2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：奇偶性、對稱性與周期性（原卷版）

專題08奇偶性、對稱性與周期性（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】...............................................................12

【考點1】函數(shù)的奇偶性......................................................12

【考點2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用................................................16

【考點3】函數(shù)的對稱性......................................................22

【考點4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用................................................28

【分層檢測】...............................................................33

【基礎(chǔ)篇】.................................................................33

【能力篇】.................................................................40

【培優(yōu)篇】.................................................................42

考試要求：

1.理解函數(shù)奇偶性的含義.

2.了解函數(shù)的最小正周期的含義.

3.會利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、對稱性、周期性解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題.

知識梳理

1.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

一般地，設(shè)函數(shù)加0的定義域為/,如果Vx?/,

偶函數(shù)都有一X?/，且x)=/U),那么函數(shù)人x)就關(guān)于y軸對稱

叫做偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)加0的定義域為/,如果Vx?/,

奇函數(shù)都有一X?/，且外一■=-—X),那么函數(shù)兀0關(guān)于原點對稱

就叫做奇函數(shù)

2.函數(shù)的周期性

⑴周期函數(shù)：對于函數(shù)y=/(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，

都有<x+T)=/(x),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)五x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就

叫做兀t)的最小正周期.

|常用結(jié)論

1.函數(shù)周期性的常用結(jié)論

對/(X)定義域內(nèi)任一自變量的值X：

(1)若Hx+a)=一火%),則T=2a(a>0).

(2)若於+a)=]([),則T=2a(a>0).

(3)若危+a)=-1([),則T=2a(a>0).

2.對稱性的四個常用結(jié)論

(1)若函數(shù)y=/(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=/U)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

(2)若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點團，0)中心對稱.

(3)若函數(shù)y=/(x)滿足x)，則y=/(x)的圖象關(guān)于直線對稱；特別地，當(dāng)a

=人時，即_/(a+x)=/(a—x)或7(x)=/(2a—x)時，則y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

(4)若函數(shù)y=/(x)滿足式x)+7(2a—龍)=20,則y=/(x)的圖象關(guān)于點(a,切對稱.特別地，當(dāng)人=0

2

時，即五a+x)+*a—x)=O或火x)+y(2a—x)=0時，則y=/(x)的圖象關(guān)于點(。，0)對稱.

1.真題自測

一、單選題

1.(2023?全國?高考真題)已知/(無)=二匚是偶函數(shù)，則。=()

e^-l

A.-2B.-1C.1D.2

7_i

2.(2023?全國?高考真題)若/⑺=(%+a)ln^一r；為偶函數(shù)，貝巾=().

2x4-1

A.-1B.0C.；D.1

22

3.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+j)+/(x-y)=/(x)/(y),/(D=l,則士/伏)=

k=l

()

A.-3B.-2C.0D.1

4.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)/(%),g(尤)的定義域均為R,且/(%)+g(2-x)=5,g(x)-/(%-4)=7.若

22

y=g。)的圖像關(guān)于直線X=2對稱，g(2)=4,則￡/(左)=()

k=l

A.-21B.-22C.-23D.-24

5.(2021?全國?高考真題)已知函數(shù)〃尤)的定義域為R,/(x+2)為偶函數(shù)，〃2x+l)為奇函數(shù)，則()

A.=0B./(-1)=0C."2)=0D./(4)=0

6.(2021?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)〃尤)的定義域為R,/(%+1)為奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xe[l,2]時，

f^=ax2+b.若〃0)+〃3)=6,則d|j=()

9375

A.——B.——C.-D.—

4242

二、多選題

7.(2023?全國?高考真題)已知函數(shù)的定義域為R,=//(%)+x2/(y),則().

A./(0)=0B./(1)=0

C.是偶函數(shù)D.尤=0為的極小值點

8.(2022?全國?高考真題)已知函數(shù)Ax)及其導(dǎo)函數(shù)/(x)的定義域均為R,記g(x)=/'(無)，若

g(2+x)均為偶函數(shù)，則()

A./(0)=0B.g\￡|=0C./(-I)=/(4)D.g(T)=g⑵

3

三、填空題

9.（2023?全國?高考真題）若〃x）=（x-l）2+ax+sin［x+|^為偶函數(shù)，則。=

10.（2021?全國?高考真題）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)/（X）:.

