浙江省北斗星盟2023-2024學年高三下學期適應性聯(lián)考數(shù)學試卷

浙江省北斗星盟2023-2024學年高三下學期適應性聯(lián)考數(shù)學試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合A={x|log3(x+2)>1}，B={x|x(x?2)<0}A．? B．(0,1) C．(1,2．已知復數(shù)z滿足(z?1)(1?2i)=5i，則復數(shù)z在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量a=m,1，b=m,?1，若3aA．2 B．3 C．3 D．64．已知數(shù)列{an}滿足a1=2，則“{anA．充分條件但不是必要條件B．必要條件但不是充分條件C．充要條件D．既不是充分條件也不是必要條件5．在對某校高三學生體質健康狀況某個項目的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生80人，女生120人，其方差分別為15，10，由此估計樣本的方差不可能為（）A．11 B．13 C．15 D．176．若sin(α?β)+cos(α?β)=22A．tan(α?β)=?1 B．tan(α?β)=1C．tan(α+β)=?1 D．tan(α+β)=17．如圖，假定兩點P，Q以相同的初速度運動．點Q沿直線CD做勻速運動，CQ=x；點P沿線段AB（長度為107單位）運動，它在任何一點的速度值等于它尚未經(jīng)過的距離PB=y．令P與Q同時分別從A，C出發(fā)，定義x為y的納皮爾對數(shù)，用現(xiàn)代數(shù)學符號表示x與y的對應關系就是y=A．ln2 B．ln3 C．ln38．設雙曲線C：x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點為F，過坐標原點的直線與C交于AA．2 B．3 C．5 D．7二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．已知函數(shù)fxA．fx的最小正周期為T=π B．fx的圖象關于C．fx在?π2,0上單調遞減 10．已知A，B，C是一個隨機試驗中的三個事件，且0<P(A)<1，0<P(B)<1，下列說法正確的是（）A．若A與B互斥，則A與B不相互獨立B．若A與B相互獨立，則A與B不互斥C．若P(A|B)?P(B|A)=P(AB)，且P(AB)≠0，則A與B相互獨立D．若P(ABC)=P(A)?P(B)?P(C)，則A，B，C兩兩獨立11．已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點A．當λ=μ時，則C1P+PDB．過點P在平面ADD1AC．若C1P與AD所成的角為π4D．當λ=1，μ∈0,1時，正方體經(jīng)過點A、P、C1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．若(2x?1x)n展開式的二項式系數(shù)之和為128，則展開式中13．已知圓C1：x2+y2=2和圓C2：(x?3)2+(y?4)2=16，過圓C2上一動點P作圓C14．已知函數(shù)f(x)=(x?2)ex+lnx，g(x)=ax+b，對任意a∈(?∞,1]，存在x∈(0四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．在直角坐標平面內有線段A1A2，已知點A3是線段A1A2上靠近A2的三等分點，點A4是線段A2A3上靠近A3的三等分點，……，點A（1）求證：數(shù)列{a（2）若a1=1，a216．在四棱錐P?ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，AD=DC=12AB=2，PC=22，E、F分別為直線（1）若異面直線AD與PC所成的角為45°，判斷PB與AD是否具有垂直關系并說明理由；（2）若PB=PA=22，EF//PC，求直線AC與平面BEF17．將除顏色外完全相同的紅球2個、白球3個放入一盲盒（一種具有隨機屬性的玩具盒子），現(xiàn)從中不放回取球.（1）若每次取一個球，求：（ⅰ）前兩次均取到紅球的概率；（ⅱ）第2次取到紅球的概率；（2）若從中取出兩個球，已知其中一個球為紅球，求：（?。┝硪粋€也為紅球的概率；（ⅱ）若你現(xiàn)在可以選擇從剩下的球中隨機取一個球來替換另一個球，如果從提高取到紅球的可能性出發(fā)，你是選擇換還是不換？試說明理由.18．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1,0)，F(xiàn)1(?5,0)（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）已知過點T(3,?1)的直線l與曲線C交于兩點M，N，連接AM，（?。┯浿本€AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：（ⅱ）直線AM，AN與直線y=?12x分別交于B，C19．莫比烏斯函數(shù)，由德國數(shù)學家和天文學家莫比烏斯提出，數(shù)學家梅滕斯首先使用μ(n)作為莫比烏斯函數(shù)的記號，其在數(shù)論中有著廣泛應用.所有大于1的正整數(shù)n都可以被唯一表示為有限個質數(shù)的乘積形式：n=p1r1p2r2???pkrk（k為n的質因數(shù)個數(shù)，pi為質數(shù)，ri≥1，i=1,2,???,（1）求μ(68)，μ(985)；（2）已知n>1，記n=p1r1p2r2???pkrk（k為n（?。┳C明：|μ(a（ⅱ）求μ(a1)a1

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：由log3(x+2)>1，即x+2>3，解得x>1，則集合A={x|x>1}，

