2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第9講　零點問題解析版

第9講零點問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測】 2【考點突破】 18【考點一】零點問題 18【專題精練】 33真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時，有三個零點B．當(dāng)時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心三、解答題3．（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點處的切線．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間.(2)求證：不經(jīng)過點.(3)當(dāng)時，設(shè)點，，，為與軸的交點，與分別表示與的面積．是否存在點使得成立？若存在，這樣的點有幾個？（參考數(shù)據(jù)：，，）4．（2022·天津·高考真題）已知，函數(shù)(1)求曲線y=fx在處的切線方程；(2)若曲線y=fx和y=g（i）當(dāng)時，求的取值范圍；（ii）求證：．5．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．6．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．7．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．8．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．參考答案：題號12答案BAD1．B【分析】寫出，并求出極值點，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.2．AD【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為，根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計算判斷，亦可利用拐點結(jié)論直接求解.【詳解】A選項，，由于，故時，故在上單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD【點睛】結(jié)論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關(guān)于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心3．(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)證明見解析(3)2【分析】（1）直接代入，再利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可；（2）寫出切線方程，將代入再設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其零點即可；（3）分別寫出面積表達(dá)式，代入得到，再設(shè)新函數(shù)研究其零點即可.【詳解】（1），當(dāng)時，f'x<0；當(dāng)x∈0,+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），切線的斜率為，則切線方程為，將代入則，即，則，，令，假設(shè)過，則在存在零點.，在上單調(diào)遞增，，在無零點，與假設(shè)矛盾，故直線不過.（3）時，.，設(shè)與軸交點為，時，若，則此時與必有交點，與切線定義矛盾.由（2）知.所以，則切線的方程為，令，則.，則，，記，滿足條件的有幾個即有幾個零點.，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；因為，，所以由零點存在性定理及的單調(diào)性，在上必有一個零點，在上必有一個零點，綜上所述，有兩個零點，即滿足的有兩個.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用的是反證法，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)零點問題.4．(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）求出可求切線方程；（2）（i）當(dāng)時，曲線和有公共點即為在上有零點，求導(dǎo)后分類討論結(jié)合零點存在定理可求.（ii）曲線和有公共點即，利用點到直線的距離得到，利用導(dǎo)數(shù)可證，從而可得不等式成立.【詳解】（1），故，而，曲線在點處的切線方程為即.（2）（i）當(dāng)時，因為曲線和有公共點，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點，而，若，則恒成立，此時在上無零點，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無零點，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點，且時，；時，；故時，；時，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因為在上有零點，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因為曲線和有公共點，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點與直線上的動點之間的距離，故，所以，下證：對任意，總有，證明：當(dāng)時，有，故成立.當(dāng)時，即證，設(shè)，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當(dāng)時，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下零點問題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理來處理，而多變量的不等式的成立問題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來證明目標(biāo)不等式.5．(1)(2)【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當(dāng)時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.6．(1)(2)證明見的解析【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性及最值，即可得解；（2）利用分析法，轉(zhuǎn)化要證明條件為，再利用導(dǎo)數(shù)即可得證.