全國統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題4平面向量

PAGE平面向量考點一、平面向量及其線性運算1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)一般用有向線段來表示向量零向量長度為0的向量記作，其方向是任意的單位向量長度等于1個單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量的相反向量為2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則（1）交換律：a+（2）結(jié)合律：(減法若b+x=a，則向量x叫做三角形法則a數(shù)乘實數(shù)λ與向量a相乘，叫做向量的數(shù)乘（1）|λa（2）當(dāng)λ>0時，λa的方向與a當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時，λ(μa(λ+μ)aλ(3．共線向量定理向量與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使得．二、平面向量基本定理和平面向量的坐標(biāo)表示1．平面向量基本定理如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線的非零向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使．其中，不共線的非零向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運算向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)，，則，，，．3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)，，其中b≠0．．三、平面向量的數(shù)量積1．定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos記作a?規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．2．投影：|a|cos<a3．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運算：設(shè)向量，，則（1）a（2）a（3）四、平面向量的相關(guān)結(jié)論1．“三點”共線的充要條件：O為平面上一點，則A，B，P三點共線的充要條件是2．三角形中線向量公式：若P為ΔOAB的邊AB的中點，則．進階練習(xí)：一、選擇題．1．如圖所示的△ABC中，點D是線段AC上靠近A的三等分點，點E是線段AB的中點，則DE=A． B．C． D．【答案】B【解析】依題意，，故選B．【點評】本題主要考了向量的線性運算，屬于基礎(chǔ)題．2．如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3，點P為△BCD內(nèi)（含邊界）的動點，設(shè)OP=αOC+βA． B．C．D．【答案】D【解析】以O(shè)為原點，OD，OC為因為四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3，所以D(3，0)，，B(1，1)，OD所以O(shè)P=α設(shè)P(x，y)，則，所以，所以，即求的最大值，因為點P為△BCD所以由圖可知，平移直線到經(jīng)過點B(1，1)時，取得最大值，所以的最大值是，故選D．【點評】建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求解是解題關(guān)鍵．3．如圖，B是AC的中點，BE=2OB，P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點，且①當(dāng)x=0時，y∈②當(dāng)P是線段CE的中點時，，；③若x+y為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點P的軌跡是一條線段；④x?y的最大值為?1．A．1 B．2C．3D．4【答案】C【解析】當(dāng)x=0時，OP=yOB，則P在線段上，故1≤y≤3，故①錯當(dāng)P是線段CE的中點時，，故②對；x+y為定值1時，A，B，P三點共線，又P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點，故P的軌跡是線段，故③對；如圖，過P作，交OE于M，作，交AO的延長線于N，則：OP=又OP=xOA+yOB；由圖形看出，當(dāng)P與B重合時：OP=0此時x取最大值0，y取最小值1；所以x?y取最大值?1，故④正確，所以選項②③④正確，故選C．【點評】若OC=xOA+yOB，則二、填空題．4．已知a=2，a?b=?8，b=【答案】【解析】設(shè)向量a與b的夾角為θ，因為b=?3，又因為a=2，a?b=?8，所以又θ∈0，π，所以，即有所以向量a與b的夾角的正切值為，故答案為．【點評】本題考查了利用向量的數(shù)量積求夾角的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．5．已知單位向量，滿足：，則向量與向量的夾角θ=___________．【答案】【解析】因為單位向量，，，所以，即，θ∈0，π故答案為．【點評】本題考查了向量垂直的條件，以及向量夾角的計算，屬于基礎(chǔ)題．6．已知向量，若，且，則x+y的最大值為______．【答案】【解析】∵，且，∴與的夾角為，設(shè)，則，∵，∴，又，∴，化簡得x2+xy+y∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，∴，故答案為．【點評】本題考查了平面向量的混合運算，還涉及利用基本不等式解決最值問題，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．7．如圖，在直角梯形ABCD中，已知，∠DAB=90°，AB=2，AD=CD=1，對角線AC交BD于點O，點M在AB上，且滿足【答案】【解析】如圖以A為坐標(biāo)原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，B(2，0)，C(1，1)，D(0，因為△AOB∽△COD，所以O(shè)是AC的一個三等分點，且，所以．設(shè)，則，因為OM⊥BD，所以，解得，則，所以，故答案為．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查向量的坐標(biāo)表示，考查計算能力．8．已知平面內(nèi)非零向量a，b，c，滿足a=2，b=3，a?b=3【答案】【解析】∵a=2，b=3，a又<a，b>∈[0，π]建立如圖所示直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，則A2，0，，設(shè)Cx，，則點C在以為圓心，1為半徑的圓上，c?a的取值范圍轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點2∵圓心到點2，0的距離為，c?a的取值范圍為，故答案為．【點評】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，向量的坐標(biāo)運算，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法以及圓上的點到定點距離的最大最小值，屬于中檔題．9．已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，a=c=5，且，G為△ABC