5.1任意角和弧度制【六大必考點(diǎn)+二十一秒殺招+七大題型+分層訓(xùn)練】高一數(shù)學(xué)題型歸類（解析版）

5.1任意角和弧度制【六大必考點(diǎn)+二十一秒殺招+七大題型+分層訓(xùn)練】知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01角的相關(guān)概念(1)角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．(2)角的表示如圖，①始邊：射線的起始位置OA；②終邊：射線的終止位置OB；③頂點(diǎn)：射線的端點(diǎn)O；④記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以簡(jiǎn)記成“α”．(3)角的分類名稱定義圖形正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉(zhuǎn)形成的角知識(shí)點(diǎn)02角的相等與加減(1)角的相等設(shè)角α由射線OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)而成，角β由射線O′A′繞端點(diǎn)O′旋轉(zhuǎn)而成．如果它們的旋轉(zhuǎn)方向相同且旋轉(zhuǎn)量相等，那么就稱α＝β.(2)角的加法設(shè)α，β是任意兩個(gè)角，把角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角是α＋β.(3)相反角把射線OA繞端點(diǎn)O按不同方向旋轉(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.(4)角的減法角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法，有α－β＝α＋(－β)．知識(shí)點(diǎn)03平面直角坐標(biāo)系中的任意角條件在直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合象限角角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角軸線角角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限，可稱為軸線角終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和注：1．對(duì)角的概念的認(rèn)識(shí)關(guān)鍵是抓住“旋轉(zhuǎn)”二字(1)要明確旋轉(zhuǎn)方向；(2)要明確旋轉(zhuǎn)的大小；(3)要明確射線未作旋轉(zhuǎn)時(shí)的位置．2．對(duì)終邊相同的角的理解(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(2)k∈Z，即k為整數(shù)，這一條件不可少；(3)終邊相同的角的表示不唯一；(4)終邊相同的角有無數(shù)個(gè)，它們相差周角的整數(shù)倍．知識(shí)點(diǎn)04度量角的兩種制度(1)角度制①定義：用度作為單位來度量角的單位制．②1度的角：周角的eq\f(1,360)為1度的角，記作1°.(2)弧度制①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．②1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．③表示方法：1弧度記作1_rad.知識(shí)點(diǎn)05弧度數(shù)的計(jì)算與互化(1)弧度數(shù)的計(jì)算(2)弧度與角度的互化(3)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π知識(shí)點(diǎn)06扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝αR.(2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.(1)無論是以“度”還是以“弧度”為單位，角的大小都是一個(gè)與“半徑”大小無關(guān)的值．(2)用弧度為單位表示角的大小時(shí)，“弧度”兩字可以省略不寫，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度為單位表示角時(shí)，度就不能省去．(3)用弧度為單位表示角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫成多少π的形式，如無特殊要求，不必把π寫成小數(shù)，如45°＝eq\f(π,4)弧度，不必寫成45°≈0.785弧度．(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋eq\f(π,4)，k∈Z，都不正確．解題大招解題大招大招01引入任意角的概念后需要注意：（1）用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了．角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角．（2）角的概念的理解要緊緊抓住“旋轉(zhuǎn)”二字，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來看待角的概念：一是要明確旋轉(zhuǎn)的方向，二是要明確旋轉(zhuǎn)的大小，三是要明確射線作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)的位置．（3）角的范圍不再限于．（4）當(dāng)角的始邊相同時(shí)，若角相等，則終邊相同；終邊相同，而角不一定相等．（5）要正確理解正角、負(fù)角、零角的概念，由定義可知，關(guān)鍵是抓住終邊的旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針、順時(shí)針，還是沒有轉(zhuǎn)動(dòng)．在圖中表示角時(shí)，應(yīng)注意箭頭的方向不可丟掉，箭頭方向代表角的正負(fù)．（6）角的記法：用一個(gè)希臘字母表示，如，，，…；也可用三個(gè)大寫的英文字母表示，字母前要寫符號(hào)“”，中間的字母表示角的頂點(diǎn)，如，，…．為了簡(jiǎn)單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以簡(jiǎn)記為“”．（7）引入正角、負(fù)角、零角后，角的減法可以轉(zhuǎn)化為角的加法運(yùn)算，即可以轉(zhuǎn)化為．大招02判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧(1)關(guān)鍵：正確理解任意角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，嚴(yán)格辨析它們之間的聯(lián)系與區(qū)別．(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．大招03終邊相同的角--易錯(cuò)點(diǎn)所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和．大招04象限角的分類及表示方法如下：象限角集合的表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角大招05設(shè)，顯然，所有與角終邊相同的角都是集合的元素；反過來，集合中的任何一個(gè)元素也都與角的終邊相同．推廣到一般形式有：所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和．大招06利用與角終邊相同的角的集合，可把任意角轉(zhuǎn)化成，，的形式；也可利用與角終邊相同的角化簡(jiǎn)終邊落在過原點(diǎn)的某一條直線上的角的集合；或利用與角終邊相同的角寫出各象限角和象限界角的集合．