北師大初中數(shù)學(xué)七年級下冊教案

第一章整式的乘除

1.1同底數(shù)哥的乘法

教學(xué)目標(biāo)：1.能夠在實際情境中，抽象概括出所要研究的數(shù)學(xué)問題，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感符號感。

2.在已有的對落的知識的了解基礎(chǔ)之上，通過與同伴合作，經(jīng)歷探索同底數(shù)靠乘法運(yùn)算性質(zhì)

過程，進(jìn)一步體會募的意義，發(fā)展合作交流能力、推理能力和有條理的表達(dá)能力。

3.了解同底數(shù)鬲乘法的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實際問題，感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系,

增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，訓(xùn)練他們養(yǎng)成學(xué)會分析問題、解決問題的良好習(xí)慣,

教學(xué)重點：同底數(shù)鬲乘法的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實際問題。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回顧

活動內(nèi)容：復(fù)習(xí)七年級上冊數(shù)學(xué)課本中介紹的有關(guān)乘方運(yùn)算知識：

=axax.......xa

t'~K~'

幕

二、情境引入

活動內(nèi)容：以課本上有趣的天文知識為引例，讓學(xué)生從中抽象出簡單的數(shù)學(xué)模型，實際在列式計算時

遇到了同底數(shù)鬲相乘的形式，給出問題，啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考，也可采用小組合作交流的形式，結(jié)合學(xué)

生現(xiàn)有的有關(guān)哥的意義的知識，進(jìn)行推導(dǎo)嘗試，力爭獨(dú)立得出結(jié)論。

三、講授新課

1.利用乘方的意義，提問學(xué)生，引出法則：計算103x1()2

解：103x1()2=(10x10x10)x(10x10)(鬲的意義)

=10x10x10x10x10(乘法的結(jié)合律)

=105.

2.引導(dǎo)學(xué)生建立哥的運(yùn)算法則：

將上題中的底數(shù)改為a,則有a3.a2=(aaa).(aa)

=aaaaa

=a5,即(//二=a3+2

用字母m,n表示正整數(shù)，則有am?a^aa???a?aa??-a

m個aL個a

=aaa

(m+n)個a

即a"1”二a"n.

3.引導(dǎo)學(xué)生剖析法則

(1)等號左邊是什么運(yùn)算？(2)等號兩邊的底數(shù)有什么關(guān)系？

(3)等號兩邊的指數(shù)有什么關(guān)系？(4)公式中的底數(shù)a可以表示什么

(5)當(dāng)三個以上同底數(shù)塞相乘時，上述法則是否成立？

要求學(xué)生敘述這個法則，并強(qiáng)調(diào)哥的底數(shù)必須相同，相乘時指數(shù)才能相加.

三、應(yīng)用提高

活動內(nèi)容：1?完成課本"想一想"：等于什么？

2.通過一組判斷，區(qū)分"同底數(shù)鬲的乘法”與“合并同類項”的不同之處。

3.獨(dú)立處理例2,從實際情境中學(xué)會處理問題的方法。

乙.處理隨堂練習(xí)(可采用小組評分競爭的方式，如時間緊，放于課下完成)。

四、拓展延伸

活動內(nèi)容：計算：(1)/@6(2)(-x).(-x)3(3)ym-ym+1(4)(-7)8x73

(5)(-6)7X63(6)(-5)5X53X(-5)4.(7)(a-b^(a-b)

(8)(b—a)2-(a-b)⑼xS-(10)-b'b，

(11)-a-(一a)3(12)(-a)(-a)(~a)

五、課堂小結(jié)

活動內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)本節(jié)課上應(yīng)該掌握的同底數(shù)離的乘法的特征，教師對課堂上學(xué)生掌握不

夠牢固的知識進(jìn)行強(qiáng)調(diào)與補(bǔ)充，學(xué)生也可談一談個人的學(xué)習(xí)感受。

六、布置作業(yè)

1.請你根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)，把感受最深、收獲最大的方面寫成體會，用于小組交流。

2.完成課本習(xí)題I4中所有習(xí)題。

1.2毒的乘方與積的乘方(一)

教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷探索鬲的乘方運(yùn)算性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會靠的意義。了解嘉的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，并

能解決實際問題。

2.在探索塞的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的過程中，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力。學(xué)習(xí)靠的乘方

的運(yùn)算性質(zhì)，提高解決問題的能力。

3.在發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力的同時，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心,

感愛數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。

教學(xué)重點：會進(jìn)行鬲的乘方的運(yùn)算。

教學(xué)難點：塞的乘方法則的總結(jié)及運(yùn)用。

教學(xué)方法：嘗試練習(xí)法，討論法，歸納法。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回顧

活動內(nèi)容：復(fù)習(xí)已學(xué)過的事的意義及鬲運(yùn)算的運(yùn)算法則

(-)哥的意義

(-)。*。"=優(yōu)"+".(m、n為正整數(shù))

同底數(shù)鬲相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

二、情境引入

活動內(nèi)容：根據(jù)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的知識，帶領(lǐng)學(xué)生回憶并探討以下實際問題

1,乙正方體的棱長是2cm,則乙正方體的體積”=_cm3。

甲正方體的棱長是乙正方體的5倍，則甲正方體的體積V甲=_cm3。

2.乙球的半徑為3cm,則乙球的體積V乙=cm3

甲球的半徑是乙球的10倍，則甲球的體積V甲=cm3.

如果甲球的半徑是乙球的〃倍，那么甲球體積是乙球體積的倍。

地球、木星、太陽可以近似地看作球體。木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和IO?倍，它們

的體積分別約是地球的倍和倍.