①〃平2）=/（石）/（々）；②當(dāng)xe（0,+8）時，fix'）>0；③（無）是奇函數(shù).

11.（2021?全國?高考真題）已知函數(shù)〃同=/（。2-2一,）是偶函數(shù)，則。=.

考點突破

［考點1］函數(shù)的奇偶性

一、單選題

2—丫

1.（2024?重慶?三模）設(shè)函數(shù)則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）

A.九一2）+1B.f（x—2）+2

C./（X+2）+2D./（x+2）+l

2.（2024廣東佛山?一模）已知〃力=（%+1）（犬+。）（犬+?為奇函數(shù),則丁=〃%）在兀=0處的切線方程為（）

A.x+y=0B.x-y=0

C.3x+y=0D.3x-y=0

二、多選題

3.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（幻及其導(dǎo)函數(shù)/'（工）的定義域均為L記8（%）=/口），若/（1-。爪2+%）

均為奇函數(shù)，則下列說法中正確的是（）

A./（0）=0B.g（0）=0

C.g⑵=8⑷D./⑴=/（-2）

4.（2024?湖南邵陽?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃尤）的定義域為R,/（X+1）為奇函數(shù)，/（x+2）為偶函數(shù)，且對

任意的和馬41,2）,x產(chǎn)3，都有則（）

石-x2

A.〃x）是奇函數(shù)B.”2023）=0

C.的圖象關(guān)于（1,0）對稱D./（7t）>/（e）

三、填空題

5.（2024?河南三門峽?模擬預(yù)測）己知函數(shù)“力是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)無20時，/（力=-爐-3%+。-1,

則，（-〃）的值為.

4

6.(2024?廣東佛山?二模)已知定義在R上的偶函數(shù)，(力在［0,+")上單調(diào)遞減，且/。)=2,則滿足

+x)>4的實數(shù)彳的取值范圍為.

反思提升：

1.判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點對稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷火功與人一刈是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等

價等量關(guān)系式(/(x)+<-X)=0(奇函數(shù))或—/(—X)=0(偶函數(shù)))是否成立.

2.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)

間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

3.畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)

問題.

【考點2】函數(shù)的周期性及應(yīng)用

一、單選題

1.(2024.陜西渭南.模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)“力滿足〃x+3)=-〃x),g(x)=〃x)-1為奇函

數(shù)，則/(198)=()

A.-1B.0C.1D.2

2.(21-22高三上?四川攀枝花?階段練習(xí))定義在R上的函數(shù)Ax)滿足/(x-3)=/(x+l),且

則下列說法正確的是()

A./(X)的值域為［0,1］

B.7(%)圖象的對稱軸為直線》=必(后eZ)

C.當(dāng)xe(-3,-2)時，/(x)=2x+6

D.方程3〃x)=x恰有5個實數(shù)解

二、多選題

3.(2024,黑龍江大慶?模擬預(yù)測)已知函數(shù)“X),g(x)及其導(dǎo)函數(shù)尸(x),的定義域均為R,若

的圖象關(guān)于直線x=l對稱，〃x)+g(x+l)=x+l,/(x+l)=g(-x)+x,且g(2)=l,則()

A.7■(%)為偶函數(shù)B.g(x)的圖象關(guān)于點(3,3)對稱

99

C./(2。2)=1D.》1)=4950

1=1

4.(2024?廣西?二模)已知定義在R上的函數(shù)滿足―2+%)-"2-"=4%.若/(2x-3)的圖象關(guān)于點

5

(2,1)對稱,且〃0)=0,則()

A."%)的圖象關(guān)于點(U)對稱

B.函數(shù)g(x)=/(x)-2x的圖象關(guān)于直線x=2對稱

C.函數(shù)g(x)=/(x)-2x的周期為2

D./(1)+/(2)++"50)=2499

三、填空題

5.(2024?山東棗莊?一模)已知/(x+2)為偶函數(shù)，且/(尤+2)+f(x)=-6,則〃2027)=

6.(2024?寧夏銀川?一模)若定義在R上的函數(shù)滿足y=/(x+D是奇函數(shù)，f(4+x)=/(-%),〃2)=2,

則/(1)+/(2)+〃3)++/(30)=.