【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域為，則令f'(x)=0,當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,f(x)一個零點小于1,一個零點大于1，不妨設(shè)要證,即證因為,即證又因為,故只需證即證即證下面證明時，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個解又因為有兩個零點，故兩邊取對數(shù)得：，即又因為，故，即下證因為不妨設(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是極值點偏移問題，關(guān)鍵點是通過分析法，構(gòu)造函數(shù)證明不等式這個函數(shù)經(jīng)常出現(xiàn)，需要掌握7．(1)(2)【分析】（1）先算出切點,再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對分類討論,對分兩部分研究【詳解】（1）的定義域為當(dāng)時,,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點,不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點,不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點又沒有零點,即在上有唯一零點(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點,上無零點即在上有唯一零點所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為【點睛】方法點睛：本題的關(guān)鍵是對的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.8．(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當(dāng)時，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．考點突破考點突破【考點一】零點問題一、單選題1．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）若函數(shù)有且僅有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·山東濟(jì)南·一模）函數(shù)（且）的零點個數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023·河南洛陽·一模）已知函數(shù)的圖象上存在點，函數(shù)的圖象上存在點，且，關(guān)于軸對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題4．（2024·湖北·一模）已知函數(shù)存在兩個極值點，且，．設(shè)的零點個數(shù)為，方程的實根個數(shù)為，則（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．一定能被3整除 D．的取值集合為5．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（

）A．在上單調(diào)遞增 B．在上單調(diào)遞增C．在上有唯一零點 D．在上有最小值為6．（2024·山西臨汾·一模）已知函數(shù)在上可導(dǎo)且，其導(dǎo)函數(shù)滿足：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)有且僅有兩個零點B．函數(shù)有且僅有三個零點C．當(dāng)時，不等式恒成立D．在上的值域為三、填空題7．（2024·福建龍巖·三模）已知函數(shù)有且只有一個零點，則ab的取值范圍為.8．（2024·陜西西安·一模）若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為.9．（2024·山東濟(jì)寧·一模）已知函數(shù)（且）恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題10．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.(2)若在只有一個零點，求.11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，討論曲線與曲線的交點個數(shù)．12．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有2個不同的零點（），求證：.參考答案：題號123456答案ABAABBDAC1．A【分析】利用函數(shù)與方程的思想將函數(shù)有兩個零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，求導(dǎo)并畫出函數(shù)的圖象求得切線方程，再由數(shù)形結(jié)合即可求得的取值范圍.【詳解】由可得，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點；設(shè)，則，令，解得；令，解得；所以在0,1上單調(diào)遞增，在1,+∞上單調(diào)遞減；令，解得，可求得的圖象在處的切線方程為；令，解得，可求得的圖象在處的切線方程為；函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示：切線與在軸上的截距分別為,當(dāng)時，與函數(shù)的圖象有一個交點，故實數(shù)的取值范圍為.故選：A2．B【分析】由可得，令，，可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論.【詳解】由可得，即，因為且，則，令，令，則，，令，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，由零點存在定理可知，存在，使得，且當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，函數(shù)的零點個數(shù)為，即函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：B.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.3．A【詳解】因為函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，根據(jù)已知得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有交點，即方程在上有解，即在上有解．令，，則，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，由于，，且，所以．故選：A．4．AB【分析】分和兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象分析，的零點分布，進(jìn)而可得結(jié)果,【詳解】由題意可知為二次函數(shù)，且為f'x的零點，由得或，當(dāng)時，令f'x>0，解得或；令f'x<0可知：在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則為極大值點，為極小值點，若，則，因為，即，兩者相矛盾，故，則有2個根，有1個根，可知，若，可知，；若，可知，；若，可知，；故A正確；