如第一象限角，在~360范圍內(nèi)，第一象限角表示為，然后在兩端加上，，即可得到第一象限角的集合：，，其他各象限角同理可得．若為象限界角，如終邊落在軸的負(fù)半軸上，代表角為180，所以終邊落在軸的負(fù)半軸上的角的集合為，．同理可得其他非象限角的集合．大招07尋求終邊相同的角的方法與技巧在[0°，360°)范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法：(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止．大招08求終邊落在直線上的角的集合的三個(gè)步驟(1)寫出在[0°，360°)范圍內(nèi)相應(yīng)的角；(2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；大招09區(qū)域角的寫法可分三步(1)按逆時(shí)針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)由小到大分別標(biāo)出起始、終止邊界對(duì)應(yīng)的一個(gè)角α，β，寫出所有與α，β終邊相同的角；(3)用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角，組成集合．注：區(qū)域角的寫法:(1)若角的終邊落在一個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)，寫區(qū)域角時(shí)，先依逆時(shí)針方向由小到大寫出一個(gè)區(qū)間角，然后在它的兩端分別加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可.(2)若角的終邊落在兩個(gè)對(duì)稱的扇形區(qū)域內(nèi)，寫角的范圍時(shí)，可以先寫出終邊落在一個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間角，然后在此區(qū)間角的兩端分別加上“k×180”，并注明“k∈Z”即可.大招10象限角：若把角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角．由于圖（1）中的角，，都是始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第一象限的角，所以它們都是第一象限角；同理，圖（2）中的角是第二象限角，，都是第四象限角．2．特別地，如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．例如，，，，等，因?yàn)樗鼈兊慕K邊落在坐標(biāo)軸上，所以這些角都不屬于任何一個(gè)象限，有的參考書上稱之為象限界角．大招10象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定．依據(jù)是終邊相同的角的概念，因?yàn)樵赱0°，360°)范圍內(nèi)的角的終邊與坐標(biāo)系中過原點(diǎn)的射線可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到[0°，360°)范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在[0°，360°)范圍內(nèi)沒有兩個(gè)角終邊是相同的．(3)nα所在象限的判斷方法確定nα終邊所在的象限，先求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的判斷方法大招11已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對(duì)k的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.從而得出結(jié)論．②作出各個(gè)象限的從原點(diǎn)出發(fā)的n等分射線，它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個(gè)區(qū)域．從x軸非負(fù)半軸起，按逆時(shí)針方向把這4n個(gè)區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.α的終邊在第幾象限，則標(biāo)號(hào)為幾的區(qū)域，就是eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由標(biāo)號(hào)區(qū)域所在的象限直觀地看出．大招12將角度化為弧度rad；rad；rad．大招13將弧度化為角度；；．大招14需記住的特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值度弧度0大招15注意事項(xiàng)（1）以弧度為單位表示角時(shí)，“弧度”兩字可以省略不寫．如是指sin（2弧度）；是指弧度．以度為單位表示角時(shí)，度就不能省去．（2）以弧度為單位表示角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫成多少的形式，如無特殊要求，不必把化成小數(shù)，如弧度，不必寫成弧度．（3）弧度制和角度制一樣，都是一種度量角的單位制．弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點(diǎn)，其一體現(xiàn)在進(jìn)位上，角度制在度、分、秒上是六十進(jìn)制，不便于計(jì)算，而弧度制是十進(jìn)制，給運(yùn)算帶來了方便；其二體現(xiàn)在弧長公式與扇形面積公式的表達(dá)上，弧度制下的公式比角度制下的公式簡(jiǎn)單，運(yùn)用起來更方便．（4）用角度制和弧度制來度量零角，雖然單位不同，但數(shù)量相同，對(duì)于其他非零角，由于單位不同，數(shù)量也就不同了．（5）在進(jìn)行角度與弧度的換算時(shí)，抓住關(guān)系式rad是關(guān)鍵，由它可以得到：角度弧度，弧度角度．大招16弧度制下與角α終邊相同的角的表示在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數(shù)倍．大招17根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟(1)仔細(xì)觀察圖形；(2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時(shí)角的表示；(3)用不等式表示區(qū)域角．用不等式表示區(qū)域角的范圍時(shí)，要注意角的集合形式是否能夠合并，能合并的要合并．大招18弧長公式在半徑為的圓中，弧長為的弧所對(duì)的圓心角大小為，則，變形可得，此公式稱為弧長公式，其中的是弧度角．大招19弧度制下有關(guān)扇形弧長問題的解題策略①明確弧度制下扇形弧長公式l＝|α|r，(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角)．②涉及扇形的周長、弧長、圓心角等的計(jì)算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長公式、扇形面積公式求解．大招20扇形面積公式因?yàn)閳A心角為1rad的扇形面積為，而弧長為l的扇形的圓心角大小為rad，所以其面積為，將代入上式可得，此公式稱為扇形面積公式．大招21扇形的面積公式的應(yīng)用注意點(diǎn)①在弧度制中的弧長公式及扇形面積公式中的圓心角可正可負(fù)．②看清角的度量制，選用相應(yīng)的公式．③扇形的周長等于弧長加兩個(gè)半徑長．題型分類題型分類題型01終邊相同的角【例1】與角?2024°4'終邊相同的角是（A．?404°4' B．?224°4' C．【解題思路】利用終邊相同角的概念公式求解即可.【解答過程】解：∵?2024°4∴與角?2024°4'終邊相同的角是故選：B.【變式1-1】下列選項(xiàng)中，與角α=?40°終邊相同的角是（

