2024-2025學年新教材高考數(shù)學第二章直線和圓的方程5.2圓與圓的位置關(guān)系學案新人教A版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE6圓與圓的位置關(guān)系【學習目標】課程標準學科素養(yǎng)1.理解圓與圓的位置關(guān)系的種類.2.駕馭圓與圓的位置關(guān)系的代數(shù)推斷方法與幾何推斷方法，能夠利用上述方法推斷兩圓的位置關(guān)系.3.體會依據(jù)圓的對稱性敏捷處理問題的方法和它的優(yōu)越性.1、直觀想象2、數(shù)學運算3、邏輯推理【自主學習】1．圓與圓的位置關(guān)系兩圓相交有公共點兩圓相切和公共點兩圓相離和公共點2.圓與圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的推斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系(2)代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行推斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up17(消元))一元二次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交，,Δ＝0?內(nèi)切或外切，,Δ＜0?外離或內(nèi)含.))思索：將兩個相交的非同心圓的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1,2)相減，可得始終線方程，這條直線方程具有什么樣的特別性呢？【小試牛刀】1．思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若直線與圓有公共點，則直線與圓相交．()(2)若兩圓沒有公共點，則兩圓肯定外離．()(3)從兩圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.()(4)若兩圓有公共點，則|r1－r2|≤d≤r1＋r2.()2．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系為()A．相離B．相交C．外切D．內(nèi)切【經(jīng)典例題】題型一兩圓的位置關(guān)系推斷兩圓的位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的肯定值，半徑之和進行比較，進而推斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中主要運用的方法.(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，依據(jù)方程組解的個數(shù)進而推斷兩圓位置關(guān)系.例1已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．試求a為何值時，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．[跟蹤訓練]1已知圓C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圓C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，則這兩個圓的公切線的條數(shù)為()A.1或3B.4C.0 D.2題型二兩圓的公共弦問題1．求兩圓公共弦長的方法一是聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解．2．過兩圓的交點的圓的方程已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設(shè)為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．例2已知兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)推斷兩圓的位置關(guān)系；(2)求公共弦所在的直線方程；(3)求公共弦的長度.[跟蹤訓練]2圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直線被圓C3：(x－1)2＋(y－1)2＝eq\f(25,4)所截得的弦長為________.題型三兩圓相切處理兩圓相切問題的兩個步驟(1)定性，即必需精確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告知相切，則必需分兩圓內(nèi)切還是外切兩種狀況探討．(2)轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的肯定值(內(nèi)切時)或兩圓半徑之和(外切時)．例3【當堂達標】1.已知兩圓x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么這兩個圓的位置關(guān)系是()A.相離B.相交C.外切D.內(nèi)切2.若圓x2＋y2－2x＋F＝0和圓x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直線方程是x－y＋1＝0，則()A.E＝－4，F(xiàn)＝8 B.E＝4，F(xiàn)＝－8C.E＝－4，F(xiàn)＝－8 D.E＝4，F(xiàn)＝83．已知圓C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，則兩圓的公切線條數(shù)是________．4．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝10相交于A，B兩點，則直線AB的方程是________．5.若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為2eq\r(3)，則a＝________.6．已知點P在圓O：x2＋y2＝1上運動，點Q在圓C：(x－3)2＋y2＝1上運動，則|PQ|的最小值為________．7.已知圓C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圓C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，當m為何值時，分別滿意下列狀況：(1)圓C1與圓C2外切；(2)圓C1與圓C2內(nèi)含.8．已知以C(4，－3)為圓心的圓與圓O：x2＋y2＝1相切，求圓C的方程．【參考答案】【自主學習】外切內(nèi)切外離內(nèi)含兩個只有一個沒有d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0＜d＜|r1－r2|思索：兩圓相減得始終線方程，它經(jīng)過兩圓的公共點．經(jīng)過相交兩圓的公共交點的直線是兩圓的公共弦所在的直線．【小試牛刀】1.(1)×(2)×(3)×(4)√2.B[圓O1的圓心坐標為(1,0)，半徑長r1＝1；圓O2的圓心坐標為(0,2)，半徑長r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝eq\r(5)<r1＋r2＝3，即兩圓相交．]