三、探究新知

活動內(nèi)容：1.通過問題情境繼續(xù)研究：為什么(IO?J=1()6?讓學(xué)生清楚運(yùn)算之間的關(guān)系題目所描

述的是10的2次塞的三次方，其底數(shù)是零的形式，然后根據(jù)基的意義展開運(yùn)算，去探究運(yùn)算的過程。

2.計算下列各式，并說明理由.

(1)(62)4;(2)(a2)3;(3)*)2；(4)(am)n.

仿照前面，來研究以上四個題目的運(yùn)算情況，實際上做到(3)題時可以猜想(4)題的結(jié)果，也為后

面鬲的乘方的法則推導(dǎo)帶來指導(dǎo)性。完成本節(jié)課的主要教學(xué)任務(wù)。

通過上面的探索活動,發(fā)現(xiàn)了什么？

哥的乘方，底數(shù),指數(shù)O

四、落實基礎(chǔ)

活動內(nèi)容：一、完成教科書例題1

【例1］計算：

23(2)(b5)5⑶(a/

(1)(10)

/八/2、m232634

(4)-(x)(5)(yV-y(6)2(a)-(a)

二、隨堂練習(xí)

1.計算：

3325342Z

⑴(10)⑵G),(3)(xTx

23222423

(4)l(-x)ZV(5)(-a)(a)(6)x-x-x-x.

2.判斷下面計算是否正確？如果有錯誤請改正：

五、聯(lián)系拓廣

活動內(nèi)容：把所學(xué)知識面拓廣，事的運(yùn)算都在指數(shù)上做文章，這節(jié)課的拓廣題，也是以指數(shù)變化為主。

(1)a12=(a3)(>=(a2)<>=a3a<>=()3=()4

2m3n

(2)3.9=3()(3)y=3,y9n=r

2m+l32

(4)(a)=L(5)[(a-b)]=(b-a)()

mm9

⑹若4.8.16=2'則m=L

abc

(7)如果2=3,2=6,2=12,那么a、b、c的關(guān)系是L

六、課堂小結(jié)

活動內(nèi)容：師生互相交流本堂課上應(yīng)該掌握的鬲的乘方的特征，教師對課堂上發(fā)現(xiàn)的學(xué)生掌握不好的

地方給以強(qiáng)調(diào)。特別要注意已經(jīng)學(xué)習(xí)過的兩種鬲的運(yùn)算——同底數(shù)哥的乘法與鬲的乘方，它們之間的整合

也是這堂課要掌握的。

七、布置作業(yè)：完成課本習(xí)題1.5

1.4哥的乘方與積的乘方(二)

教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷探索積的乘方的運(yùn)算的性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會鬲的意義，發(fā)展推理

能力和有條理的表達(dá)能力。

2.了解積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)，并能解決一些實際問題。

教學(xué)重點：會進(jìn)行積的乘方的運(yùn)算。

教學(xué)難點：正確區(qū)別塞的乘方與積的乘方的異同。

教學(xué)方法：探索、猜想、實踐法。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回顧：

活動內(nèi)容：復(fù)習(xí)前幾節(jié)課學(xué)習(xí)的有關(guān)鬲的三個知識點：

1.哥的意義

2.同底數(shù)鬲的乘法運(yùn)算法則。'叫(m、n為正整數(shù))

3.幕的乘方運(yùn)算法則(，小〃都是正整數(shù))

二、探索交流

活動內(nèi)容：本環(huán)節(jié)是這節(jié)課最為重要的環(huán)節(jié)之一，教師應(yīng)該注意在授課中學(xué)會調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，

比如在課上可以對學(xué)生進(jìn)行升級式提問：

⑴根據(jù)哥的意義，(ab/表示什么？

⑵為了計算(化簡)算式ababab,可以應(yīng)用乘法的交換律和結(jié)合律。又可以把它寫成什么形式？

⑶由特殊的(a?=a3b3出發(fā)，你能想到一般的公式嗎？

比環(huán)節(jié)的三個連貫性問題用到了剛剛復(fù)習(xí)到的事的意義及根據(jù)其建立的數(shù)學(xué)模型。

三、知識擴(kuò)充

活動內(nèi)容：1.借助剛剛探討的結(jié)果，完成課本19頁“做一做”的三個問題。

(3x5)7=3，)x5()

(3x5)m=3()x5()

-n()

(ab)=ab

2.學(xué)會復(fù)述積的乘方的運(yùn)算法則：(ab)n=anbn

積的乘方等于把各個因式分別乘方，再把所得的累相乘。

3.公式拓展：三個或三個以上的積的乘方，是否也具有上面的性質(zhì)？怎樣用公式表示？

4.進(jìn)一步探討出答案(abc)n=an.bkn

四、鞏固新知

活動內(nèi)容：?.課本21頁數(shù)學(xué)理解判斷題：

下面的計算是否正確？如有錯誤請改正.

