5.1任意角和弧度制【六大必考點+二十一秒殺招+七大題型+分層訓練】高一數學題型歸類（解析版）

5.1任意角和弧度制【六大必考點+二十一秒殺招+七大題型+分層訓練】知識精講知識精講知識點01角的相關概念(1)角的概念角可以看成平面內一條射線繞著它的端點旋轉所成的圖形．(2)角的表示如圖，①始邊：射線的起始位置OA；②終邊：射線的終止位置OB；③頂點：射線的端點O；④記法：圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或“∠AOB”，可以簡記成“α”．(3)角的分類名稱定義圖形正角一條射線繞其端點按逆時針方向旋轉形成的角負角一條射線繞其端點按順時針方向旋轉形成的角零角一條射線沒有做任何旋轉形成的角知識點02角的相等與加減(1)角的相等設角α由射線OA繞端點O旋轉而成，角β由射線O′A′繞端點O′旋轉而成．如果它們的旋轉方向相同且旋轉量相等，那么就稱α＝β.(2)角的加法設α，β是任意兩個角，把角α的終邊旋轉角β，這時終邊所對應的角是α＋β.(3)相反角把射線OA繞端點O按不同方向旋轉相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角α的相反角記為－α.(4)角的減法角的減法可以轉化為角的加法，有α－β＝α＋(－β)．知識點03平面直角坐標系中的任意角條件在直角坐標系中，角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合象限角角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角軸線角角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限，可稱為軸線角終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和注：1．對角的概念的認識關鍵是抓住“旋轉”二字(1)要明確旋轉方向；(2)要明確旋轉的大??；(3)要明確射線未作旋轉時的位置．2．對終邊相同的角的理解(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(2)k∈Z，即k為整數，這一條件不可少；(3)終邊相同的角的表示不唯一；(4)終邊相同的角有無數個，它們相差周角的整數倍．知識點04度量角的兩種制度(1)角度制①定義：用度作為單位來度量角的單位制．②1度的角：周角的eq\f(1,360)為1度的角，記作1°.(2)弧度制①定義：以弧度作為單位來度量角的單位制．②1弧度的角：長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角．③表示方法：1弧度記作1_rad.知識點05弧度數的計算與互化(1)弧度數的計算(2)弧度與角度的互化(3)一些特殊角的度數與弧度數的對應表度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π知識點06扇形的弧長及面積公式設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則(1)弧長公式：l＝αR.(2)扇形面積公式：S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)αR2.(1)無論是以“度”還是以“弧度”為單位，角的大小都是一個與“半徑”大小無關的值．(2)用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”兩字可以省略不寫，如sin2是指sin(2弧度)，π＝180°是指π弧度＝180°；但如果以度為單位表示角時，度就不能省去．(3)用弧度為單位表示角時，常常把弧度數寫成多少π的形式，如無特殊要求，不必把π寫成小數，如45°＝eq\f(π,4)弧度，不必寫成45°≈0.785弧度．(4)角度制和弧度制表示的角不能混用．如α＝2kπ＋30°，k∈Z；β＝k·90°＋eq\f(π,4)，k∈Z，都不正確．解題大招解題大招大招01引入任意角的概念后需要注意：（1）用“旋轉”定義角之后，角的范圍大大地擴大了．角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負角和零角．（2）角的概念的理解要緊緊抓住“旋轉”二字，用運動的觀點來看待角的概念：一是要明確旋轉的方向，二是要明確旋轉的大小，三是要明確射線作任何旋轉時的位置．（3）角的范圍不再限于．（4）當角的始邊相同時，若角相等，則終邊相同；終邊相同，而角不一定相等．（5）要正確理解正角、負角、零角的概念，由定義可知，關鍵是抓住終邊的旋轉方向是逆時針、順時針，還是沒有轉動．在圖中表示角時，應注意箭頭的方向不可丟掉，箭頭方向代表角的正負．（6）角的記法：用一個希臘字母表示，如，，，…；也可用三個大寫的英文字母表示，字母前要寫符號“”，中間的字母表示角的頂點，如，，…．為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以簡記為“”．（7）引入正角、負角、零角后，角的減法可以轉化為角的加法運算，即可以轉化為．大招02判斷角的概念問題的關鍵與技巧(1)關鍵：正確理解任意角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念，嚴格辨析它們之間的聯系與區(qū)別．(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可．大招03終邊相同的角--易錯點所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合，，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和．大招04象限角的分類及表示方法如下：象限角集合的表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角大招05設，顯然，所有與角終邊相同的角都是集合的元素；反過來，集合中的任何一個元素也都與角的終邊相同．推廣到一般形式有：所有與角終邊相同的角，連同角在內，可構成一個集合，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數個周角的和．大招06利用與角終邊相同的角的集合，可把任意角轉化成，，的形式；也可利用與角終邊相同的角化簡終邊落在過原點的某一條直線上的角的集合；或利用與角終邊相同的角寫出各象限角和象限界角的集合．如第一象限角，在~360范圍內，第一象限角表示為，然后在兩端加上，，即可得到第一象限角的集合：，，其他各象限角同理可得．