2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】三角函數(shù)的應(yīng)用(1)-教學(xué)設(shè)計(jì)

（二）教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號(hào)學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期課題三角函數(shù)的應(yīng)用（1）教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.通過對(duì)兩個(gè)實(shí)際問題的學(xué)習(xí)，能認(rèn)識(shí)三角函數(shù)模型是描述周期變化的重要數(shù)學(xué)模型，了解簡諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)模型中參數(shù)的物理意義；2.在問題研究過程中體驗(yàn)三角函數(shù)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，感受數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值；3.在實(shí)際問題的解決過程中感受信息技術(shù)處理數(shù)據(jù)的優(yōu)勢，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).教學(xué)重點(diǎn)：用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問題.教學(xué)難點(diǎn)：了解振子的運(yùn)動(dòng)原理，建立有關(guān)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合.教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)1分鐘溫故知新我們前面學(xué)習(xí)了角與弧度、三角函數(shù)概念與性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角恒等變換的內(nèi)容，今天我們一起來學(xué)習(xí)三角函數(shù)的應(yīng)用．現(xiàn)實(shí)生活中存在大量具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)的周期運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，例如地球自轉(zhuǎn)引起的晝夜交替變化和公轉(zhuǎn)引起的四季交替變化，月亮圓缺，潮汐變化，物體作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的位置變化，物體做簡諧運(yùn)動(dòng)時(shí)的位移變化，交變電流變化等.如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數(shù)來描述。本節(jié)課我們將通過兩個(gè)具體實(shí)例，說明三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用。下面請(qǐng)大家先來看第一個(gè)問題．10分鐘學(xué)以致用學(xué)以致用問題１某個(gè)彈簧振子（簡稱振子）在完成一次全振動(dòng)的過程中，時(shí)間t（單位：ｓ）與位移y（單位：ｍｍ）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表5.7-1所示。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式．教師：我們可以看到這個(gè)問題是研究彈簧振子隨時(shí)間呈周期性變化的問題，題目給出了某個(gè)振子在完成一次全振動(dòng)的過程中，時(shí)間t與位移y的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)。首先我們一起來看一下物理當(dāng)中的彈簧振子完成一次全振動(dòng)的過程。教師：我們可以看到振子的振動(dòng)具有循環(huán)往復(fù)的特點(diǎn)，由振子振動(dòng)的物理學(xué)原理可知，其位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)來刻畫．這里自變量是t,函數(shù)值是y.追問1：我們進(jìn)一步觀察時(shí)間和位移之間的三角函數(shù)關(guān)系y=Asin(ωx+φ)，要想確定這個(gè)函數(shù)解析式，我們需要確定三個(gè)量.A,ω，φ.通過來看表格中的具體數(shù)據(jù)，請(qǐng)大家想想這些數(shù)據(jù)的物理意義是怎么樣的？他們又對(duì)應(yīng)著什么數(shù)學(xué)在這個(gè)表中，我們可以不需要計(jì)算就能直接得出自變量的t的值所對(duì)應(yīng)的y的值，比如時(shí)間t=0.00時(shí)，彈簧振子的位移是-20.并且可以從表格中看出在t=0.00和t=0.60時(shí)所對(duì)應(yīng)的位移y是相同的．而且能看到當(dāng)t=0.30時(shí)所對(duì)應(yīng)的y值是20.追問2：我們知道函數(shù)有三種常用的表示方法．解析法、列表法和圖象法.教師：我們可以看到表格1就是通過列出表格來表示兩個(gè)變量t與y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.如果根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如圖5.7-1所示.追問3：請(qǐng)同學(xué)們想一想，散點(diǎn)圖可以作為這個(gè)函數(shù)的圖象嗎？從散點(diǎn)圖中我們是否能得到上面的信息呢？它和表格1的差別又是怎樣的呢？教師：首先我們要知道，函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn).教師：從散點(diǎn)圖中我們可以直觀形象地看到隨著自變量的變化，相應(yīng)的函數(shù)值變化的趨勢，有利于我們進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì).當(dāng)然我們也可以從散點(diǎn)圖中看到函數(shù)值的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，同時(shí)可以看到點(diǎn)的位置先升高再降低，并且具有周期性.追問4：我們知道，彈簧振子成周期變化，那么它的一個(gè)最小正周期又是多少呢？我們?cè)趺茨芡ㄟ^散點(diǎn)圖得到呢？教師：由散點(diǎn)圖可以看到，在t=0.00和t=0.60時(shí)所對(duì)應(yīng)的位移y是相同的，于是可以得出振子振動(dòng)的周期為0.6ｓ，進(jìn)而可以得出即2πω=0.6，于是解得教師：振子振動(dòng)時(shí)位移的最大值為20ｍｍ，因此A＝20；振子振動(dòng)的周期為0.6ｓ，即2πω=0.6，解得ω=10π3；再由初始狀態(tài)（t＝0）振子的位移為-20，可得y=203分鐘技巧方法通過這道例題，我們能看到函數(shù)的三種表示，這三種表示分別是解析法、圖象法和列表法.1、解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即將兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示。我們中學(xué)階段所研究的函數(shù)主要是能夠用解析式表示的函數(shù).