新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)對點(diǎn)題型第32講高考題中的解答題三（數(shù)列）（學(xué)生版）

高考題中的解答題三（數(shù)列）數(shù)列求和(一)分組轉(zhuǎn)化法求和某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和.注意在含有字母的數(shù)列中對字母的討論.[典例](2022·濟(jì)南二模)已知{an}是遞增的等差數(shù)列，a1＋a5＝18，a1，a3，a9分別為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；(2)刪去數(shù)列{bn}中的第ai項(xiàng)(其中i＝1,2,3，…)，將剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn.[關(guān)鍵點(diǎn)撥]切入點(diǎn)(1)根據(jù)題意可列出方程組，求得等差數(shù)列的公差，繼而求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，即得答案．(2)刪去數(shù)列{bn}中的第ai項(xiàng)(其中i＝1,2,3，…)后，求和時(shí)討論n的奇偶性，并且分組求和，即可求得答案障礙點(diǎn)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn要分n為奇數(shù)還是偶數(shù)進(jìn)行討論方法技巧(1)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差數(shù)列或等比數(shù)列，則可以采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和；(2)若數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式為cn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an，n為奇數(shù)，,bn，n為偶數(shù)，))且數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，則可以采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和；(3)若數(shù)列的通項(xiàng)公式中有(－1)n等特征，根據(jù)正負(fù)號分組求和．針對訓(xùn)練(2022·菏澤二模)已知數(shù)列{an}中a1＝1，它的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.(1)證明：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(2n,3)))為等比數(shù)列；(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n.(二)錯(cuò)位相減法求和若數(shù)列{an}和{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，則求其積數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，可以運(yùn)用錯(cuò)位相減法.[典例](2022·石家莊二模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝1,2an＋1＝Sn＋2(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列{bn}滿足bn＝an(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.[關(guān)鍵點(diǎn)撥]切入點(diǎn)(1)根據(jù)an與Sn得關(guān)系，計(jì)算即可得出答案．(2)求出數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和障礙點(diǎn)求Tn時(shí)錯(cuò)位相減法后得到等比數(shù)列，注意準(zhǔn)確確定其項(xiàng)數(shù)方法技巧運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和的關(guān)鍵判斷模型判斷數(shù)列{an}，{bn}是不是一個(gè)為等差數(shù)列，一個(gè)為等比數(shù)列錯(cuò)開位置為兩式相減不會看錯(cuò)列做準(zhǔn)備相減相減時(shí)一定要注意最后一項(xiàng)的符號針對訓(xùn)練(2022·臨沂二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)記bn＝eq\f(log2an,an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.(三)裂項(xiàng)相消法求和(1)對于無法用公式法、分組法、錯(cuò)位相減法求和的數(shù)列，可以考慮根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)，將其裂項(xiàng)，使得和式中許多項(xiàng)能相互抵消．(2)常見的裂項(xiàng)技巧：①eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1).②eq\f(1,nn＋2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋2))).③eq\f(1,2n－12n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n－1)－\f(1,2n＋1))).④eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n).⑤logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))＝loga(n＋1)－logan(n>0)．[典例](2022·菏澤一模)已知數(shù)列{an}，{bn}滿足anb1＋an－1b2＋…＋a1bn＝2n－eq\f(n,2)－1，其中an＝2n.(1)求b1，b2的值及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；(2)令cn＝eq\f(4bn－1an,bnbn＋1)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和．[關(guān)鍵點(diǎn)撥]切入點(diǎn)(1)將n＝1，n＝2分別代入anb1＋an－1b2＋…＋a1bn＝2n－eq\f(n,2)－1，即可求得b1，b2的值，然后利用遞推關(guān)系式即可求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．