(1)(加)4=加；⑵(-3P4)2=-6p2g2

2.課本［例2］計算:

(D(3x)2；⑵(-2/；⑶(一2口/；(4)(3，)J

3.［例3］地球可以近似地看做是球體，如果用Mr分別代表球的體積和半徑，那么

v=^7rr\地球的半徑約為6x103千米，它的體積大約是多少立方千米？

4.課本隨堂練習(xí)1

五、公式逆用

活動內(nèi)容：1,逆用的一組相關(guān)習(xí)題

⑴23x53；⑵28X58

(3)(-5)16x(-2)15;(4)24x44x(-0.125)4

2.混合運(yùn)算習(xí)題：⑴a3?a4?a-(a2)4+(-2a4)2(2)2(?)2??-(3?)3+(5x)2?7

⑶0.25100x4130(4)812X0.12513

六、提高練習(xí)：

1、計算：2、已知2'"=3,2"=4求23M“的值。

2

3、已知x〃=5/=3求-2y產(chǎn)的值。

4、已知。=2",b=3",c=533,試比較a、b、c的大小。

七、課堂小結(jié)：

活動內(nèi)容：師生互相交流本堂課上應(yīng)該掌握的積的乘方的特征，教師對課堂上發(fā)現(xiàn)的學(xué)生掌握不好的

地方給以強(qiáng)調(diào)。特別要注意已經(jīng)學(xué)習(xí)過的四種騫的運(yùn)算之間的整合也是這堂課要掌握的。

八、布置作業(yè)：完成課本習(xí)題1.6

1.5同底數(shù)哥的除法

教學(xué)目標(biāo)：1.了解同底數(shù)鬲除法的運(yùn)算性質(zhì)，并解決一些實際問題。

2.理解零指數(shù)塞和負(fù)指數(shù)等的意義。

3.在進(jìn)一步體會鬲的意義狗過程中，發(fā)展學(xué)生的推理能力和有條理的表達(dá)能力；提高學(xué)生

觀察、歸納、類比、概括等能力。

4.在解決問題的過程中了解數(shù)學(xué)的價值，發(fā)展“用數(shù)學(xué)”的信心，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

教學(xué)重點：會進(jìn)行同底數(shù)募的除法運(yùn)算。

教學(xué)難點：同底數(shù)鬲的除法法則的總結(jié)及運(yùn)用。

教學(xué)方法：嘗試練習(xí)法，討論法，歸納法。

教學(xué)過程：

一、情境引入

活動內(nèi)容：一種液體每升含有10吃個有害細(xì)菌，為了試驗?zāi)撤N殺菌劑的效果，科學(xué)家們進(jìn)行了實驗,

發(fā)現(xiàn)1滴殺蟲劑可以殺死I。'個此種細(xì)菌，要將1力液體中的有害細(xì)菌全部殺死，需要這種殺菌劑多

少滴？你是怎樣計算的？

二、了解同底數(shù)募除法的運(yùn)算及應(yīng)用

活動內(nèi)容：活動1先讓學(xué)生作“做一做”：

計算下列各式，并說明理由(心n)

(1)1084-105;(2)10"'+10";(3)(-3)M,+(-3)”；

從中歸納出同底數(shù)募除法的運(yùn)算性質(zhì)。

從上面的練習(xí)中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？_______________________________________

猜一猜：0"?優(yōu)=(。工0,機(jī),〃都是正整數(shù)，JBzw>n)o

三、同底數(shù)帚除法運(yùn)算的應(yīng)用

活動內(nèi)容：例1計算：

(D?7+/；(2X-X)6+(T)3；(3)(肛)44-(xy)；

[4)b~”|+2+;(5)(m—〃)'+(〃—加產(chǎn)；(6)(—〃7)“+(—〃?)~.

例2：地震的強(qiáng)度通常用里克特震級表示，描繪地震級數(shù)的數(shù)字表示地震的強(qiáng)度是10的若干次毒。例

如用里克特震級表示地震是8級，說明地震的強(qiáng)度是10,1992年4月荷蘭發(fā)生了5級地震，12天后，加

利福尼亞發(fā)生了7級地震。加利福尼亞地震強(qiáng)度是荷蘭地震強(qiáng)度的多少倍？

(學(xué)生先想一想，再進(jìn)行小組討論，互相補(bǔ)充完善，并派代表回答)

四、探索零指數(shù)帚和負(fù)整數(shù)指數(shù)募的意義

活動內(nèi)容：想一想：

10000=104,16=24

1000=10(),8=2()

100=10(),4=2()

10=10(),2=2()

猜一猜：

1=1001=2()

0.1=10()-=2()

2

0.01=10()-=2()

4

0.001=10()-=2()

8

例3計算：用小數(shù)或分?jǐn)?shù)分別表示下列各數(shù)：

(1)10-3⑵7°X8~2；(3)1.6X10-4

五、練習(xí)與提高

活動內(nèi)容：(-)基礎(chǔ)題

】?卜列計算中錯誤的有()

(1)"。+/=/(2)4)+〃=/(3)(_〃)5+(_4)3=_〃2(4)3。=3

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.計算(/丫+(—/丫的結(jié)果正確的是()

A.-a2B.a2C.-aD.a

3.用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù)：

(1)0.000876(2)-0.0000001

(-)能力題

4.計算：⑴(x-2y)44-(2y-x)2^(x-2y)(2)[(x+y\x-y)]9(y-x)84-(-x-y)9

5.計算27'、9m+3=6.若3、==尻求的32r的值

六、課堂小結(jié)

活動內(nèi)容：師生互相交流本節(jié)課的內(nèi)容以及應(yīng)用和需要注意的問題C

七、布置作業(yè)課本P24習(xí)題1.7矢］識技能第1,2題

1.6整式的乘法(一)

教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷探索單項式乘法法則的過程，在具體情境中了解單項式乘法的意義，理解單項式

乘法法則。

2.會利用法則進(jìn)行單項式的乘法運(yùn)算。

3.理解單項式乘法運(yùn)算的算理，發(fā)展學(xué)生有條理的思考能力和語言表達(dá)能力。

4.體驗探求數(shù)學(xué)問題的過程，體驗轉(zhuǎn)化的思想方法，獲得成功的體驗。

教學(xué)重點：單項式乘法法則及其應(yīng)用。

教學(xué)難點：理解運(yùn)算法則及其探索過程。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回顧