反思提升：

1.若人x+a)=—Hx)(a是常數(shù)，且。關(guān)0),則2a為函數(shù)人x)的一個周期.

2.利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點個數(shù)、求解析式等問題，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)

間上，進而解決問題.

【考點3】函數(shù)的對稱性

一、單選題

1.(2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?二模)已知定義在R上的函數(shù)“力滿足"2+x)-〃2—x)=4x.若〃2x—3)的

圖象關(guān)于點(2,1)對稱,且/(0)=0,則象⑴+〃2)+…+/(50)=()

A.0B.50C.2509D.2499

2.(22-23高三上?遼寧營口?期末)設(shè)函數(shù)的定義域為R,〃x+l)-3為奇函數(shù)，〃x+2)為偶函數(shù),

f(x)=ax2+b.若〃—l)+〃0)=l,則等］=()

當(dāng)了?1,2］時，

371152

A.——B.—C.—D.—

121263

二、多選題

3.(2020?山東淄博?一模)已知函數(shù)y=/(x)是R上的奇函數(shù)，對于任意xeR,都有/(x+4)=f(x)+/⑵

成立，當(dāng)xe［0,2)時，f(x)=2^-l,給出下列結(jié)論，其中正確的是()

A."2)=0

B.點(4,0)是函數(shù)＞=/(尤)的圖象的一個對稱中心

C.函數(shù)y=/(x)在上單調(diào)遞增

D.函數(shù)y=f(x)在［-6,61上有3個零點

6

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（%）=d+Qx2+bx+。下列結(jié)論中正確的是（）

A.若/'（5）=0,則X。是/⑴的極值點

B.加eR,使得〃x°)=0

C.若/是/（尤）的極小值點，則/W在區(qū)間（-。,/）上單調(diào)遞減

D.函數(shù)y=/（X）的圖象是中心對稱圖形

三、填空題

5.（23-24高三下?河南濮陽?開學(xué)考試）已知函數(shù)/（%）的定義域為R,且/（4%+1）的圖象關(guān)于點（0,2）中心

100

對稱，若/'（2+尤）一/■（2—x）+4x=0,則』

Z=1

6.（2024?寧夏固原?一模）已知定義在R上的函數(shù)/（“滿足對任意實數(shù)%都有〃尤+3）=〃1+2）〃X+1）,

〃力=〃2-力成立，若"2）=1,則伏）=

攵=1

反思提升：

對稱性的三個常用結(jié)論

（1）若函數(shù)八工）滿足汽a+x）=/（）一x）,則y=?x）的圖象關(guān)于直線》=卓"對稱.

a+b)..，

（2）若函數(shù)“x）滿足/（〃+%）=—/（/?—%）,則y=?x）的圖象關(guān)于點,0)對稱.

等,芻對稱.

（3）若函數(shù)“x）滿足/（〃+1）+/（/?—x）=c,則函數(shù)八工）的圖象關(guān)于點

【考點4】函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用

一、單選題

“冗-冗之,0<x<2]

1.（2024?遼寧撫順?一模）函數(shù)/（%）滿足:當(dāng)光>0時，〃力=<

2M+1X>2，y="x)+/是奇函數(shù)?記

3，X

1rnj

關(guān)于X的方程“X）-日+g=0（keR）的根為國,當(dāng),…，乙，若則左的值可以為（）

2z=i'

11175

A.—Bn.—C.一D.1

18124

2.（2024?安徽合肥?一模）已知函數(shù)〃x）的定義域為（0,+8）,且（x+y）/（尤+y）=砧A（x）y（y）,/（l）=e,

記。=出

力=〃2)c=〃3),則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

二、多選題

7

3.(2024?河南開封?三模)已知函數(shù)“X)的定義域為R,且〃尤+y)+〃尤-y)=f(尤)/(y),3。)=1,則

A./（0）=2B./（3-x）=/（3+x）

C.””是周期函數(shù)D.”力的解析式可能為〃x)=2sin?無

O

4.(2024?全國?模擬預(yù)測)已知〃0)=：,/(%+y)=/(x)/(l-y)+/(y)/(l-x),則()

A.=1B.=：恒成立

C."x+y)=2〃x)/(y)D.滿足條件的F(尤)不止一個

三、填空題

5.(2024?陜西西安二模)已知函數(shù)Ax)滿足/(x+y)=/(x)+/(y)+2盯，/g)=|.則/(100)=.