(2)代入an，bn，將cn化簡后通過裂項(xiàng)相消法，即可求得數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和障礙點(diǎn)把cn＝eq\f(4bn－1an,bnbn＋1)裂為兩項(xiàng)方法技巧裂項(xiàng)相消之后，余項(xiàng)的基本特征(1)前幾后幾：即前面的余式和后面的余式的個(gè)數(shù)相同；(2)前第幾，后倒數(shù)第幾：即余下的式子是對稱的；(3)突破口：裂項(xiàng)是關(guān)鍵！注意檢驗(yàn)裂項(xiàng)過程中的等號；可以把裂好的項(xiàng)通分，檢驗(yàn)等號是否成立．針對訓(xùn)練(2022·棗莊三模)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4，an＋1，Sn成等比數(shù)列，其中n∈N*.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(4Sn,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.綜合性考法針對練——數(shù)列求和1．已知數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝0，an＋2＋(－1)an＝2，則數(shù)列{an}的前2020項(xiàng)的和為()A．0 B．1010C．2020 D．20242．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n)；第二步：將數(shù)列的各項(xiàng)乘以n，得數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an.則a1a2＋a2a3＋…＋an－1an(n≥2)等于()A．n2 B．(n－1)2C．n(n－1) D．n(n＋1)3．若數(shù)列{bn}滿足：若bm＝bn(m，n∈N*)，則bm＋1＝bn＋1，則稱數(shù)列{bn}為“等同數(shù)列”．已知數(shù)列{an}滿足a5＝5，且an＝n(an＋1－an)，若“等同數(shù)列”{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且b1＝a1＝b4，b2＝a2，S5＝a10，則S2022＝()A．4711 B．4712C．4714 D．47184．在數(shù)學(xué)和許多分支中都能見到很多以瑞士數(shù)學(xué)家歐拉命名的常數(shù)、公式和定理，如：歐拉函數(shù)φ(n)(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)(互素是指兩個(gè)整數(shù)的公約數(shù)只有1)．例如：φ(1)＝1；φ(3)＝2(與3互素有1,2)；φ(9)＝6(與9互素有1,2,4,5,7,8)．記Sn為數(shù)列{n·φ(3n)}的前n項(xiàng)和，則S10＝()A.eq\f(19,2)×310＋eq\f(1,2) B．eq\f(21,2)×310＋eq\f(1,2)C.eq\f(19,4)×311＋eq\f(3,4) D．eq\f(21,4)×311＋eq\f(1,4)5．已知{an}為等比數(shù)列，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)都不在下表的同一列，{bn}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝b3－2b1，S7＝7a3.第一列第二列第三列第一行152第二行4310第三行9820(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；(2)若cn＝[lgbn]，其中[x]是高斯函數(shù)，表示不超過x的最大整數(shù)，如[lg2]＝0，[lg98]＝1，求數(shù)列{cn}的前100項(xiàng)的和T100.6．(2022·聊城二模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且3Sn－1＝Sn－1(n≥2)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝log3eq\r(an)，求數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)和Tn.7．在數(shù)列{an}中，a1＝2，且an＋1－2n＋1＝an－2n＋1.(1)證明：數(shù)列{an－n＋1}是等比數(shù)列．(2)若bn＝log4(an－n＋1)，求數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bnbn＋1)))的前n項(xiàng)和Sn.8．(2022·平?jīng)龆?在①a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an，②2a1＋2a2＋…＋2an＝2n＋1－2這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中并作答．問題：在數(shù)列{an}中，已知________．(1)求{an}的通項(xiàng)公式．(2)若bn＝eq\f(2an－1,3an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.數(shù)列的遞推關(guān)系與子數(shù)列問題(一)構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式高考試題中求數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般不單獨(dú)考查，往往是作為解答題的一個(gè)小題，與數(shù)列的求和綜合考查，其總的原則是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求解.[典例](1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，求{an}的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1－2an＝2n＋1(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)已知數(shù)列{an}中，a2＝eq\f(1,3)，an＝an＋1＋2anan＋1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．[關(guān)鍵點(diǎn)撥]切入點(diǎn)(1)由an＋1＝3an＋6，可構(gòu)造an＋1＋λ＝q(an＋λ)的形式．(2)將已知遞推式兩邊同除以2n＋1，由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求．