）A．?400° B．?380° C．310° D．330°【解題思路】首先表示出與α=?40°終邊相同的角，再判斷即可.【解答過程】與角α=?40°終邊相同的角的集合表示為θθ=?40°+k?360°,k∈當(dāng)k=?1時(shí)，θ=?400°，故?400°與角α=?40°終邊相同．故選：A．【變式1-2】將角α的終邊繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后與130°角的終邊重合，則與角α終邊相同的角的集合為（

）A．ββ=k×180°+90°,k∈Z B．C．ββ=k×180°+150°,k∈Z D．【解題思路】根據(jù)題意設(shè)α+60°=360°k+130°,k∈Z【解答過程】設(shè)α+60°=360°k+130°,k∈Z解得α=360°k+70°,k∈Z所以與角α終邊相同的角的集合為ββ=k×360°+70°,k∈Z故選：B.題型02根據(jù)圖形寫出角（范圍）【例2】如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角α的集合是（

）A．α|5π6C．α|?7π6【解題思路】根據(jù)任意角的概念以及角的終邊所在位置，即可確定角α的集合.【解答過程】終邊落在陰影部分的角為5π6+k即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角α的集合是α|5故選：B．【變式2-1】已知集合α|k?360°+45°≤α≤k?360°+90°,k∈Z，則圖中表示角α的終邊所在區(qū)域正確的是（

