河北省保定市定州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題 含解析

高二年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛管把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題（共8題，每題5分）1.直線(xiàn)的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】由題的斜率,故傾斜角的正切值為-1,又,故故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線(xiàn)斜率為直線(xiàn)傾斜角的正切值,屬于基礎(chǔ)題型.2.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征，得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，解得.故選：C.3.在四面體中，記，，，若點(diǎn)M、N分別為棱OA、BC的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由題意得：，故選：B.4.若直線(xiàn)與以，為端點(diǎn)的線(xiàn)段有公共點(diǎn)（含端點(diǎn)），則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出過(guò)定點(diǎn)，畫(huà)出圖形，求出，，數(shù)形結(jié)合得到或，即或.【詳解】經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，斜率為，畫(huà)出圖形，如下：其中，，直線(xiàn)與以，為端點(diǎn)的線(xiàn)段有公共點(diǎn)（含端點(diǎn)），則或，即或.故選：C5.已知直線(xiàn)的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則與的位置關(guān)系是（）A. B.C.與相交但不垂直 D.或【答案】D【解析】【分析】利用直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積結(jié)果即可判斷得解.【詳解】因?yàn)?，，所以，則，又是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，是平面的一個(gè)法向量，所以或.故選：D.6.若直線(xiàn)與圓相切，且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3，則這樣的直線(xiàn)的條數(shù)為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，分類(lèi)討論直線(xiàn)的斜率不存在與存在兩種情況，利用直線(xiàn)與圓相切的性質(zhì)與點(diǎn)線(xiàn)距離公式得到關(guān)于的方程組，進(jìn)而分析得其解的個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為1，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相切，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，則直線(xiàn)的方程為或，當(dāng)直線(xiàn)的方程為時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)的方程為時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，即，則有，即，即，解得或，當(dāng)時(shí)，有，解得或；當(dāng)時(shí)，有，整理得，此時(shí)，即方程有兩個(gè)解，且不為或；綜上，的取值有四種情況，對(duì)應(yīng)的也有四種取值，所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)一共有四條.故選：A.7.已知圓過(guò)點(diǎn)，，設(shè)圓心，則的最小值為（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意由半徑相等，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式得到，再利用基本不等式即可得解.【詳解】根據(jù)題意，得，又，，，所以，化簡(jiǎn)得，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2.故選：B.8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別，，是橢圓上一點(diǎn)，直線(xiàn)與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，從而得到所需線(xiàn)段關(guān)于的表示，再利用勾股定理與余弦定理依次求得關(guān)于的表示，進(jìn)而得解.【詳解】因?yàn)?，不妨設(shè)，則，由橢圓的定義與對(duì)稱(chēng)性可得，，，因?yàn)椋裕瑒t，解得，則，故，則在中，由，得，解得，所以橢圓的離心率為.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題（共3題，每題6分）9.已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的焦距為6 B.的周長(zhǎng)為10C.橢圓的離心率為 D.面積的最大值為【答案】BD【解析】【分析】利用橢圓方程得到，利用橢圓的定義與性質(zhì)，逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)闄E圓，所以，所以橢圓的焦距為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由橢圓的定義可知，所以的周長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于C，橢圓的離心率為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)為橢圓的短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到軸的距離最大，此時(shí)面積取得最大值，為，故D正確.故選：BD.10.在三棱錐中，△為邊長(zhǎng)為的正三角形，，，設(shè)二面角的大小為，，為的重心，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則與所成的角為 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】取中點(diǎn)，過(guò)作且，連接，則平面.取，，為基底向量，則根據(jù)題意知，.