若為象限界角，如終邊落在軸的負半軸上，代表角為180，所以終邊落在軸的負半軸上的角的集合為，．同理可得其他非象限角的集合．大招07尋求終邊相同的角的方法與技巧在[0°，360°)范圍內找與給定角終邊相同的角的方法：(1)一般地，可以將所給的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β<360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當所給角是負角時，采用連續(xù)加360°的方式；當所給角是正角時，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結果達到要求為止．大招08求終邊落在直線上的角的集合的三個步驟(1)寫出在[0°，360°)范圍內相應的角；(2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；大招09區(qū)域角的寫法可分三步(1)按逆時針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)由小到大分別標出起始、終止邊界對應的一個角α，β，寫出所有與α，β終邊相同的角；(3)用不等式表示區(qū)域內的角，組成集合．注：區(qū)域角的寫法:(1)若角的終邊落在一個扇形區(qū)域內，寫區(qū)域角時，先依逆時針方向由小到大寫出一個區(qū)間角，然后在它的兩端分別加上“k×360°”，并注明“k∈Z”即可.(2)若角的終邊落在兩個對稱的扇形區(qū)域內，寫角的范圍時，可以先寫出終邊落在一個扇形區(qū)域內的一個區(qū)間角，然后在此區(qū)間角的兩端分別加上“k×180”，并注明“k∈Z”即可.大招10象限角：若把角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．由于圖（1）中的角，，都是始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第一象限的角，所以它們都是第一象限角；同理，圖（2）中的角是第二象限角，，都是第四象限角．2．特別地，如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．例如，，，，等，因為它們的終邊落在坐標軸上，所以這些角都不屬于任何一個象限，有的參考書上稱之為象限界角．大招10象限角的判定方法(1)根據圖象判定．依據是終邊相同的角的概念，因為在[0°，360°)范圍內的角的終邊與坐標系中過原點的射線可建立一一對應的關系．(2)將角轉化到[0°，360°)范圍內．在直角坐標平面內，在[0°，360°)范圍內沒有兩個角終邊是相同的．(3)nα所在象限的判斷方法確定nα終邊所在的象限，先求出nα的范圍，再直接轉化為終邊相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的判斷方法大招11已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對k的取值分情況討論：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.從而得出結論．②作出各個象限的從原點出發(fā)的n等分射線，它們與坐標軸把周角分成4n個區(qū)域．從x軸非負半軸起，按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次循環(huán)標上1,2,3,4.α的終邊在第幾象限，則標號為幾的區(qū)域，就是eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由標號區(qū)域所在的象限直觀地看出．大招12將角度化為弧度rad；rad；rad．大招13將弧度化為角度；；．大招14需記住的特殊角的度數與弧度數的對應值度弧度0大招15注意事項（1）以弧度為單位表示角時，“弧度”兩字可以省略不寫．如是指sin（2弧度）；是指弧度．以度為單位表示角時，度就不能省去．（2）以弧度為單位表示角時，常常把弧度數寫成多少的形式，如無特殊要求，不必把化成小數，如弧度，不必寫成弧度．（3）弧度制和角度制一樣，都是一種度量角的單位制．弧度制與角度制相比有一定的優(yōu)點，其一體現在進位上，角度制在度、分、秒上是六十進制，不便于計算，而弧度制是十進制，給運算帶來了方便；其二體現在弧長公式與扇形面積公式的表達上，弧度制下的公式比角度制下的公式簡單，運用起來更方便．（4）用角度制和弧度制來度量零角，雖然單位不同，但數量相同，對于其他非零角，由于單位不同，數量也就不同了．（5）在進行角度與弧度的換算時，抓住關系式rad是關鍵，由它可以得到：角度弧度，弧度角度．大招16弧度制下與角α終邊相同的角的表示在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數倍．大招17根據已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟(1)仔細觀察圖形；(2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時角的表示；(3)用不等式表示區(qū)域角．用不等式表示區(qū)域角的范圍時，要注意角的集合形式是否能夠合并，能合并的要合并．大招18弧長公式在半徑為的圓中，弧長為的弧所對的圓心角大小為，則，變形可得，此公式稱為弧長公式，其中的是弧度角．大招19弧度制下有關扇形弧長問題的解題策略①明確弧度制下扇形弧長公式l＝|α|r，(其中l(wèi)是扇形的弧長，α是扇形的圓心角)．②涉及扇形的周長、弧長、圓心角等的計算，關鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式求解．大招20扇形面積公式因為圓心角為1rad的扇形面積為，而弧長為l的扇形的圓心角大小為rad，所以其面積為，將代入上式可得，此公式稱為扇形面積公式．大招21扇形的面積公式的應用注意點①在弧度制中的弧長公式及扇形面積公式中的圓心角可正可負．②看清角的度量制，選用相應的公式．③扇形的周長等于弧長加兩個半徑長．題型分類題型分類題型01終邊相同的角【例1】與角?2024°4'終邊相同的角是（A．?404°4' B．?224°4' C．【解題思路】利用終邊相同角的概念公式求解即可.【解答過程】解：∵?2024°4∴與角?2024°4'終邊相同的角是故選：B.【變式1-1】下列選項中，與角α=?40°終邊相同的角是（

