廣東省佛山市南海區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期學(xué)業(yè)水平測(cè)試（12月）數(shù)學(xué)試題 含解析

南海區(qū)2027屆高一上學(xué)期學(xué)業(yè)水平測(cè)試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必填寫答題卡上的有關(guān)項(xiàng)目.2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，再根據(jù)交集含義即可.【詳解】，則.故選：B.2.設(shè)命題：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)含有量詞命題的否定形式，即可判斷.【詳解】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，為，.故選：D3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理即可得到答案.【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性知，在0,+∞上的單調(diào)遞增，又因?yàn)閒1且函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，則根據(jù)零點(diǎn)存在性質(zhì)定理知的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：C4.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小關(guān)系即可.【詳解】由，則，所以.故選：A5.已知函數(shù)，則（）A.5 B.0 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)代入計(jì)算即可.【詳解】.故選：B.6.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)值的正負(fù)可排除選項(xiàng)CD；根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)A；【詳解】當(dāng)時(shí)，，故排除CD；而的定義域?yàn)?，且，所以是奇函?shù)，所以排除A.故選：B7.人們用分貝（dB）來劃分聲音的等級(jí)，聲音的等級(jí)（單位：dB）與聲音強(qiáng)度（單位：滿足.一般兩人小聲交談時(shí)，聲音的等級(jí)約為54dB，在有40人的課堂上講課時(shí)，老師聲音的強(qiáng)度約為一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度的10倍，則老師聲音的等級(jí)約為（）A.108dB B.81dB C.72dB D.63dB【答案】D【解析】【分析】利用題中給出的函數(shù)模型，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)一般兩人小聲交談時(shí)聲音強(qiáng)度，則，即，所以，即老師聲音的等級(jí)約為63dB.故選：D.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，若，則滿足的的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先變形不等式，構(gòu)造并判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，再解抽象不等式.【詳解】設(shè)，由，可知，，即，設(shè)函數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，且是奇函數(shù)，所以，是上的奇函數(shù)，因?yàn)椋?，，即，即，則.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有錯(cuò)選的得0分.9.下列條件中可以作為“”的一個(gè)必要不充分條件是（）A. B. C. D.或【答案】ACD【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為集合之間的包含關(guān)系，再對(duì)比選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)該條件所表示的集合為，因?yàn)槠涫恰啊钡囊粋€(gè)必要不充分條件，則.對(duì)比選項(xiàng)知ACD，符合題意，B不合題意.故選：ACD.10.已知，為非零實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】應(yīng)用特殊值即可判斷A、D；根據(jù)基本不等式及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷B、C.【詳解】A、D：當(dāng)時(shí)，且，錯(cuò)；B：由，則，整理可得，對(duì)；C：由單調(diào)遞增，且，故，對(duì).故選：BC11.若存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，使，，均在函數(shù)的定義域內(nèi)，且滿足，則稱函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)具有性質(zhì)的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)新定義，利用基本不等式得判斷A，根據(jù)函數(shù)新定義結(jié)合特殊值法說明存在即可判斷BD，根據(jù)函數(shù)新定義，分類討論判斷C.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，定義域?yàn)镽，且，對(duì)任意的、且，，即，A選項(xiàng)中函數(shù)不滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，取，，則，而，即存在，B選項(xiàng)中的函數(shù)滿足條件；對(duì)于C選項(xiàng)，假設(shè)具有性質(zhì)，則存在，使得，則，即，若同號(hào)，則，即，所以，得，顯然不成立；若異號(hào)，則，即，將上述方程看作關(guān)于的二次方程，解得，此時(shí)滿足，C選項(xiàng)中的函數(shù)滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，取，所以，，則存在，所以D選項(xiàng)中的函數(shù)滿足條件.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是充分理解性質(zhì)的定義，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.______.【答案】6【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可得到答案.【詳解】.