當(dāng)時，令f'x>0，解得；令f'x<0，解得可知：在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則為極大值點，為極小值點，若，則，因為，即，兩者相矛盾，故，若，即，可知，，；若，即，可知，，；若，即，可知，，；此時，故B正確；

綜上所述：的取值集合為，的取值集合為，故CD錯誤；故選：AB.【點睛】方法點睛：對于函數(shù)零點的個數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進(jìn)而求解．5．BD【分析】求導(dǎo)，由單調(diào)性分析極值與零點逐一判斷即可.【詳解】，令，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；在上取極小值為，，，在上有兩個零點，，所以，AC錯，BD對，故選：BD．6．AC【分析】對A：構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意，求得，令，即可求解后判斷；對B：對求導(dǎo)分析其單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理，即可判斷；對C：對的取值分類討論，在不同情況下研究函數(shù)單調(diào)性和最值，即可判斷；對D：根據(jù)B中所求函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)值域.【詳解】令，則，故（為常數(shù)），又，故可得，故，.對A：令，即，解的或，故hx有兩個零點，A對B：，則，令，可得，故在和單調(diào)遞增；令，可得，故在單調(diào)遞減；又，，又，故存在，使得；又，故存在，使得；又當(dāng)時，，故不存在，使得；綜上所述，有兩個根，也即有個零點，故B錯誤；對C：，即，，當(dāng)時，，上式等價于，令，故可得，故在上單調(diào)遞增，，滿足題意；當(dāng)時，，也滿足；綜上所述，當(dāng)x∈0,2時，恒成立，故C正確；對D：由B可知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，，故在1,2上的值域為，D錯誤.故選：AC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點、不等式恒成立和值域問題；其中解決問題的關(guān)鍵是能夠構(gòu)造函數(shù)，準(zhǔn)確求出的解析式，屬綜合困難題.7．【分析】由題意可得只有一個解，從而可得，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求解即可．【詳解】依題意得與只有一個交點，即兩曲線相切，則只有一個解，，化簡得，將其代入得，，即，.，則，設(shè)，則，在單調(diào)遞減，，的取值范圍是.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：由指對運算可得，進(jìn)而可得，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求解即可.8．【分析】函數(shù)不等式恒成立問題與隱零點問題.構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)后再次構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，找到隱零點，并得到，然后再分析的單調(diào)性，找到最大值，最后再結(jié)合對數(shù)的運算求出函數(shù)的最大值即可.【詳解】不等式移項可得，設(shè)，則，設(shè)，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，所以，使得，①所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，最大值為，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；，代入①可得，所以，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：.【點睛】方法點睛：（1）證明帶參數(shù)的不等式恒成立問題時可采用分離參數(shù)法，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的最值情況，如一次構(gòu)造不容易看出單調(diào)性可二次構(gòu)造再求導(dǎo)；（2）對于隱零點問題，可求導(dǎo)后分析特殊值找到隱零點的大概區(qū)間，再以隱零點為邊界分析函數(shù)的單調(diào)性.9．【分析】原式轉(zhuǎn)化為判斷的交點問題，分和兩種情況討論結(jié)合指對函數(shù)對稱性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)而得解.【詳解】令得，即，令，當(dāng)時，即時，若兩函數(shù)有且僅有一交點，由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)特征可判斷此交點必定落在這條直線上，且該點為兩函數(shù)的公切點，設(shè)切點為，則，則有，即，解得，由得，，所以，解得，即，，即，；當(dāng)時，即時，由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)特征可判斷與要有公切點，此切點必定落在這條直線上，設(shè)切點為，，則有，即，解得，由得，所以，解得，即，，即，；由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)特征可知：當(dāng)時，與有3個交點；當(dāng)時，與有1個交點；故時，即時，時，與有一交點.