【經(jīng)典例題】例1[解]圓C1，C2的方程，經(jīng)配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C1(a,1)，C2(2a,1)，半徑r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝eq\r(a－2a2＋1－12)＝a.(1)當|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時，兩圓外切；當|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時，兩圓內(nèi)切．(2)當3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5時，兩圓相交．(3)當|C1C2|＞5，即a＞5時，兩圓外離．(4)當|C1C2|＜3，即a＜3時，兩圓內(nèi)含.[跟蹤訓練]1D解析對兩個圓的方程配方得圓C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1及圓C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝eq\f(1,4)，則圓心距d＝|C1C2|＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，1－eq\f(1,2)<eq\r(2)<1＋eq\f(1,2)，故兩個圓相交，則這兩個圓的公切線有2條.例2解(1)將兩圓方程配方化為標準方程，則C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，∴圓C1的圓心坐標為(1，－5)，半徑為r1＝5eq\r(2)，圓C2的圓心坐標為(－1，－1)，半徑為r2＝eq\r(10).∴|C1C2|＝2eq\r(5)，r1＋r2＝5eq\r(2)＋eq\r(10)，|r1－r2|＝|5eq\r(2)－eq\r(10)|，∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴兩圓相交.(2)將兩圓方程相減，得公共弦所在的直線方程為x－2y＋4＝0.(3)方法一由(2)知圓C1的圓心(1，－5)到直線x－2y＋4＝0的距離為d＝eq\f(|1－2×－5＋4|,\r(1＋－22))＝3eq\r(5)，∴公共弦長為l＝2eq\r(r\o\al(2,1)－d2)＝2eq\r(50－45)＝2eq\r(5).方法二設(shè)兩圓相交于點A，B，則A，B兩點滿意方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))∴|AB|＝eq\r(－4－02＋0－22)＝2eq\r(5).即公共弦長為2eq\r(5).[跟蹤訓練]2eq\r(23)解析由題意將兩圓的方程相減，可得圓C1和圓C2公共弦所在的直線l的方程為x＋y－1＝0.又圓C3的圓心坐標為(1,1)，其到直線l的距離為d＝eq\f(|1＋1－1|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(2),2)，設(shè)圓C3的半徑為r，由條件知，r2－d2＝eq\f(25,4)－eq\f(1,2)＝eq\f(23,4)，所以弦長為2×eq\f(\r(23),2)＝eq\r(23).例3[解]設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝16，由圓與直線y＝0相切、半徑為4，則圓心C的坐標為C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的圓心A的坐標為(2,1)，半徑為3.由兩圓相切，則|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.①當圓心為C1(a,4)時，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(無解)，故可得a＝2±2eq\r(10),故所求圓的方程為(x－2－2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16.②當圓心為C2(a，－4)時，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(無解)，解得a＝2±2eq\r(6).故所求圓的方程為(x－2－2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16.綜上所述，所求圓的方程為(x－2－2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2－2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16.[跟蹤訓練]3[解]已知圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，則圓心為C(1,0)，半徑為1.設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．由題意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a－12＋b2)＝r＋1，,\f(b＋\r(3),a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－4\r(3)，,r＝6，))即所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.【當堂達標】1.C2.C解析eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋F＝0，①,x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0，②))①－②可得4x＋Ey－F－4＝0，即x＋eq\f(E,4)y－eq\f(F＋4,4)＝0，由兩圓的公共弦所在的直線方程為x－y＋1＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(E,4)＝－1，,－\f(F＋4,4)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(E＝－4，,F＝－8.))3.3[C1(1,2)，r1＝2；C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此兩圓外切．所以公切線有3條．]4.x＋3y－5＝0[由兩圓方程消去二次項得10－2x＋1－6y＋9＝10，即x＋3y－5＝0.]5.1解析將兩圓的方程相減，得相交弦所在的直線方程為y＝eq\f(1,a)，圓心(0,0)到直線的距離為d＝eq\f(1,a)＝eq\r(22－\r(3)2)＝1，所以a＝16.1[O(0,0)，C(3,0)，兩圓半徑均為1，∵|OC|＝eq\r(32＋02)＝3，∴|PQ|的最小值為3－1－1＝1.]7.解易得圓C1：(x－m)2＋(y＋2