活動內(nèi)容：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)靠的運(yùn)算性質(zhì)

問題1：前面學(xué)習(xí)了哪三種帚的運(yùn)算?運(yùn)算方法分別是什么？

讓學(xué)生分別用語言和字母表示塞的三種運(yùn)算性質(zhì)。

問題2：運(yùn)用塞的運(yùn)算性質(zhì)計算下列各題：

(1)(-a5)5'(2)(-a2b)3'

(3)(-2a)2(-3a2)3(4)(-y")2ynI

二、實例引入

活動內(nèi)容：提出學(xué)生身邊的一個實例，引出問題：

七年級三班舉辦新年才藝展示，小明的作品是用同樣大小的紙精心制作的兩幅剪貼畫，如右圖所示，

第一幅畫的畫面大小與紙的大小相同，第二幅畫的畫面在紙的上、下方各留有米的空白，你能表示出

O

兩幅畫的面積嗎？

教師提出以下問題，引導(dǎo)學(xué)生對兩個代數(shù)式進(jìn)行分析：

問題1：以上求矩形的面積時，會遇到X?〃吠，(〃田)?(：幻，這是什么運(yùn)算呢？

學(xué)生回答：因為因式都是單項式，所以它們相乘是單項式乘以單項式的運(yùn)算。

問題2：什么是單項式？(表示數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫做單項式)

引入新課：我們知道，整式包括單項式和多項式，從這節(jié)課起我們就來研究整式的乘法，先學(xué)習(xí)單項

式乘以單項式。

三、探索法則

活動內(nèi)容：繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生分析實例中出現(xiàn)的算式，教師提出以下三個問題：

3

問題1：對于實際問題的結(jié)果x?〃《：,(〃吠)?(二〃優(yōu))可以表達(dá)得更簡單些嗎？說說你的理由？

4

問題2：類似地，3a2b.2ab3和(xyz)/%可以表達(dá)的更簡單些嗎？

3a2b-2ab3=(3x2)(a2a)(bo3)=6a3b4;

問題3：如何進(jìn)行單項式與單項式相乘的運(yùn)算？

單項式乘法的法則：單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母的事分別相乘，其

余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。

問題4：在你探索單項式乘法運(yùn)算法則的過程中，運(yùn)用了哪些運(yùn)算律和運(yùn)算法則？

學(xué)生回答：運(yùn)用了乘法的交換律、結(jié)合律和同底數(shù)鬲乘法的運(yùn)算性質(zhì)。

四、及時訓(xùn)練

活動內(nèi)容：教師通過例題，使學(xué)生明確利用單項式乘法法則進(jìn)行計算的方法。雖然是例題,但是教師

先不講解，讓學(xué)生嘗試獨(dú)立完成，教師根據(jù)學(xué)生遇到的問題和出現(xiàn)的錯誤，有針對性地進(jìn)行講解和板書示

范。同時教學(xué)中應(yīng)通過恰當(dāng)?shù)姆绞阶寣W(xué)生明確每一部運(yùn)算的依據(jù)。

例1計算：

⑴(2孫2).(；孫)(2X-2dV)-(-3?)

(3)(4X10)5X(5X104)(4)(一3//).

231

隨堂練習(xí)：

1.計算：(1)(5X3).(2X2J)⑵(一3")?(-4/)(3)(2/y)34孫?)

2.一種電子計算機(jī)每秒可做4x109次運(yùn)算，它工作5x102秒，可做多少次運(yùn)算？

3.一個長方體形儲貨倉長4x103cm,寬3x103cm,高5x102cm,求這個貨倉的體積。

五、拓展延伸

活動內(nèi)容：給出兩個問題，讓學(xué)生先獨(dú)立思考解決，再交流討論。

1.學(xué)以致用：一家住房的結(jié)構(gòu)如圖示，房子的主人打算把臥室以外的部分全都鋪上地磚，至少需要

多少平方米的地轉(zhuǎn)？如果某種地磚的價格是a元/平方米，那么購買所需地磚至少需要多少元？

2.討論、探究:若得叫＞吟.(421.6)=北3,求利+〃的值。

六、隨堂測評

活動內(nèi)容：讓學(xué)生獨(dú)立完成以下各題

(3)計算：

①3--5x3②(一5〃2〃).(_2々2)③(3xl()2).(_2xIO')

⑥（一孫）

④(一5，-切,(一2〃.)⑤(2x)3?(一2/丁)?z32

2.計算：(1)(一4)?戶(-2>)3+(2到)2.(一或3'

(2)—2(—a2bc)2■—a(bc)3—(—abc)3?(—abc)2

2

七、課堂小結(jié)：利用乘法交換律和結(jié)合律及同底數(shù)鬲的乘法探索出單項式乘以單項式的運(yùn)算法則。

八、課后作業(yè)：習(xí)題L8

1.6整式的乘法(二)

教學(xué)目標(biāo)：1.在具體情境中了解單項式與多項式乘法的意義。

2.經(jīng)歷探索單項式與多項式乘法運(yùn)算法則的過程，理解單項式乘以多項式的運(yùn)算法則。

3.會利用法則進(jìn)行單項式與多項式的乘法運(yùn)算，理解單項式與多項式相乘的算理，體會乘

法分配律及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

4.發(fā)展學(xué)生有條理思考的能力和語言表達(dá)能力。

5.在探索單項式與多項式乘法運(yùn)算法則的過程中，獲得成就感，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，

