2024-2025學年高一【數(shù)學(人教A版)】函數(shù)的性質(zhì)應用-教學設計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高一學期第一學期課題函數(shù)的性質(zhì)應用教科書教學人員姓名單位授課教師指導教師教學目標教學目標：1.歸納抽象形成函數(shù)性質(zhì)的判斷規(guī)則，通過對關鍵詞的辨析和應用規(guī)則判斷函數(shù)性質(zhì)的練習，掌握判斷函數(shù)的操作步驟；2.體會函數(shù)性質(zhì)對于函數(shù)自變量、函數(shù)值以及區(qū)間的影響和聯(lián)系；3.發(fā)展學生的數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象與直觀想象等數(shù)學素養(yǎng).教學重點：掌握利用性質(zhì)解決對陌生函數(shù)的研究方法，更加透徹的理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應用規(guī)則.教學難點：精準理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，將文字語言抽象為數(shù)學符號、數(shù)學運算等具體可操作的步驟.教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動5分鐘（一）利用函數(shù)性質(zhì)作圖各位同學，大家好，我是來自北京市第二十五中學的數(shù)學教師許雯，通過之前對于函數(shù)的單調(diào)性、最值和函數(shù)的奇偶性的學習，你是否已經(jīng)對函數(shù)有更多角度的理解了呢？今天，咱們結(jié)合之前所學內(nèi)容，看看函數(shù)性質(zhì)有哪些更廣泛的應用.例1：利用函數(shù)的性質(zhì)畫出y=1x的圖象，并判斷函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)性師生活動：學生獨立思考嘗試畫y=1x的圖象，老師引導學生從解析式尋找函數(shù)的性質(zhì)，在函數(shù)性質(zhì)的指導下作圖，并對比與函數(shù)y=1x的圖象師：我們在初中階段學畫新函數(shù)圖象的時候都是在自變量的取值范圍內(nèi)取值、列表、描點、作圖.現(xiàn)在我們已經(jīng)學習了函數(shù)的一些性質(zhì)，是否可以從解析式出發(fā)，直接得到函數(shù)的某些特征呢？分析：函數(shù)的定義域是x≠0的全體實數(shù)，值域是（0,+∞），因此函數(shù)圖7分鐘6分鐘3分鐘（二）函數(shù)奇偶性的應用（三）函數(shù)單調(diào)性的應用（四）歸納總結(jié)，布置作業(yè)象位于第一二象限.再由f(-x)=1?x=1x=f(x)我們可以得到它是偶函數(shù)，即它的圖象關于y軸對稱，那么我們就可以通過只作出第一象限（x＞當x＞0時，y=1x的圖象與反比例函數(shù)y=1x的圖象相同，再利用偶函數(shù)關于y軸對稱，我們就可以得到它的完整圖象不難看出y=1x的單調(diào)增區(qū)間是（-∞,0），它的單調(diào)減區(qū)間是（0,+∞）.函數(shù)沒有最大值和最小值設計意圖：從函數(shù)的解析式入手研究函數(shù)的性質(zhì)，在函數(shù)性質(zhì)的指導下做出函數(shù)的圖象，而不僅僅是整個圖象依賴列表描點的作圖方法.從反比例函數(shù)入手解決函數(shù)y=1x的圖象性質(zhì)，將陌生的知識轉(zhuǎn)化為熟悉的知識，感受學以致用的過程，體會例2：已知y=f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當x＜0時f(x)=?2x2?4x?3求f(?1)的值.②求f(1)的值.③寫出f(x)的解析式并畫出函數(shù)圖象.④寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.師生活動：教師提出問題，學生經(jīng)過思考、討論后回答問題，教師板書解答過程，師生共同分析解題思路，歸納解此類問題的研究方法.