）A． B．C． D．【解題思路】求出臨界位置的終邊，結(jié)合選項(xiàng)即可得結(jié)果.【解答過程】當(dāng)α=k?360°+45°，k∈Z時(shí)，角α的終邊落在第一象限的角平分線上，當(dāng)α=k?360°+90°，k∈Z時(shí)，角α的終邊落在y軸的非負(fù)半軸上，按照逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的方向確定范圍可得角α的終邊所在區(qū)域如選項(xiàng)B所示．故選：B．【變式2-2】集合α|kπ≤α≤kπ+π4,k∈ZA． B． C． D．【解題思路】對(duì)k按奇偶分類討論可得．【解答過程】當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，2nπ≤α≤2nπ＋π4(n∈Z)，此時(shí)α的終邊和0≤α≤π4的終邊一樣，當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋π4(n∈Z)，此時(shí)α的終邊和π≤α故選：B．題型03象限角的判定【例3】已知角α=?225°，則α的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由象限角的定義求解.【解答過程】α=?225°=?360°+135°，135°∈90°,180°，所以α故選：B.【變式3-1】如果α是第三象限角，則?α2是（A．第一象限角 B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【解題思路】根據(jù)360°k+180°<α<270°+360°k得到?135°?180°k<?12α<?180°k?90°,k∈【解答過程】α是第三象限角，則360°k+180°<α<270°+360°k,k∈Z故?135°?180°k<?1當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，?α2在第三象限；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，故選：C.【變式3-2】若α角的終邊落在第三或第四象限，則α2的終邊落在（

A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限【解題思路】根據(jù)α角的終邊落在第三或第四象限，可得?π+2kπ<α<?π2+2k【解答過程】因?yàn)棣两堑慕K邊落在第三或第四象限，所以?π+2kπ<α<?π所以?π2+kπ<當(dāng)k=2n，n∈Z時(shí)，α當(dāng)k=2n+1，n∈Z時(shí)，α綜上所述，α2故選：B.題型04用弧度制表示角的集合【例4】與60°角終邊相同的角可以表示為（

）A．π3+k?360°k∈C．60°+2k?360°k∈Z 【解題思路】運(yùn)用終邊相同角的概念，結(jié)合弧度制可判斷.【解答過程】A,B弧度角度混用，錯(cuò)誤.與60°角終邊相同的角可以表示60°+k?360°k∈弧度制下表示為π3故選：D.【變式4-1】已知角θ的終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界），角α的終邊和θ相同，則角α的集合為（

）A．αB．αC．αD．απ【解題思路】首先求陰影的邊界表示的角的集合，再用不等式表示集合.【解答過程】終邊落在y=33x上的角為π6+k故角α的集合為απ故選：C.【變式4-2】寫出終邊在直線y=x上的所有角組成的集合．（分別用弧度制和角度制來表示）【解題思路】把直線y=x分成兩條射線，y=x(x≥0),y=x(x≤0)來考慮終邊落到這兩條射線上的角的集合，然后取兩部分的并集.【解答過程】當(dāng)角α的終邊落到y(tǒng)=x(x≥0)上，則{α|α=π當(dāng)角α的終邊落到y(tǒng)=x(x≤0)上，則{α|α=5用弧度制表示時(shí)，終邊在直線y=x上的所有角組成的集合{α|α=π用角度制表示時(shí)，終邊在直線y=x上的所有角組成的集合{α|α=45題型05角度與弧度的換算【例5】將?315A．?3π4 B．?7π4 【解題思路】根據(jù)弧度制和角度制的互化公式，即可求解.【解答過程】?315故選：B.【變式5-1】下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯(cuò)誤的是A．60°化成弧度是π3 B．?10C．?150°化成弧度是?76【解題思路】由1°=π180rad,1rad【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A,60°=60×π對(duì)于選項(xiàng)B,?10π對(duì)于選項(xiàng)C,?150°=?150×π對(duì)于選項(xiàng)D,π12故選：C.【變式5-2】將下列角度與弧度進(jìn)行互化：(1)20°；(2)?800°；(3)7π(4)?4【解題思路】（1）（2）（3）（4）利用弧度與角度的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可.【解答過程】（1）20°=20×π（2）?800°=?800×π（3）7π（4）?4題型06弧長公式與扇形面積公式的應(yīng)用【例6】如圖所示的幾何圖形，設(shè)弧AD的長度是l1，弧BC的長度是l2，扇環(huán)ABCD的面積為S1，扇形BOC的面積為S2．若l1A．3 B．4 C．6 D．8【解題思路】根據(jù)題意，利用扇形的面積公式，求得OAOB=3，再利用扇形的面積公式，得到S扇形【解答過程】設(shè)扇環(huán)ABCD所對(duì)的圓心角為α，可得l1因?yàn)閘1l2=3，所以O(shè)AOB所以S扇形AODS扇形BOC故選：D．【變式6-1】古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán)．已知某紙扇的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線長與內(nèi)弧線長之和為95cm，連接外弧與內(nèi)弧的兩端的線段長均為503cm，且該扇形的中心角的弧度數(shù)為2.7A．70cm B．75cm C．68cm D．72cm【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合弧長公式運(yùn)算求解.【解答過程】如圖，設(shè)弧長AB為l1，弧長CD為l因?yàn)樵撋刃蔚闹行慕堑幕《葦?shù)為2.7，所以l1即OA=l又因?yàn)锳C=OA?OC=l所以l1又因?yàn)閘1+l所以該扇環(huán)的外弧線長為70cm故選：A.【變式6-2】已知一扇形的圓心角為α，半徑為r，弧長為l．(1)若α=45°，r=10cm，求扇形的弧長l(2)已知扇形的周長為10cm，面積是4【解題思路】（1）由扇形的弧長公式即可求解；（2）由扇形的周長和面積公式即可求解.【解答過程】（1）因?yàn)棣?45°=π所以l=α?r=π（2）由題意得2r+αr=101解得r=1α=8（舍去）或r=4故扇形圓心角為12題型07與弧度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題【例7】從2023年12月14日13∶00到當(dāng)天13∶25，某時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度為（