教學(xué)重點：單項式與多項式相乘的運(yùn)算法則及應(yīng)用。

教學(xué)難點：靈活應(yīng)用單項式與多項式乘法的法則。

教學(xué)過程：

一、提出問題，引入新課

活動內(nèi)容：教師依次提出以下幾個問題：

(1)我們本單元學(xué)習(xí)整式的乘法，整式包括什么？

(2)什么是多項式？怎么理解多項式的項數(shù)和次數(shù)？

(3)整式乘法除了我們上節(jié)課學(xué)習(xí)的單項式乘以單項式外，還應(yīng)包含哪些內(nèi)容？

由此引入今天將學(xué)習(xí)單項式與多項式相乘。

二、借助情境，探究規(guī)律：

活動內(nèi)容：給學(xué)生提供如下問題情景，并通過問題，引導(dǎo)

學(xué)生積極探索，發(fā)現(xiàn)單項式與多項式相乘的運(yùn)算規(guī)律：

實際問題：如圖所示，公園中有一塊長nix米、寬y米的空地,

要在兩邊各留下寬為a米、b米的兩條小路，其余部分種植花草，求種植花苴

部分的面積.讓學(xué)生獨(dú)立思考完成。

2.提出|可題:

(1)你是怎樣列式表示種植花草部分的面積的?是否有不同的表示方法？其中包含了

什么運(yùn)算?與同伴交流.

一方面可以先表示出種植花草部分的長與寬，由此得到)，(g-力)米2

另一方面可以用總面積減去兩條小路的面積，得到：>?("!￥)—》?。一y?力米2

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種不同的運(yùn)算一方面是包含單項式與單項式乘法、再把所得的積相加，另一方面是單

項式與多項式相乘，二者最終是統(tǒng)一的，從而發(fā)現(xiàn)單項式乘以多項式的方法。

(2)由上面的探索，我們得到了義，楙-。-6);y?皿—>2,你能用所學(xué)過的知識來說明

上面的等式成立的原因嗎？

(3)你能用上面的方法計算2a僅+3)嗎？請說明每一步的依據(jù)°

(4)通過以上過程，你發(fā)現(xiàn)如何進(jìn)行單項式與多項式相乘的運(yùn)算？請你試著用語言來

描述C

單項式與多項式相乘，就是根據(jù)分配律用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相

加。

三、變式訓(xùn)練，鞏固新知

活動內(nèi)容：通過一組例題和練習(xí)，讓學(xué)生在應(yīng)用法則解決問題的過程中，獲得解題體驗，學(xué)會方法,

進(jìn)一步明確算理。

21

例1計算：⑴2ab(5a2b+3ab2)(2)(—ab2-2ab)'—ab

32

(3)(一2々)(2。2-3。+1)(4)(-12x/-10x2y+21/X-6A73)

例2計算:(-2a2)-(ab+b2)-5a\a2b-ab2)

總結(jié)：單項式與多項式相乘的步驟：

①按乘法分配律把乘積寫成單項式與單項式乘積的代數(shù)和的形式；

②轉(zhuǎn)化為單項式的乘法運(yùn)算；

③把所得的積相加.

解題時需要注意的問題：

①單項式乘多項式的積仍是多項式，其項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同。

②單項式分別與多項式的每一項相乘時,要注意積的各項符號的確定，多項式中的每一項前面的符號

是性質(zhì)符號，同號相乘得正，異號相乘程負(fù)，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式。

③單項式要乘以多項式的每一項，不要出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象。

④混合運(yùn)算中，要注意運(yùn)算順序，結(jié)果有同類項的要合并同類項。

隨堂練習(xí)：1.判斷正誤：(1)m(a?b?c?d)=ma?b?c?d()

(2)-a(a2+a+2)=-a3+-a2+1()

222

(3)(~2x)?(ax+b-3)=-2ax2-2bx-6x()

⑵-2/(：%+〃)

2.計算：⑴-6x(x-3)，);

-2/Z/c?(-a3bc——ac2+1)

⑶2xy2*(-x2+2y2+1)⑷52

(5)3xy[2xy-x(y-2)+x](6)an+\an^-an~xar-3)

3.先化簡,再求值：2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中a=2,b=-3.

四、延伸拓展，解決問題：

活動內(nèi)容：學(xué)生探究完成以下幾個拓展題:

1.若-(一%”勺+3孫3)=2/》2一6一＞",求九〃的值

2.求證對于任意自然數(shù)n,代數(shù)式n(n+7)-n(n-5)+6的值都能被6整除。

五、課堂小結(jié)：師生以談話交流的形式共同總結(jié)本節(jié)課所學(xué)知識：

1單項式乘以多項式的乘法法則及注意事項；

2.轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

六、課后作業(yè)：習(xí)題1.9。

1.6整式的乘法(三)

教學(xué)目標(biāo)門.經(jīng)歷探索多項式與多項式乘法法則的過程，在具體情境中了解多項式乘法的意義，理解多

項式乘法法則。

2.會利用法則進(jìn)行簡單的多項式乘法運(yùn)算。

3.理解多項式與多項式相乘運(yùn)算的算理，發(fā)展學(xué)生有條理的思考能力和語言表達(dá)能力。

4.體驗探求數(shù)學(xué)問題的過程，體驗乘法分配律的作用及“整體”、“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法