）A．?400° B．?380° C．310° D．330°【解題思路】首先表示出與α=?40°終邊相同的角，再判斷即可.【解答過程】與角α=?40°終邊相同的角的集合表示為θθ=?40°+k?360°,k∈當k=?1時，θ=?400°，故?400°與角α=?40°終邊相同．故選：A．【變式1-2】將角α的終邊繞坐標原點O逆時針旋轉60°后與130°角的終邊重合，則與角α終邊相同的角的集合為（

）A．ββ=k×180°+90°,k∈Z B．C．ββ=k×180°+150°,k∈Z D．【解題思路】根據題意設α+60°=360°k+130°,k∈Z【解答過程】設α+60°=360°k+130°,k∈Z解得α=360°k+70°,k∈Z所以與角α終邊相同的角的集合為ββ=k×360°+70°,k∈Z故選：B.題型02根據圖形寫出角（范圍）【例2】如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角α的集合是（

）A．α|5π6C．α|?7π6【解題思路】根據任意角的概念以及角的終邊所在位置，即可確定角α的集合.【解答過程】終邊落在陰影部分的角為5π6+k即終邊落在陰影部分（包括邊界）的角α的集合是α|5故選：B．【變式2-1】已知集合α|k?360°+45°≤α≤k?360°+90°,k∈Z，則圖中表示角α的終邊所在區(qū)域正確的是（