6.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知定義在[0,+8)上的函數(shù)"X)滿足f(x+3)=2/(x),且當(dāng)xe[0,3)時，

4

/(x)=^-2+—則方程/(%)=100的所有解的和為____.

x+1

反思提升：

1.比較函數(shù)值的大小問題，可以利用奇偶性，把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函

數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大??；

2.對于抽象函數(shù)不等式的求解，應(yīng)變形為火預(yù))次X2)的形式，再結(jié)合單調(diào)性，脫去T5,變成常規(guī)

不等式，轉(zhuǎn)化為X1<X2(或X1>X2)求解.

3.周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行轉(zhuǎn)換，將所求函數(shù)

值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.

4.函數(shù)火工)滿足的關(guān)系y(a+x)=/S—x)表明的是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)/(x)滿足的關(guān)系汽。+

x)=/^+x)(aW。)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個關(guān)系時不栗混淆.

分層檢測

【基礎(chǔ)篇】

一、單選題

Y2+3

1.(2023,福建福州?模擬預(yù)測)函數(shù)〃同=工^的圖象大致為()

8

2.（2023高三上?江蘇徐州?學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)/（%）為偶函數(shù)，且在（F,0］上單調(diào)遞增，〃T）=0,則不

等式〃2%+1）<0的解集為（）

A.(-oo,-l)B.(0,+a?)

C.(-1,0)D.(^x),-l)u(0,+oo)

3.（2024?廣東茂名?一模）函數(shù)y=/（尤）和y=2）均為R上的奇函數(shù)，若/（1）=2,則“2023）=（）

A.-2B.-1C.0D.2

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）函數(shù)"x）=log2024G/7W-x）+e，貝，（地。加）+“血,）=（）

A.2024B.2?C.eD.2e

二、多選題

5.（2021?江蘇連云港?模擬預(yù)測）函數(shù)/（尤）的定義域為R,且/（幻與/（X+1）都為奇函數(shù)，則（）

A./（尤-1）為奇函數(shù)B./（尤）為周期函數(shù)

C.7■（尤+3）為奇函數(shù)D./（尤+2）為偶函數(shù)

2,xeQ

6.（23-24高一上?云南昆明?期中）函數(shù)。（x）=,則下列結(jié)論正確的是（)

3,x@Q

A.。(句＞0(3.14)B.。（力的值域為［2,3］

C.。（。（力）是偶函數(shù)D.VaeR,D（x+fl）=D（a-x）

7.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知〃x）=sin［x+E）,g（x）=sin（x-|J,貝（j（）

A.將〃尤）的圖象向左平移］個單位長度可以得到g（x）的圖象

B.將/（X）的圖象向右平移個單位長度可以得到g（x）的圖象

Sir

c.“X）的圖象與g（x）的圖象關(guān)于直線X=對稱

77r

D.的圖象與g（x）的圖象關(guān)于直線x=￡對稱

三、填空題

8.（23-24高一下?內(nèi)蒙古?期中）已知6>0,函數(shù)=是奇函數(shù)，貝U。=,b=

9

9.(2024?陜西西安?二模)已知定義域為R的函數(shù)/a)滿足f(x+2)=_/(x),且當(dāng)0<x<2時，/(x)=3X-Inx,

則"211)=.

10.(2024?四川成都?模擬預(yù)測)函數(shù)g(x)=f『+lnW+2,若g(a)=6,則g(-a)=.

四、解答題

11.(2023?陜西西安?模擬預(yù)測)已知奇函數(shù)/卜)=加+加+5在％=1處取得極大值2.

⑴求的解析式;

⑵求“X)在［T3］上的最值.

12.(2020?廣東中山?模擬預(yù)測)已知函數(shù)>=/(%)的定義域為(0,+?),當(dāng)x>l時，/(%)>0,且對任意

不，%?0,+OO)滿足/(占=占)+/(%2).

(1)求『(1)的值；

(2)判斷y=/(x)的單調(diào)性，并加以說明；

(3)當(dāng)當(dāng)時，試