在解決問題過程中的應(yīng)用，獲得成功的體驗。

教學(xué)重點：多項式乘法法則及其應(yīng)用。

教學(xué)難點：理解運(yùn)算法則及其探索過程。

教學(xué)過程：

一、情境引入

活動內(nèi)容：教師利用課前準(zhǔn)備好的教具,讓學(xué)生進(jìn)行拼圖游戲，通過對所拼圖形面積的比較，引出多

項式與多項式相乘的運(yùn)算

拼圖游戲：以下不同形狀的長方形卡片各有若干張，請你選取其中的兩張，用它們拼成更大的長方形,

盡可能采用多種拼法?！鮭

b

小組合作完成，教師要進(jìn)行

指導(dǎo)，小組成員分工合作，要求盡可能多地拼出不同大小的長方形，并畫出圖形記錄不同的拼圖方案。教

師注意收集整理學(xué)生所畫圖形，并選取以下四種典型圖形加以研究，進(jìn)一步提出探究問題：

問題1:分別列

代數(shù)式表示所拼出

矩形的面積,你能發(fā)

現(xiàn)什么？說出包含tnb

什么運(yùn)算？

學(xué)生活動獨(dú)立列式

圖2圖3圖4

圖(1)所示的矩形

面積為m(a+n)=ma+mn,所含有運(yùn)算為單項式乘以多項式運(yùn)算；

圖(2)所示的矩形面積為b(a+n)=ba+bn,所含運(yùn)算為單項式乘以多項式運(yùn)算；

圖(3)所示的矩形面積為n(m+b);mn+bn,所含運(yùn)算為單項式乘以多項式運(yùn)算。

圖(4)所示的矩形面積為a(m+b)=am+ab,所含運(yùn)算為單項式乘以多項式運(yùn)算。

列代數(shù)式表示四個圖形的面積時，既可以用大長方形的長乘以寬，也可以轉(zhuǎn)化為每一個小長方形面積

之和，因此得到以上四個等式，其中都包含單項式乘以多項式的運(yùn)算，拼圖游戲

正是對單項式與多項式相乘的一個幾何解釋。

問題2：將圖1,2,3,4四個圖形進(jìn)一步拼擺，會得到更大的長方形，做一

做，也許你會有新的發(fā)現(xiàn)。

學(xué)生拼出如圖所示大正方形后，發(fā)現(xiàn)其長為(m+b),寬為(a+n),要計算其面

積就是(m+b)(a+n),其中包含的運(yùn)算為多項式與多項式相乘運(yùn)算，從而引入新課。tnb

圖5

二、互動探究

活動內(nèi)容：1.引導(dǎo)學(xué)生再次從代數(shù)運(yùn)算的角度來研究所拼圖形，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)圖5的面積既等于圖1、

圖2面積之和,也等于圖3、圖4面積之和,最終都可以轉(zhuǎn)化為四個小長方形面積之和。由此得到：(m+b)(a+n)

=m(a+n)+b(a+n)=ma+mn+ba+bn,引導(dǎo)學(xué)生利用乘法分配律進(jìn)行解釋，現(xiàn)將其中的一個多項式看作一個

整體，再運(yùn)用單項式與多項式相乘的方法進(jìn)行計算c具體過程如下：

(m+b)(a+n)

=m(a+n)+b(a+n)(把a(bǔ)+n看作一個整體)

=ma+mn+ba+bn(轉(zhuǎn)化為單二頁式乘以單項式)

2.教師啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)式子或用自己的語言歸納、描述多項式乘以多項式的運(yùn)算法則：

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把

所得的積相加。

3.在進(jìn)行多項式乘法運(yùn)算的過程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？與同伴交流。

教師幫助學(xué)生反思探究過程，體會出在以上過程中較好地運(yùn)用了整體、轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

三、例題解析

活動內(nèi)容：通過一組例題，讓學(xué)生先獨(dú)立思考嘗試完成，在應(yīng)用法則解決問題的過程中，獲得解題體

驗，發(fā)現(xiàn)問題，學(xué)會方法，教師針對學(xué)生遇到的困難進(jìn)行有針對性地講解，進(jìn)一步明確算理。

例1計算：⑴(1一幻(0.6-%),(2)(2x+y)(x—y)

(3Xx-2y)2(4)(-2x+5)2

例2計算：(l)a+2)(y+3)—(x+l)(y—2)

(2).2(.+1)2-2(〃一1)(。+2)

師生點評：(1)用一個多項式的每一項依次去乘另一個多項式的每一項，不要漏乘，在沒有合并同類項之

前，兩個多項式相乘展開后的項數(shù)應(yīng)是原來兩個多項式項數(shù)之積。

(2)多項式里的每一項都包含前面的符號，兩項相乘時先判斷積的符號，再寫成代數(shù)和形式。

(3)展開后若有同類項要合并，化成最簡形式。

四、及時鞏固

活動內(nèi)容：隨堂練習(xí)：

1.計算：

①(相+2〃)(“一2〃)，②(2〃+5)(〃-3),③(x+2y)2,

⑤(x+a)(x+?,⑥(ar+力)3+")。

2.計算:-3xy(x2-2x-1)+(2x-3j)(3x-4y)

五、拓展應(yīng)用

活動內(nèi)容：本節(jié)課是整式乘法單元的最后一節(jié)課，應(yīng)該進(jìn)一步加強(qiáng)對學(xué)生應(yīng)用知識解決問題能力的訓(xùn)

練，因此為學(xué)生提供一組拓展題，鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生探究完成。

1.若(mr+y)(x-y)=2f+叼-V，求門n的值.

2.已知(/+如+〃)(工+1)的結(jié)果中不含一項和x項，求口n的值.