解析法的優(yōu)點(diǎn)：一是簡明、全面地概括了變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；二是可以通過解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.2、圖象法，就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，圖象法也常常用于生產(chǎn)和生活中，優(yōu)點(diǎn)是直觀形象地表示隨著自變量的變化，相應(yīng)函數(shù)值變化的趨勢，有利于我們研究函數(shù)的某些性質(zhì).3、列表法，就是列出表格來表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，我們?cè)谏钪幸步?jīng)常遇到使用列表法的實(shí)例，如銀行中利率表、列車時(shí)刻表等。列表法的優(yōu)點(diǎn)是不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值.從上面我們可以看到這三種表示法有各自的優(yōu)點(diǎn)，我們以后學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是要在面對(duì)實(shí)際情境時(shí)，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).2分鐘技巧方法現(xiàn)實(shí)生活中存在大量類似彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，如鐘擺的擺動(dòng)，水中浮標(biāo)的上下浮動(dòng)，琴弦的振動(dòng)，等等．這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復(fù)的運(yùn)動(dòng)．在物理學(xué)中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動(dòng)稱為“簡諧運(yùn)動(dòng)”．可以證明，在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，簡諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)y=Asinωx+φ,x∈[0,+∞)表示，其中A就是這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距離；這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的周期是T=這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的頻率由公式f=1ωx+φ稱為相位；x＝０時(shí)的相位φ稱為初相．可以看到我們?cè)谖锢韺W(xué)中把三角函數(shù)中的A,ω，5分鐘基本應(yīng)用我們可以看下面這個(gè)例子復(fù)習(xí)上面學(xué)習(xí)的內(nèi)容．練習(xí)：如圖所示的是某簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象，試根據(jù)圖象回答下列問題：（1）這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期與頻率各是多少？（2）寫出這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式．解：(1)根據(jù)圖象所示，簡諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距離。所以這個(gè)題目中的振幅A=3(cm),觀察得到振子從B到C應(yīng)該是半個(gè)周期，所以半周期是2，T=4（s）,頻率f=14((2)由（1）可得y=3sinπ2x+φ.由點(diǎn)（1.2,0）在圖象上代入，也就是當(dāng)x=65，0=3sinπ1分鐘綜合應(yīng)用問題2如圖5.7-2(1)所示的是某次實(shí)驗(yàn)測得的交變電流i（單位：Ａ）隨時(shí)間t（單位：ｓ）變化的圖象．將測得的圖象放大，得到圖5.7-2(2)．（１）求電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式；（２）當(dāng)t=0,1600,12分鐘技巧方法教師：根據(jù)我們物理中的知識(shí)，交變電流的產(chǎn)生原理也是一個(gè)典型的具有周期變化規(guī)律的物理現(xiàn)象．將實(shí)際測得的圖象放大，我們得到圖（2）．追問1：我們?yōu)槭裁匆糯髨D象？追問2：觀察這個(gè)函數(shù)圖象以及根據(jù)物理知識(shí)，我們知道電流隨時(shí)間變化應(yīng)該滿足三角函數(shù)關(guān)系，那么要確定這個(gè)函數(shù)解析式，我們需要哪些特征值？教師：根據(jù)前面例一的學(xué)習(xí)，我們知道要想確定三角函數(shù)關(guān)系，需要確定通過圖象可以直觀形象地看出隨著自變量的變化，相應(yīng)函數(shù)值變化的趨勢，以及函數(shù)的最高和最低點(diǎn)和函數(shù)的周期．因?yàn)檫@里是個(gè)實(shí)際問題，所以我們都是取近似值．追問3：這里是個(gè)實(shí)際問題，所以取近似值。由交變電流的產(chǎn)生原理可知，電流i隨時(shí)間t的變化規(guī)律可用i=Asin(ωt+φ)來刻畫，其中ω2π表示頻率，A表示振幅，φ表示初相．根據(jù)前面例一的學(xué)習(xí)我們可以知道，我們可以從圖象的幾何特征由圖5.7-2(2)可知，電流最大值為5A，因此A=5；電流變化的周期為150s頻率為50Hz，即ω2π=50，解得ω＝100π；再由初始狀態(tài)(t＝0)的電流約為4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ約為π3．所以電流i=5追問4：解析法的優(yōu)點(diǎn)：一是簡明、全面地概括了變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；二是可以通過解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。所以我們當(dāng)t=0，1600當(dāng)t=0時(shí)，i=5當(dāng)t=1600時(shí)，當(dāng)t=1150時(shí)，當(dāng)t=7600時(shí)，當(dāng)t=160時(shí)，我們可以看到當(dāng)時(shí)間分別為上述值時(shí)，可以得到相應(yīng)的電流值．1分鐘畫龍點(diǎn)睛例2我們分別從圖象到解析式，從應(yīng)用解析式求出了任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，最后我們從數(shù)學(xué)和物理的角度分別來看數(shù)據(jù)的意義。經(jīng)過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)模型是描述周期變化的重要數(shù)學(xué)模型，主要了解簡諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)模型中參數(shù)的物理意義；同時(shí)在問題研究過程中體驗(yàn)三角函數(shù)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，增強(qiáng)了我們的應(yīng)用意識(shí)，感受了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)在實(shí)際問題的解決過程中感受信息技術(shù)處理數(shù)據(jù)的優(yōu)勢，提升了我們的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).