2024-2025學(xué)年高一【數(shù)學(xué)(人教A版)】誘導(dǎo)公式(1)-教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期第一學(xué)期課題誘導(dǎo)公式（1）教科書教學(xué)人員姓名單位授課教師指導(dǎo)教師教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：1.能夠利用三角函數(shù)的定義及單位圓推導(dǎo)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，并運用誘導(dǎo)公式，完成對任意角的化簡求值；2.通過對誘導(dǎo)公式的探求，體會轉(zhuǎn)化與化歸的思想，提升對知識間內(nèi)在聯(lián)系的把握；3.在誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)應(yīng)用過程中發(fā)展數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)推理的素養(yǎng).教學(xué)重點：利用圓的對稱性探究誘導(dǎo)公式二、三、四；運用誘導(dǎo)公式二、三、四進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的求值、化簡與恒等式的證明.教學(xué)難點：發(fā)現(xiàn)圓的對稱性與三角函數(shù)之間的關(guān)系，建立聯(lián)系.教學(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動2分鐘13分鐘5分鐘2分鐘（一）情景導(dǎo)入（二）新知探究（三）典例分析、舉一反三（四）課堂小結(jié)、布置作業(yè)各位同學(xué)，大家好，我是來自北京市第二十五中學(xué)的數(shù)學(xué)教師明昱，很高興今天與大家一起研究、學(xué)習(xí)“誘導(dǎo)公式（1）”.前面利用圓的幾何性質(zhì)，得到了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系.我們知道，圓的最重要的性質(zhì)是對稱性，而對稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì).由此想到，可以利用圓的對稱性，研究三角函數(shù)的對稱性.誘導(dǎo)公式的重要作用是把求任意角的三角函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為求間的角的三角函數(shù)值問題.誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”和復(fù)雜到簡單的“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，反映了從特殊到一般的歸納思維形式．我們先來回顧前面學(xué)習(xí)的公式一：公式一：，，，其中.探究1：公式一研究的是終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，我們利用公式一，可以將任意范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化到內(nèi)的角的三角函數(shù)值，那么如何繼續(xù)將間的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化到我們熟悉的間的角的三角函數(shù)值呢？我們發(fā)現(xiàn)，有一些角，它們的終邊具有某種特殊關(guān)系，如關(guān)于坐標(biāo)軸對稱、關(guān)于原點對稱等.那么它們的三角函數(shù)值有何關(guān)系呢？請同學(xué)們探究完成：終邊關(guān)于原點中心對稱的角的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？師生活動：學(xué)生自由發(fā)言，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察、研探.設(shè)計意圖：師生共同回顧，為新課做準(zhǔn)備．學(xué)生分組討論，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律：利用函數(shù)的重要性質(zhì)——對稱性，并借助單位圓及三角函數(shù)的定義來進(jìn)行推導(dǎo).如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角的終邊與單位圓交于點P1，設(shè)P1(x,y).將角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，終邊與單位圓交于點P2，則P2是點P1關(guān)于原點的對稱點，所以P2(-x,-y).根據(jù)三角函數(shù)的定義，得，，.，，.從而得公式二：終邊關(guān)于原點中心對稱的角.，，.提問：你能用文字語言表述公式二嗎？回答：的三角函數(shù)值，等于的同名函數(shù)值，前面加上一個把看成銳角時原函數(shù)值的符號.提問：公式二解決了什么樣角的求值化簡問題？回答：公式二解決了形如的三角函數(shù)值求值化簡問題.探究2：你能類比公式二，證明下面的公式嗎？公式三：終邊關(guān)于x軸對稱的角.，，.公式四：終邊關(guān)于y軸對稱的角.，，.學(xué)生分兩組討論后，選派一名代表進(jìn)行證明.教師指出：①公式中的α指任意角.例如化簡，這樣的式子時，角1，都是任意角；②誘導(dǎo)公式二、三、四的結(jié)構(gòu)特征：左右兩端三角函數(shù)名稱不變，角不變，只是前面放一個符號；符號的判斷方法：把看成銳角時原函數(shù)值的符號.設(shè)計意圖：由兩個角的終邊相同到終邊關(guān)于原點中心對稱、關(guān)于x軸對稱以及關(guān)于y軸對稱的情況進(jìn)行自然過渡，給學(xué)生留下了自主探究的空間，讓他們再次經(jīng)歷公式的研究過程，從而得出公式二、公式三和公式四，并將問題2研究方法一般化.例1利用公式求下列三角函數(shù)值：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）；（2）；（3）；（4）設(shè)計意圖：初步熟悉誘導(dǎo)公式的使用，讓學(xué)生感悟在解決問題的過程中，如何合理地使用這幾組公式.此外，引導(dǎo)學(xué)生注意同一個三角函數(shù)的求值問題可以采用不同的誘導(dǎo)公式，啟發(fā)學(xué)生這些公式的內(nèi)在關(guān)系和聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)方法的多樣性.思考：由例1，你對公式一至公式四的作用有什么進(jìn)一步的認(rèn)識？你能自己歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎？師生共同小結(jié)：用誘導(dǎo)公式可將任意角的三角函數(shù)化為銳角的三角函數(shù)，其一般方向是：①化負(fù)角的三角函數(shù)為正角的三角函數(shù)；②化為[0,2π]內(nèi)的三角函數(shù)；③化為銳角的三角函數(shù).可概括為：“負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了”（有時也直接化到銳角求值）設(shè)計意圖：階段小結(jié)，讓學(xué)生將對稱作為研究三角函數(shù)問題的一種方法使用.將上述研究過程進(jìn)行梳理，得出“角的數(shù)量關(guān)系→終邊及圓的對稱關(guān)系→交點的坐標(biāo)關(guān)系→三角函數(shù)值間關(guān)系”的研究路線圖.例2化簡（為第三象限角）.提問：是否可以用公式二、三、四進(jìn)行化簡？事實上，公式中的角指的是任意角，由一般到特殊，即便沒有“為第三象限角”這個條件，我們也可以用公式進(jìn)行化簡.解：，，，，所以原式.師生共同小結(jié)：用誘導(dǎo)公式化簡求值的方法：對于三角函數(shù)式的化簡求值問題，一般遵循誘導(dǎo)公式先行的原則，即先用誘導(dǎo)公式化簡變形，達(dá)到角的統(tǒng)一，再進(jìn)行切化弦，以保證三角函數(shù)名最少.設(shè)計意圖：初步熟悉誘導(dǎo)公式的使用，讓學(xué)生感悟在解決問題的過程中，如何合理地使用這幾組公式.此外，引導(dǎo)學(xué)生注意同一個三角函數(shù)的求值問題可以采用不同的誘導(dǎo)公式，啟發(fā)學(xué)生這些公式的內(nèi)在關(guān)系和聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)方法的多樣性.教師活動：請你選擇下面一個或幾個關(guān)鍵詞談一談研究的過程中的體會：知識、方法、思想、收獲、喜悅……學(xué)生活動：知識上，學(xué)會了四組誘導(dǎo)公式；思想方法層面：誘導(dǎo)公式體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想；誘導(dǎo)公式所揭示的是終邊具有某種對稱關(guān)系的兩個角三角函數(shù)之間的關(guān)系.主要體現(xiàn)了化歸和數(shù)