）A．5π6 B．2π3 C．【解題思路】根據(jù)弧度的概念求解.【解答過程】因?yàn)榉轴樖前凑枕槙r(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所以轉(zhuǎn)動(dòng)的角為負(fù)角，所以分針轉(zhuǎn)動(dòng)的弧度為?25故選：C.【變式7-1】如圖，A是輪子外邊沿上的一點(diǎn)，輪子半徑為0.3m.若輪子從圖中位置向右無滑動(dòng)滾動(dòng)，則當(dāng)滾動(dòng)的水平距離為22m時(shí)，下列選項(xiàng)中，關(guān)于點(diǎn)A的描述正確的是（參考數(shù)據(jù)：7π≈21.991）（A．點(diǎn)A在輪子的右上位置，距離地面約為0.56mB．點(diǎn)A在輪子的右上位置，距離地面約為0.45mC．點(diǎn)A在輪子的左下位置，距離地面約為0.15mD．點(diǎn)A在輪子的左下位置，距離地面約為0.04m【解題思路】計(jì)算出車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的周期數(shù)即可得確定位置和距地面的距離.【解答過程】車輪的周長為2π×0.3=0.6πm7π0.6π距離地面約為0.3+0.3×cos故選：B.【變式7-2】某時(shí)鐘的分針長5cm(1)分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)；(2)分針掃過的扇形面積；(3)分針尖端所走過的弧長（π取3.14，計(jì)算結(jié)果精確到0.01）．【解題思路】時(shí)鐘的分針轉(zhuǎn)一周是60分鐘，轉(zhuǎn)過的弧度是2π【解答過程】（1）時(shí)鐘的分針從12：00到12：25，分針轉(zhuǎn)過的角的弧度是α=?25（2）分針掃過的扇形面積S=1（3）分針尖端所走過的弧長是l=α分層分層訓(xùn)練【基礎(chǔ)過關(guān)】1．“”是“的終邊落在第一象限或落在第四象限”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)滿足，但是的終邊落在軸的正半軸，則充分性不成立；當(dāng)時(shí)，的終邊落在第一象限，則必要性不成立．綜上，“”是“的終邊落在第一象限或落在第四象限”的既不充分又不必要條件．故選：D．2．已知與210°角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則是（

）A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角【答案】B【分析】用終相同的角寫出角的表示，計(jì)算，讓整數(shù)取相鄰的整數(shù)代入確認(rèn)．【詳解】由與210°角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，可得，∴，取可確定終邊在第一或第三象限角.故選：B．3．將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上．點(diǎn)A、B的讀數(shù)分別為，則∠ACB的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由題意求出圓心角∠AOB的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理即可求得結(jié)果．【詳解】如圖：由題意得則故選：B．4．中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長為，的長為，若，則扇環(huán)的圓心角的弧度數(shù)為（

）

A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為，圓心角為，根據(jù)，得到，.【詳解】如圖，設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為，圓心角為，則，所以，得，又，所以.

