求圓錐曲線的離心率 教學(xué)設(shè)計(jì)

求圓錐曲線的離心率第4頁(yè)（共4頁(yè)）求圓錐曲線的離心率【教學(xué)分析】教材分析：橢圓與雙曲線的離心率是2019年8月出版的新人教A版選擇性必修第一冊(cè)第三章的內(nèi)容，是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容，在學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)前，學(xué)生已經(jīng)了解橢圓與雙曲線的概念、方程、基本性質(zhì),因此本節(jié)課重點(diǎn)在于這些知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用。其中求解橢圓、雙曲線的離心率是重點(diǎn)內(nèi)容。靈活運(yùn)用求解橢圓、雙曲線離心率的幾種常用方法是本節(jié)的難點(diǎn)。學(xué)情分析：本節(jié)是圓錐曲線與方程這一章的一個(gè)小專題，在之前學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓與雙曲線這兩個(gè)內(nèi)容，其中的第二節(jié)圓錐曲線的性質(zhì)為學(xué)習(xí)本節(jié)課打下了一定的理論基礎(chǔ)，因此理論上學(xué)生應(yīng)該不難理解本節(jié)課。本節(jié)課采用先從基礎(chǔ)知識(shí)切入再根據(jù)實(shí)際問題探索解決問題的方法的教學(xué)方法，要讓學(xué)生通過自己的思考總結(jié)求圓錐曲線離心率的方法，這樣既能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又能提升學(xué)生的思維能力和學(xué)習(xí)能力?？臻g思維能力對(duì)本節(jié)學(xué)習(xí)至關(guān)重要，為方便對(duì)問題的分析，針對(duì)離心率的專題我專門自制了課件，通過對(duì)以往知識(shí)的復(fù)習(xí)和具體問題的應(yīng)用總結(jié)常用的求離心率的方法，本節(jié)重難點(diǎn)還在于在分析時(shí)要能將實(shí)際的問題與以前的知識(shí)相聯(lián)系。要使學(xué)生能夠掌握求離心率的方法，因此針對(duì)這一問題我做了一定的鞏固訓(xùn)練?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.能理解橢圓與雙曲線離心率的概念和相關(guān)性質(zhì)，借助題目條件進(jìn)行求值應(yīng)用；2.通過問題的層層引入，總結(jié)出求離心率的方法；3.通過分析一般情況下求離心率的方法，形成認(rèn)識(shí)事物規(guī)律要抓住一般性的科學(xué)方法；【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：構(gòu)建齊次方程求解橢圓、雙曲線的離心率的值。難點(diǎn)：掌握和靈活運(yùn)用求離心率的方法?！窘虒W(xué)過程】師：首先，我們一起通過表格來回憶一下橢圓(或雙曲線)的離心率的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。橢圓雙曲線離心率的關(guān)系式離心率的取值范圍越大，圖像特征越扁張口越大師：事實(shí)上，離心率是圓錐曲線的重要幾何性質(zhì)，在解決圓錐曲線問題中有著重要作用。縱觀近幾年高考試題，離心率在選擇填空題中考查居多，一類是求橢圓(或雙曲線)的離心率的值，另一類是求橢圓(或雙曲線)離心率的取值范圍，難度一般為中等或中等偏下。本節(jié)課主要通過對(duì)典型例題的分析，來探索有關(guān)求離心率及取值范圍的策略與方法。探究一：求圓錐曲線離心率的值例1．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為（3，0），則該雙曲線的離心率等于（C）A、B、C、D、解：由題可知，故，所以，小結(jié)：對(duì)于這種簡(jiǎn)單的題可直接根據(jù)圓錐曲線的方程求出的值，代入離心率公式即可求解。練習(xí)1．橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，則或。問：該橢圓中的分別為多少？解：①當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，所以，所以；②當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，所以，所以。師:由此可見，在圓錐曲線的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸的時(shí)候，要注意“先定位，再定量”。不過，對(duì)于的求解有時(shí)也沒有那么簡(jiǎn)單，那這個(gè)時(shí)候我們應(yīng)該怎么去做呢，請(qǐng)大家先思考一下下面的題目。練習(xí)2．如圖是橢圓：與雙曲線的公共焦點(diǎn)，A、B分別是與在第二、四象限的公共點(diǎn)，若四邊形為矩形,則的離心率是（）A．eq\r(,2) B．eq\r(,3) C．eq\f(3,2)D．eq\f(eq\r(,6),2)師1：該題雖然雙曲線未知，但是橢圓的條件全是已知的，且橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)和公共點(diǎn)。這樣我們可以在橢圓中求出和，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的定義求出。解：在橢圓里面在中滿足解得，則在雙曲線中，，方法小結(jié)1：已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或a，c易求時(shí)，可利用離心率公式直接求值。當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，還要注意“先定位、再定量”。師2：對(duì)于一些題目，無論從方程的呈現(xiàn)上看，還是圖形的數(shù)量關(guān)系上看，都是不能直接求出，那這個(gè)時(shí)候我們又該怎么去做呢？例2．已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于點(diǎn)，若是等腰直角三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（D）。分析：題目中出現(xiàn)了等腰直角三角形，這個(gè)是我們的突破口。直角說明了是通徑，等腰說明了。解：在中，且是通徑的一半，即，所以，轉(zhuǎn)化為左右同除以，化為解得練習(xí)3．從橢圓上一點(diǎn)向軸作垂線,垂足恰為左焦點(diǎn),是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓與軸正半軸的交點(diǎn),且(是坐標(biāo)原點(diǎn)),則該橢圓的離心率是（C） B． C．D．分析：是解這道題的突破口，由可得解：根據(jù)題意可知，由AB∥OP可得，即，整理得，則有，即化為，解得．探究二：求圓錐曲線離心率的取值范圍例3．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則離心率的取值范圍為（C）。A．B．C．D．分析：由知點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓，根據(jù)點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，可得，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)就能夠推導(dǎo)出橢圓離心率的取值范圍。解：，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，又點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，該圓內(nèi)含于橢圓，即，，，．

