2025屆河南省安陽市洹北中學(xué)高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆河南省安陽市洹北中學(xué)高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知在中，角的對邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．2．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．3．已知向量，則是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件4．已知函數(shù)，則（）A．1 B．2 C．3 D．45．定義在上的函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、、四點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為、、、，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．6．設(shè)i為數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，若，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，所得到的圖象關(guān)于軸對稱，則的最小值是（）A． B． C． D．8．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，使直線與圓相交的概率為（）A． B． C． D．9．若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．如圖，在底面邊長為1，高為2的正四棱柱中，點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為（）A．2 B．3 C．4 D．511．第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運(yùn)會(huì)會(huì)旗中五環(huán)所占面積與單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積之和的比值P，某學(xué)生做如圖所示的模擬實(shí)驗(yàn)：通過計(jì)算機(jī)模擬在長為10，寬為6的長方形奧運(yùn)會(huì)旗內(nèi)隨機(jī)取N個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點(diǎn)數(shù)為n個(gè)，已知圓環(huán)半徑為1，則比值P的近似值為()A． B． C． D．12．已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)與圓：的圓心重合，且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，則雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足：，，若對任意的正整數(shù)均有，則實(shí)數(shù)的最大值是_____.14．如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸出的實(shí)數(shù)的值為，則輸入的實(shí)數(shù)的值為______________.15．已知向量，且向量與的夾角為_______.16．一個(gè)房間的地面是由12個(gè)正方形所組成，如圖所示.今想用長方形瓷磚鋪滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形，即或，則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有_______種.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若且A為銳角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面積.18．（12分）2019年安慶市在大力推進(jìn)城市環(huán)境、人文精神建設(shè)的過程中，居民生活垃圾分類逐漸形成意識(shí).有關(guān)部門為宣傳垃圾分類知識(shí)，面向該市市民進(jìn)行了一次“垃圾分類知識(shí)"的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民僅有一次參與機(jī)會(huì)，通過抽樣，得到參與問卷調(diào)查中的1000人的得分?jǐn)?shù)據(jù)，其頻率分布直方圖如圖：（1）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，此次問卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布，近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），利用該正態(tài)分布，求P（）；（2）在（1）的條件下，有關(guān)部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：（i）得分不低于可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于則只有1次：（ii）每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對應(yīng)概率如下：贈(zèng)送話費(fèi)（單位：元）1020概率現(xiàn)有一位市民要參加此次問卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列.附：，若，則，.19．（12分）已知，函數(shù).（Ⅰ）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求的值；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.（參考數(shù)據(jù)：）20．（12分）設(shè)函數(shù)，.（1）解不等式；（2）若對任意的實(shí)數(shù)恒成立，求的取值范圍.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面是矩形，面底面，且是邊長為的等邊三角形，在上，且面.（1）求證:是的中點(diǎn)；（2）在上是否存在點(diǎn)，使二面角為直角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.22．（10分）某大學(xué)開學(xué)期間，該大學(xué)附近一家快餐店招聘外賣騎手，該快餐店提供了兩種日工資結(jié)算方案：方案規(guī)定每日底薪100元，外賣業(yè)務(wù)每完成一單提成2元；方案規(guī)定每日底薪150元，外賣業(yè)務(wù)的前54單沒有提成，從第55單開始，每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務(wù)量，現(xiàn)隨機(jī)抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）隨機(jī)選取一天，估計(jì)這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務(wù)量不少于65單的概率；（2）從以往統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)看，新聘騎手選擇日工資方案的概率為，選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應(yīng)聘，四人選擇日工資方案相互獨(dú)立，求至少有兩名騎手選擇方案的概率，（3）若僅從人日均收入的角度考慮，請你為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說明理由.（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由有不等的兩實(shí)根，即可得不等關(guān)系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關(guān)鍵．2、D【解析】因?yàn)?，故函?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.3、A【解析】

向量，，，則，即，或者-1，判斷出即可．【詳解】解：向量，，，則，即，或者-1，所以是或者的充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷，考查向量平行的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進(jìn)而可求出.【詳解】由題意可得，則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù)的圖象，虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，由，得出，只需在圖中找出滿足不等式對應(yīng)的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數(shù)的圖象，則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)圖象（實(shí)線）與軸有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意；若實(shí)線部分為函數(shù)的圖象，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則其導(dǎo)函數(shù)圖象（虛線）與軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn)，合乎題意.對函數(shù)求導(dǎo)得，由得，由圖象可知，滿足不等式的的取值范圍是，因此，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，考查推理能力，屬于中等題.6、A【解析】

由復(fù)數(shù)的除法求出，然后計(jì)算．【詳解】，∴．故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)的概念，掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．7、A【解析】

化簡為，求出它的圖象向左平移個(gè)單位長度后的圖象的函數(shù)表達(dá)式，利用所得到的圖象關(guān)于軸對稱列方程即可求得，問題得解?！驹斀狻亢瘮?shù)可化為：，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，又所得到的圖象關(guān)于軸對稱，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。8、D【解析】

利用直線與圓相交求出實(shí)數(shù)的取值范圍，然后利用幾何概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由于直線與圓相交，則，解得.因此，所求概率為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了利用直線與圓相交求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的極值，利用函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，令，則或，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以0或是函數(shù)y的極值點(diǎn)，函數(shù)的極值為：，函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，來確定參數(shù)的取值范圍的問題，在解題的過程中，注意應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的走向，利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象間交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，難度不大.10、A【解析】

