《圓錐曲線中的弦長問題》教學(xué)設(shè)計

《圓錐曲線中的弦長問題》教學(xué)設(shè)計【教學(xué)內(nèi)容】熟練掌握、應(yīng)用弦長公式解決圓錐曲線問題一般步驟【教學(xué)目標】1.掌握圓錐曲線中的弦長公式，并能夠熟練使用弦長公式求解弦長，培養(yǎng)和提高數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)；2.結(jié)合例題，通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨立思考和邏輯分析能力，提高解決問題的能力.【教學(xué)重難點】教學(xué)重點：掌握橢圓，雙曲線，拋物線的弦長公式的應(yīng)用，并能夠熟練使用弦長公式求解弦長.教學(xué)難點：通過數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法，培養(yǎng)獨立思考和邏輯分析能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).【復(fù)習(xí)引入】弦長公式：設(shè)Ax1，AB（1）若A、

B在直線AB=（2）若A、

B在直線AB=1+t2【例題講解】一、直接求弦長【例1】已知雙曲線C：x22-y2=1.過點P3，0，傾斜角為π4的直線解：由題意可得直線l的方程為：y=x-3．設(shè)Ax1整理可得：x2由韋達定理可得：x所以弦長AB=1+1備注：這里可以直接解得A，B兩點的坐標：解得x將x1=2，x2故A2所以弦長AB=2-10【例2】已知拋物線C：y2=3x，斜率為32的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P．若AP=3解：設(shè)直線l：y=32x由AP=3PB，可得聯(lián)立y=32x+m，y2=3x，整理得y2-2y+2m=0，可知：Δ>0，

由韋達定理可知代入拋物線C方程得，x1=3，x2=13，即二、已知弦長求參數(shù)【例3】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22，且經(jīng)過點(1)求橢圓C的標準方程；(2)當(dāng)|AB|=3，求此時直線解：（1）∵e=ca=22∴x22b2+y2所以橢圓方程為x2（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，即直線l的方程x=0，此時|AB|=2b=22∴直線AB的斜率存在，不妨設(shè)直線l的方程為y=kx+1，設(shè)Ax聯(lián)立方程組可得y=kx+1，x2+2y其判別式Δ=8+32∴由韋達定理有x1+∴AB

=1+整理可得4k4－4此時直線方程為y=22x+1三、求弦長的最值【例4】已知橢圓C：x2a2(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)過點Mm,0的直線l與圓x2+y2=1相切且與橢圓C交于解：（1）橢圓C的四個頂點構(gòu)成的四邊形的面積為12由題意可得a2=b2+所以，橢圓C的方程為x2（2）若直線l與x軸平行或重合，此時直線l與圓x2設(shè)直線l的方程為x=ty+m，由題意可得m1+t2設(shè)Ax1，y1，Bx2即t2Δ=則y1+y所以，AB

=1+令1+t2=n≥1，則t當(dāng)且僅當(dāng)n=3時等號成立，此時t=±2，故AB的最大值為2．【課堂小結(jié)】有關(guān)弦長的問題的解題步驟解題步驟：設(shè)直線、設(shè)點，聯(lián)立，消元，韋達，代入弦長公式，化簡．第1步：設(shè)直線、設(shè)點，注意討論直線斜率的存在性第2步：聯(lián)立方程組y=kx+m，fx,y=0，消去y第3步：由判別式和韋達定理列出條件二次項系數(shù)不為零第4步：把所要解決的問題轉(zhuǎn)化為x1+x2，【答疑】思考1：在例4的解答過程中，我們設(shè)了直線為x=ty+m，為什么要這么設(shè)直線？什么情況下用y=kx+n，什么情況用x=ty+m能排除掉斜率不存在的情況，考慮用y能排除掉斜率為0的情況，考慮用x=ty+m；如果都要討論，考慮直線的形式：如果直線在y軸上的截距確定，考慮用y=kx+n如果直線在x軸上的截距確定，考慮用x=ty思考2：在求解含參弦長問題的時候，最難的一部分是什么？最容易出錯的地方在哪里？例3（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，即直線l的方程x=0，此時AB=2b=2∴直線AB的斜率存在，不妨設(shè)直線l的方程為y=kx+1，設(shè)Ax聯(lián)立方程組可得y=kx+1x2+2y2韋達定理代入，字母運算，計算量大，有沒有更好的做法？其判別式Δ韋達定理代入，字母運算，計算量大，有沒有更好的做法？∴由韋達定理x∴AB

=1+整理可得4k4－4此時直線方程為y=22x+1知識補充：直線與圓錐曲線相交的弦長公式：

（1）若A、

B聯(lián)立方程組y=kx+n，fx,y=0，消去AB=（2）若A、

B聯(lián)立方程組x=ty+m，fx,y=0，消去AB=利用以上的補充，例3、例4第二問弦長公式可以避開繁瑣的計算：例3（2）AB=1+k2例4．(2)小結(jié)：設(shè)直