師：一般地，時(shí)點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，即橢圓與圓沒有公共點(diǎn)；時(shí)點(diǎn)有4個(gè)在橢圓上，即橢圓與圓有4個(gè)公共點(diǎn)；時(shí)有2個(gè)在橢圓上，就是橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)。練習(xí)4．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，若為其上的一點(diǎn)，且，則雙曲線離心率的取值范圍為________。解：由雙曲線的定義知，，因?yàn)椋?，在中，，所以，，得，又所以，雙曲線離心率的取值范圍為課堂小結(jié)：（學(xué)生總結(jié)，教師引導(dǎo)）師：回顧本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)，求圓錐曲線有哪些題型和方法：1、求圓錐曲線離心率的值①公式法：根據(jù)方程或條件直接求出的值，當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，先定位、再定量；②方程法：構(gòu)建關(guān)于的齊次等式，關(guān)注圓錐曲線的定義及性質(zhì)；2、求圓錐曲線離心率的取值范圍構(gòu)建關(guān)于的齊次不等式，充分尋找題目中的限制條件。課后練習(xí)：1．已知橢圓的焦距是2，則離心率e的值是（

）A． B．或 C．或 D．或2．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦距為4.若P為橢圓C上一點(diǎn)，且△PF1F2的周長(zhǎng)為10，則橢圓C的離心率e為（

）A． B． C． D．3．已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，右焦點(diǎn)為F，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．4．已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，以為直徑的圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓離心率的范圍為（

）．A． B． C． D．5．已知點(diǎn)F是雙曲線（）的左焦點(diǎn)，點(diǎn)E是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（

）A． B．C． D．參考答案：1．B【分析】對(duì)焦點(diǎn)所在位置進(jìn)行分類討論，利用、進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)闄E圓的焦距是2，所以，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上，，所以，當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在軸上，，所以，故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.2．C【分析】根據(jù)橢圓的定義與焦距的性質(zhì)即可求解.【詳解】依題意知，焦距：，由橢圓的定義得△PF1F2的周長(zhǎng)為：，解得：，所以離心率.故選：C.3．B【分析】表示出各點(diǎn)坐標(biāo)，由可得，得出的等式，變形后可求離心率．【詳解】由題意，則，，∴，即，可得，∴或（舍去）．故選：B．4．A【分析】根據(jù)圓的直徑及圓與橢圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可得，據(jù)此可求出橢圓的離心率.【詳解】因?yàn)橐詾橹睆降膱A與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，所以，即，，，所以，即，又因?yàn)?，所以橢圓離心率的取值范圍為．故選：A．5．B【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性結(jié)合題意可得為等腰三角形，由此可得，進(jìn)而得到關(guān)于的齊次式，即可求解離心率.【詳解】由題意可知即為等腰三角形，

故是銳角三角形，只需，將代入可得，故在中，，，則，化簡(jiǎn)整理，得，∴，∴，又，∴，故選：B.備用資料：1．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為（3，0），則該雙曲線的離心率等于（C）