3.計算(a+b+c)(c+d+e),你有什么發(fā)現(xiàn)？

六、課堂小結(jié)：

本節(jié)課通過拼圖游戲，直觀地認(rèn)識了多項式與多項式的乘法，又從代數(shù)運(yùn)算的角度將多項式與多項式

相乘轉(zhuǎn)化為單項式與多項式相乘，歸納出了多項式相乘的法則，重點是明確算理，靈活應(yīng)用法則計算。提

出兩個問題，幫助學(xué)生形成完整的知識結(jié)構(gòu)，達(dá)到對本單元知識的總體認(rèn)識：

(1)關(guān)于整式的乘法，我們共學(xué)習(xí)了哪幾種運(yùn)算？

(2)在探究的過程中，用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

七、課后作業(yè)：習(xí)題1.10,問題解決，聯(lián)系拓展。

1.7平方差公式(一)

教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷探索平方差公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的符號感和推理能力；

2.會推導(dǎo)平方差公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計算；

3.了解平方差公式的幾何背景.

教學(xué)重點：1.弄清平方差公式的來源及其結(jié)構(gòu)特點，能用自己的語言說明公式及其特點；

2.會用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算.

教學(xué)難點：會用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算

教學(xué)方法：探索討論、歸納總結(jié)。

教學(xué)過程：

一、發(fā)現(xiàn)特征、探索規(guī)律

活動內(nèi)容我們已經(jīng)學(xué)過了多項式的乘法，出示題目，看誰算得快：

(1)(x+2)(x-2)(2)(l+3a)(l-3a)(3)(x+5y)(x-5y)(4)(-m+n)(-m-n)

提出問題：你們能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

在多項式的乘法中，對于某些特殊形式的多項式相乘，我們把它寫成公式，并加以熟記，以便遇到類

似形式的多項式相乘時就可以直接運(yùn)用公式進(jìn)行計算。以后經(jīng)常遇到(a+b)(a-b)這種乘法，所以把

(a+b)(a-b)=a?-b2作為公式，叫做乘法的平方差公式。

在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生用語言敘述公式，總結(jié)公式結(jié)構(gòu)特征：(1)公式左邊兩個二項式必須是相同兩數(shù)

的和與差相乘；且左邊兩括號內(nèi)的第一項相等、第二項符號相反［互為相反數(shù)(式)］；(2)公式右邊是這兩個

數(shù)的平方差；即右邊是左邊括號內(nèi)的第一項的平方減去第二項的平方。(3)公式中的。和力可以代表數(shù),

也可以是代數(shù)式.

二、運(yùn)用知識，解決問題

活動內(nèi)容；(1)直接運(yùn)用新知，解次第一層次問題。

例1計算：①(2x+3)(2x-3)②(2a+3b)(2a-3b)③(-l+2a)(-1-2a)

(2)間接運(yùn)用新知，解決第二層次問題。

例2計算:①(-2x+3)(3+2x)②(3b+2a)(2a-3b)

例3計算：(-4a-l)(-4a+l)

例4計算：(l)(x+y-z)(x+y+z)；(2)(a-b+c)(a+b+c).

三、鞏固練習(xí)、體驗成功

活動內(nèi)容：

1、下列各式中哪些可以運(yùn)用平方差公式計算

⑴(a+bj^-c)⑵(x+)，X-y+x)

(3)(ab-3x)(-3x-ah)(4)(-wt-n^m+n)

2、判斷:

(1)(2a+b\2b-a)=4a2-b2()⑵

(3)(3x-y\-3x+y)=9x2-y2()(4)(-2x-y\-2x+y)

(5)(a+2\a-3)=a2-6()⑹(x+3Xy-3)二孫-9

3、計算下列各式：

(1)(4a-7b)^a+7b)(2)(-2m-n^2m-n)

(4)-(5+2或5-2工)

(6)匕2)&q(3.

4、填空：

(1)(2工+3”2工-3)，)=

(2)(4?-1)()=16?2-1

⑶([J""-3)=2〃62_9

(4)(2x+\-3y)=4x2-9y2

提高練習(xí)：

1、求(工+丫)(工一)0(/+丁)的值，其中x=5,y=2

2、計算：⑴(a-b^-c\a-b-c)

(2)x4-(2x2+1吐-])-(x-2Xx+2^x2+4)

3、若f一9=12,工+y=6,求x,y的值。

五、歸納總結(jié)，形成知識網(wǎng)絡(luò)

活動內(nèi)容：

小結(jié)：1.敘述公式

2.公式中的字母可以代表什么？(數(shù)字、單項式、多項式)

只要習(xí)題符合平方差公式的結(jié)溝，都可應(yīng)用其計算。

1.7平方差公式(二)

教學(xué)目標(biāo)：1.在進(jìn)一步體會平方差公式的意義時，發(fā)展學(xué)生的符號感、推理能力和有條理的表達(dá)能力。

2.通過拼圖游戲，了解平方差公式的幾何背景。

教學(xué)重點：公式的應(yīng)用及推廣

教學(xué)方法：引導(dǎo)探索研究發(fā)現(xiàn)法、主動探索研究發(fā)現(xiàn)法

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回顧

活動內(nèi)容：1.提問平方差公式的內(nèi)容

2.判斷正誤：

(1)(a+5)@5)=。2-5(2)(3x+2)(3x-2)=

(3)(a-2b)(-a-2b)=/-4b2(4)(100+2)(100-2)=1002-22=9996

(5)(2a+b)(2a-b)=4a2"

提問：⑴兩個二項式相乘，因式要具備什么特征時，積才會是二項式？

(當(dāng)因式是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差相乘時，積是二項式。)

⑵為什么具備這些特點的兩個二項式相乘，積會是二項式？而它們的積又有什么特征？

(這是因為具備這樣特征的兩個二項式相乘，積的四項中，會出現(xiàn)互為相反數(shù)的兩項，合并這兩項的結(jié)

果為零，于是就剩下兩項了。而它們的積等于因式中這兩個數(shù)的平方差。)

二、拼圖游戲，驗證公式

活動內(nèi)容：如左圖，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形。

I.請表示圖中陰影(紫色)部分的面積。

2.小穎將陰影部分拼成了一個長方形，這個長方形的長和寬分別是多少？你能表示出它的面積嗎？

圖1a2-b2圖2(a+b)(a-b)

3.比較L2的結(jié)果，你能驗證平方差公式嗎？

a2-b2=(a+b)(a-b)

4.(1)敘述平方差公式的數(shù)學(xué)表達(dá)式及文字表達(dá)式；

(2)試比較公式的兩種表達(dá)式在應(yīng)用上的差異.