(3)首先證得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，然后求出eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出{an}的通項(xiàng)公式障礙點(diǎn)對遞推式進(jìn)行合理變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列方法技巧1．用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如an＋1＝kan＋p(k，p為常數(shù)，kp≠0)的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為an＋1＋m＝k(an＋m)(其中m＝eq\f(p,k－1))，由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列{an＋m}，先求出{an＋m}的通項(xiàng)公式，從而求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．2．用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列(1)形如an＋1＝qan＋p·qn＋1(n∈N*)，可通過兩邊同除qn＋1，將它轉(zhuǎn)化為eq\f(an＋1,qn＋1)＝eq\f(an,qn)＋p，從而構(gòu)造數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,qn)))為等差數(shù)列，先求出eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,qn)))的通項(xiàng)公式，便可求得{an}的通項(xiàng)公式．(2)形如an－an＋1＝kan＋1an(k≠0)的數(shù)列，可通過兩邊同除以an＋1an，變形為eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝k的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，先求出eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的通項(xiàng)公式，便可求得{an}的通項(xiàng)公式．針對訓(xùn)練1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，則a2023的值為()A．1517×22024 B．1517×22023C．1517×22022 D．無法確定2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,an＋2)(n∈N*)，則a10＝()A.eq\f(1,1021) B．eq\f(1,1022)C.eq\f(1,1023) D．eq\f(1,1024)3．已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝eq\f(1,18)，2an＋1－an＝16an＋1an，bn＝eq\f(1,an)－16，則bn＝________.(二)數(shù)列的奇偶項(xiàng)問題數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問題是對一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列進(jìn)行單獨(dú)研究，利用新數(shù)列的特征等差、等比數(shù)列或其他特征求解原數(shù)列.數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問題的常見題型：1數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問題an＋an＋1＝fn或an·an＋1＝fn；2含有－1n的類型；3含有{a2n}，{a2n－1}的類型；4已知條件明確的奇、偶項(xiàng)問題.[例1]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對任意n∈N*，Sn＝(－1)nan＋eq\f(1,2n)＋n－3且(t－an＋1)(t－an)<0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________．[關(guān)鍵點(diǎn)撥]切入點(diǎn)由題意及Sn－Sn－1＝an可得an的表達(dá)式，再根據(jù)n的奇偶性求an遷移點(diǎn)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式，注意n的范圍[例2]已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且滿足S3＝a4，a3＋a5＝2＋a4.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{an}前2k項(xiàng)和S2k；(3)在數(shù)列{an}中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)am，am＋1，am＋2，按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)m的值；若不存在，說明理由．[關(guān)鍵點(diǎn)撥]切入點(diǎn)(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由已知條件列方程組求得d，q后可得通項(xiàng)公式；(2)按奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分組求和；(3)按m分奇偶討論，利用2am＋1＝am＋am＋2，尋找k的解障礙點(diǎn)解第三問時(shí)不會由等差中項(xiàng)印證，從而造成無從下手方法技巧1．奇偶兩重天(1)項(xiàng)的奇偶性：數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)數(shù)列問題實(shí)質(zhì)上是對一個(gè)數(shù)列劃分成兩個(gè)新的數(shù)列進(jìn)行考查，很多同學(xué)對n為奇數(shù)時(shí)的情形產(chǎn)生混淆，往往會弄錯(cuò)新數(shù)列與原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；(2)項(xiàng)數(shù)的奇偶性：數(shù)列{an}中的任意一項(xiàng)an的角標(biāo)不是奇數(shù)就是偶數(shù)．2．處理策略奇偶分離法，其本質(zhì)其實(shí)就是分類討論，只不過分類標(biāo)準(zhǔn)是項(xiàng)的奇偶性，按照奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)分而治之地進(jìn)行操作．分類討