故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：當(dāng)指對函數(shù)底數(shù)在0,1時，圖象難以表示出來，對于后續(xù)處理難度較大，題干信息相對較少，解題時能挖掘出指對函數(shù)的對稱性，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定斜率值是解題關(guān)鍵，重點考查了分類討論思想，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合解決零點問題，值得深入研究！10．(1)極小值，無極大值；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合幾何意義求出，再分析單調(diào)性求出極值.（2）由函數(shù)零點的意義，等價變形得在只有一解，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象只有一個交點求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得，，依題意，，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.（2）函數(shù)在只有一個零點，等價于在只有一個零點，設(shè)，則函數(shù)在只有一個零點，當(dāng)且僅當(dāng)在只有一解，即在只有一解，于是曲線與直線只有一個公共點，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在取得極小值同時也是最小值，當(dāng)時，；當(dāng)時，，畫山大致的圖象，如圖，在只有一個零點時，，所以在只有一個零點吋，.11．(1)；(2)2．【分析】（1）求導(dǎo)，即可根據(jù)點斜式求解方程，（2）求導(dǎo)，分類討論求解函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最值求解.【詳解】（1）依題意，，故，而，故所求切線方程為，即．（2）令，故，令，，令，．①當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，即在上為減函數(shù)，又，在上有唯一的零點，設(shè)為，即．在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．又，在上有且只有一個零點，在上無零點；②當(dāng)時，單調(diào)遞減，又，在內(nèi)恰有一零點；③當(dāng)時，為增函數(shù)，，單調(diào)遞增，又，所以存在唯一，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增，，在內(nèi)無零點．綜上所述，曲線與曲線的交點個數(shù)為2．【點睛】方法點睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運用，求某點處的切線方程較為簡單，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性時，如果求導(dǎo)后的正負(fù)不容易辨別，往往可以將導(dǎo)函數(shù)的一部分抽離出來，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而可判斷原函數(shù)的單調(diào)性.在證明不等式時，常采用兩種思路：求直接求最值和等價轉(zhuǎn)化.無論是那種方式，都要敢于構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造有效的函數(shù)往往是解題的關(guān)鍵.12．(1)(2)證明見解析【分析】（1）求解函數(shù)定義域，參變分離得到，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到；（2）轉(zhuǎn)化為有2個不同的實數(shù)根，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，且，求出，換元后即證，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到在上單調(diào)遞增，，得到證明.【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域為，所以成立，等價于成立.令，則，令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又因為，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值也是最大值.因此，即實數(shù)的取值范圍為.（2）有2個不同的零點等價于有2個不同的實數(shù)根.令，則，當(dāng)時，解得.所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.又因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，.且時，.所以，且.因為是方程的2個不同實數(shù)根，即.將兩式相除得，令，則，，變形得，.又因為，，因此要證，只需證.因為，所以只需證，即證.因為，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時，成立，命題得證.【點睛】極值點偏移問題中，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進(jìn)行變形，可構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)再進(jìn)行求解.規(guī)律方法：(1)求解函數(shù)零點(方程根)個數(shù)問題的步驟①將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線y＝k)在該區(qū)間上的交點問題．②利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性、極值(最值)、端點值等性質(zhì)．③結(jié)合圖象求解．(2)已知零點求參數(shù)的取值范圍①結(jié)合圖象與單調(diào)性，分析函數(shù)的極值點．②依據(jù)零點確定極值的范圍．③對于參數(shù)選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論．專題精練專題精練一、單選題1．（23-24高三上·湖北荊門·階段練習(xí)）的零點的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（23-24高三上·全國·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2023·四川成都·一模）已知函數(shù)有三個零點、、且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2024·廣西·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)若函數(shù)有5個不同的零點，則的取值范圍是（

）A． B． C．1,4 D．1,+∞6．（23-24高三下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開學(xué)考試）若函數(shù)存在零點，則的最小值為（