）A． B．C． D．【解題思路】求出臨界位置的終邊，結合選項即可得結果.【解答過程】當α=k?360°+45°，k∈Z時，角α的終邊落在第一象限的角平分線上，當α=k?360°+90°，k∈Z時，角α的終邊落在y軸的非負半軸上，按照逆時針旋轉的方向確定范圍可得角α的終邊所在區(qū)域如選項B所示．故選：B．【變式2-2】集合α|kπ≤α≤kπ+π4,k∈ZA． B． C． D．【解題思路】對k按奇偶分類討論可得．【解答過程】當k＝2n(n∈Z)時，2nπ≤α≤2nπ＋π4(n∈Z)，此時α的終邊和0≤α≤π4的終邊一樣，當k＝2n＋1(n∈Z)時，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋π4(n∈Z)，此時α的終邊和π≤α故選：B．題型03象限角的判定【例3】已知角α=?225°，則α的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【解題思路】由象限角的定義求解.【解答過程】α=?225°=?360°+135°，135°∈90°,180°，所以α故選：B.【變式3-1】如果α是第三象限角，則?α2是（A．第一象限角 B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角【解題思路】根據360°k+180°<α<270°+360°k得到?135°?180°k<?12α<?180°k?90°,k∈【解答過程】α是第三象限角，則360°k+180°<α<270°+360°k,k∈Z故?135°?180°k<?1當k為偶數時，?α2在第三象限；當k為奇數時，故選：C.【變式3-2】若α角的終邊落在第三或第四象限，則α2的終邊落在（

A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第一或第四象限 D．第三或第四象限【解題思路】根據α角的終邊落在第三或第四象限，可得?π+2kπ<α<?π2+2k【解答過程】因為α角的終邊落在第三或第四象限，所以?π+2kπ<α<?π所以?π2+kπ<當k=2n，n∈Z時，α當k=2n+1，n∈Z時，α綜上所述，α2故選：B.題型04用弧度制表示角的集合【例4】與60°角終邊相同的角可以表示為（

）A．π3+k?360°k∈C．60°+2k?360°k∈Z 【解題思路】運用終邊相同角的概念，結合弧度制可判斷.【解答過程】A,B弧度角度混用，錯誤.與60°角終邊相同的角可以表示60°+k?360°k∈弧度制下表示為π3故選：D.【變式4-1】已知角θ的終邊落在陰影區(qū)域內（不含邊界），角α的終邊和θ相同，則角α的集合為（

）A．αB．αC．αD．απ【解題思路】首先求陰影的邊界表示的角的集合，再用不等式表示集合.【解答過程】終邊落在y=33x上的角為π6+k故角α的集合為απ故選：C.【變式4-2】寫出終邊在直線y=x上的所有角組成的集合．（分別用弧度制和角度制來表示）【解題思路】把直線y=x分成兩條射線，y=x(x≥0),y=x(x≤0)來考慮終邊落到這兩條射線上的角的集合，然后取兩部分的并集.【解答過程】當角α的終邊落到y=x(x≥0)上，則{α|α=π當角α的終邊落到y=x(x≤0)上，則{α|α=5用弧度制表示時，終邊在直線y=x上的所有角組成的集合{α|α=π用角度制表示時，終邊在直線y=x上的所有角組成的集合{α|α=45題型05角度與弧度的換算【例5】將?315A．?3π4 B．?7π4 【解題思路】根據弧度制和角度制的互化公式，即可求解.【解答過程】?315故選：B.【變式5-1】下列轉化結果錯誤的是A．60°化成弧度是π3 B．?10C．?150°化成弧度是?76【解題思路】由1°=π180rad,1rad【解答過程】對于選項A,60°=60×π對于選項B,?10π對于選項C,?150°=?150×π對于選項D,π12故選：C.【變式5-2】將下列角度與弧度進行互化：(1)20°；(2)?800°；(3)7π(4)?4【解題思路】（1）（2）（3）（4）利用弧度與角度的關系進行轉化即可.【解答過程】（1）20°=20×π（2）?800°=?800×π（3）7π（4）?4題型06弧長公式與扇形面積公式的應用【例6】如圖所示的幾何圖形，設弧AD的長度是l1，弧BC的長度是l2，扇環(huán)ABCD的面積為S1，扇形BOC的面積為S2．若l1A．3 B．4 C．6 D．8【解題思路】根據題意，利用扇形的面積公式，求得OAOB=3，再利用扇形的面積公式，得到S扇形【解答過程】設扇環(huán)ABCD所對的圓心角為α，可得l1因為l1l2=3，所以OAOB所以S扇形AODS扇形BOC故選：D．【變式6-1】古代文人墨客與丹青手都善于在紙扇上題字題畫，題字題畫的部分多為扇環(huán)．已知某紙扇的扇環(huán)如圖所示，其中外弧線長與內弧線長之和為95cm，連接外弧與內弧的兩端的線段長均為503cm，且該扇形的中心角的弧度數為2.7A．70cm B．75cm C．68cm D．72cm【解題思路】根據題意結合弧長公式運算求解.【解答過程】如圖，設弧長AB為l1，弧長CD為l因為該扇形的中心角的弧度數為2.7，所以l1即OA=l又因為AC=OA?OC=l所以l1又因為l1+l所以該扇環(huán)的外弧線長為70cm故選：A.【變式6-2】已知一扇形的圓心角為α，半徑為r，弧長為l．(1)若α=45°，r=10cm，求扇形的弧長l(2)已知扇形的周長為10cm，面積是4【解題思路】（1）由扇形的弧長公式即可求解；（2）由扇形的周長和面積公式即可求解.【解答過程】（1）因為α=45°=π所以l=α?r=π（2）由題意得2r+αr=101解得r=1α=8（舍去）或r=4故扇形圓心角為12題型07與弧度有關的實際應用問題【例7】從2023年12月14日13∶00到當天13∶25，某時鐘的分針轉動的弧度為（