由x(x?2)<0，解得0<x<2所以?RB=(?∞,故答案為：D.【分析】先解對數(shù)不等式求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B，再根據(jù)補集、交集的定義計算即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：由(z?1)(1?2i)=5i，可得z?1=5i即z=?1+i，z=?1?i，則復數(shù)z在復平面內對應的點為(?1故答案為：C.【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡求得復數(shù)z=?1+i，再求共軛復數(shù)，結合復數(shù)的幾何意義判斷即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：易得3a?b=2m,4，因為3a?b與b垂直，所以故答案為：B.【分析】根據(jù)3a?b與b垂直，可得34．【答案】B【解析】【解答】解：若{an}為等比數(shù)列，則an=2qn?1，所以am?若am?an=am+n（?m，n∈所以2an=an+1，即a故“{an}為等比數(shù)列”是“am?故答案為：B.【分析】根據(jù)等比數(shù)列的定義、通項公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：設男生體質健康狀況的平均數(shù)為x，女生的平均數(shù)為y，總體的平均數(shù)為w，方差為s2則w=s=2故答案為：A.【分析】設男生體質健康狀況的平均數(shù)為x，女生的平均數(shù)為y，總體的平均數(shù)為w，方差為s26．【答案】C【解析】【解答】解：sin(α?β)+cos(α?β)=22則sinαcossinαcossinαcos兩邊同除cosαcosβ，可得則tan(α+β)=故答案為：C.【分析】由題意，利用正弦、余弦的兩角和差公式展開化簡，再兩邊同除cosαcos7．【答案】D【解析】【解答】解：由題意，P點初始速度107即為Q當P在靠近A點的三等分點時：23×10當P在中點時：12×10所以經(jīng)過的時間為：[10故答案為：D．【分析】易知，它們的初速度相等，故Q點的速度為107，然后可以根據(jù)y=107(1e)8．【答案】B【解析】【解答】解：設雙曲線C的右焦點為F1，連接AF1，B由雙曲線的對稱性可得：|AF|=|BF1|則四邊形AFBF1是平行四邊形，又因為∠AFB=120°，則設|AF|=x，由雙曲線的定義可得：|BF|=|AF在△AFB中，由余弦定理可得：|AB|2則(27a)2=x則|AF|=|BF1|=2a在△AFF1則(2c)2整理可得：c2=3a故答案為：B.【分析】設|AF|=x，結合已知條件以及雙曲線的定義求得|BF|，再利用余弦定理列方程，求得a,9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、fx+π=1sin(x+π)B、f2π-x=1C、設t=sinx+cosx，則sinx當x∈(?π2,0)時，x+因為g'所以函數(shù)gt在?1,1上單調遞減，又因為t=2sin所以函數(shù)fx在x∈(?D、當x∈(0,π2)時，x+當g't<0，解得x∈1,2當x+π4∈(π4當x+π4∈(π2由復合函數(shù)的單調性，可得函數(shù)fx在x∈(0,π4所以fx故答案為：BCD.【分析】由fx+π≠fx即可判斷A；由f2π-x=?f10．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、若A與B互斥，則A與B不能同時發(fā)生，即P(AB)=0，因為A∩B表示A與B都不發(fā)生，則A∩B的對立事件為A與而P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=P(A)+P(B)，所以P(A因為P(所以P(A∩B)≠P(AB、若A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)?P(B)，因為0<P(A)<1，0<P(B)<1，所以0<P(A)?P(B)<1，則P(AB)≠0，所以A與B不互斥，故B正確；C、若P(A|B)?P(B|A)=P(AB)，因為P(A|B)?P(B|A)=P(AB)因為P(AB)≠0，則有P(AB)=P(A)?P(B)，所以A與B相互獨立，故C正確；D、拋擲一枚質地均均的骰子，事件A表示出現(xiàn)點數(shù)為1,事件B表示出現(xiàn)點數(shù)1,5,6，事件事件ABC表示出現(xiàn)點數(shù)為1,P(ABC)=16，滿足P(ABC)=P(A)?P(B)?P(C)，事件AB表示出現(xiàn)點數(shù)為1,P(AB)=1但P(AB)=16≠P(A)?P(B)=36故答案為：ABC.【分析】由題意，根據(jù)互斥事件和相互獨立事件的概念逐項分析判斷即可.11．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、當λ=μ時，因為點P滿足AP=λAD+μAA1，所以AP=λAD+AA1=λ則線段DC1即為C1P+PD的最小值，在△DD解得C1D=2+2，則B、當P在D1時，過點P在平面ADD1C、以D為原點，分別以DA,DC,DD1為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則D(0,0,0),C1(0,1,1),A(1,0,0),B(1,1,0),P(x,0,z)若C1P與AD所成的角為π4，則cosD、當λ=1時，AP=AD+μAA1正方體經(jīng)過點A、P、C1的截面為平行四邊形AP以D為坐標原點，建立空間直角坐標系D?xyz，如圖所示：則A1,0,0，C10,1,1，APC1=0,1,1?μ，PC1=點P到直線AC1的距離為當μ=12時，dmin=2當μ=0或1時，dmax=63，所以正方體經(jīng)過點A、P、C1的截面面積的取值范圍為6故答案為：ACD．【分析】將平面AD1D展開到與D1ABC1同一平面，由兩點間線段最短得解即可判斷A；當P12．【答案】280【解析】【解答】解：由(2x?1x)n展開式的二項式系數(shù)之和為128，則則(2x?1x)令7?32r=1，解得：r=4，則展開式中x故答案為：280.

