安徽省五校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

2025屆高三第一次五校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：2024年11月15日考生注意：1．本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將答題卡上項(xiàng)目填寫清楚．3．考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補(bǔ)集與交集的定義，可得答案.【詳解】由題意可得，.故選：C.2.已知向量，，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和坐標(biāo)表示建立關(guān)于x的方程，解之即可求解.【詳解】由，得，即，又，所以，即，解得.故選：D3.閱讀下段文字：已知“為無理數(shù)，若為有理數(shù)，則存在無理數(shù)，，使得為有理數(shù)；若為無理數(shù)，則取無理數(shù)，，此時(shí)為有理數(shù)．”依據(jù)這段文字可以證明的結(jié)論是（）A.是有理數(shù) B.存在無理數(shù)，，使得為有理數(shù)C.是無理數(shù) D.對(duì)任意無理數(shù)，，都有為無理數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的條件，提取文字信息即可判斷選項(xiàng).【詳解】這段文字中，沒有證明是有理數(shù)的條件，也沒有證明是無理數(shù)的條件，故AC錯(cuò)誤；這段文字，都說明了結(jié)論“存在無理數(shù)，使得為有理數(shù)”，因此這段文字可以證明此結(jié)論，故B正確；這段文字中只提及存在無理數(shù)，不涉及對(duì)任意無理數(shù)都成立的問題，故D錯(cuò)誤.故選：B4.由，可求得的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式以及二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)可得出關(guān)于的二次方程，結(jié)合可得出的值.【詳解】因?yàn)椋忠驗(yàn)?，則，因?yàn)?，，則，所以，，解得，故選：B.5.已知且，函數(shù)，若存在，，使，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分、兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得到不等式，解得即可.【詳解】當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，也單調(diào)遞增，要使存在，，使，只需，即，不等式無解；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，也單調(diào)遞減，要使存在，，使，只需，，所以，解得，即的取值范圍是.故選：A6.已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，若復(fù)數(shù)滿足，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合為圖形，則得周長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出，進(jìn)而確定圖形并求其周長(zhǎng).【詳解】由復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，得是該方程的另一根，則，解得，由，得，因此圖形是以點(diǎn)為圓心，4為半徑的圓，所以得周長(zhǎng)為.故選：D7.逢山開路，遇水架橋，我國(guó)摘取了一系列高速公路“世界之最”，一輛汽車在一條水平的高速公路上直線行駛，在三處測(cè)得道路一側(cè)山頂?shù)难鼋欠謩e為，其中，則此山的高度為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)在地面上的正投影為點(diǎn)，

則，,設(shè)山高，則，在中，，由余弦定理可得：，整理得，∴．故選：D．8.若是奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的定義域分析，求出的值，又由，求出的值，計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，一定不是奇函數(shù)，故，則有，且，變形可得，所以的根為，解可得，故，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則有，即，即，所以，即，故.所以.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.已知復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部為 B.復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A，由復(fù)數(shù)的幾何意義判斷B，通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算判斷CD．【詳解】的虛部是，A錯(cuò)；，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是在軸上，B錯(cuò)；，所以，C正確；，所以，D正確．故選：CD．10.從出生之日起，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，在前30天內(nèi)，它們的變化規(guī)律如圖所示（均為可向右無限延伸的正弦型曲線模型）：記智力曲線為，情緒曲線為，體力曲線為，且三條曲線的起點(diǎn)位于坐標(biāo)系的同一點(diǎn)處，則（）A.體力曲線的最小正周期是三個(gè)曲線中最大的B.第462天時(shí)，智力曲線處于上升期、情緒曲線處于下降期C.智力、情緒、體力三條曲線存在無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)D.存在正整數(shù)，使得第天時(shí)，智力、情緒、體力三條曲線同時(shí)處于最高點(diǎn)或最低點(diǎn)【答案】BC【解析】【分析】觀察圖象，結(jié)合正弦函數(shù)周期判斷．【詳解】由圖象，體力的最小正周期是三個(gè)曲線中最小的，A錯(cuò)；由圖象，智力周期為33天，情緒周期為28天，相當(dāng)于的起點(diǎn)，，相當(dāng)于的中間點(diǎn)，B正確；體力周期是23，只要是的公倍數(shù)都是它們的公共點(diǎn)橫坐標(biāo)，C正確；智力曲線處于最高點(diǎn)的天數(shù)為，情緒曲線處于最高點(diǎn)的天數(shù)為，體力曲線處于最高點(diǎn)的天數(shù)為，只有情緒曲線是整數(shù)天處于最高點(diǎn)，另外兩個(gè)曲線處于最高點(diǎn)的天數(shù)都不是整數(shù)，同樣最低點(diǎn)也是如此，因此D錯(cuò)．故選：BC．11.已知函數(shù)，，，，且，，若，，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)圖象推理判斷BD；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)圖象推理判斷AC.【詳解】依題意，，由，得，則，顯然，有，而，當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞減，函數(shù)，圖象如圖所示，，得，BD正確；令，則，當(dāng)時(shí)，在上遞減；當(dāng)時(shí)，在上遞減；因此當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，又，則，即，A正確；而，則，即，C錯(cuò)誤.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由函數(shù)解析式的特征得出是解決本題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.平面四邊形中，，，，，則______.【答案】58【解析】【分析】由，兩式相減得出．【詳解】,又,，所以，所以，故答案為：58．13.設(shè)函數(shù)，的圖象關(guān)于直線和均對(duì)稱，則的值可以是______．（寫出兩個(gè)值即可，少寫或?qū)戝e(cuò)均不得分，如果多寫按前兩個(gè)值計(jì)分）【答案】（答案不唯一，中的任意兩個(gè)）【解析】【分析】利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，再利用和角的正弦可得，進(jìn)而求出其所有值即得答案.