）A．5π6 B．2π3 C．【解題思路】根據弧度的概念求解.【解答過程】因為分針是按照順時針方向旋轉，所以轉動的角為負角，所以分針轉動的弧度為?25故選：C.【變式7-1】如圖，A是輪子外邊沿上的一點，輪子半徑為0.3m.若輪子從圖中位置向右無滑動滾動，則當滾動的水平距離為22m時，下列選項中，關于點A的描述正確的是（參考數據：7π≈21.991）（A．點A在輪子的右上位置，距離地面約為0.56mB．點A在輪子的右上位置，距離地面約為0.45mC．點A在輪子的左下位置，距離地面約為0.15mD．點A在輪子的左下位置，距離地面約為0.04m【解題思路】計算出車輪轉動的周期數即可得確定位置和距地面的距離.【解答過程】車輪的周長為2π×0.3=0.6πm7π0.6π距離地面約為0.3+0.3×cos故選：B.【變式7-2】某時鐘的分針長5cm(1)分針轉過的角的弧度數；(2)分針掃過的扇形面積；(3)分針尖端所走過的弧長（π取3.14，計算結果精確到0.01）．【解題思路】時鐘的分針轉一周是60分鐘，轉過的弧度是2π【解答過程】（1）時鐘的分針從12：00到12：25，分針轉過的角的弧度是α=?25（2）分針掃過的扇形面積S=1（3）分針尖端所走過的弧長是l=α分層分層訓練【基礎過關】1．“”是“的終邊落在第一象限或落在第四象限”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】D【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.【詳解】當時滿足，但是的終邊落在軸的正半軸，則充分性不成立；當時，的終邊落在第一象限，則必要性不成立．綜上，“”是“的終邊落在第一象限或落在第四象限”的既不充分又不必要條件．故選：D．2．已知與210°角的終邊關于x軸對稱，則是（

）A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角【答案】B【分析】用終相同的角寫出角的表示，計算，讓整數取相鄰的整數代入確認．【詳解】由與210°角的終邊關于x軸對稱，可得，∴，取可確定終邊在第一或第三象限角.故選：B．3．將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點C在半圓上．點A、B的讀數分別為，則∠ACB的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由題意求出圓心角∠AOB的度數，再根據圓周角定理即可求得結果．【詳解】如圖：由題意得則故選：B．4．中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長為，的長為，若，則扇環(huán)的圓心角的弧度數為（

）

A．3 B．2 C． D．【答案】A【分析】設扇環(huán)所在圓的圓心為，圓心角為，根據，得到，.【詳解】如圖，設扇環(huán)所在圓的圓心為，圓心角為，則，所以，得，又，所以.