故選：A5．如圖，圓的半徑為1，劣弧的長為，則陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由扇形面積減去三角形面積即可求解.【詳解】因?yàn)榱踊〉拈L為，所以.則，所以陰影部分的面積為.故選:B6．如圖所示的幾何圖形，設(shè)弧AD的長度是，弧BC的長度是，扇環(huán)ABCD的面積為，扇形BOC的面積為．若，則（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用扇形的面積公式，求得，再利用扇形的面積公式，得到，進(jìn)而求得所以的值，得到答案．【詳解】設(shè)扇環(huán)所對(duì)的圓心角為，可得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，即．故選：D．7．如圖當(dāng)時(shí)，圓內(nèi)接正六邊形的周長為，故，即.運(yùn)用“割圓術(shù)”的思想，下列估算正確的是（）A．時(shí)，B．時(shí)，C．時(shí)，D．時(shí)，【答案】A【分析】求出正十二邊形的周長，可得出，即可得解.【詳解】設(shè)圓的內(nèi)接正十二邊形被分成個(gè)如圖所示的等腰三角形，其頂角為，即，作于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，因?yàn)?，在中，，即，所以，，則，所以，正十二邊形的周長為，所以，.故選：A.8．若角的終邊落在如圖所示的陰影部分內(nèi)，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定圖形，求出在內(nèi)陰影部分的邊界射線對(duì)應(yīng)的角，進(jìn)而確定陰影部分對(duì)應(yīng)任意角的范圍，即得結(jié)果.【詳解】依題意，在內(nèi)陰影部分的邊界射線對(duì)應(yīng)的角分別為，在內(nèi)陰影部分對(duì)應(yīng)角的范圍是，所以角的取值范圍是.故選：D9．“古典正弦”定義為：在如圖所示的單位圓中，當(dāng)圓心角的范圍為時(shí)，其所對(duì)的“古典正弦”為（為的中點(diǎn)）.根據(jù)以上信息，當(dāng)圓心角對(duì)應(yīng)弧長時(shí)，其對(duì)應(yīng)的“古典正弦”值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定的定義，結(jié)合圓的性質(zhì)求出對(duì)應(yīng)的“古典正弦”值.【詳解】設(shè)由圓心角對(duì)應(yīng)弧長，由，得圓心角弧度數(shù)絕對(duì)值為2.則,所以故選：D10．如圖，為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”．畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個(gè)等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段CB的延長線于點(diǎn)D（第一段圓弧），再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧交線段AC的延長線于點(diǎn)E，再以點(diǎn)A為圓心，AE為半徑逆時(shí)針畫圓弧……．以此類推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?段圓弧時(shí)，“蚊香”的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由弧長公式得到每段的弧長，相加后得到答案.【詳解】由題意知，每段圓弧的圓心角均為，第一段圓弧長度為，第二段圓弧長度為，第三段圓弧長度為，第四段圓弧長度為，第五段圓弧長度為，第六段圓弧長度為，第七段圓弧長度為，第八段圓弧長度為，故得到的“蚊香”恰好有8段圓弧時(shí)，“蚊香”的長度為.故選：C11．（多選）如圖，若角的終邊落在陰影部分，則角的終邊可能在（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】AC【分析】利用象限角的定義即可得解.【詳解】依題意，得，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的終邊在第一象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的終邊在第三象限．故選：AC.12．（多選）下列說法中正確的是（