）A． B． C． D．7．（2024·北京房山·一模）若函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．1或2 D．1或38．（2023·四川內(nèi)江·一模）已知函數(shù)有兩個零點，則的最小整數(shù)值為（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題9．（23-24高二下·湖南岳陽·開學(xué)考試）關(guān)于函數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．若過點可以作曲線的兩條切線，則B．若在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍為C．若在上恒成立，則D．若函數(shù)有且只有一個零點，則實數(shù)的范圍為10．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”且“拐點”就是三次函數(shù)圖象的對稱中心.已知函數(shù)圖象的對稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為6C．函數(shù)有三個零點 D．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為111．（22-23高二下·重慶·期中）小明熱愛數(shù)學(xué)，《九章算術(shù)》《幾何原本》《數(shù)學(xué)家的眼光》《奧賽經(jīng)典》《高等數(shù)學(xué)》都是他的案頭讀物．一日，正翻閱《高等數(shù)學(xué)》，一條關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)映入他的眼簾：函數(shù)在區(qū)間有定義，且對，，，若恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間上“嚴(yán)格下凸”；若恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間上“嚴(yán)格上凸”．現(xiàn)已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，下列說法正確的是（

）注：為自然對數(shù)的底數(shù)，，．A．有最小值，且最小值為整數(shù)B．存在常數(shù)，使得在“嚴(yán)格下凸”，在“嚴(yán)格上凸”C．恰有兩個極值點D．恰有三個零點三、填空題12．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）若過點僅可作曲線的兩條切線，則的取值范圍是.13．（23-24高三上·河南焦作·期末）若函數(shù)在上沒有零點，則實數(shù)的取值范圍為．14．（23-24高三上·天津南開·階段練習(xí)），若有且只有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題15．（2024·廣東·二模）已知.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)函數(shù)的圖象上是否存在兩點（其中），使得直線與函數(shù)的圖象在處的切線平行？若存在，請求出直線；若不存在，請說明理由.16．（2023·北京西城·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求在處切線方程；(2)求的極大值與極小值；(3)證明：存在實數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點.17．（2024·河南鄭州·三模）已知函數(shù).(1)若，求在1,f1處的切線方程；(2)討論的零點個數(shù).18．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)若函數(shù)在上僅有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.19．（2024·北京房山·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)設(shè)，求函數(shù)的極大值；(3)若，求函數(shù)的零點個數(shù)．參考答案：題號12345678910答案DBDCCBACABCAB題號11答案ACD1．D【分析】先把零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點個數(shù)，再構(gòu)造函數(shù),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求解單調(diào)性及極值最后應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】由得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞減，在0,2上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，且，及時，的圖像如圖，得到有3個解.

故選：D.2．B【分析】由可得，令，則直線與函數(shù)hx在上的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)hx的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在上有兩個極值點，所以f'x在因為，令，即，可得．令，則，令h'x>0，得，令h'所以，函數(shù)hx在12,1因為，，，如下圖所示：當(dāng)時，直線與函數(shù)hx在上的圖象有兩個交點，設(shè)兩個交點的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，當(dāng)或時，，此時，，當(dāng)時，，此時，，所以，函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，此時，函數(shù)有兩個極值點，合乎題意.因此，實數(shù)的取值范圍為.故選：B.3．D【分析】令，將原函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的根，令，轉(zhuǎn)化為，再令，得到使時的根的個數(shù)，再分類討論的范圍與根的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)與方程性質(zhì)及零點的關(guān)系即可得.【詳解】令，得，整理得，令，原方程化為，設(shè)，則，令，解得，且，當(dāng)時，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則單調(diào)遞減，則在時，有最大值為，則當(dāng)時，有一個解，當(dāng)時，有兩個解，當(dāng)時，有一個解，當(dāng)時，無解，因為原方程為，由題可知有三個零點，因此方程有兩個不等實根、，設(shè)，則有，，若，則，故舍去，若，則，，有，即有，，代入得，矛盾，故舍去，若則，，，設(shè)，則，得到，所以.故選：D.4．C【分析】將函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)圖像交點，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得出，根據(jù)圖像即可解決問題.【詳解】因為，令，即，則，所以函數(shù)在上有兩個不同的零點等價于曲線和在上有兩個不同的交點，設(shè)，，則，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，當(dāng)時，gx<0，且時，，其圖像如圖所示，