對(duì)于項(xiàng)，根據(jù)，得，用基底向量表示，再求模長(zhǎng)即可；對(duì)于項(xiàng)，根據(jù)模長(zhǎng)公式建立等式，可得，再用向量的數(shù)量積公式求夾角即可；對(duì)于項(xiàng)，若，則，分別用基底向量表示，，并求模長(zhǎng)，再利用向量法求異面直線(xiàn)的夾角即可；對(duì)于項(xiàng)，若，則，根據(jù)已知條件可證平面，從而平面，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形重心公式求得的坐標(biāo)，再求模長(zhǎng)即可.【詳解】如圖，取中點(diǎn)，過(guò)作且，連接，則平面.因?yàn)椤鳛檎切?，所以，，因?yàn)?，所以，所以，所以二面角的平面角為，則.以，，為基底向量，則，.對(duì)于項(xiàng)，若，即，所以.因?yàn)椋裕收_；對(duì)于項(xiàng)，由知，所以，所以，所以，解得，所以，故正確；對(duì)于項(xiàng)，若，即，所以.由知，又，所以,，，設(shè)與所成角為，則，所以與所成的角不是，故錯(cuò)誤；對(duì)于項(xiàng)，若，即，所以，又，，平面，所以平面，又，所以平面，則三線(xiàn)兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系.則，，，，則根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式得，所以，所以，故正確.故選：.11.已知曲線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)C.曲線(xiàn)圍成的封閉圖形的面積不大于D.曲線(xiàn)圍成的封閉圖形的面積隨的增大而增大【答案】ABD【解析】【分析】利用曲線(xiàn)的方程得到關(guān)于的不等式可判斷A；利用點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)判斷得曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，從而判斷B；分析曲線(xiàn)與曲線(xiàn)上的兩個(gè)橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的縱坐標(biāo)大小關(guān)系，從而得到曲線(xiàn)圍成的封閉圖形的面積情況，從而判斷CD.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榍€(xiàn)，所以，解得，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榍€(xiàn)，可化為，設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，則其關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為，將代入曲線(xiàn)方程，得，所以曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于CD，因?yàn)椋?，則，設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上任一點(diǎn)，則，點(diǎn)是曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，則，則，，故，易知當(dāng)時(shí)，在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以（當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立），故，又在上單調(diào)遞增，所以，故當(dāng)增大時(shí)，橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值會(huì)大于或等于原來(lái)的，又曲線(xiàn)圍成的圖形為封閉圖形，所以該圖形會(huì)比原來(lái)的大，即曲線(xiàn)圍成的封閉圖形的面積隨的增大而增大，故D正確，又當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)為，即其圖形是半徑為的圓，此時(shí)其面積為，則曲線(xiàn)圍成的封閉圖形的面積不小于，故C錯(cuò)誤.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題CD選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于，分析得兩曲線(xiàn)與上的點(diǎn)的情況，從而得到其圍成的封閉圖形的面積情況，由此得解.三、填空題（共3題，每題5分）12.若圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的值為_(kāi)_______.【答案】2【解析】【分析】由題意可得圓心在直線(xiàn)上，從而列式得解.【詳解】圓的圓心為圓心，半徑為2，圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則圓心在直線(xiàn)上，所以，解得.故答案為：2.13.已知點(diǎn)，，C1,1,0，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是______.【答案】##【解析】【分析】利用空間向量中點(diǎn)到線(xiàn)的距離公式，結(jié)合向量數(shù)量積與模的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，C1,1,0，所以，，則，，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是.故答案為：.14.過(guò)橢圓上一點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為，，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_(kāi)_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線(xiàn)長(zhǎng)定理、結(jié)合四邊形及三角形面積轉(zhuǎn)化為求最大值問(wèn)題.【詳解】圓的圓心，半徑，由切圓于點(diǎn)知，，則，因此最大，當(dāng)且僅當(dāng)最大，設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.故答案為：四、解答題（共5題，共77分）15.已知直線(xiàn)，圓.（1）求與直線(xiàn)平行且與圓相切直線(xiàn)方程；（2）設(shè)直線(xiàn)，且與圓相交于，兩點(diǎn)，若，求直線(xiàn)的方程.【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)題意假設(shè)所求直線(xiàn)方程，利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求得，從而得解；（2）根據(jù)題意假設(shè)直線(xiàn)的方程，利用圓的弦長(zhǎng)公式求得圓心到直線(xiàn)的距離，進(jìn)而利用點(diǎn)線(xiàn)距離公式列式即可得解.