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廣西南寧市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期1月月考(期末)一、選擇題1.已知全集,集合則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先化簡集合,然后利用交集和補集的定義進行求解即可【詳解】由可得,解得,所以,因為,所以,.故選:C.2.設(shè)、、、,則復(fù)數(shù)為實數(shù)的充要條件是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法與復(fù)數(shù)的概念可得出結(jié)果.【詳解】因為、、、且為實數(shù),則.因此,復(fù)數(shù)為實數(shù)的充要條件是.故選:D.3.函數(shù)的定義域為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】由已知得,解得且,所以函數(shù)的定義域為.故選:B4.在一組樣本數(shù)據(jù)中,正整數(shù)a、b、c、d出現(xiàn)頻率分別為,且,且,則下面四種情形中,對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】通過計算方差(標準差)來確定正確答案.【詳解】樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù),依據(jù)選項可知且,所以,樣本數(shù)據(jù)的方差由于,,,所以,所以,所以,所以最大時,方差最大,也即標準差最大,所以B選項正確.故選:B5.已知平面對量,且,則()A. B.(0,0)C. D.(1,2)【答案】B【解析】【分析】依據(jù)求得,進而求得.【詳解】由于,所以,所以.故選:B6.已知圓及直線,則直線l與圓C的位置關(guān)系是()A.相交 B.相切 C.相離 D.不確定【答案】A【解析】【分析】求出動直線過的定點,再推斷定點與圓的位置關(guān)系作答.詳解】直線,即,由解得,于是得直線l恒過定點,而當時,,因此點在圓C內(nèi),所以直線l與圓C的位置關(guān)系是相交.故選:A7.已知函數(shù)的兩個相鄰的對稱中心的間距為,現(xiàn)的圖象向左平移個單位后得到一個奇函數(shù),則的一個可能取值為()A. B. C.0 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)給定條件,求出函數(shù)的周期,進而求出,再利用給定變換及奇函數(shù)求出作答.【詳解】由于函數(shù)的兩條相鄰的對稱軸的間距為,該函數(shù)的最小正周期為π,即有,則,將函數(shù)的圖象向左平移個單位后,得到函數(shù),而函數(shù)為奇函數(shù),則,當時,,D正確,不存在整數(shù)k使得選項A,B,C成立.故選:D8.下列命題正確的是A.若兩條直線和同一個平面所成的角相等,則這兩條直線平行B.若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行C.若一條直線平行于兩個相交平面,則這條直線與這兩個平面的交線平行D.若兩個平面都垂直于第三個平面,則這兩個平面平行【答案】C【解析】【詳解】若兩條直線和同一平面所成角相等,這兩條直線可能平行,也可能為異面直線,也可能相交,所以A錯;一個平面不在同一條直線的三點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行,故B錯;若兩個平面垂直同一個平面兩平面可以平行,也可以垂直;故D錯;故選項C正確.[點評]本題旨在考查立體幾何的線、面位置關(guān)系及線面的判定和性質(zhì),須要嫻熟駕馭課本基礎(chǔ)學(xué)問的定義、定理及公式.9.在中,,若不等式恒成立,則實數(shù)t的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)給定條件,切化弦,逆用和角的余弦公式求出,再利用均值不等式求出最小值,結(jié)合恒成立的不等式求解作答.【詳解】因為,則,即,在中,,因此,又,則,當且僅當,即時取等號,要使不等式恒成立,于是得,解得,所以實數(shù)t的取值范圍是.故選:A10.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646年-1716年)于1674年得到了第一個關(guān)于π的級數(shù)綻開式,該公式于明朝初年傳入我國.在我國科技水平業(yè)已落后的狀況下,我國數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家明安圖(1692年-1765年)為提高我國的數(shù)學(xué)探討水平,從乾隆初年(1736年)起先,歷時近30年,證明白包括這個公式在內(nèi)的三個公式,同時求得了綻開三角函數(shù)和反三角函數(shù)的6個新級數(shù)公式,著有《割圓密率捷法》一書,為我國用級數(shù)計算π開創(chuàng)了先河.