三、鞏固深化，拓展思維

活動內(nèi)容：例1運(yùn)用平方差公式計算

(1)(>+2)(>-2)(y2-4)(2)(x-l)(x3+」)(x+l)

242

例2運(yùn)用平方差公式計算

(1)(200+1)(200-1)(2)102x98(3)203x197(4)20-X19-

77

四、感受問題，體驗成功

活動內(nèi)容：

?計算.⑴。~—6)+。~力~(2)(2%-5)(2%+5)-2x(2x-3)

2.填空：(1)a2-4=(a+2)()(2)25-x2=(5-x)()(3)m2-n2=()()

思考題：什么樣的二項式才能逆用平方差公式寫成兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積？

(某兩數(shù)平方差的二項式可逆用平方差公式寫成兩數(shù)和與這兩數(shù)的差的積)

3.判斷

(1)(a+b)(-a-b)=a2-b2

la+lblb.la

⑵計算：2332

4.觀察下列各式：

(x-l)(x+l)=x2-1

(x-\)(x2+x+\)=x3

(x-1)(/+X2+x+l)=x4

根據(jù)前面的規(guī)律可得：

d)(x“+…+x+l)=

五、課堂小結(jié)

六、布置作業(yè)：習(xí)題1.12

1.8完全平方公式(一)

教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，并從完全平方公式的推導(dǎo)過程中，培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、

歸納、概括、猜想等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展邏輯推理能力和有條理的表達(dá)能力。

2.體會公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，理解公式的本質(zhì)，從不同的層次上理解完全平方公式，并

會運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的計算。

3.了解完全平方公式的幾何背景，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識。

4.在學(xué)習(xí)中使學(xué)生體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，感愛數(shù)學(xué)的內(nèi)在美。

教學(xué)重點：1?弄清完全平方公式的來源及其結(jié)構(gòu)特點，用自己的語言說明公式及其特點；

2.會用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算。

教學(xué)難點：會用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算

教學(xué)方法：探索討論、歸納總結(jié)。

教學(xué)過程：

一、回顧與思考

活動內(nèi)容：復(fù)習(xí)已學(xué)過的平方差公式

1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2~b2;

公式的結(jié)構(gòu)特點：左邊是兩個二項式的乘積，即兩數(shù)和與這兩數(shù)差的積。

右邊是兩數(shù)的平方差。

2.應(yīng)用平方差公式的注意事項：弄清在什么情況下才能使用平方差公式。

二、情境引入

活動內(nèi)容：提出問題：

一塊邊長為a米的正方形實驗田，由于效益比較高，所以要擴(kuò)大農(nóng)田，將其邊長增加b米，形成四塊

實驗田，以種植不同的新品種(如圖)。

用不同的形式表示實驗田的總面積，并進(jìn)行比較。

三、初識完全平方公式

活動內(nèi)容：1.通過多項式的乘法法則來驗證(a+b)2=a2+2ab+b2的正確性。并利用兩數(shù)和的完全平方公

222

式推導(dǎo)出兩數(shù)差的完全平方公式:(a-b)=a-2ab+bo

2.引導(dǎo)學(xué)生利用幾何圖形來驗證兩數(shù)差的完全平方公式。

3.分析完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點，并用語言來描述完全平方公式。

結(jié)構(gòu)特點：左邊是二項式(兩數(shù)和(差))的平方；

右邊是兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘積的兩倍。

語言描述：兩數(shù)和(或差)的平方，等于這兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的兩倍。

四、再識完全平方公式

活動內(nèi)容：例1用完全平方公式計算：

(1)(2x-3)2(2)(4x+5y)2(3)(mn-a)2(4)(-l-2x)2(5)(~2x+l)2

2.總結(jié)口訣：首平方，尾平方，兩倍乘積放中央，加減看前方，同加異減。

五、鞏固練習(xí)：

】、下列各式中哪些可以運(yùn)用完全平方公式計算.

⑴(a+Z?Xa+c)⑵(1+或_'+工)

(3)(ab-3x)(-3x+ab)(4)(-m-n^m+n)

2、計算下列各式：

(1)(4a+7〃)(4a+7/?⑵(-2m一〃)(2m+n)

11,-(5+2x，5+2x)

⑶—a+—b⑷

3232

(6)(3*+2)(3+2)+(一3一或-*-3|

3、填空：

(1)(2x+3y)(2x+3y)=(2)(4?-1)()=16^2+8tz+l

⑶(--------183)力“2----------19

4、求(x+yXx+y)-(x-y)2的值，其中x=5,y=2

5、若(工一)，)2=12,&+〉)2=16,求不，的值。

六、課堂小結(jié)

活動內(nèi)容：L完全平方公式和平方差公式不同：

形式不同.

結(jié)果不同：完全平方公式的結(jié)果是三項，即