師：題目給出了x＜0的解析式，因此可以直接利用解析式求f(?1)，即f(?1)=?2?12?4?1那么怎么求f(1)呢，很顯然我們要利用函數(shù)的奇偶性來解決問題.由題目y=f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，我們可以通過f(1)=?f(?1)=1直接求解.我們還可以求出當x＞0時函數(shù)的解析式，進一步求f(1)的值.對于第三個問題，我們首先要考慮f(x)的定義域為R，因此我們需要解決x=0和x＞0時函數(shù)的解析式是什么的問題.由于f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，所以f(0)=0.對于x＞0的解析式，我們可以設x＞0，則?x＜0就可以代入到題目所給的解析式中求解.再根據(jù)奇函數(shù)的定義我們有f(?x)=?2(?x)2?4(?x)?3=?2x2+4x+3=?f(x).所以得到當x＞0時，f(x)=2x2?4x+3，因此?2x2?4x?3，x＜0，f(x)=0，x=0，2x2?4x+3，x＞0.由圖象可以看出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（?1，0），（0，1）（注意為什么不能寫成（?（?1，0）∪（0，1追問：當x＜0時，點（?1，?1）是圖象的一個最高點，能否說此函數(shù)存在最大值y=?1呢？很顯然最大（?。┲凳嵌x在全體定義域上的一個性質(zhì)，此函數(shù)無設計意圖：本例題是利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值以及解析式的問題，歸納此類問題的研究方法，即從奇偶性的定義出發(fā)求解，最后從圖形上刻畫函數(shù)做更加深入的理解，再對分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及最值問題進行考察，鞏固了之前所學的知識.例3：已知y=f(x)是定義域為R的單調(diào)增函數(shù)(1)比較f(1)與f(5)的大??；(2)比較f(a2+2)與f(2a)的大??；(3)若f(a2)＞f(a+6)，求a的取值范圍．師生活動：學生獨立思考，教師啟發(fā)引導學生獨立解決問題.師：這道題沒有給出函數(shù)的具體解析式，那么我們還能比較f(1)與f(5)的大小嗎？對于在某個區(qū)間上已知單調(diào)性的函數(shù)，我們是否可以通過比較該區(qū)間內(nèi)自變量的大小比較函數(shù)值大??？它們間有何種對應關系？分析：函數(shù)單調(diào)性的定義既是充分條件也是必要條件，即我們除了可以通過在某個區(qū)間自變量的大小與函數(shù)值的大小判斷函數(shù)的單調(diào)性，還可以由函數(shù)在某個區(qū)間的單調(diào)性建立自變量大小與函數(shù)值大小的聯(lián)系.因為y=f(x)是定義在R的單調(diào)增函數(shù)，而自變量1＜5，所以函數(shù)值f(1)＜f(5).師：怎樣判斷f(a2+2)與f(2a)的大小呢？分析：由已知y=f(x)是定義域為R的單調(diào)增函數(shù)，f(a2+2)與f(2a)的大小可以由a2+2與2a的大小關系確定.因為a2+2?2a=(a?1)2+1＞0，所以a2+2＞2a.再由f(x)是單調(diào)增函數(shù)，所以f(a2+2)＞f(2a).師：若f(a2)＞f(a+6)，自變量需要滿足什么條件？分析：由于函數(shù)單調(diào)性的定義是一個充要條件，因此對于在某個區(qū)間上已知單調(diào)性的函數(shù)，我們還可以通過該區(qū)間內(nèi)函數(shù)值的大小關系得到其對應自變量大小關系.即由f(x)是定義域為R的單調(diào)增函數(shù)，已知f(a2)＞f(a+6)，可以確定a2＞a+6，利用一元二次不等式的解法，可得a＞3或a＜?2.設計意圖：通過本例題的學習，學生對于函數(shù)的單調(diào)性的定義有更加深刻的認識，對于單調(diào)函數(shù)的自變量對函數(shù)值的大小關系的影響理解更加透徹，并且綜合了一元二次不等式的解法，溫故知新.教師引導學生回顧本節(jié)知識，并回答以下問題：（1）對于不熟悉的函數(shù)我們的作圖方法有哪些改進？（2）對于具有奇偶性的函數(shù)，我們是否可以通