故答案為：6.13.已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，寫出滿足條件的實(shí)數(shù)的一個(gè)值______.【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性和賦值法即可得【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，在0,+∞上單調(diào)遞增，所以2m?3>0m當(dāng)時(shí)，此時(shí)，滿足題意故答案為：314.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，，…，，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)以及的對(duì)稱性，求得的值.【詳解】由于函數(shù)滿足，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，設(shè)，則，則函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，故和的交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則，設(shè).兩式加，可得，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)兩函數(shù)的對(duì)稱性再進(jìn)行求和即可.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），;（2）【解析】【分析】（1）分別求兩個(gè)集合，再根據(jù)集合的運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)，分和兩種情況，列式求得到取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，，得，則，或所以，;【小問2詳解】若，則，當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上可知，.16.給定函數(shù)，.（1）在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，的圖象；（2），用表示，中最大者，記為，求不等式的解集.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與分段函數(shù)的圖像得出答案；（2）根據(jù)圖像求出的解析式，然后分類討論求解即可【小問1詳解】【小問2詳解】因?yàn)椋訫x當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以不等式的解集為17.已知函數(shù)是偶函數(shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義加以證明;（3）解不等式.【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的性質(zhì)有恒成立，即可得參數(shù)值；（2）令，應(yīng)用作差比較大小證明單調(diào)性；（3）根據(jù)已知（2）有，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解集.【小問1詳解】由題設(shè)，即恒成立，所以.【小問2詳解】在上的單調(diào)遞增，證明如下：由（1）知，令，則，由，故，故在上的單調(diào)遞增，得證.【小問3詳解】由題設(shè)及（2）知：，則或，所以或，解集為.18.學(xué)校和學(xué)校相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在學(xué)校外以為直徑的半圓弧（不含，兩點(diǎn)）上選擇一點(diǎn)建造一家污水處理廠.其對(duì)學(xué)校的影響度與所選地點(diǎn)到學(xué)校的距離有關(guān)，對(duì)學(xué)校的影響度與所選地點(diǎn)到學(xué)校的距離的平方成反比，比例系數(shù)為1；對(duì)學(xué)校的影響度與所選地點(diǎn)到學(xué)校的距離的平方成反比，比例系數(shù)為.對(duì)學(xué)校和學(xué)校的總影響度為學(xué)校和學(xué)校的影響度之和.記點(diǎn)到學(xué)校的距離為km，建在處的污水處理廠對(duì)學(xué)校和學(xué)校的總影響度為.統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：當(dāng)在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)學(xué)校和學(xué)校的總影響度為0.085.（1）將表示成的函數(shù)；（2）判斷半圓?。ú缓?，兩點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)，使得建在此處的污水處理廠對(duì)學(xué)校和學(xué)校的總影響度最??？若存在，求出該點(diǎn)到學(xué)校的距離，以及總影響度的最小值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系可知，，再根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，再代入數(shù)據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用換元法，基本不等式求函數(shù)的最值.【小問1詳解】由為直徑，得，所以，由已知得，又當(dāng)垃圾處理廠是的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城和城的總影響度為，即時(shí)，，代入上式得，解得，所以表示成的函數(shù)為：；【小問2詳解】，令，，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以弧上存在一點(diǎn)，該點(diǎn)到城的距離為km時(shí)，建在此處的垃圾處理廠對(duì)城市和城的總影響度最小為.19.已知正實(shí)數(shù)集，定義稱為的商集，用來表示集合中元素的個(gè)數(shù).（1）若，求集合；（2）若，求的最小值；（3）試判斷與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）；（2）15；（3），證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)新定義寫出集合；（2）令，根據(jù)定義描述分析得到，結(jié)合已知求的最小值；（3）依次分析、得到，再討論，結(jié)合及重復(fù)元素最多的情況，得到，即可證.【小問1詳解】由，結(jié)合商集的定義有；小問2詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有個(gè)，所以的個(gè)數(shù)最多為.但是，在這些比值中，有的可能相等，如時(shí)，中存在，也可能互不相等，如時(shí)，中沒有相同的元素