【詳解】函數(shù)的周期，依題意，，即，由的圖象關(guān)于直線，得，因此，的值是集合中元素，可以取.故答案為：，（答案不唯一，中的任意兩個(gè)）14.定義在0,+∞上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，若在區(qū)間0,m內(nèi)有恰4個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意可得當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)性，求出極大值點(diǎn)，結(jié)合即可求解.【詳解】,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，令，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，即.因?yàn)樵趦?nèi)有4個(gè)極大值點(diǎn)，則，即的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)時(shí)的，歸納出時(shí)的，再利用導(dǎo)數(shù)研究的性質(zhì)即可.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在等腰梯形中，，，分別為，中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．（1）令，，用，表示；（2）求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由向量的線性運(yùn)算求解；（2）利用三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，求得，同時(shí)證明是等邊三角形，然后把平方可得．【小問1詳解】∵，分別為，的中點(diǎn)，∴；【小問2詳解】設(shè)，∵，分別為，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以，解得，即，由已知與平行且相等，因此是平行四邊形，所以，是等邊三角形，所以．16.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求在上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合五點(diǎn)法作圖求出解析式.（2）求出指定區(qū)間對(duì)應(yīng)的相位范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求出值域.【小問1詳解】觀察圖象知，，，即，又，且0在的遞增區(qū)間內(nèi)，則，，由，得，解得，又且，解得，因此，所以函數(shù)的解析式是.【小問2詳解】由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是，，所以在上的值域?yàn)?17.已知函數(shù)，．（1）函數(shù)在處與處切線分別為，，且直線，之間的距離為，求證；（2）若為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析．（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得兩切線方程，由平行線間距離公式求得距離，然后用分析法證明；（2）轉(zhuǎn)化為方程除0以外無其它實(shí)數(shù)解，先討論和的情形，然后在時(shí)引入函數(shù)，求出，再對(duì)導(dǎo)函數(shù)求導(dǎo)，然后分和兩類，結(jié)合零點(diǎn)存在定理說明是否有0以外的零點(diǎn)，從而得出結(jié)論．【小問1詳解】由已知，，，，，則，方程為，即，方程為，即，則，要證，即證，即證，即，也即證，而，所以成立．【小問2詳解】由題意無實(shí)解，即無實(shí)數(shù)解，即除0以外無其它實(shí)數(shù)解，時(shí)，方程為有無數(shù)解，不合題意，時(shí)，，而，且時(shí)，，因此方程除0以外無其它實(shí)數(shù)解，滿足題意，時(shí)，方程化為，設(shè)，則，記，則，當(dāng)，即時(shí)，，是減函數(shù)，即是減函數(shù)，又，所以時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，時(shí)，，所以方程除0以外無其它實(shí)數(shù)解，滿足題意，當(dāng)時(shí)，有無數(shù)解，設(shè)銳角是它解，則，時(shí)，，遞增，又，則時(shí)，則，即，所以遞增，而，所以，又，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，即有不是0的根，不合題意，綜上，取值范圍是.18.在銳角三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，．若，且.（1）求；（2）求的最大值；（3）求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)和任意角，恒有．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)正、余弦定理可得，結(jié)合同角的平方關(guān)系計(jì)算即可求解；（2）由（1）得，進(jìn)而，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可求解；（3）由二次函數(shù)的最小值可得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為①或②，結(jié)合基本不等式與對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可求解.【小問1詳解】由題意知，，，則，即，又，所以，由，得，由正弦定理得，由，得，即，又，所以，由，解得.【小問2詳解】由（1）知，得，所以，即，又為銳角，所以，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.解得，所以，即的最大值為；【小問3詳解】令，當(dāng)時(shí)，，由，得，進(jìn)而①或②，因?yàn)椋?，由①得，即，又，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以；由②得，即，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知，所以.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.已知函數(shù)定義域?yàn)?，．若存在，?duì)任意，當(dāng)時(shí)，都有，則稱為在上的“點(diǎn)”．（1）求函數(shù)在定義域上的最大“點(diǎn)”；（2）若函數(shù)在上不存在“點(diǎn)”，求的取值范圍；（3）設(shè)，且，，證明：在上的“點(diǎn)”個(gè)數(shù)不小于．【答案】（1）0；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出其最大值點(diǎn)即可得解.（2）根據(jù)給定條件，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再利用導(dǎo)數(shù)分類探討求解.（3）根據(jù)給定的定義，按“點(diǎn)”個(gè)數(shù)為0、為1、不小于2分類，并結(jié)合累加法思想論證即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，則，由，得，令，解得；令，解得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即對(duì)，當(dāng)時(shí)，都有，所以函數(shù)在定義域上的最大“”點(diǎn)為0.【小問2詳解】由函數(shù)0,1上不存在"點(diǎn)"，得在上恒成立，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，，符合要求；當(dāng)時(shí)，令，則，①當(dāng)，即時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不符合要求；②當(dāng)，即時(shí)，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，符合要求；③當(dāng)，即時(shí)，若，若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，若，則在上恒成立，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，若，則存