）A．若函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則B．函數(shù)與為同一個(gè)函數(shù)C．命題“，”的否定是“，”D．若是第二象限角，則是第一象限角【答案】ABC【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)函數(shù)的三要素是否相同判斷B；根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定判斷C；根據(jù)的范圍，可寫出的取值范圍，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)是R上的奇函數(shù)，則有，故正確；對(duì)于B，因?yàn)槎x域?yàn)镽，且，的定義域?yàn)镽，二者定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，值域均為，所以與是同一函數(shù)，故正確；對(duì)于C：命題“，”為全稱量詞命題，則其否定為存在量詞命題：“，”，正確；對(duì)于D：由題知是第二象限角，即，，∴，，即是第一或第三象限角，D不正確．故選：ABC13．（多選）下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．命題，的否定為，B．已知扇形的圓心角為2弧度，面積為1，則扇形的弧長等于2C．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)镈．已知函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是【答案】AD【分析】由含有一個(gè)量詞命題的否定可判斷A錯(cuò)誤；由扇形面積公式計(jì)算可得B正確；由抽象函數(shù)定義域求法計(jì)算可得C正確；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象及其值域解不等式可得，即D錯(cuò)誤.【詳解】命題，的否定為，，故A說法錯(cuò)誤；由，解得，所以扇形的弧長，故B說法正確；由，得，所以的定義域?yàn)?，故C說法正確；因?yàn)榈闹涤驗(yàn)镽，所以函數(shù)的值域滿足，所以，解得，故D說法錯(cuò)誤.故選：AD.14．如圖所示，角的終邊是射線．角的終邊與角的終邊有什么關(guān)系？如何表示與角終邊相同的角？

【答案】相同，【詳解】角的終邊與角的終邊相同，角終邊相同的角可表示為.15．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是BA延長線上一點(diǎn)，CD切⊙O于D點(diǎn)，弦，Q是AB上一動(dòng)點(diǎn)，CA＝1，CD是⊙O半徑的倍．(1)求⊙O的半徑R；(2)當(dāng)Q從A向B運(yùn)動(dòng)的過程中，圖中陰影部分的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)你說明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)你求出陰影部分的面積．【答案】(1)1(2)不發(fā)生變化，【分析】（1）根據(jù)切割線定理即可列方程求解；（2）據(jù)弦DE∥CB，可以連接OD，OE，則陰影部分的面積就轉(zhuǎn)化為扇形ODE的面積．所以陰影部分的面積不變．只需根據(jù)直角三角形的邊求得角的度數(shù)即可．【詳解】（1）根據(jù)題意，得，由切割線定理，得CD2＝CA?CB，3R2＝1＋2R，解得：R＝1或（負(fù)數(shù)舍去）．即⊙O的半徑R為1；（2）當(dāng)Q從A向B運(yùn)動(dòng)的過程中，圖中陰影部分的面積不發(fā)生變化．連接OD、OE；∵DE∥CB，∴S△ODE＝S△QDE；∴S陰影＝S扇形ODE；∵CD切⊙O于D點(diǎn)，∴DO⊥CD，∴∠CDO＝90°，∵，∴∠DCO＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠ODE＝60°，∴△ODE是等邊三角形；∴．【點(diǎn)睛】熟練運(yùn)用切割線定理，能夠把不規(guī)則圖形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．

【能力提升】1．下列與的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用終邊相同角的定義即可求得與的終邊相同的角.【詳解】與的終邊相同的角為.故選：B2．已知為第二象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【答案】D【分析】由象限角的定義可得出，求出的取值范圍，對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，可得出的終邊所在的象限.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，則，所以，，①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，即，此時(shí)為第三象限角；②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，此時(shí)為第一象限角.綜上所述，為第一或第三象限角.故選：D.3．掛鐘的時(shí)針和分針從凌晨0時(shí)起到下午14點(diǎn)所在的14小時(shí)內(nèi)，分針與時(shí)針會(huì)重合（