如圖所示的程序框圖可以用萊布尼茲“關(guān)于π的級數(shù)綻開式”計算π的近似值(其中P表示π的近似值),若輸入,則輸出的結(jié)果是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,逐次循環(huán),找到計算的規(guī)律,即可求解.【詳解】由題意,執(zhí)行給定的程序框圖,輸入,可得:第1次循環(huán):;第2次循環(huán):;第3次循環(huán):;第10次循環(huán):,此時滿意判定條件,輸出結(jié)果,故選:B.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出,其中解答中仔細審題,逐次計算,得到程序框圖的計算功能是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的實力,屬于基礎(chǔ)題.11.圭表(如圖1)是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器,它包括一根直立的標竿(稱為“表”)和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺(稱為“圭”).當正午太陽照耀在表上時,日影便會投影在圭面上,圭面上日影長度最長的那一天定為冬至,日影長度最短的那一天定為夏至.圖2是一個依據(jù)北京的地理位置設(shè)計的圭表的示意圖,已知北京冬至正午太陽高度角(即∠ABC)為29.5°,夏至正午太陽高度角(即∠ADC)為76.5°,圭面上冬至線與夏至線之間的距離(即DB的長)為a,則表高(即AC的長)為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理結(jié)合條件即可求得正確答案.【詳解】由題可知,在△BAD中由正弦定理得:,即,又因為在中,,所以.故選:D12.已知雙曲線的左,右焦點分別是,,點P是雙曲線C右支上異于頂點的點,點H在直線上,且滿意.若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先推斷出是的角平分線,然后結(jié)合三角形的內(nèi)心、重心以及雙曲線的定義等學(xué)問求得雙曲線的離心率.【詳解】因為,所以PH是的角平分線,又因為點H在直線上,且在雙曲線中,點P是雙曲線C右支上異于頂點的點,設(shè)的內(nèi)切圓與軸的切點為,依據(jù)三角形內(nèi)切圓的學(xué)問可知,則是雙曲線的右頂點,所以的內(nèi)切圓圓心在直線,即點H是的內(nèi)心,如圖,作出,并分別延長HP、、至點,使得,可知H為的重心,設(shè),由重心性質(zhì)可得,即,又H為的內(nèi)心,所以,因為,則,所以雙曲線C的離心率.故選:C【點睛】求解雙曲線離心率有關(guān)的問題,解題有兩個方向,一個是求得,從而求得雙曲線的離心率;另一個是求得的關(guān)系式或的關(guān)系式,然后轉(zhuǎn)化成離心率.二、填空題13.在綻開式中,含的項的系數(shù)是___________.【答案】720【解析】【分析】依據(jù)乘法安排律以及組合數(shù)的計算求得正確答案.【詳解】依據(jù)乘法安排律可知,含的項的系數(shù)是:.故答案:14.是等差數(shù)列{}的前n項和,則n的值是___________.【答案】21【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前n項和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】解:因為數(shù)列{}是等差數(shù)列,且,所以,解得,故答案為:2115.已知拋物線的焦點為,過點作傾斜角為的直線交于,兩點,過,分別作的切線、,與交于點,,與軸的交點分別為,,則四邊形的面積為______________.【答案】4【解析】【分析】求得焦點的坐標,直線的方程,與拋物線的方程聯(lián)立,即可求出、兩點坐標;由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求得切線,的方程,求得交點的坐標,求得,的坐標,可得,再由三角形的面積公式,計算可得所求值.【詳解】解:拋物線的焦點為且直線的傾斜角為,則,所以直線方程為,即,設(shè),,不妨設(shè)在第一象限,聯(lián)立,消去得解得、,代入直線方程,則、,因為直線與拋物線相切于點,即,則,所以,同理可得,則可得直線方程為,即,則其與軸交點,令,則,所以,直線的方程為,即,則其與軸交點,令,則,所以,所以,聯(lián)立、的方程,解得,即點坐標為,.故答案為:.16.在長方體中,,,點在正方形內(nèi),平面,則三棱錐的外接球表面積為______.【答案】【解析】【分析】先由平面,得出點為正方形對角線的交點,再由正方體中是等腰直角三角形,設(shè)是中點,則是的外心,取是中點,則三棱錐的外接球的球心在直線上,計算出和后得在的延長線上,求得球半徑后可得表面積.【詳解】解:如圖所示:平面,連接,又為正方形,點為正方形對角線的交點,則是等腰直角三角形,是直角頂點,設(shè)是中點,則是的外心,取是中點,則,而平面,平面,三棱錐的外接球的球心在直線上,由已知可計算,,在的延長線上,設(shè),則由得,解得,,外接球表面積:.