故選：A5．如圖，圓的半徑為1，劣弧的長為，則陰影部分的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由扇形面積減去三角形面積即可求解.【詳解】因為劣弧的長為，所以.則，所以陰影部分的面積為.故選:B6．如圖所示的幾何圖形，設弧AD的長度是，弧BC的長度是，扇環(huán)ABCD的面積為，扇形BOC的面積為．若，則（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據題意，利用扇形的面積公式，求得，再利用扇形的面積公式，得到，進而求得所以的值，得到答案．【詳解】設扇環(huán)所對的圓心角為，可得，因為，所以，又因為，，所以，所以，即．故選：D．7．如圖當時，圓內接正六邊形的周長為，故，即.運用“割圓術”的思想，下列估算正確的是（）A．時，B．時，C．時，D．時，【答案】A【分析】求出正十二邊形的周長，可得出，即可得解.【詳解】設圓的內接正十二邊形被分成個如圖所示的等腰三角形，其頂角為，即，作于點，則為的中點，且，因為，在中，，即，所以，，則，所以，正十二邊形的周長為，所以，.故選：A.8．若角的終邊落在如圖所示的陰影部分內，則角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據給定圖形，求出在內陰影部分的邊界射線對應的角，進而確定陰影部分對應任意角的范圍，即得結果.【詳解】依題意，在內陰影部分的邊界射線對應的角分別為，在內陰影部分對應角的范圍是，所以角的取值范圍是.故選：D9．“古典正弦”定義為：在如圖所示的單位圓中，當圓心角的范圍為時，其所對的“古典正弦”為（為的中點）.根據以上信息，當圓心角對應弧長時，其對應的“古典正弦”值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據給定的定義，結合圓的性質求出對應的“古典正弦”值.【詳解】設由圓心角對應弧長，由，得圓心角弧度數絕對值為2.則,所以故選：D10．如圖，為某校數學社團用數學軟件制作的“蚊香”．畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，作一個等邊三角形ABC，然后以點B為圓心，AB為半徑逆時針畫圓弧交線段CB的延長線于點D（第一段圓?。?，再以點C為圓心，CD為半徑逆時針畫圓弧交線段AC的延長線于點E，再以點A為圓心，AE為半徑逆時針畫圓弧……．以此類推，當得到的“蚊香”恰好有8段圓弧時，“蚊香”的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由弧長公式得到每段的弧長，相加后得到答案.【詳解】由題意知，每段圓弧的圓心角均為，第一段圓弧長度為，第二段圓弧長度為，第三段圓弧長度為，第四段圓弧長度為，第五段圓弧長度為，第六段圓弧長度為，第七段圓弧長度為，第八段圓弧長度為，故得到的“蚊香”恰好有8段圓弧時，“蚊香”的長度為.故選：C11．（多選）如圖，若角的終邊落在陰影部分，則角的終邊可能在（

）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】AC【分析】利用象限角的定義即可得解.【詳解】依題意，得，所以，當為偶數時，的終邊在第一象限；當為奇數時，的終邊在第三象限．故選：AC.12．（多選）下列說法中正確的是（

）A．若函數是R上的奇函數，則B．函數與為同一個函數C．命題“，”的否定是“，”D．若是第二象限角，則是第一象限角【答案】ABC【分析】由奇函數的性質可判斷A；根據函數的三要素是否相同判斷B；根據含有一個量詞的命題的否定判斷C；根據的范圍，可寫出的取值范圍，即可判斷D.【詳解】對于A，函數是R上的奇函數，則有，故正確；對于B，因為定義域為R，且，的定義域為R，二者定義域相同，對應關系相同，值域均為，所以與是同一函數，故正確；對于C：命題“，”為全稱量詞命題，則其否定為存在量詞命題：“，”，正確；對于D：由題知是第二象限角，即，，∴，，即是第一或第三象限角，D不正確．故選：ABC13．（多選）下列說法錯誤的是（