【小問(wèn)1詳解】依題意，設(shè)所求直線(xiàn)方程為，因?yàn)樗笾本€(xiàn)與圓相切，且圓心為，半徑為，，解得或，所求直線(xiàn)方程為或；【小問(wèn)2詳解】依題意，設(shè)直線(xiàn)的方程為，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓相交于A，B兩點(diǎn)，，圓心到直線(xiàn)的距離為，，解得或，直線(xiàn)的方程為或.16.設(shè)橢圓，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且與軸垂直，直線(xiàn)與的另一個(gè)交點(diǎn)為.（1）若直線(xiàn)的傾斜角為，求橢圓的離心率；（2）若直線(xiàn)在軸上的截距為1，且，求，.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求出的坐標(biāo)，利用直線(xiàn)的的傾斜角，建立關(guān)于的齊次方程，解之即可得解；（2）根據(jù)題意，結(jié)合線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程，解之即可得解.【小問(wèn)1詳解】依題意，設(shè)橢圓的半焦距為，則，則由題意可知，點(diǎn)在第二象限，設(shè)，將代入，得，解得，則，因?yàn)橹本€(xiàn)的傾斜角為，所以，則，則，所以，即，則，即，解得或（舍去），所以橢圓的離心率為.【小問(wèn)2詳解】記直線(xiàn)與軸的交點(diǎn)為，易知，且，故，則，，因?yàn)?，所以，則，即是與的中點(diǎn)，所以，將代入橢圓方程，得，所以，解得，故，即，所以，.17.如圖，在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且．（1）證明：，，，四點(diǎn)共面．（2）設(shè)平面與棱的交點(diǎn)為，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用共面向量定理，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算推理得證.（2）結(jié)合（1）的信息，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及平面法向量，利用線(xiàn)面角的向量求法求解.【小問(wèn)1詳解】在正方體中，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，則，于是，即向量共面，又向量有公共點(diǎn)，所以，，，四點(diǎn)共面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，由點(diǎn)平面，得，即，則，解得，即，，而，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，令與平面所成的角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.18.球面距離在地理學(xué)、導(dǎo)航系統(tǒng)、信息技術(shù)等多個(gè)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用．球面距離的定義：球面上兩點(diǎn)之間的最短連線(xiàn)的長(zhǎng)度，即經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓（經(jīng)過(guò)球心的平面截球面所得的圓）在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度．這個(gè)弧長(zhǎng)就被稱(chēng)作兩點(diǎn)的球面距離．（1）在正四棱柱（底面為正方形的直棱柱）中，，，求頂點(diǎn)，在該正四棱柱外接球上的球面距離．（2）如圖1，在直角梯形中，，，，．現(xiàn)將沿邊折起到，如圖2，使得點(diǎn)在底面的射影在上．①求點(diǎn)到底面的距離；②設(shè)棱錐的外接球?yàn)榍?，求，兩點(diǎn)在球上的球面距離．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】（1）；（2）①；②.【解析】【分析】（1）求出線(xiàn)段所對(duì)的正四棱柱外接球截面大圓的圓心角，再求出弧長(zhǎng).（2）①根據(jù)給定條件可得平面，再在直角三角形中求出；②利用球的截面性質(zhì)確定球心，求出球半徑，進(jìn)而求出球面距離.【小問(wèn)1詳解】正四棱柱的外接球直徑，球半徑，因此球心與點(diǎn)構(gòu)成正三角形，弦所對(duì)球過(guò)的大圓圓心角為，弧長(zhǎng)為，所以頂點(diǎn)，在該正四棱柱外接球上的球面距離為.【小問(wèn)2詳解】①在直角梯形中，，，，，，，則為正三角形，棱錐中，平面，而平面，則，又，平面，則平面，而平面，因此，，在中，，，，所以點(diǎn)到底面的距離為.②取中點(diǎn)，則為外接圓圓心，令正的外接圓圓心為，連接，則，平面，平面，于是，，在中，，因此棱錐的外接球半徑，有，球的弦所對(duì)大圓的圓心角為，，即是鈍角，而，則，在大圓中所對(duì)劣弧長(zhǎng)為，所以，兩點(diǎn)在球上的球面距離為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，設(shè)直線(xiàn)與交于點(diǎn)．（1）證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)始終在某個(gè)橢圓上運(yùn)動(dòng)，并求出橢圓的方程．（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與橢圓交于，不同的兩點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)F1,0作直線(xiàn)的平行線(xiàn)與橢圓交于，不同的兩點(diǎn)．①證明：為定值．②求面積的取值范圍．【答案】（1）（2）①證明見(jiàn)解析；②【解析】【分析】（1）求出直線(xiàn)與的方程，消去參數(shù)即可得到橢圓的方程；（2）①分別聯(lián)立方程與，借助韋達(dá)定理，表示出與，進(jìn)一步求解即可；②將轉(zhuǎn)化為，再借助韋達(dá)定理，可轉(zhuǎn)化為的函數(shù)，根據(jù)的范圍求函數(shù)值域即可.小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)，依題意可知，即，所以，即；同理可得.于是直線(xiàn)的斜率為，所以的直線(xiàn)方程為，直線(xiàn)的方程為，即，設(shè)直線(xiàn)與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由可得，整理可得，所以當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)