故答案為:.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查求球的表面積,關(guān)鍵是確定球心位置求得球半徑.利用三棱錐的性質(zhì)可得球心位置,三棱錐外接球心肯定在過各面外心且與該面垂直的直線上.三、解答題17.設(shè),有三個條件:①是2與的等差中項;②,;③.在這三個條件中任選一個,補充在下列問題的橫線上,再作答.(假如選擇多個條件分別作答,那么按第一個解答計分)若數(shù)列的前n項和為,且______.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若是以2為首項,4為公差的等差數(shù)列,求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)選條件①時,利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項公式;選條件②時,利用數(shù)列的遞推關(guān)系求出數(shù)列的通項公式;選條件③時,利用與的關(guān)系可求出答案;(2)首先可得,然后利用錯位相減法算出答案即可.【小問1詳解】選條件①時,由于是2與的等差中項;所以,①當時,解得;當時,②,①②得:,整理得,所以數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列;所以(首項符合通項),所以;選條件②時,由于,;所以:,①,當時,,②,①②得:,所以數(shù)列是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列;故(首項符合通項),所以;選條件③時,因為,所以當時,當時,因為時也滿意,所以【小問2詳解】若是以2為首項,4為公差的等差數(shù)列,所以,所以,故①,②,①②得:;整理得.18.如圖,四棱柱ABCD—的側(cè)棱⊥底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,E,F(xiàn)分別為,AA1的中點.(1)證明:B,E,D1,F(xiàn)四點共面;(2)若求直線AE與平面BED1F所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)通過證明來證明B,E,D1,F(xiàn)四點共面.(2)建立空間直角坐標系,利用向量法求得直線AE與平面BED1F所成角的正弦值.【小問1詳解】取的中點為G,連接AG,GE,由E,G分別為,的中點,∴EG∥DC∥AB,且,∴四邊形ABEG為平行四邊形,故.又F是的中點,即,∴,故B,F(xiàn),,E四點共面.【小問2詳解】連接AC、BD交于點O,取上底面的中心為,以O(shè)為原點,、、分別為x、y、z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,設(shè),則A(,0,0),B(0,1,0),,F(xiàn)(,0,1),∴設(shè)面的一個法向量為,則,即,取,設(shè)直線AE與平面BED1F所成角為θ,故,∴直線AE與平面BED1F所成角的正弦值為.19.2024年,是人類首次勝利從北坡登頂珠峰60周年,也是中國首次精確測定并公布珠峰高程的45周年.華為幫助中國移動開通珠峰峰頂5G,有助于測量信號的實時開通,為珠峰高程測量供應(yīng)通信保障,也驗證了超高海拔地區(qū)5G信號覆蓋的可能性,在持續(xù)高風(fēng)速下5G信號的穩(wěn)定性,在條件惡劣地區(qū)通過簡易設(shè)備傳輸視頻信號的可能性.正如任總在一次采訪中所說:“華為公司價值體系的志向是為人類服務(wù).”有人曾問,在珠峰開通5G的意義在哪里?“我認為它是科學(xué)技術(shù)的一次珠峰登頂,告知全世界,華為5G、中國5G的底氣來自哪里.現(xiàn)在,5G的到來給人們的生活帶來更加顛覆性的變革,某IT公司基于領(lǐng)先技術(shù)的支持,5G經(jīng)濟收入在短期內(nèi)逐月攀升,該IT公司在1月份至6月份的5G經(jīng)濟收入y(單位:百萬元)關(guān)于月份x的數(shù)據(jù)如下表所示,并依據(jù)數(shù)據(jù)繪制了如圖所示的散點圖.月份x123456收入y(百萬元)6.68.616.121.633.041.0(1)依據(jù)散點圖推斷,與(a,b,c,d均為常數(shù))哪一個更相宜作為5G經(jīng)濟收入y關(guān)于月份x的回來方程類型?(給出推斷即可,不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的結(jié)果及表中的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的回來方程,并預(yù)料該公司7月份的5G經(jīng)濟收入.(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)(3)從前6個月的收入中抽取2個,記收入超過20百萬元的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù):3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中,設(shè)(i=1,2,3,4,5,6).