）A．命題，的否定為，B．已知扇形的圓心角為2弧度，面積為1，則扇形的弧長等于2C．已知函數的定義域為，則函數的定義域為D．已知函數的值域為，則的取值范圍是【答案】AD【分析】由含有一個量詞命題的否定可判斷A錯誤；由扇形面積公式計算可得B正確；由抽象函數定義域求法計算可得C正確；根據對數函數圖象及其值域解不等式可得，即D錯誤.【詳解】命題，的否定為，，故A說法錯誤；由，解得，所以扇形的弧長，故B說法正確；由，得，所以的定義域為，故C說法正確；因為的值域為R，所以函數的值域滿足，所以，解得，故D說法錯誤.故選：AD.14．如圖所示，角的終邊是射線．角的終邊與角的終邊有什么關系？如何表示與角終邊相同的角？

【答案】相同，【詳解】角的終邊與角的終邊相同，角終邊相同的角可表示為.15．如圖，AB是⊙O的直徑，點C是BA延長線上一點，CD切⊙O于D點，弦，Q是AB上一動點，CA＝1，CD是⊙O半徑的倍．(1)求⊙O的半徑R；(2)當Q從A向B運動的過程中，圖中陰影部分的面積是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請你說明理由；若不發(fā)生變化，請你求出陰影部分的面積．【答案】(1)1(2)不發(fā)生變化，【分析】（1）根據切割線定理即可列方程求解；（2）據弦DE∥CB，可以連接OD，OE，則陰影部分的面積就轉化為扇形ODE的面積．所以陰影部分的面積不變．只需根據直角三角形的邊求得角的度數即可．【詳解】（1）根據題意，得，由切割線定理，得CD2＝CA?CB，3R2＝1＋2R，解得：R＝1或（負數舍去）．即⊙O的半徑R為1；（2）當Q從A向B運動的過程中，圖中陰影部分的面積不發(fā)生變化．連接OD、OE；∵DE∥CB，∴S△ODE＝S△QDE；∴S陰影＝S扇形ODE；∵CD切⊙O于D點，∴DO⊥CD，∴∠CDO＝90°，∵，∴∠DCO＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠ODE＝60°，∴△ODE是等邊三角形；∴．【點睛】熟練運用切割線定理，能夠把不規(guī)則圖形的面積進行轉換是解題的關鍵．

【能力提升】1．下列與的終邊相同的角的表達式中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用終邊相同角的定義即可求得與的終邊相同的角.【詳解】與的終邊相同的角為.故選：B2．已知為第二象限角，則所在的象限是（

）A．第一或第二象限 B．第二或第三象限C．第二或第四象限 D．第一或第三象限【答案】D【分析】由象限角的定義可得出，求出的取值范圍，對分奇數和偶數兩種情況討論，可得出的終邊所在的象限.【詳解】因為為第二象限角，則，所以，，①當為奇數時，設，則，即，此時為第三象限角；②當為偶數時，設，則，此時為第一象限角.綜上所述，為第一或第三象限角.故選：D.3．掛鐘的時針和分針從凌晨0時起到下午14點所在的14小時內，分針與時針會重合（

）次（注意：0時開始的那次重合不計算在內）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】根據分針與時針的特點求解即可.【詳解】從凌晨0時起到下午14點，共14個小時，分針轉了14圈，時針轉了1圈再多2個小時，根據題目要求，0時開始的那次重合不計算在內，因此從1時開始，每個小時分針與時針會重合1次，所以一共會重合13次.故選：C.4．某機器上有相互嚙合的大小兩個齒輪（如圖所示），大輪有25個齒，小輪有15個齒，大輪每分鐘轉3圈，若小輪的半徑為，則小輪每秒轉過的弧長是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，求出小輪每分鐘轉的圈數，再借助弧長公式計算即得.【詳解】由大輪有25個齒，小輪有15個齒，大輪每分鐘轉3圈，得小輪每分鐘轉的圈數為，因此小輪每秒鐘轉的弧度數為，所以小輪每秒轉過的弧長是.故選：C5．中國科學技術館有“圓與非圓”展品，涉及“等寬曲線”的知識.因為圓的任何一對平行切線間的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”.除了特例以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形[如圖（1）所示]，它是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點之間畫一段圓弧，由三段圓弧圍成的曲邊三角形，圖（2）是等寬的勒洛三角形和圓.下列說法錯誤的是（