【分析】由二項式系數(shù)和為128，求得n，再寫出(2x?1x)13．【答案】x=?1（答案不唯一）【解析】【解答】解：易知圓C1的圓心C1(0,0)，半徑r1=設O到直線AB的距離為d，則AB=22?d2則S△AOB=12AB?d=d2?d2=?d當直線AB的斜率存在時，設AB：y=kx+m，則由題意可得1=|m|k化簡可得|3k+m?4|=|4m|，即3k?3m=4或3k+5m=4，代入①可解得k=?34m=所以滿足條件的切線方程為x=?1或y=?34x+故答案為：x=?1（答案不唯一）.【分析】由圓的弦長公式求出AB=22?d2，再利用三角形面積公式求出面積最大時的d=114．【答案】-4【解析】【解答】解：對任意a∈(?∞,1]，且x>0時，因為存在x∈(0,1)使得不等式f(x)≥g(x)成立，所以存在x∈(0,1)使得(x?2)e令F(x)=(x?2)ex+lnx?x令m(x)=ex?1x，x∈(0,1)，則m(x)所以?x0∈(12,1)所以當0<x<x0時F'(x)>0，當所以F(x)在(0,x0所以F(x)因為x0∈(12,依題意b≤F(x)max，又b為整數(shù)，所以b≤?4，所以b的最大值為?4.【分析】由題意存在x∈(0,1)使得(x?2)ex+lnx≥x+b，參變分離可得(x?2)ex+ln15．【答案】（1）證明：由題意an+2?a所以3an+2?3a所以數(shù)列{an+1?an（2）解：因為a1=1，a2因為數(shù)列{an+1?所以n≥2時，an由累加法可得n≥2時，a=41?所以，當n≥2時，an經(jīng)檢驗，a1=1滿足上式，所以【解析】【分析】（1）由題意，可得an+2?ana（2）根據(jù)題意，求得a2?a1=4，求得a16．【答案】（1）解：取AB的中點G，連接CG，PG，如圖所示：因為CG//AD，所以∠PCG（或其補角）為異面直線AD與PC所成的角，①當∠PCG=45°時，在△PCG中，PC=22，CG=2由余弦定理可知PG=2，故CGCG⊥PG，所以AD⊥PG，又AD⊥AB，AB∩PG=G，AB，PG?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，AD⊥PB.②當∠PCG=135°，假設AD⊥PB，則有AD⊥平面PAB，因為PG?平面PAB，所以AD⊥PG，CG⊥PG，這與∠PCG=135°相矛盾，故此時AD與PB不垂直.綜上所述，當∠PCG=45°時，AD⊥PB；當∠PCG=135°時，AD與PB不垂直.（2）解：由PB=PA=22，AB=4可得PG=2，故PG⊥AB，PG⊥GC故可以G為坐標原點，GB，GC，GP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系.故A(?2,0,0)，B(2,0,因為EF//PC，設平面BEF的法向量為n=(x,設E(t,2,0)，則BE令x=2，則y=z=2?t，故平面BEF的一個法向量為n=(2設直線AC與平面BEF所成的角為θ，則sin=|令t?4=s，則sin當s=0時，sinθ=0當s≠0時，sinθ=1（當且僅當s=?3，t=1時取“＝”）.又0°≤θ≤90°，所以θ≤60°.綜上所述，直線AC與平面BEF所成角的最大值為60°.【解析】【分析】（1）取AB的中點G，連接CG，PG，即可說明CG//AD，則∠PCG（或其補角）為異面直線AD與PC所成的角，分∠PCG=45°和∠PCG=135°兩種情況討論，利用線面垂直的判定定理證明即可；（2）以G為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求解即可.17．【答案】（1）解：（ⅰ）前兩次均取到紅球即為事件A1A2（ⅱ）P(=P(A（2）解：（?。┦录浩渲杏幸粋€球為紅球的“對立事件”為：兩個球均為白球，即為事件B1B2所以在一個球為紅球的前提下另一個球也為紅球的概率P=1（ⅱ）若不換：在取到的一個球為紅球的前提下取到的另一個球也為紅球的概率記為P1若換：換后取到紅球的概率記為P2由于P1【解析】【分析】（1）不放回取球可以用條件概率公式的變式公式