參考公式:對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(,)(i=1,2,3,…,n),其回來直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為,.【答案】(1)更相宜(2),65.35百萬元(3)分布列見解析,1【解析】【分析】(1)依據(jù)散點圖確定正確答案.(2)依據(jù)非線性回來的學(xué)問求得回來方程并求得預(yù)料值.(3)利用超幾何分布的學(xué)問求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】依據(jù)散點圖推斷,更相宜作為5G經(jīng)濟收入y關(guān)于月份x的回來方程類型;【小問2詳解】因為,所以兩邊同時取常用對數(shù),得,設(shè),所以,因為,所以所以.所以,即,所以.令,得,故預(yù)料該公司7月份的5G經(jīng)濟收入大約為65.35百萬元.【小問3詳解】前6個月的收入中,收入超過20百萬元的有3個,所以X的取值為0,1,2,所以X的分布列為:012P所以.20.已知橢圓C的焦點在x軸上,左右焦點分別為、,離心率,P為橢圓上隨意一點,的周長為6.(1)求橢圓C的標準方程:(2)過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于Q,R兩點,點Q關(guān)于x軸的對稱點為,過點Q1與R的直線交x軸于T點,試問的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值:若不存在,請說明理由【答案】(1)(2)存在,【解析】【分析】(1)依據(jù)已知條件列方程組,求得,從而求得橢圓的方程.(2)設(shè)直線的方程為并與橢圓的方程聯(lián)立,化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系,求得三角形的面積的表達式并利用基本不等式求得最大值.【小問1詳解】設(shè)橢圓的方程為,由題可知.,聯(lián)立,解得,故橢圓C的方程為.【小問2詳解】不妨設(shè)過點且斜率不為0的直線l方程為,設(shè),則,聯(lián)立,消x得,,即,由韋達定理有,直線1的方程為,令,得,將①②)代入上式得,則,又(當且僅當時取等)所以面積的最大值為【點睛】方法點睛:利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下:(1)設(shè)直線方程,設(shè)交點坐標為;(2)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程,得到關(guān)于(或)的一元二次方程,必要時計算;(3)列出韋達定理;(4)將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、(或、)的形式;(5)代入韋達定理求解.21.已知函數(shù)有兩個不同的零點x1,x2.(1)當時,求證:;(2)求實數(shù)a的取值范圍;【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】(1)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得,進而證得不等式成立.(2)結(jié)合導(dǎo)數(shù),先推斷,然后結(jié)合的最小值為負數(shù)以及零點存在性定理求得的取值范圍.【小問1詳解】令,則.當時,所以在上單調(diào)遞減.所以所以.【小問2詳解】,當時,,此時f(x)為增函數(shù),不合題意;當時,,得,(舍)所以當,,f(x)單調(diào)遞減;當,,f(x)單調(diào)遞增.假如f(x)有兩個不同的零點,必有,則,得,所以此時,又此時,故在()有一個零點:由(1)知,時,,令,解得,故當時,,故當時,,故在)上有一個零點,所以f(x)有兩個不同的零點時,a的取值范圍為【點睛】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的零點,首先要對參數(shù)進行分類探討,分類探討要做到不重不漏.然后利用導(dǎo)數(shù)進行探討時,轉(zhuǎn)化為極值、最值問進行求解,求解過程中要留意結(jié)合單調(diào)性以及零點存在性定理來進行推斷.選考題:共10分.請考生在第22、23題中選定一題作答,并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對應(yīng)的題號方框涂黑.按所涂題號進行評分,不涂、多涂均按所答第一題評分;多答按所答第一題評分.[選修4—4:坐標系與參數(shù)方程]22.如圖,在極坐標系中,曲線C1是以C1(4,0)為圓心的半圓,曲線C2是以為圓心的圓,曲線C1、C2都過極點O.(1)分別寫出半圓C1,C2的極坐標方程;(2)直線l:與曲線C1,C2分別交于M、N兩點(異于極點O),P
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