故的取值范圍為.故選：C.5．C【分析】求得，得到函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為和共有5個不相等實數(shù)根，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】當(dāng)時，，此時，則時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增，所以，當(dāng)是的極小值點，作出如圖所示的函數(shù)的圖象，函數(shù)有5個不同的零點，則方程，即有5個不相等實數(shù)根，也即是和共有5個不相等實數(shù)根，其中有唯一實數(shù)根，只需有4個且均不為-2的不相等實數(shù)根，由圖可知，即實數(shù)的取值范圍為1,4.故選：C.6．B【分析】函數(shù)存在零點，轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)有解，設(shè)函數(shù)，則有解，得到在內(nèi)有解，問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可求函數(shù)的最小值.【詳解】由得，設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增，∴，∴，，，即．所以存在零點等價于方程有解，令，則，當(dāng)時，h'x<0；當(dāng)時，h所以hx在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以．故選：B【點睛】方法點睛：函數(shù)有零點，轉(zhuǎn)化為方程在上有解，設(shè)函數(shù)，則方程就轉(zhuǎn)化為有解，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為.再設(shè)，問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性可解決問題.7．A【分析】令，則，則函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)hx的單調(diào)區(qū)間，作出其大致圖象，結(jié)合圖象即可得解.【詳解】，令，則，則函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)圖象交點的個數(shù)，令，當(dāng)時，，則，所以函數(shù)hx在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)x∈0,1時，，當(dāng)時，，則，所以函數(shù)hx在上單調(diào)遞增，且，又當(dāng)時，當(dāng)時，，作出函數(shù)hx由圖可知函數(shù)的圖象有且僅有一個交點，所以函數(shù)零點的個數(shù)為個.故選：A.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)y=gx的圖象的交點問題.8．C【分析】對求導(dǎo)，得到，再對進(jìn)行分類討論，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合零點存在性原理即可求出結(jié)果.【詳解】因，則，當(dāng)，，由，得到，只有一個零點，不合題意，當(dāng)時，因為恒成立，所以時，，時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，，取且，則，又由，得到，所以，此時存在2個零點，當(dāng)時，由，得到或，若，即，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，所以不存在2個零點，若，即，當(dāng)時，，當(dāng)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，所以不存在2個零點，綜上可得，實數(shù)，故選：C.【點睛】方法點晴：解決函數(shù)零點問題的常用思路，①函數(shù)零點函數(shù)圖像與軸交點的橫坐標(biāo)對應(yīng)方程的根；②零點存在性原理；③用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在性原理解決.9．ABC【分析】根據(jù)題意可知點在下方及軸上方，從而可對A判斷；設(shè)出切點，求出切線方程，再結(jié)合題意中的幾何條件，從而可對B判斷；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分別可求出的單調(diào)性及最值情況，畫出相應(yīng)圖象，從而可對C、D判斷求解.【詳解】對A：由題意知可知當(dāng)點在曲線的下方和軸上方才可以作出兩條切線，所以，故A正確.對B：由在上恒成立，等價于在上橫在上方，設(shè)的切點坐標(biāo)為，其切線方程為，對應(yīng)的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點，將代入解得，其切線斜率，所以實數(shù)的取值范圍為，故B正確.對C：若在上恒成立，則在時恒成立，即，，設(shè)，，則，當(dāng)時，，當(dāng)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，當(dāng)x=2時，取到極大值也是最大值為，所以，故C正確.對D：由C知，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，當(dāng)x=0時，取到極小值，當(dāng)x=2時，取到極大值，而x>0時，恒成立，故可畫出函數(shù)的圖象如下：要求函數(shù)的零點，即求與圖象的交點個數(shù)，所以可知或時，有且只有一個零點，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】方法點睛：（1）導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理；（2）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；（3）證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.10．AB【分析】根據(jù)函數(shù)對稱中心的定義求出，的值，可判斷A的真假；用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，求出極值，可判斷B的真假；結(jié)合函數(shù)極值的符號，判斷函數(shù)零點的個數(shù)，判斷C的真假；求函數(shù)在區(qū)間端點處的函數(shù)值，與極值點的函數(shù)值比較，得到函數(shù)的最小值，判斷D的真假.