根據(jù)幾何體分析正視圖和側(cè)視圖的形狀，結(jié)合題干中的數(shù)據(jù)可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由三視圖的性質(zhì)和定義知，三棱錐的正視圖與側(cè)視圖都是底邊長為高為的三角形，其面積都是，正視圖與側(cè)視圖的面積之和為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何體正視圖和側(cè)視圖的面積和，解答的關(guān)鍵就是分析出正視圖和側(cè)視圖的形狀，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

根據(jù)比例關(guān)系求得會(huì)旗中五環(huán)所占面積，再計(jì)算比值.【詳解】設(shè)會(huì)旗中五環(huán)所占面積為，由于，所以，故可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎(chǔ)題.12、A【解析】

由已知，圓心M到漸近線的距離為，可得，又，解方程即可.【詳解】由已知，，漸近線方程為，因?yàn)閳A被雙曲線的一條漸近線截得的弦長為，所以圓心M到漸近線的距離為，故，所以離心率為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的問題，涉及到直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據(jù)遞推公式可考慮分析,再累加求出關(guān)于關(guān)于參數(shù)的關(guān)系,根據(jù)表達(dá)式的取值分析出,再用數(shù)學(xué)歸納法證明滿足條件即可.【詳解】因?yàn)?累加可得.若,注意到當(dāng)時(shí),,不滿足對任意的正整數(shù)均有.所以.當(dāng)時(shí),證明：對任意的正整數(shù)都有.當(dāng)時(shí),成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立,即,則,即結(jié)論對也成立.由數(shù)學(xué)歸納法可知,對任意的正整數(shù)都有.綜上可知,所求實(shí)數(shù)的最大值是2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的遞推公式求解參數(shù)最值的問題,需要根據(jù)遞推公式累加求解,同時(shí)注意結(jié)合參數(shù)的范圍問題進(jìn)行分析.屬于難題.14、【解析】

根據(jù)程序框圖得到程序功能，結(jié)合分段函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：程序的功能是計(jì)算，若輸出的實(shí)數(shù)的值為，則當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)無解.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

根據(jù)向量數(shù)量積的定義求解即可．【詳解】解：∵向量，且向量與的夾角為，∴||；所以：?（）2cos2﹣2＝1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題．16、11【解析】

將圖形中左側(cè)的兩列瓷磚的形狀先確定，再由此進(jìn)行分類，在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數(shù)量進(jìn)行分類，在其中會(huì)有相同元素的排列問題，需用到“縮倍法”.采用分類計(jì)數(shù)原理，求得總的方法數(shù).【詳解】（1）先貼如圖這塊瓷磚，然后再貼剩下的部分，按如下分類：5個(gè)：，3個(gè)，2個(gè)：，1個(gè)，4個(gè)：，（2）左側(cè)兩列如圖貼磚，然后貼剩下的部分：3個(gè)：，1個(gè)，2個(gè)：，綜上，一共有（種）.故答案為：11.【點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，排列問題，其中涉及到相同元素的排列，用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）利用降次公式、輔助角公式化簡解析式，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，求得的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）先由求得，利用正弦定理得到，結(jié)合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面積.【詳解】（1）函數(shù)，，由，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)榍覟殇J角，所以.由及正弦定理可得，又，由余弦定理可得，解得，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.18、（1）（2）詳見解析【解析】

（1）利用頻率分布直方圖平均數(shù)等于小矩形的面積乘以底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，再利用正態(tài)分布的對稱性進(jìn)行求解.（2）寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，利用互斥事件和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式，再列表得到其分布列.【詳解】解：（1）從這1000人問卷調(diào)查得到的平均值為∵由于得分Z服從正態(tài)分布，（2）設(shè)得分不低于分的概率為p，（或由頻率分布直方圖知）法一：X的取值為10，20，30，40；；；；所以X的分布列為X10203040P法二：2次隨機(jī)贈(zèng)送的話費(fèi)及對應(yīng)概率如下2次話費(fèi)總和203040PX的取值為10，20，30，40；；；；所以X的分布列為X10203040P【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布、離散型隨機(jī)變量的分布列，屬于基礎(chǔ)題.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）3.【解析】

（Ⅰ）先求導(dǎo)，得，已知導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，令，求得，討論得，而，故，進(jìn)而得解；（Ⅱ）可通過必要性探路，當(dāng)時(shí)，由知，又由于，則，當(dāng)，，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可判斷必存在使得，得，，化簡得，再由二次函數(shù)性質(zhì)即可求證；【詳解】（Ⅰ）的定義域?yàn)?易知單調(diào)遞增，由題意有.令，則.令得.所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，而又有，因此，所以.（Ⅱ）由知，又由于，則.下面證明符合條件.若.所以.易知單調(diào)遞增，而，，因此必存在使得，即.且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；則.綜上，的最大值為3.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的增減性和最值，屬于中檔題20、(1)；(2)【解析】試題分析：（1）將絕對值不等式兩邊平方，化為二次不等式求解．（2）將問題化為分段函數(shù)問題，通過分類討論并根據(jù)恒成立問題的解法求解即可．試題解析：整理得解得①②解得③,且無限趨近于4，綜上的取值范圍是21、(1)見解析;(2).【解析】試題分析：(1)連交于可得是中點(diǎn)，再根據(jù)面可得進(jìn)而根據(jù)中位線定理可得結(jié)果；(2)取中點(diǎn)，由（1）知兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸,軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出面的一個(gè)法向量，用表示面的一個(gè)法向量，由可得結(jié)果.試題解析：(1)證明：連交于，連是矩形，是中點(diǎn).又面，且是面與面的交線，是的中點(diǎn).(2)取中點(diǎn)，由（1）知兩兩垂直.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），則各點(diǎn)坐標(biāo)為.設(shè)存在滿足要求，且，則由得：