）次（注意：0時(shí)開始的那次重合不計(jì)算在內(nèi)）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】根據(jù)分針與時(shí)針的特點(diǎn)求解即可.【詳解】從凌晨0時(shí)起到下午14點(diǎn)，共14個(gè)小時(shí)，分針轉(zhuǎn)了14圈，時(shí)針轉(zhuǎn)了1圈再多2個(gè)小時(shí)，根據(jù)題目要求，0時(shí)開始的那次重合不計(jì)算在內(nèi)，因此從1時(shí)開始，每個(gè)小時(shí)分針與時(shí)針會(huì)重合1次，所以一共會(huì)重合13次.故選：C.4．某機(jī)器上有相互嚙合的大小兩個(gè)齒輪（如圖所示），大輪有25個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，大輪每分鐘轉(zhuǎn)3圈，若小輪的半徑為，則小輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出小輪每分鐘轉(zhuǎn)的圈數(shù)，再借助弧長公式計(jì)算即得.【詳解】由大輪有25個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，大輪每分鐘轉(zhuǎn)3圈，得小輪每分鐘轉(zhuǎn)的圈數(shù)為，因此小輪每秒鐘轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為，所以小輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長是.故選：C5．中國科學(xué)技術(shù)館有“圓與非圓”展品，涉及“等寬曲線”的知識(shí).因?yàn)閳A的任何一對(duì)平行切線間的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”.除了特例以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形[如圖（1）所示]，它是分別以等邊三角形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)之間畫一段圓弧，由三段圓弧圍成的曲邊三角形，圖（2）是等寬的勒洛三角形和圓.下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．勒洛三角形不是中心對(duì)稱圖形B．圖（1）中，點(diǎn)A到上任意一點(diǎn)的距離都相等C．圖（2）中，勒洛三角形上任意一點(diǎn)到等邊三角形DEF的中心的距離都相等D．圖（2）中，勒洛三角形的周長與圓的周長相等【答案】C【分析】勒洛三角形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，判斷A,根據(jù)定義判斷B,根據(jù)勒洛三角形上的點(diǎn)到等邊三角形的中心的距離不一定相等判斷C,應(yīng)用弧長公式計(jì)算判斷D.【詳解】勒洛三角形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，選項(xiàng)A正確；題圖（1）中，點(diǎn)A到上任意一點(diǎn)的距離都相等，選項(xiàng)B正確；如圖，連接，連接并延長交于點(diǎn)G，設(shè)等邊三角形DEF的邊長為a，易得，，，勒洛三角形上的點(diǎn)到等邊三角形DEF的中心的距離不一定相等，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)等邊三角形DEF的邊長為a，則勒洛三角形的周長，圓的周長，勒洛三角形的周長與圓的周長相等，選項(xiàng)D正確.故選:C.6．如圖，將含角的直角三角板繞頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，點(diǎn)經(jīng)過的路徑為弧，若，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，計(jì)算，則陰影部分的面積為.【詳解】由題意，扇形的圓心角為，且所以,所以，且,所以陰影部分的面積為.故選：C.7．圓環(huán)被同圓心的扇形截得的一部分叫做扇環(huán)．如圖所示，扇環(huán)的內(nèi)圓弧的長為，外圓弧的長為，圓心角，則該扇環(huán)的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可得解.【詳解】由扇形面積公式（其中為扇形弧長，為扇形圓心角，為扇形半徑）可得，扇環(huán)面積.故選：A8．石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠(yuǎn)流長的磚雕，由東周瓦當(dāng)、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時(shí)代進(jìn)入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術(shù)的典型代表，被廣泛運(yùn)用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個(gè)梅花磚雕，其正面是一個(gè)扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對(duì)的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，，進(jìn)而求得梅花磚雕的側(cè)面積及扇環(huán)的面積可得該梅花磚雕的表面積.【詳解】延長與交于點(diǎn)．由，，得，．因?yàn)樗鶎?duì)的圓心角為直角，所以，．所以該梅花磚雕的側(cè)面積，扇環(huán)的面積為，則該梅花磚雕的表面積．故選：C．9．如圖所示，用若干個(gè)正方形拼成一個(gè)大矩形，然后在每個(gè)正方形中以邊長為半徑繪制圓弧，這些圓弧連起來得到一段螺旋形的曲線，我們稱之為“斐波那契螺旋線”．若圖中最大的矩形面積為104，則這段斐波那契螺旋線的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)組成矩形的正方形的邊長分別為，根據(jù)條件列式解方程求得，進(jìn)而可得這段斐波那契螺旋線的長度.【詳解】如圖：設(shè)組成矩形的正方形的面積分別為，其邊長分別為，且邊長即為圓弧的半徑，則，所以，解得，則這段斐波那契螺旋線的長度為.故選：D.

10．《九章算術(shù)》是一部中國古代的數(shù)學(xué)專著．第一章《方田》主要講各種形狀的田地面積的計(jì)算方法，其中