【詳解】由題意，點0,3在函數(shù)的圖象上，故；又.由，即.故A正確；所以，所以.由或.所以在和1,+∞上單調(diào)遞增，在-1,1上單調(diào)遞減，所以的極大值為；極小值為，所以極大值與極小值之和為：，故B正確；因為函數(shù)的極小值，所以三次函數(shù)只有一個零點，故C錯誤；又，，所以函數(shù)在上的最小值為，故D錯.故選：AB11．ACD【分析】對于A，求導(dǎo)后將看成一個整體，利用進(jìn)行放縮即可；對于B,將“嚴(yán)格上凸”和“嚴(yán)格下凸”轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，二次求導(dǎo)后即可判斷；對于C，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理，即可判斷；對于D，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點零點存在定理，即可判斷；【詳解】，，設(shè)，易得：，所以，當(dāng)時，等號成立，故A對;，，，若恒有，等價于切線一直在割線下方，即單調(diào)遞增.即函數(shù)在區(qū)間上“嚴(yán)格下凸”；，，，若恒有，等價于切線一直在割線上方，即單調(diào)遞減.即函數(shù)在區(qū)間上“嚴(yán)格上凸”.設(shè)，，易得在為增函數(shù).，，所以存在常數(shù)，，使得在上，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減,在“嚴(yán)格上凸”；在上，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增,在“嚴(yán)格下凸”.故B錯誤；由B知，在上單調(diào)遞減,在上，單調(diào)遞增，，，所以恰有兩個極值點，故C正確；由C知，恰有兩個極值點，設(shè)為，，且，所以在和單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，，所以函數(shù)在各有一個零點，故D正確.故選：ACD12．【分析】設(shè)切點為：Px0,y0，根據(jù)切線過點，得到，令，再根據(jù)過點僅可作曲線的兩條切線，由與y=gx的圖象有兩個交點求解.【詳解】設(shè)切點為：Px，所以切線方程為，又因為切線過點，所以，即，令，則，令，得或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，則，且；當(dāng)時，則，所以的圖象如圖所示：因為過點僅可作曲線的兩條切線，所以與y=gx的圖象有兩個交點，則或.故答案為：.13．【分析】由可得出，令，，分析可知，直線與曲線y=gx沒有交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，令，顯然，則，令，，則，令，得，，列表如下：0,1增極大值減減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為0,1、，減區(qū)間為、，且極大值為，極小值為．當(dāng)時，，當(dāng)時（從左邊趨于），；當(dāng)時（從右邊趨于），，當(dāng)時（從右邊趨于），.由圖象可知，當(dāng)時，直線與曲線y=gx沒有交點，即在0,+∞上沒有零點．因此，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)y=gx的圖象的交點問題14．【分析】當(dāng)時，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，根據(jù)平移和翻折得到函數(shù)圖象，變換得到，根據(jù)函數(shù)圖象得到或，解得答案.【詳解】當(dāng)時，，，當(dāng)時，f'x>0，函數(shù)當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，且，當(dāng)時，，其圖象可以由的圖象向左平移一個單位，再向下平移個單位，再把軸上方的圖象翻折到軸下方得到，畫出函數(shù)圖象，如圖所示：，當(dāng)時，，無零點；當(dāng)時，，即，函數(shù)有兩個零點，即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，根據(jù)圖象知：或，解得或.故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中畫出函數(shù)圖象，將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題是解題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合的思想需要熟練掌握.15．(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)不存在，理由見解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出直線的斜率，再求出，從而得到的等式，再進(jìn)行換元和求導(dǎo)，即可解出答案.【詳解】（1）由題可得因為，所以，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.綜上，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由題意得，斜率，,由得，，即，即令，不妨設(shè)，則，記所以，所以在上是增函數(shù)，所以，所以方程無解，則滿足條件的兩點不存在.16．(1)(2)見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可得解；（2）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論得函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)極值即可；（3）根據(jù)（2）判斷函數(shù)大致變化趨勢，由函數(shù)零點個數(shù)即函數(shù)圖象與x軸交點個數(shù)可證明.【詳解】（1）當(dāng)時，，，所以，又，所以切線方程為，即.（2），當(dāng)時，，解得，故時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，故時，的極小值為，無極大值；當(dāng)時，令，解得，，故當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故的極大值為，極小值為；當(dāng)時，令，解得，，故當(dāng)或時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，故的極大值為，極小值為；綜上，當(dāng)時