）A．勒洛三角形不是中心對稱圖形B．圖（1）中，點A到上任意一點的距離都相等C．圖（2）中，勒洛三角形上任意一點到等邊三角形DEF的中心的距離都相等D．圖（2）中，勒洛三角形的周長與圓的周長相等【答案】C【分析】勒洛三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，判斷A,根據定義判斷B,根據勒洛三角形上的點到等邊三角形的中心的距離不一定相等判斷C,應用弧長公式計算判斷D.【詳解】勒洛三角形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，選項A正確；題圖（1）中，點A到上任意一點的距離都相等，選項B正確；如圖，連接，連接并延長交于點G，設等邊三角形DEF的邊長為a，易得，，，勒洛三角形上的點到等邊三角形DEF的中心的距離不一定相等，選項C錯誤；設等邊三角形DEF的邊長為a，則勒洛三角形的周長，圓的周長，勒洛三角形的周長與圓的周長相等，選項D正確.故選:C.6．如圖，將含角的直角三角板繞頂點順時針旋轉后得到，點經過的路徑為弧，若，則圖中陰影部分的面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意，計算，則陰影部分的面積為.【詳解】由題意，扇形的圓心角為，且所以,所以，且,所以陰影部分的面積為.故選：C.7．圓環(huán)被同圓心的扇形截得的一部分叫做扇環(huán)．如圖所示，扇環(huán)的內圓弧的長為，外圓弧的長為，圓心角，則該扇環(huán)的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據扇形面積公式計算即可得解.【詳解】由扇形面積公式（其中為扇形弧長，為扇形圓心角，為扇形半徑）可得，扇環(huán)面積.故選：A8．石雕、木雕、磚雕被稱為建筑三雕．源遠流長的磚雕，由東周瓦當、漢代畫像磚等發(fā)展而來，明清時代進入巔峰，形成北京、天津、山西、徽州、廣東、臨夏以及蘇派磚雕七大主要流派．蘇派磚雕被稱為“南方之秀”，是南方地區(qū)磚雕藝術的典型代表，被廣泛運用到墻壁、門窗、檐廊、欄檻等建筑中．圖（1）是一個梅花磚雕，其正面是一個扇環(huán)，如圖（2），磚雕厚度為6cm，，，所對的圓心角為直角，則該梅花磚雕的表面積為（單位：）（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，，進而求得梅花磚雕的側面積及扇環(huán)的面積可得該梅花磚雕的表面積.【詳解】延長與交于點．由，，得，．因為所對的圓心角為直角，所以，．所以該梅花磚雕的側面積，扇環(huán)的面積為，則該梅花磚雕的表面積．故選：C．9．如圖所示，用若干個正方形拼成一個大矩形，然后在每個正方形中以邊長為半徑繪制圓弧，這些圓弧連起來得到一段螺旋形的曲線，我們稱之為“斐波那契螺旋線”．若圖中最大的矩形面積為104，則這段斐波那契螺旋線的長度為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設組成矩形的正方形的邊長分別為，根據條件列式解方程求得，進而可得這段斐波那契螺旋線的長度.【詳解】如圖：設組成矩形的正方形的面積分別為，其邊長分別為，且邊長即為圓弧的半徑，則，所以，解得，則這段斐波那契螺旋線的長度為.故選：D.

10．《九章算術》是一部中國古代的數學專著．第一章《方田》主要講各種形狀的田地面積的計算方法，其中