9函中/EOM=30。，ZOEM=90°,

解得：m=\+A/7（負(fù)值舍去），

如圖，此時(shí)△<?前■中NEQW=30。，ZOEM=90°,M（m,m—2）,

此時(shí)OM=4,m2+（m-2）2=42,

解得：m=l-V7（正值舍去），

如圖，

解得：機(jī)=2或機(jī)=0(舍去),

此時(shí)OM=2,m2+(m-2)2=22,

解得：m=2(舍去)或加=0,

綜上可知：2WmWl+5或1-幣WmW0.

17.(1)?B

②0<r<;

2

(2)加最小為上史，加最大為史史.

22

【分析】(1)①根據(jù)“關(guān)聯(lián)圖形”的定義判斷即可；

②根據(jù)關(guān)聯(lián)圖形的定義，判斷出A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的軌跡，從而得到。的半徑范圍

(2)根據(jù)關(guān)聯(lián)圖形的定義，求出點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)后的軌跡，當(dāng)，O'與該軌跡有唯一交點(diǎn)時(shí)，加取最小值;

根據(jù)關(guān)聯(lián)圖形的定義，求出點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)后的軌跡，當(dāng).。與該軌跡有唯一交點(diǎn)時(shí)，加取最大值；

【詳解】(1)①A點(diǎn)繞Q2)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn)B,

故答案為：B：

②設(shè)點(diǎn)7(0,a),那么點(diǎn)A繞點(diǎn)T逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到點(diǎn)4,作AJ，y軸交》軸于點(diǎn)J,作A'K，y軸交，軸

于點(diǎn)K,如圖所示

由旋轉(zhuǎn)可知，AT^AT,NA7A'=90。，

ZA7T=90°

:.ZTAJ+ZATJ^90°

ATJ+A'TK=90°

:.ZTAJ=A'TK

ATJ^tA：KT

.A(-3,2)

:.TJ=a-2=KA,AJ=3=TK

:.OK=TO-TK=a-3

A坐標(biāo)為(a—2,a—3)

...從在y=X-l上運(yùn)動(dòng)

設(shè)y=x-l與x軸的交點(diǎn)為M,與>軸交點(diǎn)為N

當(dāng)x=0,y=T,當(dāng)y=。時(shí)，x=l,

N(0,-l)

MN=YJOM2+ON2=712+12=V2

以點(diǎn)。為圓心，作圓，當(dāng)一。與y=x-i有為唯一交點(diǎn)時(shí)，半徑為OWN斜邊上的高

OMON1x1V2

???當(dāng)。不是點(diǎn)A的關(guān)聯(lián)圖形時(shí)，0<r<Y2

2

故答案為：0<r,

2

(2)設(shè)點(diǎn)石(加-3,0)繞點(diǎn)7(0,〃)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作石軸交》軸于點(diǎn)S,連接

TE,TE',如圖所示

由旋轉(zhuǎn)可知，AE=TE=T'E,ZETE=9V,

:.ZETO+ZEfTO=90°

ZETO^ZTEO=90°

.\ZEfTO=ZTEO

ZEOT=ZEST=90°

/.ETgTEfS

,\EO=TS=m-3,TO=ErS=a

TS=TO-SO=a-(m-3)=a+3-m

E'點(diǎn)坐標(biāo)為（Q,Q+機(jī)-3）

所以￡'在＞=%+機(jī)-3上運(yùn)動(dòng)

k=l,

.?.y=x+〃i_3與x軸的夾角為45。

設(shè)丫=%+機(jī)一3在x軸的交點(diǎn)為。，那么。點(diǎn)坐標(biāo)為（3-九0）

當(dāng)〉=工+機(jī)—3與O,有唯一交點(diǎn)農(nóng)時(shí)，加最大

y=x+m-3O'相切

/.NOR。=90。

??.O'HQ為等腰直角三角形且O'R=1

/.O'Q=m-(3-m)=2m-3=A/2

2

故，"最大為三立

2

y

設(shè)點(diǎn)G（m-2,1）繞點(diǎn)7（0,a）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G